(江苏专用)2020版高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量、复数第41练复数文(含解析)

考试内容等级要求平面向量的概念B平面向量的加法、减法及数乘运算B平面向量的坐标表示B平面向量的数量积C平面向量的平行与垂直B平面向量的应用A复数的概念B复数的四则运算B复数的几何意义A§5.1　平面向量的概念及线性运算考情考向分析　主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μ a )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示　不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示　λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示　如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(　√　)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(　×　)AB → CD →(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且＝a ，＝b ，则＝________，OA → OB → DC →＝________.(用a ，b 表示)BC →答案　b －a －a －b解析　如图，＝＝－＝b －a ，DC → AB → OB → OA →＝－＝－－＝－a －b .BC → OC → OB → OA → OB →3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD 的形状为AB → AD → AB → AD →________．答案　矩形解析　如图，因为＋＝，AB → AD → AC →－＝，AB → AD → DB →所以||＝||.AC → DB →由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案　充分不必要解析　若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案　12解析　∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则Error!解得λ＝μ＝.126．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝AB ，BE ＝BC .若＝λ1＋λ2(λ1，λ21223DE → AB → AC →为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案　12解析　∵＝＋＝＋DE → DB → BE → 12AB → 23BC→＝＋(＋)＝－＋，12AB → 23BA → AC → 16AB → 23AC →∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.162312题型一　平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD 为平行四边形；AB → DC →④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案　③解析　①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以AB → DC → AB → DC → AB → DC →四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________．答案　1解析　只有④正确．思维升华 向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二　平面向量的线性运算命题点1　向量的线性运算例1 (1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设＝a ，＝b ，AB → AD →则向量＝________.(用向量a ，b 表示)BF →答案　－a ＋b1323解析　＝＝(＋)BF → 23BE → 23BC → CE →＝＝－a ＋b .23(b －12a )1323(2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量，AB → AC→ 表示为________．EB →答案　＝－EB → 34AB → 14AC→解析　作出示意图如图所示．＝＋＝＋EB → ED → DB → 12AD → 12CB → ＝×(＋)＋(－)1212AB → AC → 12AB → AC → ＝－.34AB → 14AC →命题点2　根据向量线性运算求参数例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若＝λBE →＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.BA → BD →答案　34解析　∵E 为线段AO 的中点，∴＝＋＝＋BE → 12BA → 12BO → 12BA → 12(12BD → )＝＋＝λ＋μ，12BA → 14BD → BA → BD → ∴λ＋μ＝＋＝.121434(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝2，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若3＝＋μ，则μ的取值范围是________．AE → AD → AB →答案　[0，12]解析　由题意可求得AD ＝1，CD ＝，3∴＝2.AB → DC →∵点E 在线段CD 上，∴＝λ(0≤λ≤1)．DE → DC →∵＝＋＝＋λ，AE → AD → DE → AD → DC →又＝＋μ＝＋2μ，AE → AD → AB → AD → DC → ∴2μ＝λ，即μ＝.λ2∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤.12思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1 (1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，BD → DC → CE → EA → AB →＝b ，则＝________.(用向量a ，b 表示)AC → DE →答案　－a －b13512解析　＝＋DE → DC → CE→＝＋13BC → 34CA →＝(－)－13AC → AB → 34AC→＝－－＝－a －b .13AB → 512AC → 13512(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若＝x ＋y (x ，y ∈R )，AB → AE → AF →则x －y ＝________.答案　2解析　由题意得＝＋＝＋，AE → AB → BE → AB → 12AD →＝＋＝＋，AF → AD → DF → AD → 12AB → 因为＝x ＋y ，AB → AE → AF →所以＝＋，AB → (x ＋y 2)AB → (x 2＋y )AD → 所以Error!解得Error!所以x －y ＝2.题型三　共线定理的应用例3 (1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5＝＋3，则△ABMAM → AB → AC →与△ABC 的面积比为________．答案　3∶5解析　由5＝＋3，AM → AB → AC →得2＝2＋3－3，AM → AD → AC → AM →即2(－)＝3(－)，AM → AD → AC → AM → 即2＝3，故＝，DM → MC → DM → 35DC →故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设＝mOP → ，＝n ，m ，n ∈R ，则＋的值为________．OA → OQ → OB →1n 1m答案　3解析　设＝a ，＝b ，OA → OB →由题意知＝×(＋)＝(a ＋b )，OG → 2312OA → OB → 13＝－＝n b －m a ，PQ → OQ → OP →＝－＝a ＋b .PG → OG → OP → (13－m )13由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得＝λ，PQ → PG →即n b －m a ＝λa ＋λb ，(13－m )13从而Error!消去λ，得＋＝3.1n 1m思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2 如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得＝λ1312MQ → CM → 时，＝，试确定λ的值．AP → QA →解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，AP → NP → NA → 12BN → CN → 12BN → NC → 12BC → QA → MA → MQ → 12BM →MC → 又＝，AP → QA →∴＋λ＝，即λ＝，12BM → MC → 12BC →MC → 12MC → ∴λ＝.121．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________．答案　0解析　向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若＝＋，则四边形ABCD 的形状是________．AC → AB → AD →答案　平行四边形解析　依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，＝c ，＝b ，若点D 满足＝2，则＝________.AB → AC → BD → DC → AD →答案　b ＋c 2313解析　如图，因为在△ABC 中，＝c ，＝b ，AB → AC →且点D 满足＝2，BD → DC →所以＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 23BC →＝＋(－)AB → 23AC → AB →＝＋＝b ＋c .23AC → 13AB → 23134．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________.答案　±22解析　∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故Error!解得λ＝±.225.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝AB → AC → AD →________.(用向量a ，b 表示)答案　a ＋b 12解析　连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以＝＋＝＋＝a ＋b .AD → AO → AC → 12AB → AC → 126．在△ABC 中，点G 满足＋＋＝0.若存在点O ，使得＝，且＝m ＋n ，GA → GB → GC → OG → 16BC → OA → OB → OC →则m －n ＝________.答案　－1解析　∵ ＋＋＝0，GA → GB → GC →∴－＋－＋－＝0，OA → OG → OB → OG → OC → OG →∴＝＝＝，OG → 13(OA → ＋OB → ＋OC → )16BC → 16(OC → －OB → )可得＝－－，OA → 12OC → 32OB →∴m ＝－，n ＝－，m －n ＝－1.32127.如图，在△ABC 中，＝，P 是BN 上的一点，若＝m ＋，则实数m 的值为AN → 13AC → AP → AB → 211AC →________．答案　511解析　注意到N ，P ，B 三点共线，因此＝m ＋＝m ＋，AP → AB → 211AC → AB → 611AN →从而m ＋＝1，所以m ＝.6115118．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝2e 1－3e 2，＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三MN → NP →点共线，则λ＝________.答案　－4解析　因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得＝k ，MN → NP →所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得Error!解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．CM → MB → AM → AB → AC →答案　34解析　由题设知＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，CM MB则＝＝＝，MN AC BN BA BM BC 14从而＝，AN AB 34又＝λ＋μ＝＋＝＋，AM → AB → AC → AN → NM → 34AB → 14AC →所以λ＝.3410．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2＋x ＋＝0OA → OB → BC →成立的实数x 的取值集合为________．答案　{－1}解析　∵＝－，∴x 2＋x ＋－＝0，BC → OC → OB → OA → OB → OC → OB →即＝－x 2－(x －1)，∵A ，B ，C 三点共线，OC → OA → OB →∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2＋x ＋＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.OA → OB → BC →11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且＋＝－2，求△ABC 与△AOC 的面积之OA → OC → OB → 比．解　取AC 的中点D ，连结OD ，则＋＝2，OA → OC → OD →∴＝－，OB → OD →∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示向量.AC → AO →解　方法一　由D ，O ，C 三点共线，可设＝k 1＝k 1(－)＝k 1DO → DC → AC → AD → (b －12a )＝－k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，12同理，可设＝k 2＝k 2(－)BO → BF → AF → AB →＝k 2＝－k 2a ＋k 2b (k 2为实数)，①(12b －a )12又＝＋＝－a ＋BO → BD → DO → 12(－12k 1a ＋k 1b )＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，②12所以由①②，得－k 2a ＋k 2b ＝－(1＋k 1)a ＋k 1b ，1212即(1＋k 1－2k 2)a ＋b ＝0.12(12k 2－k 1)又a ，b 不共线，所以Error!　解得Error!所以＝－a ＋b .BO → 2313所以＝＋AO → AB → BO →＝a ＋＝(a ＋b )．(－23a ＋13b )13方法二　延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴＝＝×(＋)＝(a ＋b )．AO → 23AE → 2312AB → AC → 1313．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若＝λ＋μ(λ，μDE → AB → AD →为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案　58解析　＝＋＝＋DE → 12DA → 12DO → 12DA → 14DB →＝＋(＋)＝－，12DA → 14DA → AB → 14AB → 34AD →所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝.14345814．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．OC → OA → OB →答案　(1，＋∞)解析　设＝m ，则m >1，OC → OD →因为＝λ＋μ，OC → OA → OB →所以m ＝λ＋μ，OD → OA → OB →即＝＋，OD → λm OA → μm OB →又知A ，B ，D 三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m ，λm μm所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足＝OP →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________．13(2OA → ＋12OB → ＋12OC → )答案　3∶2解析　设BC 的中点为M ，则＋＝，12OC → 12OB →OM → ∴＝(＋2)＝＋，OP → 13OM → OA → 13OM → 23OA →即3＝＋2，－＝2－2，OP → OM → OA → OP → OM → OA → OP →也就是＝2，MP → PA →∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案　②③解析　①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

第38练 平面向量的数量积[基础保分练]1．(2019·苏州模拟)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________．2．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为_______．3．已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →的最小值为________．4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为________．5．(2019·苏州模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AB →·AD →＝－6，DM →＝13DC →，则MA →·MB→的值为________．6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点C )，则AD →·BC →的取值范围为________．7．如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π2的图象上两点，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.8．(2019·扬州调研)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．9．(2019·连云港模拟)已知平面向量a ，b (a ≠0，b ≠a )满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为150°，则|a |的取值范围是________．10．已知a ＝(－1,1)，b ＝(2m ，m ＋3)，当a 与b 的夹角为锐角时，则实数m 的取值范围是________．[能力提升练]1．设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________．2．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →的最大值为________．3．已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →的最小值是________．4．已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________．5．已知△ABC ，AB ＝43，AC ＝23，AD 是BC 边上的中线，且∠BAD ＝30°，则AD 的长为________．6．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为__________．答案精析基础保分练1．－1 2.2π3 3.－34 4.24 5.166．(5,9) 7.6 8.4 9.(0,2] 10．(－∞，－1)∪(－1,3) 解析 ∵向量a 与b 的夹角为锐角， ∴a ·b ＝－2m ＋m ＋3＝－m ＋3>0， 解得m <3. 设a ＝λb (λ>0)，即(－1,1)＝λ(2m ，m ＋3)，则⎩⎪⎨⎪⎧2m λ＝－1，λm ＋＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，m ＝－1，即当m ＝－1时，向量a 与b 同向共线，不合题意． ∴实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(－1,3)． 能力提升练 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，0 2．1＋255 3.－34 4.4 5.36．－1解析 如图，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．设P (x ，y )，则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )， PD →＝(1－x,1－y )，∴(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y ) ＝(1－2y )2－4(1－x )x ＝(1－2y )2＋(2x －1)2－1， ∴当x ＝12，y ＝12时，(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)有最小值，且最小值为－1.。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练复数与算法初步一、复数 1、（南京市2018高三9月学情调研）若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）复数z ＝(1＋b i)(2－i)，其中b ∈R ，i 为虚数单位．若z 是 纯虚数，则实数b 的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知复数z ＝(1＋2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部与虛部相等，则实数a 的值为 ． 5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）复数2i 1i +-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．6、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）复数i2iz =-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在第 象限． 7、（苏州市2018高三上期初调研）已知32a bii i+=+-（,,a b R i ∈为虚数单位），则a b +的值是 ． 8、（徐州市2019届高三上学期期中）若复数z 满足i 12i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．9、（扬州市2019届高三上学期期中）已知i 为虚数单位，若复数z 满足112zi i=+-，则复数z ＝ ．10、（海安市2019届高三上学期期中）已知复数z 满足(1i)43i z +=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 11、（常州市2019届高三上学期期末）已知复数z 满足(1)1z i i +=-（i 是虚数单位），则复数z =________. 12、（海安市2019届高三上学期期末）已知实数a ，b 满足a ＋bi ＝i 2019(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ．13、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）设复数z ＝a ＋i(其中i 为虚数单位)，若z －z ＝2，则实数a 的值为 ▲ ．14、（如皋市2019届高三上学期期末）已知复数z ＝1＋3i 1－i （i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ．15、（苏州市2019届高三上学期期末）复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是 ．16、（无锡市2019届高三上学期期末）设复数 z 满足 (1+ i)z = 1－3i （其中 i 是虚数单位），则 z 的实部为 ．17、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）若复数2zi a i=+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 .18、（南京市2019届高三第三次模拟）若复数z 满足z (1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限．19、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知复数z 满足43(zi i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝＿＿20、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 已知复数i 13ia z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．21、已知x 和y 是实数，i 是虚数单位，(1)(13)i x yi i i ++=+，则 x yi +等于 ▲二、算法初步1、（南京市2018高三9月学情调研）如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为 ▲ ．第1题第2题2、（南京市2019高三9月学情调研）执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）如图所示的流程图的运行结果是▲．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）下图是一个算法流程图，则输出的k的值为．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图程序运行的结果是▲．6、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ．7、（苏州市2018高三上期初调研）运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ．8、（海安市2019届高三上学期期末）根据如图所示的伪代码，若输出的y 的值为12，则输入的x 的值为 ．9、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图所示的流程图中，若输入x的值为－4，则输出c的值为▲ ．10、（如皋市2019届高三上学期期末）执行右边的伪代码，输出的结果是▲ ．11、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．12、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为▲．13、（徐州市2019届高三上学期期中）右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））如图是一个算法流程图，则输出的b的值为▲．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为▲．16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））右图是一个算法流程图．若输出y的值为4，则输入x的值为▲．17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为．18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））如图是一个算法流程图，则输出的S的值是参考答案一、复数1、72、－23、324、－35、26、三7、－68、59、3i-10、52 211、－i12、－113、±1 14、515、－116、－1 17、－218、四19、34i-+20、－321、5二、算法初步1、－ 22、83、204、35、146、87、128、－629、410、1111、2112、1313、8 14、715、3016、－117、818、3 2 -。

§5.5 复 数考情考向分析 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以填空题的形式出现，难度为低档．1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编2．[P118T4]设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝________.答案 1解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.3．[P114T4]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是________． 答案 －3－4i解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.4．[P105习题T2]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．答案 －1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.题组三 易错自纠5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 ∵复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．6．若复数z 满足i z ＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在第________象限． 答案 二解析 由题意，∵z ＝2－2i i ＝(2－2i )·(－i )i·(－i )＝－2－2i ，∴z ＝－2＋2i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限． 7．i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＋i 2 018＋i 2 019＋i 2 020＝________. 答案 －i解析 原式＝i 2＋i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝－i.题型一 复数的概念1．(2018·苏州期初)已知a ＋b i2－i ＝3＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值是________．答案 6解析 由题意知a ＋b i ＝(2－i)(3＋i)＝7－i ， 所以a ＝7，b ＝－1，所以a ＋b ＝7－1＝6. 2．复数2＋i1＋i 的共轭复数是________．答案 32＋12i解析 由复数2＋i 1＋i ＝()2＋i (1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，所以共轭复数为32＋12i.3．已知复数a ＋2i2－i 是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a ＝________.答案 1 解析a ＋2i 2－i ＝(a ＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2a －2＋(a ＋4)i5，∵复数a ＋2i2－i 为纯虚数，∴2a －2＝0且a ＋4≠0，解得a ＝1.思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．题型二 复数的运算命题点1 复数的乘法运算例1 (1)(2018·全国Ⅲ改编)(1＋i)(2－i)＝________. 答案 3＋i解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i －i －i 2＝3＋i. (2)i ()2＋3i ＝________. 答案 －3＋2i解析 i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.命题点2 复数的除法运算例2 (1)(2018·全国Ⅱ改编)1＋2i 1－2i ＝________.答案 －35＋45i解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )2＝－3＋4i 5＝－35＋45i. (2)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝2z ＋1，则z ＝________. 答案 －25－15i解析 由i z ＝2z ＋1，得(2－i)z ＝－1，解得z ＝－12－i ＝－1×(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－(2＋i )5，即z ＝－25－15i.命题点3 复数的综合运算例3 (1)已知z (1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|z |＝________. 答案 5解析 z ＝－1＋7i 1＋i ＝(－1＋7i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3＋4i ，故z ＝3－4i ，则|z |＝9＋16＝5.(2)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③⎪⎪⎪⎪αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确的结论为________．(填序号) 答案 ②③④解析 对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ， ①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；②αβ＝1－i 1＋i ＝(1－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，故②正确； ③⎪⎪⎪⎪αβ＝||－i ＝1，故③正确；④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i －1＋1＋2i －1＝0，故④正确． 故正确的结论是②③④.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋a i ，z ·z ＝4，则a ＝________. 答案 1或－1解析 由题意得z ＝3－a i ， 故z ·z ＝3＋a 2＝4，解得a ＝±1.(2)已知复数a ＋b i ＝(1－i )21＋i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________.答案 －2解析 由复数的运算法则，可得(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )()1－i ＝－2i －22＝－1－i ，结合题意可得a ＋b i ＝－1－i ，即a ＝－1，b ＝－1， 据此可得a ＋b ＝－2.题型三 复数的几何意义例4 (1)复数z 满足(2＋i)z ＝||3－4i ，则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 四解析 ∵(2＋i)z ＝||3－4i ＝9＋16＝5，∴()2－i (2＋i)z ＝5()2－i ，5z ＝5()2－i ，z ＝2－i ， z 在复平面内对应的点为()2，－1，在第四象限．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可． 跟踪训练2 (1)已知复数z ＝5i3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的点在第________象限． 答案 四解析 ∵z ＝5i 3＋4i ＝5i·()3－4i ()3＋4i ·()3－4i ＝45＋35i ，∴z ＝45－35i ，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限．(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________． 答案 5解析 由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)， ∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝________.答案 8＋6i解析 ∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ， ∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i. 2．若复数z 满足(1＋2i)·z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 答案 1解析 由题意可得z ＝2＋i 1＋2i ，则|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 1＋2i ＝||2＋i ||1＋2i ＝55＝1. 3．已知i 为虚数单位，则复数21＋i 在复平面内所对应的点在第________象限．答案 四 解析21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2i 2＝1－i ，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限．4．已知i 为虚数单位，若复数z 满足z ＋iz －i ＝1＋i ，那么|z |＝________.答案5解析 ∵z ＋iz －i ＝1＋i ，z ＋i ＝(1＋i)()z －i ，i z ＝(2＋i)i ，∴z ＝2＋i ，∴|z |＝1＋4＝ 5.5．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z ＝________. 答案 －125＋725i解析 由题意可得z ＝1－i 3＋4i ＝(1－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－1－7i25，所以z ＝－125＋725i.6．已知复数z 满足z 2＝12＋16i ，则z 的模为________． 答案 2 5解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则由z 2＝12＋16i ，得a 2－b 2＋2ab i ＝12＋16i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝12，2ab ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－2， 即|z |＝a 2＋b 2＝16＋4＝2 5.7．(2018·江苏)若复数z 满足i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 答案 2解析 由i·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii＝2－i ， ∴z 的实部为2.8．(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i5＝4－i.9．已知复数z 满足z ＋3z ＝0，则|z |＝________.答案3解析 由复数z 满足z ＋3z ＝0，则z 2＝－3，所以z ＝±3i ，所以|z |＝ 3.10．已知i 为虚数单位，复数z (1＋i)＝2－3i ，则z 的虚部为________． 答案 －52解析 由z (1＋i)＝2－3i ，得z ＝2－3i 1＋i ＝(2－3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－5i 2＝－12－52i ，则z 的虚部为－52.11．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )， 所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i. (2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2 ＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．12．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2i.又z ＋3＝a ＋3＋b i 的实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.13．若复数a ＋i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1,1)解析 由题意得z ＝a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i2，因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，1－a >0，所以－1<a <1.14．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若复数z ＝a ＋3i 3＋i ∈R ，则复数z ＝________.答案3解析 ∵复数z ＝a ＋3i 3＋i ＝()a ＋3i ()3－i ()3＋i ()3－i＝3()1＋a ＋(3－a )i 4＝3()1＋a 4＋3－a 4i ∈R ，∴3－a 4＝0，即a ＝3.则复数z ＝3(1＋a )4＝434＝ 3.15．给出下列命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ④解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误； 若a ＝－1，则a ＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误； z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．16．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________． 答案 [－1,8]解析 由复数相等的充要条件可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋4sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋4sin θ， 由此可得λ＝－4cos 2θ－4sin θ＋4 ＝－4(1－sin 2θ)－4sin θ＋4＝4sin 2θ－4sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－122－1， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈[－1,8]．。