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对数函数知识点(一)对数函数定义对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。
常见的对数函数1.自然对数函数–底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。
–特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。
2.以10为底的常用对数函数–底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。
–特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。
对数函数的性质1.定义域和值域–自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
–以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
2.基本性质–对数函数的图像总是位于一、二象限。
–对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。
3.特殊值–自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。
–以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。
4.对数函数的性质–对数函数有唯一的反函数即指数函数。
–对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。
5.对数函数的性质与图像–对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。
–对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0<x<1时，图像急剧下降。
应用领域•对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。
•对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。
以上为对数函数的相关知识点和详解。
对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。
希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。
对数函数的性质和图像对数函数的性质1.指数和对数的关系–对数函数是指数函数的反函数。
对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。
–例如，log₂(8) = 3，因为2³ = 8。
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；②()log a y x a =∈R ；③8log y x =；④ln y x =；⑤()log 2x y x =+；⑥42log y x =；⑦()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2 B ．2-C ．12-D ．12跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C 2D ．12题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()4f x x=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．无法确定跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)23．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,03．已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ )A ．2-B ．2C ．1D ．1-题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
