均值不等式及其应用

第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ，ba ＝b 时，等号成立.数a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)(a ＋b )2≥4ab ；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(多选题)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x ＋y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有3x ≥3y ，故A 正确； 当0＞x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误； 当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30(0＜x ≤18)，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝1 4，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝4，n ＝2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋6x＋1x－y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x，y>0，x2－xy＝2得x－y＝2x，则1x－y＝x2，所以x＋6x＋1x－y＝x＋6x＋x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x≥3×2x2×2x＝6，当且仅当x2＝2x，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋6x＋1x－y的最小值为6.(2)对于A，取x＝32，y＝12，可得2x＋2y＝32>4，A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误； 对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( ) A.3＋223 B.3＋22 C.3D.9(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且＝4，P 为BD 上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b2＋b 28＝84＋b2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又点B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4， 当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有( )A.2abB.a 2＋b 2C.1a ＋1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ，b ＞0，所以2＝a ＋b ≥2ab ，所以0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.由ab ≤1，得2ab ≤2，所以2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，C 正确；2ab ≥2，D 正确，故选BCD.4.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x )≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号. 6.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9.若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 12.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A.a ＋b ＋c ≤3B.(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c ＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。

均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。

2.2.4均值不等式及其应用【教材分析】课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB的中点M的坐标为x.若a<b，则a<x<b.因为M为中点，所以AM＝MB，即x－a＝b－x，因此x＝a＋b2.不难看出，当a≥b时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的中点坐标公式．知识点二算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数a＋b2称为a，b的算术平均值；数ab称为a，b的几何平均值．知识点三均值不等式如果a，b都是正数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为基本不等式，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．知识点四 均值不等式与最大(小)值 当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，xy 取得最大值s 24(简记：和定积有最大值)． (2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p (简记：积定和有最小值)．【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用． 3．利用均值不等式的解题技巧与易错点 (1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元；④平方后再用均值不等式． (2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值； ③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到；④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．【课堂自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋b2≥ab对于任意实数a，b都成立．()(2)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2ab.()(3)当x>1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()(4)式子x＋1x的最小值为2.()(5)若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2的最小值为2.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．(2)ba＋ab≥2成立的条件是________．(3)x＞1，则x＋1x－1的最小值为________．(4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为________．答案(1)m＝1(2)a与b同号(3)3(4)2【典型例题】题型一对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy<0，所以xy＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－xy＋⎝⎛⎭⎪⎫－yx≤－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－xy⎝⎛⎭⎪⎫－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[解析]从均值不等式成立的条件考虑．①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ，ab ∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确； ②因为a ∈R ，a ≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的； ③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x 看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确．[答案] D 【典例分析】均值不等式a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义：①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立， 即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .【跟踪训练】 下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ·b a ＝2B ．当a ＞0，b ＞0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a ＞4时，a ＋9a 的最小值是6 D ．当a ＞0，b ＞0时，2aba ＋b≥ab 答案 B解析 A 中，可能b a ＜0，所以不正确；B 中，因为a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab ＞0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 中，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6中的等号不成立，所以不正确；D 中，由均值不等式知，2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)，所以不正确．题型二 利用均值不等式比较大小例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小关系是( )A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1B.a ＜a ＋12＜2a a ＋1C.2a a ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2aa ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时， 2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m ＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围． 解 当m ∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m ＋2m ≥24m ·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.【典例分析】利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【跟踪训练】已知：a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，试比较1a ＋1b ，2a 2＋b 2，4的大小． 解 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝12－ab ≥12－14＝14，即2a 2＋b 2≤4.∴1a ＋1b ≥4≥2a 2＋b 2. 题型三 利用均值不等式求代数式的最值例3 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y ＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵2x ＋y ＋6＝xy ，∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x (2x ＋6)x －1＝2(x 2＋3x )x －1＝2[x 2－1＋3(x －1)＋4]x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18.当且仅当x ＝3时，等号成立，∴xy 的最小值为18.(3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43， 即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0，且x 2＋y 2＋xy ＝1， 即x ＝y ＝33时，等号成立，∴x ＋y 的最大值为233. [结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值？ 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy ＝6xy ，又因为1x ＋9y ＝1，所以6xy ≤1，xy ≥6，xy ≥36，当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立． 所以(xy )min ＝36. 【典例分析】利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【跟踪训练】(1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x>0，y>0，且满足x3＋y4＝1，求xy的最大值．解(1)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋2 2.(2)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.题型四利用均值不等式求函数的最值例4(1)求y＝1x－3＋x(x>3)的最小值；(2)已知0<x<13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又∵x>3，∴x－3>0，1x－3>0，∴y≥21x－3·(x－3)＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y取得最小值5.(2)∵0<x <13，∴1－3x >0， y ＝x (1－3x )＝13·3x ·(1－3x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112. 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，取等号， ∴当x ＝16时，函数取得最大值112. (3)∵x >－1，∴x ＋1＞0， y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋(x ＋1)＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，函数y 取得最小值22＋1. [条件探究] 在本例(1)中把“x >3”改为“x <3”，y ＝1x －3＋x 的最值又如何？ 解 ∵x <3，∴x －3<0，∴y ＝1x －3＋x ＝－13－x －(3－x )＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－x ＋(3－x )＋3≤－213－x·(3－x )＋3 ＝－2＋3＝1.当且仅当13－x ＝3－x ，即x ＝2时，取等号．故函数y ＝1x －3＋x (x <3)有最大值1，没有最小值．【典例分析】利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．【跟踪训练】 (1)已知x <54，则y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)若x >1，则y ＝x 2x －1的最小值为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )×15－4x＋3＝－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x， 即x ＝1时，上式等号成立． 故当x ＝1时，y 的最大值为1.(2)∵x >1，∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立，∴当x ＝2时，y 的最小值为4. 题型五 利用均值不等式证明不等式 例5 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3. [证明] b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2，∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3. 【典例分析】利用均值不等式证明不等式(1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握均值不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． 【跟踪训练】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10. 证明 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋b ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a ＋b ＋c b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10. 【课堂测验】1．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b＜a ＋b 2＜ab B.a ＋b 2≥2ab a ＋b ≥abC.a ＋b 2＞ab ＞2ab a ＋bD.ab <2ab a ＋b＜a ＋b2答案 C 解析2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ＜a ＋b 2.2．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.1x＋yB.14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1yC.12(x2＋y2)D.12xy答案 C解析解法一：∵x＋y＞2xy，∴1x＋y＜12xy，排除D；∵14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝x＋y4xy＝14xyx＋y＞1(x＋y)2x＋y＝1x＋y，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，∴1x＋y＞12(x2＋y2)，排除A，故选C.解法二：取x＝1，y＝2.则1x＋y＝13；14⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y＝38；12(x2＋y2)＝110；12xy＝122＝18.其中110最小，故选C.3．若a＞0，则代数式a＋25a()A．有最小值10B．有最大值10C．有最大值没有最小值D．既没有最大值也没有最小值答案 A解析利用均值不等式得a＋25a≥2a·25a＝10，当且仅当a＝25a，即a＝5时，取得最小值10.4．已知x，y均为正数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为()A.14B.12C.18D.116答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0.∴4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∴xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号．5．已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．证明 ∵a >b ，∴a －b >0，又ab ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥2(a －b )·2a －b ＝22，即a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )，当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．。

均值不等式及其应用均值不等式是初中数学中一种很重要的概念，被广泛应用在各个领域中，特别是在概率论、数论、统计学和实际问题中，都有着广泛的应用。

在本文中，我们将会介绍均值不等式的概念以及其在实际问题中的应用。

一、均值不等式的概念均值不等式是指对于一组非负实数，它们的算数平均数总是大于等于它们的几何平均数。

它的数学表达式为：若a1,a2,…,an≥0，则有:(a1+a2+…+an)/n≥(a1 * a2 * … * an)^(1/n)其中，a1,a2,…,an均为非负实数，/代表除法，*代表乘法，n代表a1,a2,…,an的个数。

这个不等式有时候也被称为算术平均值和几何平均值的不等关系。

二、均值不等式的应用1.求最大值和最小值在某些问题中，通过均值不等式，可以得到最大值或最小值。

例如，求函数f(x)=1/x在[1,2]上的最大值。

首先，我们可以对f(x)求导得到f’(x)=-1/x^2，然后将其置于均值不等式中，得到：1/2=(1+1/4)/2≥(1/x+1/y)/2化简后得到：xy≥4，因此，f(x)=1/x的最大值为f(2)=1/2。

2.证明不等式均值不等式可以用来证明某些不等式，特别是在不等式的证明中，一般都采用归纳法、绝对值法、平方和法、插叙法、套路变形法等方法来完成。

例如，我们来证明对于任意的正整数n，都有1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)≥ln(n+2)-1。

证明：首先，将1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1写成一个和式，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n-1/n+1＝1/2+（1/3-1/2）+（1/4-1/3）+…+（1/n-1/n-1）+1/n+1＝（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+…+（1/n-1/n+1）+1/n+1＝1/2-1/(n+1)接着，将该式和ln(n+2)-ln2相加，得到：1/2+1/3+1/4+…+1/n+1/(n+1)+ln(n+2)-ln2＝1/2-1/(n+1)+ln(n+2)把该式与等式(1)做比较，我们发现不等式成立。

均值不等式及其应用（一）
学习目标：
1.知识与技能目标: 掌握均值定理，并能应用定理解决实际问题。

2.过程与方法目标: 培养学生自主探究能力，培养学生观察、概括能力，以及类比的学习方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标: 培养学生对待知识的科学态度和主动探索精神，激发学生学习激情，提高数学素养。

一、设置情境 导入新知
问题：有甲、乙两个超市同时进行降价活动，分别采用两种降价方案：甲超市第一次打m 折销售，第二次打n 折销售;乙超市两次都(m+n)/2折销售。

请问：哪个超市的价格更优惠?
二、知识梳理 构建网络
学生总结不等式这一节的知识点、易错点、易混点，重点知识补充完善
三、要点训练 知识再现
变式：已知a,b 是正数，且a+b=1.求
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=b a y 1111的最小值.
题型二 利用均值不等式求最值
例2 (1)已知x <0，求f (x )＝2＋4x
x 的最大值；
(2)已知x >1，求f (x )＝x ＋1x －1
的最小值；
(3)已知0<x <25
，求y ＝2x －5x 2的最大值.
变式训练2
(1)已知x>0，y>0，且1x ＋9y
＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5
的最大值； (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值
作业:必做题 练习册相关练习
探索:每位同学至少设计两种解决方案
.)(16,0.2
的最小值求已知b a b a b a -+>>。

均值不等式及其应用一、均值不等式定义1.均值不等式：如果,0a b >，那么2a b +≥,当且仅当a b =时，式中等号成立. 对于均值不等式的理解：（1）对任意两个正实数,a b ，2a b +叫做,a b叫做,a b 的几何平均值.（2）均值不等式可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.2.均值不等式的两种证明：（1）代数法：20,0,0222a b a b a b ++->>∴==≥，即2a b +≥.当且仅当a b =时，式中等号成立. （2）几何法：如图，AB 是圆O 的直径，点Q 是AB 上任一点，,AQ a BQ b ==，过点Q 作PQ 垂直AB 于Q ，连接,AP PB .易证Rt APQ Rt PBQ ∽，那么2PQ AQ QB =⋅，即PQ =22AB a b PO +==.根据三角形三边关系可得：PO PQ ≥，即2a b +≥当且仅当点Q 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立.几何意义可简记为：“半径不小于半弦”要点提炼：（2）等号成立的条件：当且仅当a b =时取等号.常见基本不等式1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b 2称为正数a ，ba ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大). 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值1、基本题型例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x2、常见解题技巧：技巧一：凑项（不正时）例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式的拓广及其应用均值不等式（Mean Inequality）是初等数学中经典的一道定理，它有三种形式：算术平均数大于等于几何平均数、平方算术平均数大于等于平均数的平方、调和平均数小于等于算术平均数。

而随着数学的发展，人们发现均值不等式的应用范围不仅仅局限于初等数学，还能在更高级的数学领域中起到不可替代的作用。

因此，本文将从不同的角度介绍均值不等式的拓广及其应用。

一、初等数学中的均值不等式首先，介绍一下初等数学中的均值不等式。

设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是$n$ 个正实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$$$\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}\geq\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_ n}{n}\right)^2$$$$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leq\frac{a _1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$这三种形式分别称为算术平均数大于等于几何平均数、平方算术平均数大于等于平均数的平方、调和平均数小于等于算术平均数。

这三种不等式对初学者来说，都具有重要的指导意义。

例如，在几何学中，均值不等式可以用来证明不等式关系，推导不等式中的等号条件等。

二、拓广形式进一步地，均值不等式也可以用一般的函数形式来表述，即通过增加条件或修改指标可以得到各种拓广形式。

以下给出一些常见的拓广形式。

1. 平均数为加权平均数：设 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ 是 $n$ 个正数，并且$S=w_1+w_2+\cdots+w_n$，则有：$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+\cdots+w_na_n}{S}\geq\sqrt[\frac{S}{w_1+w_2 +\cdots+w_n}]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$$其中 $\sqrt[\frac{S}{w_1+w_2+\cdots+w_n}]{a_1^{w_1}a_2^{w_2}\cdots a_n^{w_n}}$ 表示以权重进行加权后的平均值。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ） A．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ）A ．11s t +≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +B 2a b +C 2a b +D 2a b +题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0B ．13C ．12D ．1变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤ C2 D ．112ab+≤变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A．112ab > B ．228a b +≥ C 2 D ．111a b+≤变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤变式3-3．已知A ．B ．C ．D ．变式3-4．已知0a >，0b >，4a +=，则下列各式中正确的是（ ） A．11ab+≤14B ．11a b+>1C ≤2D ．1ab≥1题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11xy+的最小值为（ ）A ．3+B ．12C ．8+D ．6变式4-1．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19ab +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x，则4x y+的最小值是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．9变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b +变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x -+≥变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4-变式5-3．若12x -<<，则12x x +-的（ ）A ．最小值为0B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x -+=-有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2变式6-1．若0x <，则231x x +-的最大值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-变式6-2．若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A ．3+B ．3- C ．6 D ．9变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =-，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ-的最小值是（ ）A ．21B ．4 C．4 D ．2第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b ,a b 的几何平均值． 2．均值不等式如果,a b 都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立．3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。