高二数学第二学期期中试卷1

上海市位育中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．直线10x +=的倾斜角为．2．方程221259x y m m +=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是． 3．双曲线2238x y -=的两条渐近线夹角为．4．6x⎛ ⎝的二项展开式中常数项是. 5．已知双曲线C ：22197x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 上有一点P ，若15PF =，则2PF =.6．为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据：这组数据的线性回归方程经过点()4,a ，则=a ．7．已知随机变量()2~4,X N σ，且()20.3P X ≤=，则()6P X <=．8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为． 9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种(用数字作答).10．已知实数,x y 满足y =24y x --的取值范围是． 11．已知点P 在圆22:1O x y +=上运动，若对任意点P ，在直线:40l x y +-=上均存在两点A ，B ，使得π2APB ∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是． 12．设1F ，2F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线2222222:1x y C a b -=（20a >，20b >）的公共焦点，曲线1C ，2C 在第一象限内交于点M ，1260F MF ∠=︒，若椭圆的离心率1e ⎫∈⎪⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的取值范围是．二、单选题13．为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算20.95χ≈，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）（附：()2 3.8410.05P χ≥≈）A ．有95%的人认为该电视栏目优秀B ．有95%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系14．直线()1:110l a x y -++=，()2:4210l x a y ++-=，则“2a =”是“12l l //”的（ ）条件A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 15．设01a <<，随机变量X 的分布是01111333a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则当a 在()0,1内增大时，（ ） A ．[]D X 增大B ．[]D X 减小C ．[]D X 先增大后减小 D ．[]D X 先减小后增大16．在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y x P x y x y -++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于y 轴对称；③单位圆的“伴随曲线”是它自身；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()72E X =，求m 的值．18．已知椭圆的焦点是()1F ，)2F ，长轴长是短轴长的2倍，求椭圆上的点到直线2380x y ++=距离的最大值． 19．已知双曲线22:14x C y -=，直线l 经过点3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且与双曲线C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线过点()0,1，求直线l 的方程．20．如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为(01)p p <<．(1)当12p =时，求5s 后质点移动到点0的位置的概率； (2)记3s 后质点的位置对应的数为X ，若随机变量X 的期望()0E X >，求p 的取值范围．21．已知椭圆22:12x C y +=(1)若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y ，且与椭圆C 有公共焦点，求此双曲线的方程；(2)过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由．。

高二数学第二学期期中考试卷本卷满分100分,考试时间90分钟一、填空题（本大题共有11小题，每小题4分，共44分）1．直线y =－3x +1的倾斜角为 .2．过点A(1,－4),且与直线2350x y ++=垂直的直线方程为 . 3．两平行直线3450x y ++=与34250x y +-=间的距离是 ． 4．若方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆,则k 的取值范围是___________.5．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且一顶点为(0，8)的双曲线的方程 是 .6．已知圆C 的方程(x-2)2+y 2=4,过原点与圆C 相交的弦的中点轨迹是__________.7．设12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ．8．已知双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则c:a ＝ .9．椭圆1222=+y x 和双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则实数n 的值是10. 等腰直角三角形的直角顶点是（4，-1），斜边在直线3x -y +2=0上，两条直角边所在的直线方程是 .11. 已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法：①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a =49,b =9,c =40，正确的有 .二、选择题：（本大题共4小题;每小题4分,共16分）12．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ） A.34π B. 4πC. 2arctgD. arctg 12. 3k >是方裎22131x y k k +=--表示双曲线的条件是 （ ） A.充分但不必要 B. 必要但不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.直线1y x =-上的点到圆224240x y x y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1+ D. 115. 椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点: P 1, P 2, …, P n , 椭圆的右焦点为F . 数列｛|P n F |｝是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是 ( )A 、198B 、199C 、200D 、20110三、解答题：（本大题共6小题，共40分）P 射出，被x轴反射，反射光线经过点Q(7,1)，16.（6分）已知光线从点(1,5)求入射光线所在的直线方程．21的17. (6分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，焦距与长轴长的比为3双曲线过点P(6，6) 求双曲线方程18. (6分)求过点(1,6)M 且与圆22230x y x ++-=相切的切线方程．19. （7分）过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）内引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程.20.（7分）斜率为2的直线l 被双曲线x y 22321-=截得的弦长为2515，求直线l 的方程.21.（8分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍， （１） 求动点P 的轨迹方程；（２） 过1(1,0)F 且斜率1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，已知(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．高二数学参考答案1．120° 2. 3x －2y －11=0 3. 6 4．(-∞,-1)∪(4,+∞)5．1366422=-x y 6. x 2+y 2-2x=0 7．２０ ８. αsec ９. 3± １０．2x+y-7=0或x-2y-6=0 １１. ② １2. Ｂ １3.Ａ １4.Ｄ １5. C16. 解：点B 关于x 轴对称点为C(7,－1), 入射光线所在的直线为AC43-=AC k入射光线所在的直线方程为3x+4y －17=0．17.解：设双曲线方程为2222by a x -=1由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12所以所求双曲线方程为12922y x -=1 18.解：设直线的方程为y=k(x －1)+6,圆心(－1,0)到直线的距离等于半径221622=++-k k ,解得k=34切线方程为46(1)3y x -=-或10x -= 19.解：设直线与椭圆的交点为（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）,M(2,1)为AB 的中点故x 1+x 2= 4, y 1+y 2 = 2 ，由于点 A 、B 在椭圆上，则 x 12 + 4y 12 = 16, x 22 +4y 22 =16 两式相减得 ∴k AB =-=--2121x x y y 21244)(42121-=⨯-=++y y x x故所求直线方程为x +2y – 4 =020. 解：设直线l 的方程为y x m =+2 将y x m =+2代入23622x y -=得232622x x m -+=() 整理得101232022x mx m +++=()设直线l 与双曲线的两个交点坐标为P x y 111(,)，P x y 222(,)∴+=-=+x x m x x m 12122653102,()·由P P kx x 122121=+-得()()()[]25151225155422122212212⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-x x x x x x1255654310222=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⨯+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥m m () 解得m m 21223==±,∴所求的直线方程是y x =±22321.（１）设动点(,)P x y ，由题设知4x -=化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22143x y +=． （２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ， 得 27880x y --=．设1122(,),(,)C x y D x y ，则12127y y x x -=-==而11211122ACD S AF y y ∆=⋅-=⨯=。

2022-2023高二下数学期中测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，集合，则（） (){}2log 22A x x =+<{}|128xB x =≤≤A B = A. B. C.D.()0,2(]0,2[)0,2[]0,2【答案】C 【解析】【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合，进而可求交集.,A B 【详解】由题意可得：， {}{}{}|024|22,|03A x x x x B x x =<+<=-<<=≤≤则. [)0,2A B = 故选：C.2. “”是“直线平行于直线”的 2a =20ax y +=1x y +=A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】试题分析：直线平行于直线，因此正确答案应是充分20ax y +=1x y +=122aa -⇒=-⇒=必要条件，故选C. 考点：充要条件.3. 已知随机变量，且，则（ ） (12)B p ξ～，(23)9E ξ-=()D ξ=A.B. 12C. 3D. 2483【答案】C 【解析】【分析】结合，求得，即可求解． ()()23239E E ξξ-=-=12p =()D ξ【详解】由题意，随机变量，可得， ()~12,B p ξ()12E p ξ=又由，解得， ()()23232439E E p ξξ-=-=-=12p =即随机变量，可得， 1~(12,)2B ξ()1112(1322D ξ=⨯⨯-=故选：C ．4. 某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 144种【答案】C 【解析】【分析】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.【详解】根据题意，从4个视频中选2个有种方法， 24C 2篇文章全选有种方法，22C 2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有种方法， 33A 最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有种方法，22A 故满足题意的学法有（种）．22324232C C A A 72=故选：C 5. 函数的单调递减区间为（ ） 21ln 2y x x =-A. B.C.D.()1,1-()0,1[)1,+∞()0,∞+【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，令导函数小于0，即可得到单调递减区间. 【详解】解：由题意，0x >在中， 21ln 2y x x =-211x y x x x -'=-=当时，解得（舍）或 0y '==1x -1x =当即时，函数单调递减 0'<y 01x <<∴单调递减区间为 ()0,1故选：B.6. (，且)的展开式中的系数为（ ） ()()()()23101111x x x x ++++++++ 1x ≠0x ≠2x A. 150 B. 165 C. 120 D. 180【答案】B 【解析】【分析】首先写出含的系数，再利用组合数的性质，即可求解.2x 【详解】展开式中含的系数是2x 222223410C C C ...C ++++=322233410C C C ...C ++++.311C 165==故选：B7. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、A B 3布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率A B 13135是（ ） A.B. C. D.19227281481【答案】B 【解析】【分析】将恰好局时游戏终止的事件分拆成有平局、无平局的两个互斥事件的和，分别求出这两个事5件的概率即可得解.【详解】恰好局时游戏终止的事件M ，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M 1，第4局必5输，前局输局赢局的事件为M 2，321则M =M 1+M 2，M 1与M 2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，A B 于是得，， 222141114()2C ()()33381P M =⨯⨯=()2222311122C 33381P M ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 121262()()()()8127P M P M M P M P M =+=+==所以恰好局时游戏终止的概率为. 5227故选：B8. 若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ） A.B. C. D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围 【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的()f x ()0,∞+()12f x ax x'=+()2ln f x x ax =+图象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有122ax x +=2112a x x=-+()0,∞+解，∵x >0，∴，∴．2211111112222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的有（ ）A. 若随机变量满足，则 ,ξη21ηξ=+()2()1=+D D ηξB. 若随机变量，且，则()23,N ξσ~(6)0.84<=P ξ(36)0.34<<=P ξC. 若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据(),(1,2,3,,)i i x y i n = 的中心点(x y D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验2 4.712=χ0.05α=，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05()0.05 3.841=x 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据方差的性质判断即可； 对B ，根据正态分布的对称性判断即可； 对C ，根据回归直线的性质判断即可； 对D ，根据独立性检验的性质判断即可【详解】对A ，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故,ξη21ηξ=+2()2()4()D D D ηξξ==A 错误；对B ，根据正态分布的图象对称性可得，故B 正确； (36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=对C ，根据回归直线过样本中心点可知C 正确；对D ，由可知判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.05，故D 正确 24.712 3.841χ=>故选：BCD10. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第x 年 1 2 3 4 5 利润y /亿元23457已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说 1.2y x a=+法正确的是（ ）A. ˆ0.6a=B. 变量y 与x 之间的线性相关系数0r <C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2 【答案】AC 【解析】【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据x y (),x y ax 与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公y 0r >6x = y 式求出利润的方差，即可判断D ； 【详解】解：依题意，， ()11234535x =++++=()1212345755y =++++=因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得，1.2y x a=+(),x y 21 1.235a =⨯+ 0.6a =故A 正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B 错误， 1.20.6y x =+x y 0r >当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确， 6x = 1.260.67.8y =⨯+=该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D 错误； 22222121212121217423457255555525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：AC11. 若实数满足，则（ ） ,a b 0b a <<A.B. 11a b<22ln ln a b >C. D.2ab a <0a b +>【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，利用做差法逐项判断可得答案. 0b a -<【详解】对于A ，因为，所以，所以，即，故A 正确；0b a <<0b a -<110b a a b ab--=<11a b <对于B ，因为，所以，所以，即，故B 错误；0b a <<1b a >22220ln ln ln l 1n -<==a a b b22ln ln <a b 对于C ，因为，所以，所以，即，故C 错误；0b a <<0b a -<()20-=->ab a a b a 2ab a >对于D ，因为，所以，所以，即，故D 正确. 0b a <<0a b ->0+=->a b a b 0a b +>故选：AD.12. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭A. 所有项的二项式系数和为32B. 所有项的系数和为0C. 常数项为D. 二项式系数最大的项为第3项20-【答案】BC 【解析】【分析】原二项式可化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】，可得二项式系数和为，故A 错误；3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6264=令得所有项的系数和为0，故B 正确；1x =常数项，故C 正确； 33361C 20x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为第4项，故D 错误. 6161C rr r r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭36C 故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 的展开式中的系数为________用数字填写答案 8()()x y x y +-27x y .()【答案】20 【解析】【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】二项式中，，()8x y -()-+=-8181rr r rr T C x y 当中取x 时，这一项为，所以，，x y +()--981rr r r C x y 7r =()-=-77818C 当中取y 时，这一项为，所以，，所以展开式中的系数为x y +()-+-8181rr r r C x y 6r =()668128C -=27x y-+=82820.故答案为：20.14. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面123456朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率x y A x y +B x y x y ≠____.()P B A =【答案】13【解析】【分析】求出、，利用条件概率公式可得结果.()P A ()P AB 【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，x y +x y ()3321662P A ⨯⨯==⨯事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，AB x y +x y x y ≠x y所以，， ()321666P AB ⨯==⨯因此，. ()()()13P AB P B A P A ==故答案为：. 1315. 命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.x ∃∈R ()()224210a x a x -++-≥a 【答案】 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、x ∀∈R ()()224210a x a x -++-<240a -=240a -≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围. a a 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.x ∀∈R ()()224210a x a x -++-<①当时，可得. 240a -=2a =±若，则有，合乎题意； 2a =-10-<若，则有，解得，不合乎题意； 2a =410x -<14x <②若，则，解得. 240a -≠()()22240Δ2440a a a ⎧-<⎪⎨=++-<⎪⎩625a -<<综上所述，实数的取值范围是. a 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭故答案为：. 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭16. 设是函数的导函数，且，则不等式的解集为()f x '()f x ()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，(ln )f x x >__________． 【答案】 (0,e)【解析】【分析】根据构造函数，求导后根据导数正负确定函数单调性，利用函数单()()f x f x '<()()ex f x g x =调性解不等式.【详解】令，则， ()()e x f x g x =2()e ()e ()()()(e )ex x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，，()()f x f x '< ()0g x '∴<在上单调递减， ()()e xf xg x ∴=R 由可得， (ln )f x x >ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=即，，解得. (ln )(1)g x g >ln 1x ∴<0e x <<故不等式的解集为. (0,e)故答案为：(0,e)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合，. {}|13A x x =-≤{}|431B x m x m =-≤≤+（1）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； x A ∈x B ∈m （2）若，求的取值范围. A B ⋂=∅m 【答案】（1）{}|12m m ≤≤（2）或 {|1m m <-}8m >【解析】【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解; x A ∈x B ∈A B (2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围. m 【小问1详解】由题意， ，即，解得， 13x -≤()313x -≤-≤24x -≤≤所以.{}|24A x x =-≤≤由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，x A ∈x B ∈A B 则，且等号不能同时取到，解得.，42314m m -≤-⎧⎨+≥⎩12m ≤≤故的取值范围为 m {}|12m m ≤≤【小问2详解】当时，得，即，符合题意. B =∅431m m ->+52m <-当时，得，即.B ≠∅431m m -≤+52m ≥-由，得或，解得或， A B ⋂=∅44m ->312m +<-8m >1m <-所以或. 512m -≤<-8m >综上所述，的取值范围为或.m {|1m m <-}8m >18. 袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：（1）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率； （2）第二次摸到白球的概率． 【答案】（1） 14（2）23【解析】【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案. 【小问1详解】设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，A B 则，， ()1319C 1C 3P A ==()11321198C C 1C C 12P AB ==所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率. ()()()1112|143P AB P B A P A ===【小问2详解】第二次摸到白球的情况分为两种：第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率， 1361984P =⨯=第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率， 26559812P =⨯=所以第二次摸到白球的概率. 121524123P P P =+=+=19. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”､“B ”､“C ”三个等级，A ､B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示： 等级 A B C 频数 2012060(表一) 厂家合格品次品合计甲 75 乙 35 合计(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A ､B 等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.附：，其中.22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ ()20P x χ≥0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据A ，B ，C 等级的统计和表中的数据，完成2×2列联表.再由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求值，与临界值表对照下结论.（2）根据甲厂又10件A 等级，65件B 等级，25件次品，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断；根据乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断； 34-【详解】（1）2×2列联表如下 厂家 合格品 次品 合计 甲 75 25 100 乙 65 35 100 合计14060200，()2220075352565 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.∴（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，. 34-X 的分布列如下： X 301034-P110 1320 14， 1131()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>甲厂能盈利，∴对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品， 对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，， 34-Y 分布列如下： Y 301034-P110 1120 720，乙不能盈利. 111717()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．20. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数x 据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求X (,100)N μμx ；9(64)4P X <≤（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位[50,60)[60,70)[80,90)于的人数的分布列和数学期望． [80,90)ξ附参考数据：若，则①；②()2~,X N μδ()0.6827P X μδμδ-<≤+=；③．(22)0.9545P X μδμδ-<≤+=(33)0.9973P X μδμδ-<≤+=【答案】（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为． 0.818665【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可. （2）依据，按公式计算即可.(2)(6494)P X P X μδμδ-<≤+=<≤（3）先得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. ξ【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：．(550.01650.02750.045850.02950.005)1074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）由题意知，~(74,100)X N ．0.68270.9545(2)(6494)0.81862P X P X μδμδ+-<≤+=<≤==（3）由于，和的频率之比为：，[50,60)[60,70)[80,90)1:2:2故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， [50,60)[60,70)[80,90)随机变量的取值可以为0、1、2、3，ξ，，363101(0)6C P C ξ===21641301(1)2C C P C ξ===，，23164103(2)10C C P C ξ===343101(3)30C P C ξ===的分布列为： ξξ0 12 3P 1612310 13011316()01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=21. 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指18导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如10i x ()1,2,3,,10i y i = 图所示的散点图.（1）利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程 ˆy a bx =+ ˆln y cd x =+ x y 类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）（2）对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：xyω()1021ii x x =-∑()1021ii ωω=-∑()()101iii x x y y =--∑()()101iii y y ωω=--∑ 9.4 30.3 2 366 6.6 439.266其中令，. ln i i x ω=101110i i ωω==∑根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当y x 观看人次为万人时的销售量；280参考数据和公式：，ln 20.69≈ln7 1.95≈附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计()11,u v ()22,u v L (),n n u v ˆvu αβ=+ 分别为：，. ()()()121ˆniii ni i u u v v u uβ==--=-∑∑ v u αβ=-【答案】（1）更适合；ˆln y cd x =+ （2），预测当观看人次为万人时的销售量约为件. 10.310ln y x =+28043600【解析】【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型；（2）令，则，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得、的值，进而可得ln x ω= ˆy c d ω=+ d $c出关于的回归方程，将代入回归方程可得出销售量. y x 28x =【小问1详解】解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合. ˆln y cd x =+ 【小问2详解】解：令，则， ln x ω= ˆy cd ω=+ 因为，，()()10166iii y y ωω=--=∑()10216.6ii ωω=-=∑所以， ()()()101102166ˆ106.6iii i i y y dωωωω==--===-∑∑又因为，，所以， 30.3y =2ω=30.310210.3cy d ω=-=-⨯= 所以与的线性回归方程为，y ω 10.310y ω=+故关于的回归方程为. y x ˆ10.310ln yx =+令，代入回归方程可得（千件） 28x = ()10.310ln2810.3102ln2ln743.6y =+=+⨯+≈所以预测观看人次为万人时的销售量约为件. 2804360022. 已知函数. 1()ln =+f x a x x（1）讨论在定义域上的单调性；()y f x =（2）若函数在处取得极小值，且关于x 的方程在上恰有()y f x =1x =21()3f x b x x x +=-++1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1），分、两种情况讨论即可； 2211()a ax f x x x x-'=-=0a ≤0a >（2）由可得，然后可化为，然后令(1)0f '=1a =21()3f x b x x x+=-++23ln 0x x x b -++=，，然后求出的单调性，然后可得答案.2()3ln g x x x x b =-++1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 【详解】（1） 2211()a ax f x x x x-'=-=当时，在上单调递减 0a ≤()f x (0,)+∞当时，在区间单调递减，在区间单调递增；0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）函数在处取得极值，∴，解得，则， ()y f x =1x =(1)0f '=1a =1()ln f x x x=+关于x 的方程化为， 21()3f x b x x x+=-++23ln 0x x x b -++=令，，2()3ln g x x x x b =-++1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∴， 21231(21)(1)()23x x x x g x x x x x-+--'=-+==令，解得或1， ()0g x '=12x =令，解得，此时函数单调递增， ()0g x '>12x <≤()g x 令，解得，此时函数单调递减， ()0g x '<112x <<()g x ∵关于x 的方程在上恰有两个不相等的实数根，2()2f x x x b +=+1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，即，解得，102(1)0(2)0g g g ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩5ln 204202ln 20b b b ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩5ln 224b +≤<∴实数b 的取值范围是5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：一个方程有几个根可转化为对应的函数有几个零点，然后结合函数的单调性和函数值可得出零点的个数.。

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。