2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？
答：如果系统的数学模型是线性的，这种系统就叫做线性系统。线性系统最重要的特性，是适用于叠加原理。叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生
的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入
量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。
2-2 分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。
)
()
(t f t y k
m
(a )
)
(t y )
(t f 2
1
k k m
(b )
c c 1
2
m x x i
o
(c )
1k 2
k o
i
x x c
(d )
i
o
c
(e )
解：)(a )()()(t f t ky t y m =+ )(b )()()()(21t f t y k k t y m =++
⋅
⋅⋅⋅+=-02010))((x c x m c x x
c i 2
12110)()()()
(K K s K K c cs
K s X s X d i ++= 02010)())((x K c x x
K x x e i i =-+-⋅
⋅
2-3 求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼比ξ的表达式。
x i
x o
c
k
m
(a )
C
u u o
i
L
R
(b )
解：图)(a 有：m
k s m c s m
k s G +
+=
2)( m k n =
ω mk
C
2=ξ 图)(b 有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=++=⎰⎰idt C V idt C R L V i i i 110
∴ LC
s L R s LC s G 11
)(2+
+=
LC n 1=ω L
C
R 2=ξ 2-4 求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。图中M 为输入转矩，m C 为圆周阻尼，J
为转动惯量。（应注意消去θ
θ ,及θ ） x
题2-4
解：由已知可知输入量M 与输出量θ之间的关系为：
M k C J m =++θθθ
经拉氏变换后为：)()()(2
s M k s s C s Js m =++θθθ
∴ 222
222/11)()
()(n
n n
m m s J
k s J C s J k s C Js s M s s G ωξωωθ++=++=++== 其中，J k n =
ω Jk
C m
2=ξ
2-5 已知滑阀节流口流量方程式为)/2(v ρωp x c Q =，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；ω为节流口
面积梯度；ρ为油密度。
试以Q 与p 为变量（即将Q 作为p 的函数）将节流阀量方程线性化。
解：如果系统的平衡工作状态相应于Q p ,，那么方程)/2(v ρωp x c Q =可以在(Q p ,)点附近展开成Taylor 级数：
+-∂∂+-∂∂+==22
2)(!21)()()(p p p
f
p p p f p f p f Q 式中 ,,22dp
f
d dp df 均在p p =点进行计算。因为假定p p -很小，我们可以忽略p p -的高阶项。因此，方程可以写成
)(P P k Q Q -+=或)(p p k Q Q -=-
式中 )(p f Q = p p dp
df
k ==
因此，方程)](2/)/2(2[)/2(v p p p p x c p x c Q v -+=ρωρω就是由方程
)/2(v ρωp x c Q =定义的非线性系统的线性化数学模型。
2-6试分析当反馈环节1)(=s H ,前向通道传递函数)(s G 分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入，输出的闭环传递函数。 解：∵ )
()()
()(s G s H s G s G B =
惯性环节：1
)(1+=Ts k
s G ∴ k
Ts k
Ts k Ts k s G B ++=+++=
1)1/(1)1/()(
微分环节：Ts s G =)(2 ∴Ts
Ts
s G B +=
1)( 积分环节：Ts
s G 1)(3= ∴ Ts
s G B +=
11
)( 2-7证明图（题2-7）所示两系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同形式）。
o
x i
x c ()
a (
b )
解：根据图)(a 的已知内容可得：
11R C I I I += ①
011V IR R V i += ②
⎰
+
=idt C i R V 2201
③ ⎰=
dt i C IR R C 11
111
④ 由②有：1
1R V V i i R -=
③求导：2
20C i i R V +
= ②求导：0
1
0111V c i V R i R V C i +=
+= 1
0)(1C V V i i C -= 101
)(11C V V R V V i i i i i C R -+-=
+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=10102101020)(1)(C V V R V V C C V V R V V R V i i i i ∴ 1
)(1
)()()(1122212121221121210+++++++=
=
s C R C R C R s R R C C s C R s C R s R R C C s V s V s G i
