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李贤平概率论与数理统计第二章答案

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第2章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

5、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？9、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。

10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。

以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。

试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。

11、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。

若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。

12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。

16、设A ，B ，C 三事件相互独立，求证B A AB B A -,,Y 皆与C 独立。

17、若A ，B ，C 相互独立，则C B A ,,亦相互独立。

18、证明：事件n A A A ,,,21Λ相互独立的充要条件是下列2n 个等式成立：)ˆ()ˆ()ˆ()ˆˆˆ(2121nn A P A P A P A A A P ΛΛ=， 其中i A ˆ取i A 或iA 。

19、若A 与B 独立，证明},,,{ΩA A φ中任何一个事件与},,,{ΩB B φ中任何一个事件是相互独立的。

20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。

21、设n A A A ,,,21Λ相互独立，而k k p A P =)(，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。

22、当元件k 或元件1k 或2k 都发生故障时电路断开，元件k 发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。

26、掷硬币出现正面的概率为p ，掷了n 次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。

27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？28、甲，乙均有n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。

29、在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p ，求在n 次独立试验中事件A 出现奇数次的概率。

30、在贝努里试验中，若A 出现的概率为p ，求在出现m 次A 之前出现k 次A 的概率。

31、甲袋中有1-N 只白球和一只黑球，乙袋中有N 只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n 次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论∞→n 时的情况。

33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终端同时操作的概率。

34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。

37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两面三刀个以上的人生于元旦的概率是多少？38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。

41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。

42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。

43、若每蚕产n 个卵的概率服从普阿松分布，参数为λ，而每个卵变为成虫的概率为p ，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k 只小蚕的概率。

47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？解答1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则42)(,52)(121==A A P A P ，21)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

所以题中欲求的概率为()()()()12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =301121314252=⋅⋅⋅⋅=2、解：总场合数为23=8。

设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A 的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为 ()768/78/6)()(===A P AB P A B P .3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。

设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然B A ⊃，则 ()2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 22/)(M m C C B P =， 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，则(),/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=. 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C Mm M m m M M m M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m . 5、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。

则 )()(b a a A P +=甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=ba b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲， 乙取球的情况共有四种，由全概率公式得)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=21)1)((22)1)(()1(-+-⋅-+++-+-⋅-++-=b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2)1)(()1(21)1)((-+⋅-++-+-+-⋅-+++b a b b a b a a a b a b b a b a ab ba b b a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 6、解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。

则由全概率公式得)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=222222222111222222+++++++++++++=βαβααβαC C C c C C C C c c c C C b a a b b a b a B A a a .7、解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1Λ=。

则)()(,)(11b a b A P b a a A P +=+=. 一般设)()(b a a A P k +=，则)()(b a b A P k +=，得 )()()|()()|()(111b a a A P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=+=+++. 由数学归纳法得 )()(b a a A P N +=.9、解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=)1()12()1)(1(111p p p p p pp -+-=--+=。

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概率论与数理统计学1至7章课后答案

概率论与数理统计学1至7章课后答案

第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。

并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P 41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊 松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解：设应配备m 名设备维修人员。

概率论与数理统计第二章习题参考答案]

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(1)设
X
服从二项分布，其分布律为 P{X
=
k}=
C
k n
pk (1−
)p n−k
K=0，1，2，……n，问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（2）设 X 服从泊松分布，其分布率为 p{X = k} = λke−λ ，k=0，1，2……
k!
问 K 取何值时 P{X = k}最大？
（1）
解： M
=
N 试确定常数 a
（2）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = b ⋅ ⎜⎛ 2 ⎟⎞k , k = 1,2.....
⎝3⎠
试确定常数 b
（3）设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = c ⋅ λk , k = 0,1,2......λ > 0 为常数，
k!
试确定常数 c
N
解：（1） ∑ P{X
6、设随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = k , k = 1,2,3,4,5
15
其分布函数为 F (x) ，试求：
（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5 2
⎫ ⎬ ⎭
，
（2） P{1 ≤ X ≤ 2}，
（3） F ⎜⎛ 1 ⎟⎞ ⎝5⎠
解：（1）
P⎨⎧ ⎩
1 2
<
X
<
5⎫
2
⎬ ⎭
=
P{X
= 1}+
0
2
1
x
xdx+
0
1
(2−
x)dx=
2x
−
x2
/
2−1
0< x ≤1 1< x≤2
概率论与数理统计统计课后习题答案

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).A . 52,53-==b aB . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数}X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈；2215542070{2}0.2167323C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈；041554201{4}0.0010969C C P X C ===≈.3．解：设{1}P x p ==，则{0}1P x p ==-. 由已知，2(1)p p =-，所以23p =X 当0x <时，(){}0F x P X x =≤=；当01x ≤<时，1(){}{0}3F x P X x P X =≤===； 当1x ≥时，(){}{0}{1}1F x P X x P X P X =≤==+==.X 的分布函数为：00()1/30111x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩. 4. 解：设X ={在取出合格品以前，已取出不合格品数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3.7{0}10P x ==； 377{1}10930P x ==⋅=；3277{2}1098120P x ==⋅⋅=； 32171{3}10987120P x ==⋅⋅⋅=. 所以X 的概率分布为：5.解：设X ＝{其中黑桃张数}.则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.0513395522109{0}0.22159520C C P x C ===≈； 14133955227417{1}0.411466640C C P x C ===≈； 23133955227417{2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302{3}0.0815199920C C P x C ===≈； 411339552429{4}0.010739984C C P x C ===≈； 50133955233{5}0.000566640C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为：6.解：由已知，()XG p所以()(1),0,1,2iP X i p p i ==-=.7.解：X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 且1{0}2P X ==； 111{1}224P X ==⨯=；1111{2}2228P X ==⨯⨯=；1111{3}2228P X ==⨯⨯=；8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1）恰有6个人不能完成培训的概率； （2）不多于4个的概率. 解：设X ＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)XB ，（1）6694100{6}0.040.960.1052P X C ==⋅=;（2）4100100{4}0.040.960.629k k k k P X C-=≤=⋅=∑.9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过05.0=p ，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）.解：设X ＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)X B ，所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430k k k k P X C-≤≤==∑.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设甲X ＝{投掷一次后甲的赌本}，乙X ＝{投掷一次后乙的赌本}. 则甲X 的取值为20，40，且1{20}{40}2P X P X ====甲甲，1{10}{30}2P X P X ====乙乙，所以甲X 与乙X 的分布律分别为：0,201,204021,40X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩甲（）, 0,101,103021,30X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩乙（） 11. 设离散型随机变量X 的概率分布为：（1）{}2,1,2,,100k P X k a k ===；（2）{}2,1,2,k P X k a k -===，分别求（1）、（2）中常数a 的值.解：（1）因为{}1001001121,kk k P X k a =====∑∑即 1002(12)112a -⋅=-，所以)12(21100-=a . (2) 因为{}1121,kk k P X k a ∞∞-=====∑∑即121112a ⋅=-，所以 1=a .12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X ＝{每分钟接到的传唤次数}，则()XP λ，查泊松分布表得（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=； （2）{8}0.02136P X ≥=.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X 的概率分布.解：X 的所有可能的取值为1，2，3.243563{1}105C P x C ====；23353{2}10C P x C ===；22351{3}10C P x C ===.所以X 的概率分布为：14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.解：设Y ={每天去图书馆的人数},则()YP λ，{},0,1,2,!iP Y i e i i λλ-===当{}Y i =时，(,)XB i p ，{}{}(1)k k i k i i kP X k P Y i C p p +∞-====⋅-∑!(1)(1)!!!()!iik k i kk i k ii k i ki e C p p e p p i i k i k λλλλ+∞+∞----===⋅-=-⋅-∑∑!(1)(1)!!()!!()!ik k i k k i ki k i ki k i p ep p e p i k i k k i k λλλλλ-+∞+∞----===-=-⋅--∑∑(1)()(1)e !()!!!k ki kk kk i kp pi kp p p ep e ek i k k k λλλλλλλλ-+∞-----==-=⋅=-∑即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!k pp P X k k k λλ-===.15. 设随机变量X 的密度函数为 ,010,⎩⎨⎧<<+= x b ax f(x)其它， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<3131X P X P ，试求常数a 和b . 解：1301()3183a b P X ax b dx ⎧⎫<=+=+⎨⎬⎩⎭⎰； 113142()393a b P X ax b dx ⎧⎫>=+=+⎨⎬⎩⎭⎰，由421183932a b a b +=+=得，71.5,.4a b =-= 16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;{1}P X <以及概率密度f (x ).解：由()lim (arctan )02()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞⎧-∞=+=-=⎪⎪⎨⎪+∞=+=+=⎪⎩得121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11()arctan 2F x x π=+； {1}{11}(1)(1)0.5P X P x F F <=-<<=--=； 211()'()1f x F x x π==⋅+.17. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求：（1）常数A 的值；（2）X 的概率密度函数)(x f ；（3）{}2≤X P .解：（1）由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+==即21lim 1x Ax -→=，所以1A =，20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩；（2）2,01()'()0,x x f x F x <<⎧==⎨⎩其他；（3）{2}(2)1P X F ≤==.18. 设随机变量X 的分布密度函数为 , 01 , 1)(2⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它当x xAx f 试求：（1）系数A ；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221X P ；（3）X 的分布函数)(x F . 解：（1）因为1111()arcsin f x dx A x A π+∞--∞-====⎰⎰所以1A π=，1() 0 ,x f x <=⎩其它； （2）12111221112()arcsin 23P X f x dx x π⎧⎫<<====⎨⎬⎩⎭⎰；(3) 当1x <-时，(){}0f x P X x =≤=， 当01x ≤<时，11(){}arcsin 2xf x P X x x π-=≤==+⎰， 当1x ≥时，1(){}1f x P X x -=≤==⎰，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,arcsin 1211,0x x x x x F π）（ 19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)XU ，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min ， 所求概率为 4.50{ 4.5}0.45100P X -≤==-.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （min ）服从51=λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开. 若他一个月到银行5次，求： (1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y 的分布； (2) 求{}1≥Y P . 解：（1）由已知，1(),(5,)5XE Y B p其中10{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞=>=-≤=-⎰110250115e dx e --=-=⎰所以Y 的分布为55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=；（2）{}02025511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C e e --≥=-==--=.21. 设随机变量)4,5(~N X ，求α使：（1）{}903.0=<αX P ；（2）{}01.05=>-αX P .解：由)4,5(~N X 得5~(0,1)2X N - （1）{}555()0.903222X P X P ααα---⎧⎫<=<=Φ=⎨⎬⎩⎭ 查标准正态分布表得：51.32α-=，所以6.7=α；（2）由{}01.05=>-αX P 得，{}50.99P X α-<=所以{}{}55PX P X ααα-<=-<-<5()()2()10.99222222X P ααααα-⎧⎫=-<<=Φ-Φ=Φ-=⎨⎬⎩⎭即()0.9952αΦ=，查标准正态分布表得2.582α=，所以16.5=α22. 设)2,10(~2N X ，求{}{}210 , 1310<-<<X P X P . 解：由)2,10(~2N X 得10~(0,1)2X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -⎧⎫<<<<=Φ-Φ=-=⎨⎬⎩⎭；{}102{2102}P X P X -<=-<-< 10{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262X P -=-<<=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 mm 的概率.解：设随机变量X ＝{该地8月份的降水量}， 则2(185,28)XN ，从而185(0,1)28X N -所求概率为185250185{250}{}1(2.32)10.98980.01022828X P X P --≥=>=-Φ=-= 24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm 的概率.解：由(0,400)X N 得(0,1)20X N设Y ＝{在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm 的次数}，则(3,)Y B p其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<<(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm }={1}P Y ≥00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-⋅=25. 已知测量误差2~(7.5,10)X N ，X 的单位是mm ，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.解：设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.由已知2~(7.5,10)X N ，7.5~(0,1)10X N - 设Y ＝{n 次测量中，绝对误差不超过10mm 的次数}，则(,)Y B n p其中7.5{10}{0.25}(0.25)0.598710X p P X P -=≤=≤=Φ= 所求概率为{1}0.9P Y ≥>，即{0}0.1P Y =≤000.59870.40130.1n n C ⋅≤，解之得，3n ≥必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分)(~2σμ，N X ，某教授根据得分X 将学生分成五个等级：A 级：得分)(σμ+≥X ；B 级：)(σμμ+<≤X ；C 级：μσμ<≤-X )(；D 级：)()2(σμσμ-<≤-X ；F 级：)2(σμ-<X . 已知A 级和C 级的最低得分分别为448分和352分，则： （1）μ和σ是多少？（2）多少个学生得B 级？解：（1）由已知，448352μσμσ+=⎧⎨-=⎩，解之得40048μσ=⎧⎨=⎩（2）{}{01}X P X P μμμσσ-≤<+=≤<(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=由于0.3413×380=129.66，故应有130名学生得B 级。

概率论与数理统计第二章答案

概率论与数理统计第二章答案

1. 解：设公司赔付金额为X,则X 的可能值为： 投保一年内因意外死亡：20万，槪率为 投保一年内因英他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0,概率为所以X 的分布律为:2. —袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3. 4、5,在其中同时取三只，以X 表示 取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 町以取值3, 4, 5,分布律为P(X=3) = P(—球为3号,两球为1.2号)=三冥=君 P(X =4) = P(—球为4号，再在123中任取两球)==寻P(X =5) = P(—球为5号，再在123.4中任取两球)=竺i = Aeg 103, 4, 5 j_ ±10 7^'K)设在15只同类型零件中有2只是次品，在英中取三次，每次任取一只，作不 放回抽样，以X 表示取出次品的只数，("求X 的分布律，(2)画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 叮能为0, 1> 2个0P 仇=0)=算=當35 ci xC|\ 12心2甘=¥P(X=2)=C ；：C ；3 =丄Ch 35 0. 1. 222 12 1 IT 3m4. 进行重复独立实验，设毎次成功的概率为0失败的概率为q=l-p{0<p<l)(i) 将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

(此时称X 服从以P 为参数的几何分布。

)第二章 随机变量及其分布也可列为下表 X ：P: 3、 再列为下表 X ：(2)将实验进行到出现厂次成功为止，以Y表示所需的试验次数•求y的分布律。

（此时称y 服从以为参数的巴斯卡分布0）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X 表示他首次投中时累i|•已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1） P {X=k ）=q^ 9 后12（2）Y=r-Fn={最后一次实验前/初-1次有n 次失败，且最后一次成功}P （丫 =尹 + "） = （7爲-凶"//・％ = 67*]/“'\ " = 0,12 …，貝中 q=l —p ， 或记则 P{/=/^}=C ；：!P "（1-P ）*-\ A = r,r + t ■■（3 ） P （X 二k ）」 辰12・・« «P （X 取偶数）=》P （X =2切=工（0・55）22 0・45 =导X-） 1-1 35、一房间有3扇同样大小的窗子♦其中只有一扇是打开的。