高中数学 1.1.3导数的几何意义课件 新人教版必修1.ppt

沿着曲线
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfxP2 TPOxO
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
T
P
T
P4 P
O
xO
x
3 ppt课件
4
图1.12
我们发 ,当现 点 Pn趋近于 P时 点 ,割线 PP n趋近于确 定的位 ,这置个确定位置 PT的 称直 为线 过 P的 点
1.1.3 导数的几何意义
ppt课件
我 们知 道 ,导 数f 'x0表 示函 数f x
在x x0 处 的 瞬 时 变 化,反率映 了 函
数 f x在x x0 附 近的 变化 情.那况 么,导 数f 'x0的 几 何 意 义 是 什?么 呢
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观 察 如图
1 . 1 2 , 当点
Pn x n, f x n n 1,2,3,4
的斜率 .因此,函数f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k.即
k
f lim
x0
x
f x0 ppt课件
f
'x0.
x0
x
例 2 如图 1 .1 3 ,它表 h
示跳水运动中高度随
时间变化的函 数 h t
4 . 9 t 2 6 . 5 t 10 的
图象 . 根 据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦,几乎没有升降.

y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
o
点P处的割线与切线存在什么关系？
x
结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
割线与切线的斜率有何关系呢？
当堂检测: 导学案第 6页 当堂检测
分层作业: （1）已知曲线 y x2 1 ，求过点(2,3)的曲线 的切线方程。
（2）已知曲线 y x2 1 ，求过点(3,1)的曲线 的切线方程。
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 k切线 f (x0 ) .
应用----求曲线的切线方程
曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
例1：求抛物线 y x2 在（1,1）的切线的斜
率。
变式训练：过抛物线 y x2 的点 P0 处的切线 的平行直线 y x 4，求 P0点坐标。
例2、求曲线 y 1 在点
x
2, 1 2
的切线方程。
例3、求抛物线
y x2
过点
P(
5 2
,6)
的切线方程。
课堂小结: 本节课你的收获是什么? 1、曲线在某一点处导数的几何意义； 2、求曲线的切线方程的步骤； 3、无限逼近的极限思想和数形结合的思想
k PQ

(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．

新课学习
概念运用
课堂小结
课堂小结
作业布置
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点的坐标； ②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； ③利用点斜式求切线方程.
复习回顾 新课学习
概念运用
课堂小结 作业布置
概念运用
例2．曲线y＝x3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐
标为( B )
一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线呢y？ 观不察能右．图例中如的和曲双线曲C线．的直渐线近l1虽线平行l2的直l线1 与双曲
然线与的曲公线共C点有是唯唯一一公的共，点但，它但们它显们然不是相切关系．
并不相切；而直线l2尽管与曲线C有 F1 不止一个公共点，但它们在点N处 仍然是相切的． 因此，对于一般曲线，
复习回顾 新课学习
概念运用
课堂小结 作业布置
课堂小结
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义： 就是曲线y＝f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0, f(x0)) 处的切线斜率是
f '( x0 )
2.导函数的概念
y
一般地，f (x) 是 x 的一个函数，
称为 f (x) 的导函数（简称导数）
有时也记作 y
O
x
f (x) y lim f (x x) f (x)
x0
x
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概念运用
例题
课堂小结 作业布置
例3：已知函数 f (x)＝x2－1，求f ′(x)及f′(－1).
f ′(x)＝2x f′(－1)=－2
o F2
.P