高二数学限时训练(2019.4.10)答案

2019-2020学年高二数学下学期定时检测试题（含解析）总分：100分时间：90分钟一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1.下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D.2.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为.若为的虚轴的一个端点，且，则的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得的坐标表达式,再根据求解即可.【详解】由题,,, .因为,故.即.故.所以.故的坐标为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.3.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】读懂求解的量,直接写出结果进行计算即可.【详解】由框图可知,输出的.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.4.用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别代入，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．5.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个曲线焦点相同,可得.由抛物线定义可得.结合两式即可用表示出点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.【详解】抛物线与椭圆有相同的焦点,是两曲线的公共点,所以,即椭圆中的设,由抛物线定义可知由题意,即化简可得将变形为代入等式可得则的坐标可化为由点在椭圆上,代入可得,化简可得除以可化为即解得或因为所以故选:D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.6.设,则下列命题中正确的是（）．A. 对应的点在第一象限B. 对应的点在第四象限C. 不是纯虚数D. 是虚数【答案】D【解析】把所给的复数的实部和虚部,按照二次函数的特点进行配方整理,判断出实部不小于一个负数,虚部大于,这样不能准确判断出点的位置,只能得至这是一个虚数.【详解】解:因为,,,不能判断对应点的横坐标的正负,所以不能准确判断对应点的位置,只能判断出虚部不等于,得到这是一个虚数.故选:D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其集合意义,考查二次函数的性质,是一个复数同二次函数结合的题目,题目比较简单,是高考卷中出现较多的一种形式.7.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 甲或乙【解析】假设甲说是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.8.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】依题意可知，估计值，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.【点睛】本小题主要考查残差的概念及计算，考查几何概型的计算，属于基础题.9.已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线的长是（）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的定义，直接求解即可.【详解】，因此有：，所以的长.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，考查了空间向量中加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系,运用列联表进行独立性检验,经计算,则所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”（）．0.1002.706A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把观测值同临界值进行比较得到有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”【详解】解:因为,对照表格:,因此有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.故选:C【点睛】本题考查独立性检验,解题时注意利用表格数据与观测值比较,这是一个基础题.11.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．12.复数,在复平面内分别对应点,,,将点绕原点逆时针旋转得到点,则__________．【答案】【分析】根据得出点在平面内的左边,再绕原点逆时针旋转得到点,即可得出【详解】解:如图,由题意知即,绕原点逆时针旋转得到点,即故答案为:【点睛】本题考查复数的概念,属于简单题.13.古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得．同理可得,,…,按此规律,则__________（）【答案】【分析】由已知中,可以这样来理解：假定有两个面包,要平均分给个人每人不够每人余,再将这分成份,每人得,这样每人分得,类比可推导出.【详解】解: 假定有两个面包均分给个人,每人不够,每人分则余,再将这分成份,每人得.这样每人分得.故故答案为：【点睛】此题考查学生在学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法"等知识后,运用它解决有一定思维难度的数学问题的能力.14.已知条件“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,条件“曲线表示双曲线”,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】分别求出命题和命题的取值范围,根据题意得到或,进而得到实数的取值范围.【详解】“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得或;条件“曲线表示双曲线”,则,解得,又因为是的充分不必要条件,则且.即或.所以,即.故答案为:【点睛】本题主要考查命题之间的关系,可转化为集合间的包含关系来解题.15.双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.【答案】【解析】【分析】由两直线垂直斜率的乘积等于，得出直线的斜率，由点到圆心的距离等于半径得出，再将，代入双曲线方程，两式相减，结合中点坐标公式化简得出，即可得出双曲线的方程.【详解】设点，，直线l的斜率为k，则所以，，即，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.三、解答题：本大题共4小题，共10分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（1）已知,,,用反证法证明：中至少有一个不小于;（2）用数学归纳法证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）应用反证法证明数学命题的一般步骤包括反设、归、结论.首先假设要证明的结论"中至少有一个不小于"不成立,即均小于.由反设出发,推出正确的推理导出矛盾,从而肯定了原结论成立,即可得证.（2）利用数学归纳法来证明,当时,命题成立,再假设当时,成立,证明当时,命题也成立【详解】解:（1）假设均小于,即,,,则有,而,与假设矛盾,假设不成立,故中至少有一个不小于1．（2）用数学归纳法证明如下：①当时,左边,右边,所以当时,原等式成立．②假设时原等式成立即,则当时,,所以当时,原等式也成立．由①②知,（2）中的猜想对任何都成立．【点睛】本题主要考查反证法和数学归纳法证明,属于基础题.17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）1销售收益（单位：百万元）2表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．由题意可知，，，，，根据公式，可求得，，即回归直线的方程为．【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．18.四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.（1）证明：；（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）19.已知圆过三点，直线.（Ⅰ）求圆的方程（Ⅱ）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.（Ⅱ）利用圆的弦长公式，可得结果.【详解】（Ⅰ）设圆的方程为：所以故圆的方程.（Ⅱ）过圆心作，则可得解得或.故所求直线方程为或.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.20.已知椭圆:()的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程.（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设直线的方程为，由离心率和原点到直线的距离为，可得关于的方程组，解方程组得即可得答案；（2）依题意可设直线的方程为，，，直线方程代入曲线方程，利用判别式大于0得的范围，利用韦达定理可得与的关系，并假设存在点使命题成立，利用斜率公式代入坐标进行计算，将问题转化恒成立问题，即可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为.根据题意得，椭圆离心率，即，所以.①因为直线过椭圆的上顶点和右顶点，所以设直线的方程为，即.又由点到直线的距离为，得.②联立①②解得，.所以椭圆的方程为.（2）依题意可设直线的方程为，，.联立得.所以，所以.所以，，则，.假设存在定点()，使得直线，的斜率之积为非零常数，所以.要使为非零常数，当且仅当解得(负值舍去).当时，常数为.所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数.【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率、点到直线距离、直线与椭圆位置关系、椭圆中的定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意探究性问题的求解是先假设存在，再进行推理论.2019-2020学年高二数学下学期定时检测试题（含解析）总分：100分时间：90分钟一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分每小题只有一项是符合题目要求的．1.下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D.2.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为.若为的虚轴的一个端点，且，则的坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得的坐标表达式,再根据求解即可.【详解】由题,,, .因为,故.即.故.所以.故的坐标为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.3.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】读懂求解的量,直接写出结果进行计算即可.【详解】由框图可知,输出的.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.4.用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别代入，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．5.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个曲线焦点相同,可得.由抛物线定义可得.结合两式即可用表示出点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.【详解】抛物线与椭圆有相同的焦点,是两曲线的公共点,所以,即椭圆中的设,由抛物线定义可知由题意,即化简可得将变形为代入等式可得则的坐标可化为由点在椭圆上,代入可得,化简可得除以可化为即解得或因为所以故选:D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.6.设,则下列命题中正确的是（）．A. 对应的点在第一象限B. 对应的点在第四象限C. 不是纯虚数D. 是虚数【答案】D【解析】把所给的复数的实部和虚部,按照二次函数的特点进行配方整理,判断出实部不小于一个负数,虚部大于,这样不能准确判断出点的位置,只能得至这是一个虚数.【详解】解:因为,,,不能判断对应点的横坐标的正负,所以不能准确判断对应点的位置,只能判断出虚部不等于,得到这是一个虚数.故选:D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其集合意义,考查二次函数的性质,是一个复数同二次函数结合的题目,题目比较简单,是高考卷中出现较多的一种形式.7.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 甲或乙【答案】A【解析】假设甲说是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.8.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】依题意可知，估计值，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.【点睛】本小题主要考查残差的概念及计算，考查几何概型的计算，属于基础题.9.已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线的长是（）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的定义，直接求解即可.【详解】，因此有：，所以的长.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，考查了空间向量中加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系,运用列联表进行独立性检验,经计算,则所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”（）．0.1002.706A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把观测值同临界值进行比较得到有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”【详解】解:因为,对照表格:,因此有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.故选:C【点睛】本题考查独立性检验,解题时注意利用表格数据与观测值比较,这是一个基础题.11.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．12.复数,在复平面内分别对应点,,,将点绕原点逆时针旋转得到点,则__________．【答案】【解析】【分析】根据得出点在平面内的左边,再绕原点逆时针旋转得到点,即可得出【详解】解:如图,由题意知即,绕原点逆时针旋转得到点,即故答案为:【点睛】本题考查复数的概念,属于简单题.13.古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得．同理可得, ,…,按此规律,则__________（）【答案】【解析】【分析】由已知中,可以这样来理解：假定有两个面包,要平均分给个人每人不够每人余,再将这分成份,每人得,这样每人分得,类比可推导出.【详解】解: 假定有两个面包均分给个人,每人不够,每人分则余,再将这分成份,每人得.这样每人分得.故故答案为：【点睛】此题考查学生在学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法"等知识后,运用它解决有一定思维难度的数学问题的能力.14.已知条件“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,条件“曲线表示双曲线”,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】分别求出命题和命题的取值范围,根据题意得到或,进而得到实数的取值范围.【详解】“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得或;条件“曲线表示双曲线”,则,解得,又因为是的充分不必要条件,则且.即或.所以,即.故答案为:【点睛】本题主要考查命题之间的关系,可转化为集合间的包含关系来解题.15.双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.【答案】【解析】【分析】由两直线垂直斜率的乘积等于，得出直线的斜率，由点到圆心的距离等于半径得出，再将，代入双曲线方程，两式相减，结合中点坐标公式化简得出，即可得出双曲线的方程.【详解】设点，，直线l的斜率为k，则所以，，即，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.三、解答题：本大题共4小题，共10分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（1）已知,,,用反证法证明：中至少有一个不小于;（2）用数学归纳法证明：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）应用反证法证明数学命题的一般步骤包括反设、归、结论.首先假设要证明的结论"中至少有一个不小于"不成立,即均小于.由反设出发,推出正确的推理导出矛盾,从而肯定了原结论成立,即可得证.（2）利用数学归纳法来证明,当时,命题成立,再假设当时,成立,证明当时,命题也成立【详解】解:（1）假设均小于,即,,,则有,而,与假设矛盾,假设不成立,故中至少有一个不小于1．（2）用数学归纳法证明如下：①当时,左边,右边,所以当时,原等式成立．②假设时原等式成立即,则当时,,所以当时,原等式也成立．由①②知,（2）中的猜想对任何都成立．【点睛】本题主要考查反证法和数学归纳法证明,属于基础题.17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）1销售收益（单位：百万元）2表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，。

专题限时集训(十一)[第11讲 推理与证明](时间：10分钟＋35分钟)1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错2．用反证法证明命题：“m 、n ∈N ，mn 可被3整除，那么m 、n 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )A ．m 、n 都能被3整除B ．m 、n 都不能被3整除C ．m 、n 不都能被3整除D ．m 不能被3整除3．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA→＋S △OCA ·OB →＋S △OBA·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________．4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n >1，n ∈N *)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1成立时，左边增加的项数是________．1．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2011项a 2011满足( )A ．0<a 2011<110 B.110≤a 2011<1C ．1≤a 2011≤10D ．a 2011>102．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图11－1的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )图11－1 A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋33．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2011，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 24 26…图11－2A ．105B ．106C ．107D ．1084．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12[62－(12＋22＋32)]＝11，T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12[102－(12＋22＋32＋42)]＝35，T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋4×5＝12[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)5．在平面几何里，有：“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．6．已知数列{a n}，a i∈{－1,0,1}(i＝1,2,3，…，2011)，若a1＋a2＋…＋a2011＝11，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2011＋1)2＝2088，则a1，a2，…，a2011中是1的个数为________．7.在数列{a n}中，a1＝3，a n＝－a n－1－2n＋1(n≥2且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：数列{a n＋n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(3)求数列{a n}的前n项和S n.8．已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n}(n∈N*)满足a1＝a(a>0)，f(a n＋1)＝g(a n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.专题限时集训(十一)【基础演练】1．A 【解析】 y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．2．B 【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.3．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 【解析】 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积，故得出结果．4．2k 【解析】 在证明过程中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应是1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋12k ＋1－1，由2k ＋1－2k ＝2k ，故增加2k 项． 【提升训练】1．A 【解析】 这个数列是按如下规则分组：第一组：11；第二组：21，12；第三组：31，22，13；…；第n 组：n 1，n －12，n －23，…，n －r ＋1r ，…，1n .由不等式n (n ＋1)2<2011，即n (n ＋1)<4022，得n ≤62，且当n ＝62时，n (n ＋1)2＝1953,2011－1953＝58，即a 2011是上述分组中的第63组的第58个数，即a 2011＝63－58＋163＝663，故0<a 2011<110. 2．A 【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，当n ＝2时，a 2＝10，当n ＝3，a 3＝14，由此推测，第n 个图案中有白色地面砖的块数是：a n ＝4n ＋2.3．D 【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j －1)，所以j ＝45，所以i ＋j ＝108.4．322 【解析】 T 7＝12[(1＋2＋…＋7)2－(12＋22＋…＋72)]＝322.5.13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r 【解析】 根据等体积法分割四面体为以侧面为底、内切球的球心为顶点的四个小三棱锥，分别计算其体积，体积之和即为四面体的体积．V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .本题考查的是由平面到空间的类比推理，也考查空间几何体的体积计算．在空间几何体的体积计算中，把所求的几何体进行分割是求体积的重要方法之一．6．33 【解析】 设1的个数有x 个，根据a 1＋a 2＋…＋a 2011＝11，则－1的个数为x －11个，0的个数为2011－2x ＋11＝2022－2x .由(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2011＋1)2＝2088，得4x ＋2022－2x ＝2088，解得x ＝33.7．【解答】 (1)∵a 1＝3，a n ＝－a n －1－2n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 2＝－a 1－4＋1＝－6，a 3＝－a 2－6＋1＝1.(2)∵a n ＋n a n －1＋(n －1)＝(－a n －1－2n ＋1)＋n a n －1＋n －1＝－a n －1－n ＋1a n －1＋n －1＝－1，∴数列{a n ＋n }是首项为a 1＋1＝4，公比为－1的等比数列．∴a n ＋n ＝4·(－1)n －1，即a n ＝4·(－1)n －1－n ，∴{a n }的通项公式为a n ＝4·(－1)n －1－n (n ∈N *)．(3)∵{a n }的通项公式为a n ＝4·(－1)n －1－n (n ∈N *)，所以S n ＝∑k ＝1n a k ＝∑k ＝1n [4·(－1)k －1－k ]＝∑k ＝1n [4·(－1)k －1]－∑k ＝1nk ＝4×1－(－1)n 1－(－1)－n (n ＋1)2 ＝2[1－(－1)n ]－12(n 2＋n )＝－n 2＋n －42－2(－1)n . 8．【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，则φ(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0.(i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0. 而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立，则当n ＝k ＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1≤a显然成立．②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。

【详解】
由题可得： ， ，
所以 ，又 ，
所以利润与年号的回归方程为： ，
当 时， ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了线性回归方程及其应用，考查计算能力，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
分成甲单独到 县和甲与另一人一同到 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到 县的分法数.
【详解】
如果甲单独到 县，则方法数有 种.
高二下学期数学小题限时训练1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 为虚数单位,复数 满足 ,则 的共轭复数为（）
A． B． C． D．
2．曲线 在点 处的切线与 轴、 轴围成的封闭图形的面积为（）
A．1B． C． D．
【解析】
【分析】
将
【详解】
解:因为 ,
所以 ,
所以其共轭复数为
故选:C
【点睛】
本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,是基础题.
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
由 ，则直线方程为 ，当 时， ；当 时， ． ，故选B．
3．C
【解析】
随机变量 服从正态分布 ， .
4．C
【解】
【分析】
利用表中数据求出 ， ，即可求得 ，从而求得 ，从而求得利润与年号的线性回归方程为 ，问题得解．
C．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到 ， ， 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）

2019-2020学年高二数学下学期4月阶段测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知复数满足，则的虚部为（）A. -4B.C. 4D.【答案】D【解析】试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念2.一物体的运动满足函数s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A. 0.41B. 2C. 0.3D. 0.2【答案】B【解析】则故选3.已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f′（0）＝（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】C【解析】【分析】求导可得，代入即可求得.【详解】∵f（x）＝ln（2x+1），∴f′（x），∴f′（0）＝2，故选：C.【点睛】本题考查了导数的计算，注意复合函数求导的正确性，属于基础题.4.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用向量的除法法则求出复数，再利用复数的几何意义即可得出结论.【详解】由，得，则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题主要考查的是复数的计算及其几何意义.属于较易题.5.曲线在点处的切线方程为（）A. x+y+1＝0B. x+y﹣1＝0C. x﹣y+1＝0D. x﹣y﹣1＝0【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，先求出函数在的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.【详解】∵f（x）＝x2+x+1，∴f′（x）＝2x+1，∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1∴曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线方程为y﹣1＝f′（0）（x﹣0）即x﹣y+1＝0.故选：C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题.6.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减7.函数在R上为减函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为，所以，因为函数在R上为减函数，所以在上恒成立，即恒成立，故故选：A【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【详解】函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A. （）′B. （cos2x）'＝﹣2sin2xC. D. （lgx）′【答案】BC【解析】【分析】对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可.【详解】，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，.故选：BC.【点睛】本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题.10.曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选：AB【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．11.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣∞,﹣3）B. （﹣3,0）C. （0,3）D. （3,+∞）【答案】BD【解析】【分析】由当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0可得，故可构造函数h（x）＝f（x）•g（x），由f （x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h （x）在R上单调递减且为奇函数，结合图像即可得解.【详解】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），令h（x）＝f（x）•g（x），则h（﹣x）＝﹣h（x），故h（x）＝f（x）•g（x）为R上的奇函数，∵当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，即x＜0时，h′（x）＝f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）•g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，如图：由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）•g（x）＜0，故选：BD.【点睛】本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了构造法，同时考查了函数的奇偶性，本题属于中档题.12.函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（）A. B.C. D. 函数在区间上是增函数.【答案】CD【解析】分析】求出函数的导数，根据在与处取得极值，求出，，之间的关系，即可得到结论．【详解】解：函数，且在与处取得极值，，选项B不正确，，则与是方程的两个不同的根，即，，则，，由图象可知，，故A不正确．，且，，故C正确．是开口向上，对称轴为函数在区间上是增函数，故D正确故选：CD【点睛】本题主要考查导数研究函数的应用，求出函数的导数，结合二次函数的性质，判断，，的大小是解决本题的关键，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则＝________.【答案】1【解析】【详解】根据函数在处导数的定义知，即答案为1.14.设为虚数单位），则复数的模为【答案】5【解析】∵，∴.15.已知是的极小值点，那么函数的极大值为______.【答案】【解析】分析】求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．【详解】解：函数的导数，由题意得，，即，解得．，，，得或，即函数和上单调递增；，得，函数在上单调递减；故在处取极小值，处取极大值，且为．即故答案为：．【点睛】本题考查导数的应用：求函数的极值，同时考查运算能力，属于基础题．16.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为，所以表面积，然后利用导数可求出答案.【详解】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为所以表面积因为，，所以在上单调递减，上单调递增所以当时取得最小值，即此时长为，宽为，高为故答案为：；【点睛】本题考查的是长方体的表面积、体积公式和利用导数求最值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.17.求下列函数的导数：（1）（2）y＝【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据乘法、除法和复合函数的求导法则，对两个函数进行求导.【详解】（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查乘法、除法和复合函数的求导法则，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知复数满足：，求的值．【答案】【解析】【分析】先根据复数相等解得，再根据复数运算法则求解【详解】设，而即则所以【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.19.函数在和单调递增，在单调递减.（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和.【解析】【分析】（1）．根据函数在和，单调递增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出；（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值．【详解】（1）．函数在和，单调递增，在单调递减．，是的两个实数根．，．解得，．，满足条件．．（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函数在，单调递减，函数在，上单调递增．当时，函数取得极小值即最小值，．又，（2）．时，函数取得最大值为16．所以函数在上的最大值和最小值分别为16和.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知函数若在处取得极值，求实数a的值．求函数的单调区间．若在上没有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】试题分析：（1）求导，令得，再讨论单调性下结论即可；（2）由，令可得增区间，令可得减区间；（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，，分，和三种情况讨论即可.试题解析：（1）定义域为，且.∵在处取得极值，∴，解得或（舍），当时，，；，，∴函数在处取得极小值，故.（2）令，解得；令，解得，∴函数的单调增区间为，单调减区间为（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，.①当时，在区间上单调递减，则，解得与矛盾.②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得，∴③当时，在区间上单调递增，，满足题意，综上所述，实数的取值范围是：.点睛：函数的零点问题求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）（1）将日利润（元）表示成日产量（件）的函数；（2）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.【答案】（1）y=－+3600（1≤x≤40）（2）该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元【解析】【分析】（1）由题为实际问题，可利用题目给出的条件；正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%，和，建立相应的函数关系；（注意定义域）．（2）由（1）已知函数的解析式，可运用导数求出函数的单调区间和最值．即：为函数的增区间，反之为减区间．结合实际意义可得．【详解】（1）∴所求的函数关系是．（2）显然，令，解得．列出的变化情况如下表所示：由上表得，当时，函数取最大值，最大值为（元）∴该厂的日产量为件时，日利润最大，其最大值为元．22.已知函数，，令，（1）求函数的单调递增区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值.【答案】（1）的单调递增区间为；（2）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；【详解】（1）．令得，又，所以，所以的单调递增区间为．（2）令．所以．当时，因为，所以，所以在上是递增函数，又因为．所以关于的不等式不能恒成立．当时，．令得，所以当时，；当时，．因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．令，因为，．又因为在上是减函数，所以当时，．所以整数的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法，属于中档题．2019-2020学年高二数学下学期4月阶段测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知复数满足，则的虚部为（）A. -4B.C. 4D.【答案】D【解析】试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念2.一物体的运动满足函数s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( )A. 0.41B. 2C. 0.3D. 0.2【答案】B【解析】则故选3.已知函数f（x）＝ln（2x+1），则f′（0）＝（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】C【解析】【分析】求导可得，代入即可求得.【详解】∵f（x）＝ln（2x+1），∴f′（x），∴f′（0）＝2，故选：C.【点睛】本题考查了导数的计算，注意复合函数求导的正确性，属于基础题.4.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用向量的除法法则求出复数，再利用复数的几何意义即可得出结论.【详解】由，得，则复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本题主要考查的是复数的计算及其几何意义.属于较易题.5.曲线在点处的切线方程为（）A. x+y+1＝0B. x+y﹣1＝0C. x﹣y+1＝0D. x﹣y﹣1＝0【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义，先求出函数在的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.【详解】∵f（x）＝x2+x+1，∴f′（x）＝2x+1，∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1∴曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线方程为y﹣1＝f′（0）（x﹣0）即x﹣y+1＝0.故选：C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题.6.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减7.函数在R上为减函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为，所以，因为函数在R上为减函数，所以在上恒成立，即恒成立，故故选：A【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8.设函数满足则时，( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】【详解】函数满足，，令，则，由，得，令，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.又在单调递增，既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A. （）′B. （cos2x）'＝﹣2sin2xC. D. （lgx）′【答案】BC【解析】【分析】对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可.【详解】，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，.故选：BC.【点睛】本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题.10.曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选：AB【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．11.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣∞,﹣3）B. （﹣3,0）C. （0,3）D. （3,+∞）【答案】BD【解析】【分析】由当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0可得，故可构造函数h（x）＝f（x）•g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）在R 上单调递减且为奇函数，结合图像即可得解.【详解】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），令h（x）＝f（x）•g（x），则h（﹣x）＝﹣h（x），故h（x）＝f（x）•g（x）为R上的奇函数，∵当x＜0时，f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，即x＜0时，h′（x）＝f′（x）•g（x）+f（x）•g'（x）＜0，∴h（x）＝f（x）•g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，如图：由g（﹣3）＝0，∴h（﹣3）＝h（3）＝0，∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）•g（x）＜0，故选：BD.【点睛】本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了构造法，同时考查了函数的奇偶性，本题属于中档题.12.函数的图象如图，且在与处取得极值，给出下列判断，其中正确的是（）A. B.C. D. 函数在区间上是增函数.【答案】CD【解析】分析】求出函数的导数，根据在与处取得极值，求出，，之间的关系，即可得到结论．【详解】解：函数，且在与处取得极值，，选项B不正确，，则与是方程的两个不同的根，即，，则，，由图象可知，，故A不正确．，且，，故C正确．是开口向上，对称轴为函数在区间上是增函数，故D正确故选：CD【点睛】本题主要考查导数研究函数的应用，求出函数的导数，结合二次函数的性质，判断，，的大小是解决本题的关键，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则＝________.【答案】1【解析】【详解】根据函数在处导数的定义知，即答案为1.14.设为虚数单位），则复数的模为【答案】5【解析】∵，∴.15.已知是的极小值点，那么函数的极大值为______.【答案】【解析】分析】求出导数，由题意得，，解出，再由单调性，判断极大值点，求出即可．【详解】解：函数的导数，由题意得，，即，解得．，，，得或，即函数和上单调递增；，得，函数在上单调递减；故在处取极小值，处取极大值，且为．即故答案为：．【点睛】本题考查导数的应用：求函数的极值，同时考查运算能力，属于基础题．16.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为，所以表面积，然后利用导数可求出答案.【详解】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为所以表面积因为，，所以在上单调递减，上单调递增所以当时取得最小值，即此时长为，宽为，高为故答案为：；【点睛】本题考查的是长方体的表面积、体积公式和利用导数求最值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.17.求下列函数的导数：（1）（2）y＝【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据乘法、除法和复合函数的求导法则，对两个函数进行求导.【详解】（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查乘法、除法和复合函数的求导法则，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知复数满足：，求的值．【答案】【解析】【分析】先根据复数相等解得，再根据复数运算法则求解【详解】设，而即则所以【点睛】本题考查复数相等以及复数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.19.函数在和单调递增，在单调递减.（1）求函数的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和.【解析】【分析】（1）．根据函数在和，单调递增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出；（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值．【详解】（1）．函数在和，单调递增，在单调递减．，是的两个实数根．，．解得，．，满足条件．．（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函数在，单调递减，函数在，上单调递增．当时，函数取得极小值即最小值，．又，（2）．时，函数取得最大值为16．所以函数在上的最大值和最小值分别为16和.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知函数若在处取得极值，求实数a的值．求函数的单调区间．若在上没有零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】试题分析：（1）求导，令得，再讨论单调性下结论即可；（2）由，令可得增区间，令可得减区间；（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，，分，和三种情况讨论即可.试题解析：（1）定义域为，且.∵在处取得极值，∴，解得或（舍），当时，，；，，∴函数在处取得极小值，故.（2）令，解得；令，解得，∴函数的单调增区间为，单调减区间为（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，.①当时，在区间上单调递减，则，解得与矛盾.②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得，∴③当时，在区间上单调递增，，满足题意，综上所述，实数的取值范围是：.点睛：函数的零点问题求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）（1）将日利润（元）表示成日产量（件）的函数；（2）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.【答案】（1）y=－+3600（1≤x≤40）（2）该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元【解析】【分析】（1）由题为实际问题，可利用题目给出的条件；正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%，和，建立相应的函数关系；（注意定义域）．（2）由（1）已知函数的解析式，可运用导数求出函数的单调区间和最值．即：为函数的增区间，反之为减区间．结合实际意义可得．【详解】（1）∴所求的函数关系是．（2）显然，令，解得．列出的变化情况如下表所示：由上表得，当时，函数取最大值，最大值为（元）∴该厂的日产量为件时，日利润最大，其最大值为元．22.已知函数，，令，（1）求函数的单调递增区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值.【答案】（1）的单调递增区间为；（2）整数的最小值为2.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；【详解】（1）．令得，又，所以，所以的单调递增区间为．（2）令．所以．当时，因为，所以，所以在上是递增函数，又因为．所以关于的不等式不能恒成立．当时，．令得，所以当时，；当时，．因此函数在是增函数，在是减函数．故函数的最大值为．令，因为，．又因为在上是减函数，所以当时，．所以整数的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法，属于中档题．。