实际问题与二次函数课件

则得到：AE 3 x ，腰长 AB CD 2 3 x
3
3
两腰与下底的和为4得到：下底为 BC 4 4 3 x
3
所以上底为 AD 4 2 3 x
3
设横断面的面积为S，则 S 1 (AD BC)BE 3x2 4x
2
3 0，对称轴为x 2 3 3
∴当
x
23 3
时，横断面面积最大为
22
2
a 1 0, 且 x 8 2
∴ 当x=8时，S取最大值为64.
探究一：最大面积
重点知识★
活动3 变式应用
例2.（例1变式）后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米墙可 以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出 面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错 点，最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．
【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形． 解答抛物线形实际问题的一般思路： 1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题； 2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标； 3.求抛物线的解析式.
探究二：利用二次函数求几何最值的训练 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰 与下底的和为4 m，当水渠深x为_______时，横断面面积最大， 最大面积是____________．
解：（1）横向甬道的面积为： 1 (120 180)x 150x(cm2 )
（2）依题意：2
80x
2 150x
2x2
1
(120
180)
80
1
2
8
整理得：x2 155x 750 0

∴x=2.5时，y极大值=6125．
怎样确 定x的取 值范围？
你能回答了吧！
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定
价能使利润最大了吗？
归纳探究，总结方法
1．由于抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点是最低（高）
点，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围．
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值．
3.某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价增加 到10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对旅客居住的每 个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每 天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加X元 （X为10的整数倍）．
4a
时，
长为 (60 l)m，场地的
2
面积：S=l(30-l)即
S=-l2+30l自变量的取
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．值范围(0<l<30)．
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
结论
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
点，所以当
x b 2a
时，二次函数y=ax2+bx+c有
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？ 哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？

【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。

例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面 在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面 宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系 式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m． 一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起 一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据 这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一 利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立 平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建 立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线 对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经 过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高 度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直 线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章 二次函数