二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识点及其应用一、二次根式的概念：（1）形如 的式子叫做二次根式.（2）二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零。

二、二次根式化简:1、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

3、分母有理化：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。

方法：①分子与分母同乘以分母的有理化因式例如：②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式例如：三、二次根式的性质：（1） 非负性0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ 0()a ≥0(00)0,0,)a b a b a b ==≥>==≥≥≠ ,0,0)0,0)x y x y ==>>==>>四、二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。

五、二次根式的应用1.对二次根式的认识1．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A ）1,1a a -+（BCD ）221,1a a -+2.若21x +的平方根是5±_____=．3.a 的被开方数相同，则_____ab +=．4．若xy____x =，_____y =．5=，且0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____．2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值：1有意义的x 的取值范围=(0,0)a b = ≥ ≥(00)a b = ≥>(0,0)a b = ≥≥(0,0)a b = ≥>2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。

二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。

本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。

它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。

二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。

当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。

2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。

3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。

4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。

2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。

四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。

2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。

通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。

3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。

二次根式的总结一. 什么是二次根式二次根式是一个数学概念，它由一个数的平方根组成，通常形式为√a。

在二次根式中，a代表正实数，而√代表平方根运算符。

二次根式是数学中重要的一部分，它在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。

二. 二次根式的性质1. 二次根式的化简在进行二次根式的化简时，可以使用一些技巧来简化表达式。

例如，当根号中的数可以分解为两个因数的乘积时，我们可以将其分解为两个二次根式之和。

同时，我们也可以将根号中的数的因数提取出来，以减少根号下的项。

通过合理的化简，我们可以简化复杂的二次根式，从而更加方便地进行计算和推导。

2. 二次根式的运算在进行二次根式的运算时，我们需要注意一些规则。

首先，当进行二次根式的加减运算时，只有当根号中的数字相同，才可以进行合并。

其次，当进行二次根式的乘法运算时，我们可以使用乘法法则，将根号中的数字相乘，并将根号外的数字相乘。

最后，当进行二次根式的除法运算时，我们需要使用除法法则，将根号中的数字相除，并将根号外的数字相除。

3. 二次根式的化简与乘法公式对于一些特殊的二次根式，我们可以利用一些公式来进行化简和计算。

例如，平方根的乘法公式是√(a*b) = √a * √b，其中a和b 为正实数。

通过这个公式，我们可以将二次根式的乘法化简为简单的乘法运算。

三. 二次根式的应用1. 几何中的应用二次根式在几何学中有广泛的应用。

例如，我们常常用二次根式来求解三角形的边长或角度。

此外，二次根式还可以用来求解圆的半径、直径或周长等问题。

在解决几何问题时，掌握好二次根式的化简和运算技巧，将会极大地提高我们的计算效率和准确性。

2. 代数中的应用在代数学中，二次根式也有着广泛的应用。

例如，在求解一元二次方程时，解的形式往往是一个含有二次根式的表达式。

此外，二次根式还可以用来表示一些特殊的数学函数，如根号函数、幂函数等。

通过运用二次根式的性质和运算规则，我们可以更好地理解和应用代数学中的各种概念和方法。

二次根式总结归纳一、二次根式的定义及性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的根式，其中a为一个非负实数。

2. 二次根式的化简二次根式可以进行化简，满足以下规则： - √a⋅√b=√ab，其中a≥0，b≥0。

- √a√b =√ab，其中a≥0，b>0。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加、减、乘、除等基本运算。

- 加法：√a+√b无法化简，保留原样。

- 减法：√a−√b无法化简，保留原样。

- 乘法：(√a)(√b)=√ab。

-除法：√a√b =√ab，其中b≠0。

二、二次根式的应用1. 二次根式的几何意义二次根式在几何学中有着重要的应用，特别是在求解面积和边长时。

- 面积应用：当我们需要计算一些形状的面积时，经常会遇到二次根式。

例如，矩形的对角线长度可以表示为√a2+b2，其中a和b分别是矩形的两个边长。

- 边长应用：在某些情况下，已知一个图形的面积，需要求解该图形某一个边的长度。

二次根式的运算可以帮助我们求解这些问题。

例如，等边三角形的边长可以表示为√√3，其中S是等边三角形的面积。

2. 二次根式的化简与证明二次根式的化简和证明是数学中的重要内容，常见的方法包括有理化分母、提取公因式等。

- 有理化分母：当二次根式出现在分母中时，为了简化运算，可以通过有理化分母的方法消除分母中的二次根式。

例如，√2可以通过乘以√2√2来有理化分母得到√22。

- 提取公因式：当一个二次根式等于另一个二次根式的倍数时，可以通过提取公因式的方式进行化简。

例如，√24可以化简为2√6，因为√6是√24的公因式。

三、二次根式的解法1. 二次根式的简单求解对于形如x 2=a 的二次根式方程，可以通过平方根的性质求解，得到x =±√a 。

例如，对于方程x 2=16，其解为x =±4。

2. 二次根式的复杂求解对于形如x 2+bx +c =0的二次根式方程，可以通过求解二次根式的不同情况来得到解。

二次根式知识点总结二次根式是数学中的一个重要概念，也是初中数学中常见的一种代数表达形式。

在实际应用中，二次根式经常用于解决问题，特别是涉及到面积、体积和距离等概念的计算中。

本文将从定义、性质、常见运算和应用等方面对二次根式进行总结和讨论。

一、定义与性质1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

我们可以将二次根式理解为一个具有非负平方根的数。

2. 二次根式的两个基本性质：（1）非负性：二次根式的值永远大于等于0，即√a≥0；（2）乘方性：二次根式的平方等于其本身，即(√a)^2=a。

3. 二次根式的化简：化简二次根式的基本思想是将其分解为因式的乘积。

通过因式分解，可以将根号下的被开方数分解为因子的乘积，并将它们的平方根与根号外的有理数相乘。

二、常见运算1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以对其根号下的有理数进行加减运算，并保持根号内的被开方数不变。

2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式的乘法，可以利用乘法公式将二次根式展开，并进行整理和化简。

3. 二次根式的除法运算：对于二次根式的除法，可以将分子与分母都乘以分母的共轭复数，并进行整理和化简。

三、应用领域1. 几何中的应用：二次根式在计算面积和体积时经常出现。

例如，计算一个正方形的对角线长度或一个球体的体积等。

2. 物理学中的应用：二次根式在计算速度、加速度、力和功等物理量时经常出现。

例如，计算物体自由落体运动的加速度或弹簧振动的周期等。

3. 金融和经济学中的应用：二次根式在计算利率、贷款、投资回报率等金融和经济问题中常常出现。

例如，计算贷款的月还款额或计算利润的增长率等。

四、解题方法1. 合理化因式：在化简二次根式的过程中，可以通过合理化因式的方法，将根号下的因子分解为平方数相乘的形式。

2. 分离因式：对于二次根式的加减运算，可以利用分离因式的方法，将根号内的因子进行合理分组，以方便进行计算和化简。

3. 引入新的变量：在解决复杂的二次根式问题时，可以适当引入新的变量，以简化计算和推导的过程。

二次根式的知识点知识点一：二次根式的概念形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。

知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即√a≥0(a≥0)。

注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（√a）的性质(√a)2=a(a≥0)文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.知识点五：二次根式的性质√a2=|a|文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，√a2一定有意义；3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。

专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。

2.二次根式是一个非负数。

3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。

解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式.注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 不是二次根式；(2）是一个重要的非负数,即；≥0.2．重要公式：(1))0a (a )a (2≥=,（2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=。

3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。

4．二次根式的乘法法则：)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅.5．二次根式比较大小的方法：(1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：)0b ,0a (ba b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）)0b ,0a (b a b a>≥=； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

8．常用分母有理化因式:a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式。

9．最简二次根式:（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2，且不含分母；(3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

10．二次根式化简题的几种类型：(1)明显条件题；（2）隐含条件题；（3)讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算:（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如)0a (,a ≥的式子,叫做二次根式（1)二次根式中，被开方数必须是非负数。