中考总复习：统计与概率--知识讲解

8.2 概 率◎能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件的概率.◎知道通过大量地重复试验,可以用频率来估计概率.概率问题是安徽中考近几年必考内容之一,以填空题和解答题为主.2021年单独考查了概率计算(2021年第9题),2017~2020年概率与统计相结合在解答题中考查(2020年第21题,2019年第21题,2018年第21题,2017年第21题),一般都是两步概率,难度在中等或中等以上.解答此类问题一般要先用画树状图或列表法分析所有等可能出现的结果.十年真题再现命题点1 概率的计算[10年6考] 1.(2021·安徽第9题)如图,在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A 的概率是( D )A.14 B.13 C.38 D.49【解析】根据题意,图中共可围成9个矩形,而含点A 的矩形有4个,∴P (所选矩形含点A )=49. 2.(2013·安徽第8题)如图,若随机闭合开关K 1,K 2,K 3中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为( B )A.16 B.13 C.12 D.23【解析】用画树状图或列表法可知,共有3种等可能的情况为K 1K 2,K 1K 3,K 2K 3,其中让两盏灯泡同时发光的只有K 1K 3这1种情况,即让两盏灯泡同时发光的概率为13.3.(2012·安徽第8题)给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打给甲的概率为( B ) A.16 B.13 C.12 D.23【解析】第一个打电话给甲、乙、丙(因为次序是任意的)的可能性是相同的,∴第一个打电话给甲的概率是13.4.(2016·安徽第21题)一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.解:(1)用树状图表示所有可能结果:∴得到所有可能的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88.(2)共有16个两位数,其中算术平方根大于4且小于7的有6个,分别为17,18,41,44,47,48,所求概率P=616=38.5.(2014·安徽第21题)如图,管中放置着三根同样的绳子AA1,BB1,CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是多少?(2)小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子连接成一根长绳的概率.解:(1)共有3种等可能情况,其中恰好选中绳子AA1的情况为1种,∴小明恰好选中绳子AA1的概率P=13.(2)依题意,分别在两端随机任选两个绳头打结,总共有三类9种等可能情况,列表或画树状图表示如下:或其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连接成为一根长绳,所以能连接成为一根长绳的情况有6种:①左端连AB,右端连A1C1或B1C1;②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;③左端连AC,右端连A1B1或B1C1.故这三根绳子连接成为一根长绳的概率P=69=23.命题点2统计与概率相结合的问题[10年4考]6.(2020·安徽第21题)某单位食堂为全体960名职工提供了A,B,C,D四种套餐,为了解职工对这四种套餐的喜好情况,单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查.根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图,部分信息如下:(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为60,扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为108°;(2)依据本次调查的结果,估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数;(3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”,求甲被选到的概率.解:(2)由图可知被抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84,∴最喜欢B套餐的频率为84240=0.35, ∴估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×0.35=336.(3)由题意,从甲、乙、丙、丁四人中任选两人,总共有6种等可能的不同结果,列举如下:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.其中甲被选到的结果有甲乙、甲丙、甲丁,共3种,故所求概率P=36=12.7.(2019·安徽第21题)为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时间抽取一件产品,并测量其尺寸.个数据按从小到大的顺序整理成如下表格:按照生产标准,注:在统计优等品个数时,)计算在内.(1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为的产品是否为合格品,并说明理由.(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm.(ⅰ)求a的值;(ⅱ)将这些优等品分成两组,一组尺寸大于9 cm,另一组尺寸不大于9 cm.从这两组中各随机抽取1件进行复检,求抽取到的2件产品都是特等品的概率.解:(1)∵抽检的合格率为80%,∴合格产品有15×80%=12个,即非合格品有3个.∵编号①至编号对应的产品中,只有编号①与编号②对应的产品为非合格品,∴编号为的产品不是合格品.(2)(ⅰ)∵从编号⑥到编号对应的6个产品为优等品,中间两个产品的尺寸数据分别为8.98和a ,∴中位数为8.98+a 2=9,则a =9.02.(ⅱ)优等品当中,编号⑥、编号⑦、编号⑧对应的产品尺寸不大于9 cm,分别记为A 1,A 2,A 3,编号⑨、编号、编号对应的产品尺寸大于9 cm,分别记为B 1,B 2,B 3,其中的特等品为A 2,A 3,B 1,B 2.从两组产品中各随机抽取1件,有如下9种不同的等可能结果:A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,A 3B 1,A 3B 2,A 3B 3,其中2件产品都是特等品的有如下4种不同的等可能结果:A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,∴抽到的2件产品都是特等品的概率P =49.8.(2017·安徽第21题)甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩如下: 甲:9,10,8,5,7,8,10,8,8,7; 乙:5,7,8,7,8,9,7,9,10,10; 丙:7,6,8,5,4,7,6,3,9,5.(1)(2)依据表中数据分析,(3)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.解:(1)提示:甲的方差:110×[(9−8)2+2×(10−8)2+4×(8−8)2+2×(7−8)2+(5−8)2]=2.把丙运动员的射靶成绩从小到大排列:3,4,5,5,6,6,7,7,8,9,则中位数是6+62=6.(2)∵甲的方差是2,乙的方差是2.2,丙的方差是3,∴s 甲2<s 乙2<s 丙2,∴甲运动员的成绩最稳定.(3)三人的出场顺序有(甲乙丙),(甲丙乙),(乙丙甲),(乙甲丙),(丙甲乙),(丙乙甲). ∵共有6种情况,甲、乙相邻出场的有4种情况, ∴甲、乙相邻出场的概率=46=23.教材知识网络重难考点突破考点1确定性事件与随机事件典例1(2021·湖南怀化)“成语”是中华文化的瑰宝,是中华文化的微缩景观.下列成语:①“水中捞月”,②“守株待兔”,③“百步穿杨”,④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是() A.① B.② C.③ D.④【解析】①“水中捞月”是不可能事件;②“守株待兔”是随机事件;③“百步穿杨”是随机事件;④“瓮中捉鳖”是必然事件.【答案】A提分1(2021·广西玉林)一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球,这些球除颜色外其他均相同,从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是( A )A.至少有1个白球B.至少有2个白球C.至少有1个黑球D.至少有2个黑球考点2频率与概率典例2(2021·江苏盐城)圆周率π是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个数字出现的频率趋于稳定,接近相同.(1)从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为;(2)某校进行校园文化建设,拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅,求其中有一幅是祖冲之的概率.(用画树状图或列表法求解) 【答案】(1)110.(2),列表如下:∵共有12种等可能的结果,612=12.(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式,列出所有等可能的结果,再求出概率.(2)当一个事件涉及三个或更多元素时,为了不重不漏地列出所有等可能的结果,通常采用画树状图法求概率.的概率是 0.8 .数点后一位)【解析】根据表格数据可知频率稳定在0.8,所以估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8. 提分3 (2021·河北)某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同. (1)求嘉淇走到十字道口A 向北走的概率;(2)补全图2的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.解:(1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率为13.(2)补全树状图如下:共有9种等可能的结果,嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种,向南参观的结果有2种,向北参观的结果有2种,向东参观的结果有2种,∴向西参观的概率为39=13,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率=29,∴嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.。

统计与概率知识点归纳
考点一、全面调查与抽样调查
考点二、统计学中的几个基本概念
总体、个体、样本、样本容量、样本平均数、总体平均数 考点三、平均数（x 读作“X 拔”）、加权平均数、 众数、中位数
1、众数：
2、中位数：
考点四、方差 、标准差
1、方差的概念、通常用“2s ”表示，])()()[(1222212x x x x x x n
s n -++-+-= 2、标准差的概念、用“s ”表
])()()[(1222212x x x x x x n
s s n -++-+-== 考点五、几种常见的统计图
1、 条形统计图、折线统计图、扇形统计图
2、 频数分布直方图
① 极差： ②频数： ③频率：
考点六、确定事件和随机事件
1、确定事件：
2、随机事件：
考点七、概率的意义与表示方法
1、概率的意义：
2、事件的概率的表示方法：
考点八、列表法求概率
1、列表法
2、列表法的应用场合 （当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

）
考点九、树状图法求概率
1、树状图法
2、运用树状图法求概率的条件 （当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

）
考点十、用频率估计概率、 考点十一、概率的应用：主要用来评判某项活动是否“合算”，游戏是否“公平”等。

中考数学统计与概率基础知识概率与统计是数学中的一个重要分支，也是中考数学中的一项重要内容。

通过学习概率与统计的基础知识，我们能够更好地理解和应用数学在实际生活中的意义。

本文将从概率与统计的概念、统计数据的描述与分析以及概率的计算等方面介绍中考数学中的基础知识。

一、概率与统计的概念1. 概率的定义概率是指某一事件发生的可能性大小。

概率的取值范围为0-1，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

一般情况下，概率用一个介于0和1之间的实数表示。

2. 统计的定义统计是指通过收集、整理和分析数据，以了解和描述一定现象或现象的规律性。

统计可以帮助我们从大量的数据中提取有用的信息，为决策提供依据。

二、统计数据的描述与分析1. 数据的收集在进行统计分析之前，首先需要进行数据的收集。

数据的收集可以通过实地调查、问卷调查、实验观测等方式进行。

收集到的数据应具有代表性，以确保统计结果准确可靠。

2. 数据的整理收集到的数据需要进行整理，包括数据的录入、分类、排序等。

通过数据的整理，可以更好地进行后续的统计分析。

3. 数据的分析数据的分析包括描述性统计和推论性统计两个方面。

描述性统计主要是对数据的基本特征进行描述，包括频数、众数、中位数、均值等。

推论性统计则是通过样本数据的分析来推断总体的特征。

三、概率的计算1. 随机事件随机事件是在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件。

在计算概率时，首先要确定随机事件的样本空间和样本点，并根据事件发生的可能性来计算概率。

2. 概率的计算方法概率的计算主要通过以下两种方法进行：频率法和几何法。

频率法是指通过大量实验或观测数据来计算概率。

几何法是指通过对几何模型进行分析和推理来计算概率。

四、概率与统计的应用1. 随机抽样随机抽样是统计中常用的一种方法，通过从总体中随机选择一部分个体作为样本，来推断总体的特征。

使用随机抽样的方法可以减小误差，提高结果的可靠性。

2. 概率统计模型概率统计模型是利用统计学原理和概率理论来描述和分析一定现象的数学模型。

中考数学总复习概率与统计知识点梳理概率与统计是中考数学中的重要内容，考查的主要知识点包括：概率、统计、抽样调查和相关性等。

以下是对这些知识点的详细梳理。

1.概率：概率是描述件事情发生可能性大小的数值，是随机试验结果的度量标准。

概率的计算方法包括：理论概率、几何概率和频率概率。

-理论概率：根据随机试验的全部可能结果进行计算，概率值范围为0到1之间。

-几何概率：通过对随机试验的几何模型进行分析，计算几何概率。

-频率概率：通过重复实验来估计事件发生的概率，概率值近似于实验中事件发生的频率。

2.统计：统计是收集、整理和分析数据，从而得出有关事物规律的学科。

统计的主要目的是对研究对象进行客观的描述和分析。

-数据的收集和整理：对于给定的研究对象，要通过合理的方法收集数据并进行整理，包括调查问卷、实验、采样等方法。

-数据的分析和表示：使用图表、统计量等方法对收集到的数据进行分析和表示，主要包括频数表、频率分布表、直方图、折线图等。

-数据的描述性统计：通过描述性统计指标，如均值、中位数、众数、极差、方差、标准差等，对数据的特征进行描述。

3.抽样调查：为了对整个群体进行研究，使用抽样调查的方法从群体中抽取一部分样本进行调查。

抽样调查的方法包括概率抽样和非概率抽样。

-概率抽样：每个样本被抽取的概率相等，可以使用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样等方法。

-非概率抽样：每个样本被抽取的概率不等，可以使用方便抽样、判断抽样、专家抽样和雪球抽样等方法。

4.相关性：相关性是用来衡量两个变量之间关系的指标，包括正相关、负相关和不相关。

.统计与概率考点1 . 统计的方法――普查与抽样调查：1）普查：为一特定目的而对所有考察对象做的全面调查叫普查；2）抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象做的调查叫抽样调查。

说明：1）下列的情形常采用抽样调查：①当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时；②当调查具有破坏性，不允许普查时。

2）抽样调查的要求：①抽查的样本要有代表性；②抽查的样本不能太少。

考点2 与统计有关的概念：1）总体：所要考查的对象的全体叫总体；2）样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本中个体的数目叫做样本容量。

使总体的每一个个体有同等的机会被选中，这样的样本称为简单随机样本； 3）个体：总体中每一个考查的对象叫做个体；4）频数：统计时，每个对象出现的次数叫频数，频数之和等于总数； 5）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值叫频率，频率之和等于1。

注意：考查对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项数量指标。

考点3 统计图表：1）扇形统计图是用圆代表总体，圆中各个扇形分别代表总体中不同部分的统计图，它可以直观地反映部分占总体的百分比大小，一般不表示具体的数量；2）条形统计图能清楚地表示每个项目的具体数目及反映事物某一阶段属性的大小变化，复合条形图的描述对象是多组数据；3）折形统计图可以反映数据的变化趋势；4）频数分布表和频数分布直方图，能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况。

说明：绘制频数分布直方图的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数（当数据在100个以内时，一般取5～12组）；③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数,绘制频数分布直观图；考点4 数据的代表：反映数据集中趋势的特征数1）平均数：一组数据中所有数据之和再除以数据的个数称为这组数据的平均数； ①算术平均数：一般地，如果n 个数321,,x x x …，n x ， 那么nx x x x x n++++=321叫做这n 个数的平均数；②加权平均数：一般地，如果n 个数321,,x x x …，n x 中，11f x 出现次，22f x 出现次，…， kx 出现k f 次（+++321f f f …n f +＝n ），那么nf x f x f x f x x kk ++++=332211叫做321,,x x x …，个数的加权平均数这n x n ，其中、、、321f f f …k f 、叫做 321,,x x x …，k x 的权；2）中位数：将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，就是这组数据的中位数；3）众数：一组数据出现中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

第八章统计与概率第二十七讲数据的收集与处理【基础知识回顾】一、数据的收集方式。

1、全面调查（普查）：是为了一定的目的对考察对象进行的全面调查，其中所要考查对象的称为总体，组成总体的考查对象称为个体2、抽样调查（抽查）：是指从总体中抽取对象进行调查，然后根据调查数据推理全体对象的情况，其中，被抽取的那些组成一个样本，样本中的数目叫做样本容量。

【名师提醒：1、对被考查对象进行全面调查还是抽样调查要根据就考查对象的特点而选择，例如：当被考查对象数量有限时可采取，当受条件限制无法对所有个体都进行调查或调查具有破坏性时，应采用，然后用样本估计总体的情况。

2、注意：被考察对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项指标。

】二、统计图：1、统计图是表示统计数据的图形，是数据及其关系的直观表现的反映，几种常见的统计图有统计图统计图统计图2、频数分布直方图：⑴频数：在统计数据中落在不同小组中的个数，叫做频数⑵频率：=⑶绘制频数直方图的步骤：a：计算与的差，b：决定和c：确定分点d：列出f：画出【名师提醒：1、各类统计图的特点：条形统计图可以反映折线统计图能够显示从扇形统计图能够看出，扇形的圆心角=3600×2、频数分布直方圆中每个长方形的高是所有小长方形高的和为】【典型例题解析】1.以下问题，不适合用全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．旅客上飞机前的安检C．学校招聘教师，对应聘人员面试D．了解全市中小学生每天的零花钱2.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有条鱼．3.2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：频率分布表分数段频数频率50.5-60.5 16 0.0860.5-70.5 40 0.270.5-80.5 50 0.2580.5-90.5 m 0.3590.5-100.5 24 n（1）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？第二十八讲数据分析【基础知识回顾】一、数据的代表：1、平均数：⑴算术平均数如果有n个数x1 ,x2 ,x3 …xn那么它们的平均数x=⑵加权平均数：若在一组数据中x1出现f1次，x2出现f2次...... xk出现fk次,则其平均数x= （其中f1+ f2+...... fk=n）2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在或叫做这组数据的中位数。

专题五 统计与概率综合统计图表：认真审题，从统计图表中获取有用信息，根据题意求出相应的量．统计量的计算：中位数是排出来的，众数是数出来的，平均数、方差是算出来的．概率的计算和应用：利用画树状图或列表法列举所有等可能结果是解决这类题目的关键．利用画树状图或列表法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，画树状图适合两步或两步以上完成的事件．注意用到的知识点：概率等于所求情况数与总情况数之比．中考重难点突破 统计图表与三数的综合【例1】(2021·苏州中考)为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园，某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如表．班级一班 二班 三班 四班 五班 废纸质量/kg4.54.45.13.35.7则每个班级回收废纸的平均质量为( C ) A ．5 kg B ．4.8 kg C ．4.6 kg D ．4.5 kg【解析】求五个班废纸回收质量的平均数即可得出答案．1．(2021·盘锦中考)甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是( C )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁概率的计算【例2】(2019·百色适应性演练)欢度端午节，小新用不透明袋子装了4个粽子来学校与同学分享，其中有豆沙棕和肉棕各1个，板栗粽2个，这些粽子形状与大小完全一样．(1)若小新随机从袋子中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？(2)若小新随机从袋子中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小新取出的两个都是板栗粽的概率．【解析】(1)直接根据概率公式计算可得结果；(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得结果． 【解答】解：(1)∵一共有4个粽子，其中肉粽有1个，∴取出的是肉粽的概率是14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小新取出的两个都是板栗粽的结果有2种，∴小新取出的两个都是板栗粽的概率为212 ＝16.2．(2021·南通中考)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. (1)随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为________；(2)随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．解：(1)12；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有16种等可能的结果，其中两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为416 ＝14.统计与概率的综合【例3】(2021·西藏中考)为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查(每人只能选择一种方案)，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．甲 乙(1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为________，在扇形统计图中，m 的值为________； (2)根据本次调查结果，估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？(3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a ，b ，c ，d 中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a 同学参加的概率．【解析】(1)总人数乘以A 对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等于总人数求出C 方案人数，再用C 方案人数除以总人数即可得出m 的值；(2)用总人数乘以样本中B 方案人数所占比例即可得出答案；(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：(1)40；30；[选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40(人)，则选择“书画展览”的人数为200－(40＋80＋20)＝60(人)，∴在扇形统计图中，m %＝60200×100%＝30%，即m ＝30.](2)估计全校2 000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2 000×80200＝800(人)；(3)由题意，列表：a b c da (b ，a ) (c ，a )(d ，a ) b (a ，b )(c ，b ) (d ，b ) c (a ，c ) (b ，c ) (d ，c ) d (a ，d ) (b ，d ) (c ，d )由表可知，共有12种等可能的结果，其中a 同学参加的结果有6种，∴a 同学参加的概率为612 ＝12.3．(2020·百色一模)学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类(A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差)．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：(1)本次调查中，陈老师一共调查了______名学生；(2)将条形统计图补充完整；扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是多少度？(3)为了共同进步，陈老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．解：(1)20；(2)C 类学生人数为20×25%＝5(名)，C 类女生人数为5－2＝3(名).D 类学生所占的百分比为1－15%－50%－25%＝10%，D 类学生人数为20×10%＝2(名)，D 类男生人数为2－1＝1(名).补充条形统计图如图所示．扇形统计图中D 类学生所对应的圆心角是360°×10%＝36°； (3)A 类学生中的两名女生分别记为A 1和A 2， 由题意，列表：女A 1 女A 2 男A 男D (女A 1，男D) (女A 2男D) (男A ，男D) 女D (女A 1，女D) (女A 2，女D) (男A ，女D)由表可知，共有6种等可能结果，其中一男一女的结果有3种，∴所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的概率为36 ＝12 .中考专题过关1.(2021·陕西中考)今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)这60天的日平均气温的中位数为________，众数为________； (2)求这60天的日平均气温的平均数；(3)若日平均气温在18 ℃～21 ℃的范围内(包含18 ℃和21 ℃)为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．解：(1)19.5 ℃；19 ℃；[这60天的日平均气温的中位数为19＋202＝19.5(℃)，众数为19 ℃.](2)这60天的日平均气温的平均数为160×(17×5＋18×12＋19×13＋20×9＋21×6＋22×4＋23×6＋24×5)＝20(℃)；(3)∵12＋13＋9＋660×30＝20(天)，∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天． 2．(2021·营口中考)李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同(不透明)的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A.转移注意力，B.合理宣泄，C.自我暗示，D.放松训练．(1)若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是________； (2)若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊(取走后不放回)，请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．解：(1)14；(2)由题意，画树状图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为612 ＝12.3．(2021·盐城中考)圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．祖冲之(1)从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；(2)某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．(用画树状图或列表方法求解)解：(1)110；(2) 甲 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) 乙 (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁)由表可知，共有∴其中有一幅是祖冲之的概率为612 ＝12.4．(2021·枣庄中考)某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A ，B ，C ，D 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．图1图2(1)王老师采取的调查方式是________(填“普查”或“抽样调查”)，王老师所调查的4个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，表示C 班的扇形圆心角的度数为________；(3)如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．(要求用树状图或列表法写出分析过程)解：(1)抽样调查；24；B 班级的件数有4÷60°360°－4－10－4＝6(件)，补全条形统计图如图所示；(2)150°；[1024×360°＝150°.](3)由题意，画树状图如图：由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中一男一女的结果有6种，∴P (恰好抽中一男一女)＝612 ＝12.5．(2021·济宁中考)某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．(1)在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是________； (2)请补全条形统计图；(3)若该校九年级共有学生1 200人，则估计该校“良好”的人数是________；(4)已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率．解：(1)108°；[在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是360°×30%＝108°.] (2)这次调查的人数为12÷30%＝40(人).则及格的人数为40－3－17－12＝8(人).补全条形统计图如图；(3)510人；[估计该校“良好”的人数为1 200×1740＝510(人).](4)由题意，画树状图如图：由图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有2种，26＝1 3.∴抽到两名男生的概率为。

统计与概率易错点梳理易错点01 调查方式的选择错误全面调查是对考查对象的全体调查.要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计.而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查.以样本来估计总体的情况。

易错点02 对各种统计图的意义理解错误条形图能显示每组中的具体数据.注意各个小组不相连.扇形图能显示部分在总体中所占的百分比.注意不能直接判断具体数据的大小.折线图能显示数据的变化趋势.也能得到具体数据的大小.直方图能显示数据的分布情况.能得到每组数据的多少.注意各个小组无间隔。

易错点03 求中位数忘记排序求一组数据的中位数必须将数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列.然后再取中间一个数或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。

易错点04 不能正确计算方差方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.即：ns 12=[21)(x x -+22)(x x -+……+2)(x x n -]。

易错点05 混淆确定性事件和随机事件的概念在一定条件下.有些事件必然会发生.这样的事件称为必然事件.有些事件必然不会发生.这样的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件统称确定事件.在一定条件下.可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

易错点06 混淆频率与概率频率和概率是两个不同的概念.事件的概率是一个确定的常数.而频率是不确定的.当试验次数较少时.频率的大小摇摆不定.当试验次数增大时.频率的大小波动变小.并逐渐稳定在概率附近。

易错点梳理考向01 数据的收集与整理例题1：（2021·辽宁凌海·九年级期中）如图①所示.一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分）.小雅想了解该图案的面积是多少.她采取了以下的办法：用一个长为5m.宽为3m 的长方形.将不规则图案围起来.然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球.并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果）.她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图.由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）A ．6m 2B ．5m 2C ．4m 2D ．3m 2【答案】A【思路分析】首先假设不规则图案面积为x .根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小.继而根据折线图用频率估计概率.综合以上列方程求解． 【解析】解：假设不规则图案面积为x m 2. 由已知得：长方形面积为53⨯=15m 2.根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：15x. 当事件A 试验次数足够多.即样本足够大时.其频率可作为事件A 发生的概率估计值.故由折线图可知.小球落在不规则图案的概率大约为0.4. 综上有：15x＝0.4. 解得x ＝6． 故选：A ．例题分析【点拨】本题考查几何概率以及用频率估计概率.并在此基础上进行了题目创新.解题关键在于清晰理解题意.能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简.创新题目对基础知识要求极高．例题2：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列说法正确的是（）A．在小明.小红.小月三人中抽2人参加比赛.小刚被轴中是随机事件B．要了解学校2000学生的体质健康情况.随机抽取100名学生进行调查.在该调查中样本容量是100名学生C．预防“新冠病毒”期间.有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检.抽检了20包口罩.其中18包合格.该商店共进货100包.估计合格的口罩约有90包D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查【答案】C【思路分析】根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案．【解析】解：在小明.小红.小月三人中抽2人参加比赛.小刚被轴中是不可能事件.故A选项不正确.要了解学校2000学生的体质健康情况.随机抽取100名学生进行调查.在该调查中样本容量是100.故B选项错误.预防“新冠病毒”期间.有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检.抽检了20包口罩.其中18包合格.故该口罩的合格率为90%.该商店共进货100包.估计合格的口罩约有90包.故C选项正确.了解某班学生的身高情况适宜全面调查.故D选项错误.故选：C．【点拨】此题考查语句判断.正确理解随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点是解题的关键．考向02 数据分析例题3：（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式.是对垃圾收集处置传统方式的改革.甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异.两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示.则下列说法正确的是（）参加人数平均数中位数方差甲40 95 93 5.1乙40 95 95 4.6AB．甲班成绩优异的人数比乙班多C．甲.乙两班竞褰成绩的众数相同D．小明得94分将排在甲班的前20名【答案】D【思路分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．【解析】A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差.所以乙班成绩稳定.此选项错误.不符合题意.B．乙班成绩的中位数大于甲班.所以乙班成绩不低于95分的人数多于甲班.此选项错误.不符合题意.C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数.此选项错误.不符合题意.D．因为甲班共有40名同学.甲班的中位数是93分.所以小明得94分将排在甲班的前20名.此选项正确.符合题意.故选：D．【点拨】本题考查了平均数、中位数、方差及众数的概念.平均数、中位数及众数反映的是一组数据的平均趋势及水平.平均数与每个数据有关.方差反映的是一组数据的波动程度.在平均数相同的情况下.方差越小.说明数据的波动程度越小.也就是说这组数据更稳定．例题4：（2021·江苏洪泽·二模）实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动.年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（）年龄12 13 14 15人数 2 3 4 1【答案】C【思路分析】根据众数和中位数的意义求解．【解析】解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14.因此众数是14.将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为13142＝13.5.因此中位数是13.5.故选：C【点拨】本题考查众数和中位数的应用.熟练掌握众数和中位数的意义和计算方法是解题关键．考向03 概率例题5：（2021·云南省楚雄天人中学九年级期中）在一个不透明的纸箱中.共有15个蓝色、红色的玻璃球.它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回.通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在20%.则纸箱中红色球很可能有（）A．3个B．6个C．9个D．12个【答案】D【思路分析】根据利用频率估计概率得到摸到蓝色球的概率为20%.由此得到摸到红色球的概率=1-20%=80%.然后用80%乘以总球数即可得到红色球的个数．【解析】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在20%.∴摸到红色球的概率=1-20%=80%.∵不透明的布袋中.有黄色、白色的玻璃球共有15个.∴纸箱中红球的个数有15×80%=12（个）．故选：D．【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时.事件发生的频率在某个固定位置左右摆动.并且摆动的幅度越来越小.根据这个频率稳定性定理.可以用频率的集中趋势来估计概率.这个固定的近似值就是这个事件的概率．例题6：（2021·福建省漳州第一中学九年级期中）我国古代有着辉煌的数学研究成果.其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作.这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著.有着十分丰富多彩的内容.是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习.则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）A．13B．15C．115D．118【答案】C【思路分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示,列树形图表示所有等可能性.根据概率公式即可求解．【解析】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示.根据题意列树形图得由树形图得共有30种等可能性.其中两部专著恰好是A 、B 即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性.∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为213015P ==． 故选：C【点拨】本题考查了列树形图求概率.根据题意分别用字母表示六种算经并正确列出树形图是解题关键．一、单选题1．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球.他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现.摸到红球的频率稳定在25%附近.则口袋中白球可能有（ ） A ．12个 B ．14个 C ．15个 D ．16个【答案】A【解析】设白球有x 个.根据题意列出方程.4254100x =+. 解得x =12．经检验得x =12是原方程的解． 故选A ．2．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）下列调查中.适合于采用普查方式的是（ ） A ．调查央视“五一晚会”的收视率 B ．了解外地游客对兴城旅游景点的印象 C ．了解一批新型节能灯的使用寿命 D ．了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码” 【答案】D【解析】A.调查央视“五一晚会”的收视率.适合抽样调查. B.了解外地游客对兴城旅游景点的印象.适合抽样调查. C.了解一批新型节能灯的使用寿命.适合抽样调查.微练习D.了解某航班上的乘客是否都持有“绿色健康码”.适合普查. 故选：D ．3．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）我校开展了“好书伴我成长”读书活动.为了解5月份九年级学生的读书情况.随机调查了九年级50名学生读书的册数.统计数据如下表所示.下列说法正确的是（ ）册数 0 1 2 3 4 人数 41216171A 【答案】B【解析】这组样本数据中.3出现了17次.出现的次数最多.∴这组数据的众数是3.将这组样本数据按从小到大的顺序排列.其中处于中间的两个数都是2.∴这组数据的中位数为2.观察表格.可知这组样本数据的平均数为： (0 × 4 + 1 × 12 + 2 × 16 + 3 × 17 + 4 ×1)÷50=9950. 这组数据的方差为：()()()()()22222140-1.98+121-1.98+162-1.98+173-1.98+4-1.9850⎡⎤⨯⨯⨯⨯⎣⎦ 2≠.故选：B ．4．（2021·江苏新吴·二模）已知一组数据x 、y 、的平均数为3.方差为4.那么数据2x -.2y -.2z -的平均数和方差分别（ ）A ．1.2B ．1.4C ．3.2D ．3.4【答案】B【解析】由于数据x 、y 、z 的平均数为3.所以有x +y +z =9 则[]111(2)(2)(2)(6)31333x y z x y z -+-+-=++-=⨯= 由于数据x 、y 、z 的方差为4.即2221(3)(3)(3)43x y z ⎡⎤-+-+-=⎣⎦所以22222211(21)(21)(21)(3)(3)(3)433x y z x y z ⎡⎤⎡⎤--+--+--=-+-+-=⎣⎦⎣⎦即数据2x -.2y -.2z -的方差仍为4故数据2x -.2y -.2z -的平均数和方差分别为1和4 故选：B ．5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）近些年来.移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月,A B 两种移动支付方式的使用情况.从企业2000名员工中随机抽取了200人.发现样本中AB 、两种支付方式都不使用的有10人.样本中仅使用A 种支付方式和仅使用B 种支付方式的员工支付金额a （元）分布情况如下表： 支付金额a （元）01000a <≤ 10002000a <≤ 2000a >仅使用A 36人 18人 6人 仅使用B 20人28人2人①根据样本数据估计.企业2000名员工中.同时使用,A B 两种支付方式的为800人. ②本次调查抽取的样本容量为200人.③样本中仅使用A 种支付方式的员工.该月支付金额的中位数一定不超过1000元. ④样本中仅使用B 种支付方式的员工.该月支付金额的众数一定为1500元． 其中正确的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．①② D ．②④【答案】A【解析】解：根据题目中的条件知：①从企业2000名员工中随机抽取了200人.同时使用,A B 两种支付方式的人为：20010(362018+28+6+2)=80--++（人）.∴样本中同时使用,A B 两种支付方式的比例为：8022005=. ∴企业2000名员工中.同时使用,A B 两种支付方式的为：220008005⨯=（人）.故①正确. ②本次调查抽取的样本容量为200.故②错误.③样本中仅使用A 种支付方式的员工共有：60人.其中支付金额在01000a <≤之间的有.36人.超过了仅使用A 种支付方式的员工数的一半.由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元.故③是正确.④样本中仅使用B 种支付方式的员工.从表中知月支付金额在10002000a <≤之间的最多.但不能判断众数一定为1500元.故④错误.综上：①③正确.故选：A ．6．为考察两名实习工人的工作情况.质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲.乙两组数据.如下表：甲 2 6 7 7 8 乙23488关于以上数据.下列说法正确的有（）个．①甲、乙的众数相同.②甲、乙的中位数相同.③甲的平均数小于乙的平均数.④甲的方差小于乙的方差．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】甲的众数为7.乙的众数为8.故①错误.甲的中位数为7.乙的中位数为4.故②错误.甲的平均数为15×（2+6+7+7+8）＝6.乙的平均数为15×（2+3+4+8+8）＝5.故③错误.甲的方差为15×[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.4.乙的方差为15×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（8﹣5）2+（8﹣5）2]＝6.4.甲的方差小于乙的方差.故④正确.故选：A．7．（2021·黑龙江松北·二模）两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3.4.5的小球.它们除数字不同外其他均相同．甲、乙二人分别从两个盒子里摸球1次.二人摸到球上的数字之和为奇数的概率是（）A．13B．23C．49D．59【答案】C【解析】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果.甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种.∴甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的概率为49.故选：C．8．有两把不同的锁和三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁.第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁.一次打开锁的概率是（）A．12B．13C．14D．23【答案】B【解析】解：列表得：锁1 锁2钥匙1 （锁1.钥匙1）（锁2.钥匙1）钥匙2 （锁1.钥匙2）（锁2.钥匙2）钥匙3 （锁1.钥匙3）（锁2.钥匙3）由表可知.所有等可能的情况有6种.其中随机取出一把钥匙开任意一把锁.一次打开锁的2种.则P（一次打开锁）=21=63．故选：B．9．（2021·山东南区·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球.在不允许将球倒出来数的前提下.小明为估计其中的白球数.采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球.记下颜色.然后把它放回口袋中.摇匀后再随机摸出一球.记下颜色.再放回.不断重复上述过程．小明共摸了100次.其中80次摸到白球．根据上述数据.小明可估计口袋中的白球大约有（）A．18个B．15个C．12个D．10个【答案】C【解析】解：由题可得：31008080-÷=12（个）．故答案为：12．10．广东省2021年的高考采用“312++”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目.“1”是指在物理、历史2科中任选1科.“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史.则她在“2”中选地理、生物的概率是（）A．16B．13C．14D．12【答案】A【解析】解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：共有12种等可能的结果数.其中选中“地理”“生物”的有2种.则P（地理、生物）＝2÷12＝16．故选A．二、填空题11．（2021·北京丰台·二模）某单位有10000名职工.想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验.需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组.然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性.说明这5个人全部阴性.如果混合血样呈阳性.说明其中至少有一个人呈阳性.就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数________（填“是”或“否”）.（2）按照这种化验方法至多需要________次化验.就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．【答案】是2025【解析】解：（1）第一轮化验10000名÷5=2000次<10000次故按照这种化验方法是能减少化验次数故答案为：是（2）按照这种方法需要两轮化验.第一轮化验2000次携带该病毒的人数=10000×0.05%=5人最多有5组需要进行第二轮化验一一化验需要5×5=25次化验一共进行2000+25=2025次化验.按照这种化验方法至多需要2025次化验.就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．故答案为：2025．12．某校组织了一次初三科技小制作比赛.有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品．C班提供的参赛作品的获奖率为50%.其它几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中.则获奖率最高的班级是________．【答案】C班【解析】解：由统计图可得.A 班的获奖率为：1410035%100%()40%÷⨯⨯=.B 班的获奖率为：()11100135%20[]%20%100%44%÷⨯---⨯=.C 班的获奖率为50%.D 班的获奖率为：()810020%100%40%÷⨯⨯=.由上可得.获奖率最高的班级是C 班.故答案为：C 班． 13．（2021·内蒙古赛罕·二模）下列命题错误的序号是_________．①若1∠和2∠是同位角.则12∠=∠.②如果一个三角形的两条边和一个角与另一个三角形的两条边和一个角相等.那么这两个三角形全等.1x -.④某班投票选班长.小丽15票.小伟20票.小刚18票.这组数据的众数是20.⑤为排查肺炎疑似病人同机乘客的健康情况.应采用全面调查的方式进行． 【答案】①②③④【解析】解：①两直线平行时.同位角相等.不是所有互为同位角的两个角都相等.故此命题错误.②根据三角形全等的判定定理可知.当一个三角形的两个边和其夹角与另一个三角形的对应边角相等时.两个三角形才会全等.故此命题错误.③一般地.(0)a a ≥的式子叫作二次根式.需要10x -≥这个条件存在.题中没有.故此命题错误.④一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.故此命题错误.⑤排查所有同机乘客需要进行全面调查.故此命题正确．14．（2021·贵州铜仁·中考真题）若甲、乙两人射击比赛的成绩（单位：环）如下： 甲：6.7.8.9.10. 乙：7.8.8.8.9．则甲、乙两人射击成绩比较稳定的是______________（填甲或乙）. 【答案】乙【解析】解：甲乙二人的平均成绩分别为：678910==85x ++++甲.78889==85x ++++乙.∴二人的方差分别为：()()()()()22222268788898108==25S -+-+-+-+-甲()()()()()22222278888888982==55S -+-+-+-+-乙. ∵22S S 乙甲＞.乙的成绩比较稳定．故答案为：乙15．（2021·四川·成都绵实外国语学校九年级期中）小明为研究函数y ＝2x的图象.在﹣2、﹣1、1中任取一个数为横坐标.在﹣2、﹣1、2中任取一个数为纵坐标组成点P 的坐标.点P 在函数y ＝2x的图象上的概率是___．【答案】13【解析】解：列表如下：2-1-22- ()2,2--()2,1-- ()2,2-1-()1,2--()1,1--1,21()1,2-()1,1-1,2其中点P 在函数2y x=上的有()2,1--.()1,2--.1,2共3种. 所有点P 在函数y ＝2x 的图象上的概率是31=.93故答案为：1316．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）有四张正面分别标有数字﹣4.﹣3.﹣2.1.的不透明卡片.它们除数字不同外其他全部相同.现将它们背面朝上.洗匀后从中抽取一张.将该卡片上的数字记为a .放回后洗匀.再从中抽取一张.将该卡片上的数字记为b .则a .b 使得二次函数y ＝x 2﹣（a +5）x +3当x ≤1时y 随x 的增大而减小.且一元二次方程（a +2）x 2+bx +1＝0有解的概率为 ___． 【答案】516【解析】解：∵二次函数y ＝x 2﹣（a +5）x +3.二次项系数为1.大于0. ∴抛物线开口向上.对称轴为直线52a x +=. ∵要使得当x ≤1时.y 随x 的增大而减小. ∴应满足512a +≥. 解得：3a ≥-.∵一元二次方程（a +2）x 2+bx +1＝0有解.∴20a +≠且()2420b a ∆=-+≥. ∴2a ≠-且()2420b a ∆=-+≥.∴由题意可知.a 仅能取-3或1.当3a =-时.()224324b b ∆=-⨯-+=+.∴b 取﹣4.﹣3.﹣2.1时.均满足0∆≥.当1a =时.()2241212b b ∆=-⨯+=-.∴仅有b 取﹣4时.满足0∆≥.综上分析.当3a =-时.b 取﹣4.﹣3.﹣2.1.满足题意.当1a =时.b 取﹣4满足题意.共有5种情况满足题意.∵由题意可得.两次抽取共有16种情况发生. ∴两次抽取后满足题意的概率为516P =. 故答案为：516． 三、解答题17．某校为了解本校初中学生体能情况.随机抽取部分学生进行了一次测试.并根据标准按测试成绩分成A .B .C .D 四个等级.绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信㿝解答下列问题：（1）本次抽取㐱加则试的学生为 人.扇形统计图中A 等级所对的圆心角是 度. （2）请补全条形统计图.（3）若该校初中学生有1200人.请估计该校学生体能情况成绩为C 等级的有多少人数？ 【答案】（1）50.108.（2）画图见解析.（3）240人 【解析】解：（1）由B 类22人.占比44%.可得： 总人数为：2244%=50人.扇形统计图中A 等级所对的圆心角是30%360=108, 故答案为：50.108（2）C 类的人数有：501522310---=人. 补全图形如下：（3）该校初中学生有1200人.则该校学生体能情况成绩为C 等级的有：10120024050⨯=人. 答：该校初中学生有1200人.则该校学生体能情况成绩为C 等级的有240人. 18．甲、乙两名队员参加射击训练.每人射击10次.成绩分别如下：平均成绩 中位数 众数 方差甲 a 7 7 1.2 乙 7b8c根据以上信息.（1）填空：a ＝ .b ＝ .c ＝ .（2）从平均数和中位数的角度来比较.成绩较好的是 .（填“甲”或“乙”） （3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛.你认为选谁更加合适？请说明理由． 【答案】（1）7.7.5.4.2.（2）乙.（3）选择乙参加比赛.理由见解析 【解析】解：（1）甲的平均成绩为()()1115264728195122816971010a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++= 乙的成绩从低到高排列为：3.4.6.7.7.8.8.8.9.10. 所以中位数()1787.52b =+= ()()()()()()()222222213747672773879710710c ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-⎣⎦=[]11691034910++++++ =4.2故答案为：7.7.5.4.2.（2）由表中数据可知.甲、乙平均成绩相等.乙的中位数7.5大于甲的中位数7.说明乙的成绩好于甲. 故答案为：乙.（3）选择乙参加比赛.理由：从平均数上看.甲、乙平均成绩相等.总分相等.从中位数上看乙的中位数和众数都大于甲.说明乙的成绩好于甲. 从方差上看乙的方差大于甲只说明乙的成绩没有甲稳定. 从众数看乙的众数是8.甲的众数是7.说明乙成绩要好些. 从折线图看.乙开始时发挥不好.后来乙的成绩呈上升趋势. 故应选乙队员参赛．19．（2021·四川达州·九年级期中）达州市红色旅游景点众多.例如罗江镇张爱萍故居.宣汉县红军公园、王维舟纪念馆.万源战史陈列馆等等.为了解初三学生对达州历史文化的了解程度.随机抽取了男、女各m 名学生进行问卷测试.问卷共30道选择题.现将得分情况统计.并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A 组：18x <.B 组：1822x ≤<.C 组：2226x ≤<.D 组：2630x ≤≤.x 表示问卷测试的分数）.其中男生得分处于C 组的有14人.男生C 组得分情况分别为：22.22.22.22.22.23.23.23.24.24.24.25.25.25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：组别 平均数 中位数 众数 男 20 n22 女202320（1）求m .n 的值.（2）已知初三年级总人数为1800人.请估计参加问卷测试.成绩处于C 组的人数. （3）据了解男生中有两名同学得满分.女生中分数最高的两名同学分别是30分和29分．现从这四名同学中随机抽取两名参加全校总决赛.用树状图或列表的方法求恰好抽到两名男生的概率是多少？【答案】（1）50m =.25n =.见解析.（2）522人.（3）见解析.16【解析】解：（1）由题意得：1428%50m =÷=（人）.男生成绩处在A 组的百分比=1-24%-46%-28%=2%.∴男生的中位数成绩为第25名与第26名成绩的平均成绩 ∵()502%24%12⨯+=（人）. ∴男生中位数()2525225n =+÷=. 女生C 组人数502132015=---=（人）. 条形图如图所示：（2）14151800522100+⨯=（人）. 答：估计成绩处于C 组的人数约为522人． （3）如图所以恰好抽到两名男生的概率为：21126=． 20．现有两根长度分别为3cm 和4cm 的线段.同时.在一旁另有8根长度不等的线段.这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致．这8张卡片的背面完全相同.卡片正面上分别标注了2cm 3cm 3cm 4cm 4cm 5cm 6cm 6cm 、、、、、、、．把这8张卡片背面朝上.从中随机抽取一张卡片.以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度.回答以下问题：（1）“从中抽取的长度能够与3cm 和4cm 组成直角三角形”的概率为________． （2）求抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 的线段组成等腰三角形的概率．（3）小红和小艺打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则．若三角形周长为奇数.则小红胜.若三角形周长为偶数.则小艺胜．请问游戏公平吗？若公平.请说明理由.若不公平.请重新设计一个公平的游戏规则．【答案】（1）18.（2）12.（3）不公平.游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数.则小艺胜.等腰三角形周长为奇数.则小红胜【解析】解：（1）∵该三条线段组成的是直角三角形. ∴2234=5+22437-. ∴符合的卡片有标注5cm 的一张.∴“从中抽取的长度能够与3cm 和4cm 组成直角三角形”的概率为18.故答案为：18.（2）能构成等腰三角形的线段有3cm .3 cm .4 cm .4 cm 共四条.∴抽出的卡片上标注的数据对应的线段能够与3cm 和4cm 的线段组成等腰三角形的概率为4182=. （3）∵3+4=7.∴当抽到的线段为奇数即抽到3cm 、3cm 或5cm 时.三角形的周长为偶数.此时小艺胜的概率为38.当抽到的线段为偶数即抽到2cm 、4cm 、4cm 、6cm 或6cm 时.三角形的周长为奇数.此时小红胜的概率为58. ∴游戏不公平.游戏规则改为：等腰三角形的周长为偶数.则小艺胜.等腰三角形周长为奇数.则小红胜． 21．（2021·浙江·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）A 、B 两人去九龙湖风景区游玩.已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车.开过来的顺序也不确定.两人采取了。

第十四讲统计与概率专项一数据的收集知识清单1. 调查方式总体：所要考察的对象的叫做总体.个体：组成总体的考察对象叫做个体.样本：从总体中抽取的叫做总体的样本.样本容量：样本中所包括的叫做样本容量．考点例析例1以下调查中，最适合采用全面调查的是（）A. 调查柳江流域水质情况B. 了解全国中学生的心理健康状况C. 了解全班学生的身高情况D.调查春节联欢晚会收视率分析：当调查范围小或准确性要求高时适宜用全面调查，据此逐项判断即可.归纳：选择全面调查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用.一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，选择抽样调查.对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．例2某校有4000名学生，随机抽取了400名学生进行体重调查，下列说法错误的是（）A. 总体是该校4000名学生的体重B. 个体是每一个学生C. 样本是抽取的400名学生的体重D. 样本容量是400分析：根据总体、个体、样本、样本容量的定义，首先找出考察的对象，找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.归纳：总体、个体、样本，考察的对象是相同的，不同的是考察范围的大小，样本容量是样本中包含个体的数目，没有单位.跟踪训练1.下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）A. 调查某班学生的身高情况B. 调查亚运会100 m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况C. 调查某批汽车的抗撞击能力D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量2.要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量.其中正确的是.专项二统计图（表）知识清单常用统计图的特点考点例析例1 自疫情暴发以来，中共中央文明办发布了关于“文明用餐”的倡议，为积极响应，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们的家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A. 完全使用；B. 多数时间使用；C. 偶尔使用；D. 完全不使用.将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图（如图1）.图1根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取的学生总人数共有人；（2）补全条形统计图；（3）求扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数.分析：（1）根据B类的人数和所占的百分比，可以求得总人数；（2）根据（1）中的结果，可以计算出D类的人数，从而将条形统计图补充完整；（3）利用360°乘以A类所占百分比可得A类对应扇形的圆心角度数.解：跟踪训练1.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”.阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A.科普，B.文学，C.体育，D.其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（）A. 样本容量为400B. 类型D所对应的扇形的圆心角为36°C. 类型C所占百分比为30％D. 类型B的人数为120人第1题图第3题图2.某班按课外阅读时间将学生分为3组，第1、2组的频率分别为0.2、0.5，则第3组的频率是.3.为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021－2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼.我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.课程篮球足球排球乒乓球人数m2130n根据图表信息，解答下列问题：（1）分别求出表中m，n的值；（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数. 第4题图专项三数据的分析知识清单名称定义意义应用(nx x+-考点例析例1 为庆祝中国共产党建党一百周年，某校开展了主题为“我身边的共产党员”的演讲比赛.比赛从演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面打分，最终得分按4∶3∶3的比例计算.若选手甲在演讲内容、演讲技巧、演讲效果三个方面的得分分别为95分、80分、90分，则选手甲的最终得分为分.分析：利用加权平均数计算公式计算总成绩即可.归纳：数据的权能够反映数据的相对重要程度.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况（它特殊在各项的权相等）.在实际问题中，各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算术平均数.加权平均数权的表现形式通常有三种：整数、百分数、比.本题权是以比的形式出现.例2 学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A. 16，15B. 11，15C. 8，8.5D. 8，9分析：根据中位数和众数的定义即可得解.归纳：确定中位数之前要将该组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，若数据个数为奇数，则位于最中间的数即为中位数；若数据个数为偶数，则位于最中间的两个数的平均数即为该组数据的中位数.需注意，一组数据的众数有时不止一个.例3 有甲、乙两组数据，如下表所示：甲、乙两组数据的方差分别为2s甲，2s乙，则2s甲2s乙.（填“>”，“<”或“=”）分析：根据方差的定义求解.归纳：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.跟踪训练1.为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92.关于这组数据，下列说法错误的是（）A. 众数是82B. 中位数是84C. 方差是84D. 平均数是852.一组数据：1，3，3，2，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差3.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80，则小彤这学期的体育成绩是分.4.在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班.专项四事件的分类知识清单1. 确定事件事先能肯定它一定的事件称为必然事件，必然事件发生的概率是.事先能肯定它一定的事件是不可能事件，不可能事件发生的概率是. 事件和事件都是确定事件.2. 随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.如果A为不确定事件（随机事件），那么< P （A ）< .考点例析例 下列事件是必然事件的是（ ） A. 没有水分，种子发芽B. 如果a ，b 都是实数，那么a+b=b+aC. 打开电视，正在播广告D. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上分析：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据概念得到结论.跟踪训练1. 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（ ）A. 摸出的2个球中至少有1个红球B. 摸出的2个球都是白球C. 摸出的2个球中有1个红球、1个白球D. 摸出的2个球都是红球2.“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观. 下列成语：①“水中捞月”，①“守株待兔”，①“百步穿杨”，①“瓮中捉鳖”.其中，描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ①B. ①C. ①D. ①3.“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x 这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x 的值可能是（ ） A. 7B. 6C. 5D. 44.“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P ，则（ ） A. P=0B. 0<P<1C. P=1D. P>1专项五 概率的计算知识清单1. 一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm . 2. 在几何图形中求概率时，P （A ）=积（长度、体积）全部结果构成的区域面积）的区域面积（长度、体构成事件A .3. 用列表法或画树状图法求概率在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件的概率.（1）列表法：当一次试验涉及两次操作，且可能出现的结果数目较多时，可以采用列表法表示出所有等可能的结果，再根据概率公式计算.（2）画树状图法：当一次试验涉及两次或两次以上操作时，可以采用画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据概率公式计算.考点例析例1 如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为（ ） A.2720 B.278 C. 92 D. 274分析：将正方体分割后共可得27个小正方体. 将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的有8个，利用概率公式计算即可.归纳：求一个简单随机事件的概率，大致分为以下步骤：①分析该事件所有等可能的结果数，记作n ；①在其中找出包含A 的结果数，记作m ；①利用概率公式P （A ）=nm计算. 需要注意的是计算结果是一个最简分数或小数.例2 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A ，B ，C 依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．分析：（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先列表或画树状图列出所有等可能的结果，小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的结果为3，然后根据概率公式求解可得. 解：归纳：列表法或画树状图法可以清晰地表示出随机事件的所有可能出现的结果，解题时可以以事件中的操作次数为依据，选择适当的方法求概率.例1和例2中都涉及两次操作，选列表法或画树状图法均可.若题目中涉及三次操作，为了不重不漏地列出所有可能的结果，宜采用画树状图法.跟踪训练1.骰子各面上的点数分别是1，2，3，4，5，6. 投掷一枚骰子，朝上一面的点数是偶数的概率是（ ） A.61 B.41 C. 21D. 12.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 .第2题图3.从-2，4，5这3个数中，任取两个数作为点P 的坐标，则点P 在第四象限的概率是 .4.随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.（其中A 表示“一等奖”，B 表示“二等奖”，C 表示“三等奖”，D 表示“优秀奖”）第4题图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为 人，m= ； （2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有1名男生，3名女生）中随机抽取2名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率.5.现有A ，B 两个不透明的袋子，A 袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B 袋的3个小球分别标有数字1，2，3.（每个袋中的小球除数字外，其余完全相同）（1）从A ，B 两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ______；（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A 袋中随机摸出一个小球，乙从B 袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平.专项六 用频率估计概率知识清单一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率nm稳定于某个常数p ，那么可以用这个常数p 估计事件A 发生的概率. 试验次数越多，得到概率的估计值越精确.例“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60 000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15 000个.（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？分析：（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；（2）设纸箱中白球的数量为x个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得.解：跟踪训练1.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.842.动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是.专项一 数据的收集例1 C 例2 D 1. C 2. ①②③④专项二 统计图（表）例 （1）50（2）D 类人数为50-10-20-16=4（人），补图略. （3）A 对应的扇形的圆心角度数为1050×360°=72°. 1. C 2. 0.33. 解：（1）参加这次调查的学生人数为30÷25%＝120（人），则篮球人数m=120×30%=36（人），乒乓球人数n=120-（36+21+30）=33（人）. （2）“足球”对应的扇形圆心角度数为360°×21120=63°. 专项三 数据的分析例1 89 例2 C 例3 > 1. C 2. C 3. 83 4. 甲专项四 事件的分类例 B 1. A2. A3. D4. C专项五 概率的计算例1 B 例2 （1）13（2）列表如下：由表可得，共有9种等可能的结果，小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的结果有3种，所以P （小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液）=39=31. 1. C2.92 3. 31第11页4. 解：（1）40 30（2）C 等级12人，补图略.（3）画树状图如图所示：由图可得，共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有1名男生和1名女生的结果有6种，所以P （抽取同学中恰有1名男生和112. 5. 解：（1）41 （2）画树状图如图所示：由图可得，共有12种等可能的结果，两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的有6种，所以P （甲获胜）=P （乙获胜）=612=12.所以游戏规则公平. 专项六 用频率估计概率例 （1）15 000÷6000=0.25.（2）设纸箱中白球的数量为x 个.根据题意，得1212x=0.25，解得x=36. 经检验，x=36是所列分式方程的解，且符合题意.答：估计纸箱中白球的数量接近36个.1. B2. 0.8a85。

新人教版初中数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：统计与概率—知识讲解【考纲要求】1.能根据具体的实际问题或者提供的资料，运用统计的思想收集、整理和处理一些数据，并从中发现有价值的信息，在中考中多以图表阅读题的形式出现；2.了解总体、个体、样本、平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、频数、频率等概念，并能进行有效的解答或计算；3.能够对扇形统计图、列频数分布表、画频数分布直方图和频数折线图等几种统计图表进行具体运用，并会根据实际情况对统计图表进行取舍；4.在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率．能够准确区分确定事件与不确定事件；5.加强统计与概率的联系，这方面的题型以综合题为主，将逐渐成为新课标下中考的热点问题．【知识网络】「I 统计图表——।阅读图表提取信息T 集中程度I 怦均数中位教嬴【考点梳理】考点一、数据的收集及整理1 .一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展 开调查、记录结果、得出结论.2 .调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的.(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行 普查；或调查具有破坏性时，不允许普查，这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想 (3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样 3 .数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图. 要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额.收集数据媒体查询抽样调查-抽样的基本要求总体个体样本T 整理数据借助统计活动研究概率从概 率角度分析善数据特征离散程度限差方差标准差实验估计概必然事不可能事游戏的 公平与模拟等效实考点二.数据的分析 1 .基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组 数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数； 极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的 情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是/,无是这组数据的平均数。