高二学业水平测试数学试卷 (1)
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高二学业水平测试数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）
A．1个B．2个C．4个D．8个
2．若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．B．a2＞b2C．a（c2+1）＞b（c2+1）D．a|c|＞b|c|
3．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
4．函数f（x）=（x2﹣2x﹣3）的单调减区间是（）
A．（3，+∞） B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）
5．化简=（）
A．1 B．2 C．D．﹣1
6
．已知非零向量，满足||=||，（﹣）⊥，则向量与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°
7．在等比数列中{a n}中，若a3a5a7a9a11=243，则的值为（）
A．9 B．1 C．2 D．3
8．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的
概率是“选出代表是男生”的概率的，这个班的女生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．35
9．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）
A
．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值6
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知直线3x+2y﹣3=0与6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是（）
A．4 B．C．D．
12．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A．B．C．2000cm3D．4000cm3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于．14．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S3=6，a n
+a n=16，若S n=50，则n的值为．
﹣2
15．已知变量x、y满足，则z=2x+y的最大值．
16．过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0内一点M（3，0）作圆的割线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是．
三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=1，S10=45
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
18．已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．
①求角A的大小．
②若．
19．某校高一学生共有500人，为了了解学生的历史学习情况，随机抽取了50名学生，对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计，得到频率分布直方图如图所示，后三组频数成等比数列．（1）求第五、六组的频数，补全频率分布直方图；
（2）若每组数据用该组区间中点值（例如区间[70，80）的中点值是
75作为代表，试估计该校高一学生历史成绩的平均分；
（3）估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数．
20．如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
21．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．
22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：1.C 2.C 3．B 4．A 5．B 6.A 7．D
8．C 9．B 10．A 11．B 12．B
二、填空题：13．180 14．10 15．1216.x+y﹣3=0．
三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，S10=45，∴，
解得a1=0，d=1，
∴a n=n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
b n==2﹣（n﹣1）=，
∴T n==2﹣．
18．解：①∵cosA（sinA﹣cosA）=，
∴sinAcosA ﹣cos2A=sin2A﹣（1+cos2A）=sin2A﹣cos2A﹣=，
即sin（2A﹣）=1，又A为三角形的内角，
∴2A﹣=，
解得：A=；
②∵a=2，S△ABC=2，sinA=，
∴bcsinA=2，即bc=8①，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，
即8=（b+c）2﹣24，解得：b+c=4②，
联立①②，解得：b=c=2．
19．解：（1）设第五、六组的频数分别为x，y
由题设得，
第四组的频数是0.024×10×50=12
则x2=12y
又x+y=50﹣（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50即x+y=9
∴x=6，
y=3
补全频率分布直方图
（2）该校高一学生历史成绩的平均分
+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6
（3）该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数：
500×（0.024+0.012+0.006）×10=210
20．解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．
故．又．
∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．
△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则
设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，
故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，
（3）由（2）得，
设=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．
由得，，
即
显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．
则，故．
即所求二面角的大小为．
21．解：（1）f（x）在R上为奇函数；
∴；
∴；
解得a=2，b=1；
（2）；
x增大时，2x+1增大，减小，f（x）减小；
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
（3）∵f（x）为奇函数，∴由f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0得，f（k•3x）＞f（9x﹣3x﹣2）；又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
∴k•3x＜9x﹣3x﹣2，该不等式对于任意x≥1恒成立；
∴（3x）2﹣（k+1）3x﹣2＞0对任意x≥1恒成立；
设3x=t，则t2﹣（k+1）t﹣2＞0对于任意t≥3恒成立；
设g（t）=t2﹣（k+1）t﹣2，△=（k+1）2+8＞0；
∴k应满足：；
解得；
∴k的取值范围为．
22．解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，
∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，
即，
解得：a=﹣1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，
同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．
∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．。
