高中数学选修1-1精品课件：3.1.3 导数的几何意义

本 答案 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是
专 题
切点，只要求出 k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；
栏 目
而曲线 f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定
开 关
在曲线上，
即使在曲线上也不一定是切点.
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∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
3.1.3
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3.1.3
(2)点 P(3,5)不在曲线 y＝x2 上，设切点为(x0，y0)
由(1)知，y′| xx0 ＝2x0， ∴切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，
从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这 说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢.
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3.1.3
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小结 导数与函数图象升降的关系：
若函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜
本 由 P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0)
①
专
题 栏
再由 A(x0，y0)在曲线 y＝x2 上得 y0＝x02
②
目 开
联立①，②得，x0＝1 或 x0＝5.
关 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25)
当切点为(1,1)时，
切线的斜率为 k1＝2x0＝2， 此时切线方程为 y－1＝2(x－1)，
＝0，则

第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.

导数几何意义的理解
若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？ 【自主解答】 因为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)在[a， b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[ a，b]上各点处 的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合．
3.1.3
导数的几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 理解导数的几何意义， 初步体会“以直代曲”的辩证思想； 掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．
2．过程与方法 培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生 合作学习、创新能力． 3．情感、态度与价值观 经过 FLASH 动画演示割线“逼近”成切线过程， 让学生感 受函数图象的切线“形成”过程， 获得函数图象的切线的意义； 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信 心．
【问题导思】 导函数 f(x)与函数在 x＝x0 处的导数 f′(x0)相同吗？它们有 什么区别与联系？
【提示】 不相同． (1)两者的区别： 由导数的定义知， f′(x0) 是一个具体的值，f′(x)是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在 导数而定义在 I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是 数值，后者是函数． (2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
●教学流程
Байду номын сангаас 演示结束
课标 解读
1.理解导数的几何意义会求曲线 上某点处的切线方程．(重点) 2．理解在某点处与过某点的切 线方程的区别．(难点、易混点)

∴ΔΔxy＝3x02＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
lim
Δx→0
ΔΔxy＝3x20＋2ax0－9，
7.导数的几何意义理解的误区 [典例] 已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
[随堂即时演练]
1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：f′(x0)＝0，说明曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为 0， 所以与 x 轴平行或重合． 答案：B
导数几何意义的综合应用
[例 3] 设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的 斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6 平行，求 a 的值．
[解] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax02－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
3．1.3 导数的几何意义))(n＝1,2,3，4，…)，P 的坐标为 (x0，y0)，直线 PT 为在点 P 处的切线．
导函数
[提出问题]
已知函数 f(x)＝－x2＋2.
问题 1：如何求 f′(x0)?
提示：f′(x0)＝Δlixm→0
－x0＋Δx2＋2－－x20＋2 Δx
＝Δlixm→0 (－2x0－Δx)＝－2x0.
问题 2：若 x0 是一变量 x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明 f′(x)不是常量，而是关于 x 的
函数．