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第五章 5-4 奈氏稳定判据

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54奈奎斯特稳定判据解析

54奈奎斯特稳定判据解析


j?1
Im S平面
?? ??
Байду номын сангаас
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
于是，映射到 F(s)平面上，当变点 F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于 0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
s平面
A BC
? ?H
?2 ?1 a
1
2
D
3
bG F E
CS顺时针
?
2
1.5
F (s)平面
G 1
0.5 0
E D
F
H
C
-0.5
B
-1 A
-1.5
-2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其 上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
s平面
F(s)平面
F(s) 的零点
原点
F(s) 的极点
无限远点
s平面上的其他点
原点外的有限点
注意，虽然函数 F(s)从s平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过
5.3-5.4奈氏判据和稳定裕度

5.3-5.4奈氏判据和稳定裕度


如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s 平面右半部的所有零点和极点。
3. Nyquist稳定判据
• 设复变函数F(s) 在s平面的右半部有Z个零点和P个 极点。根据映射定理，当s 沿着s平面上的乃氏回 线移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线CF将按 逆时针方向围绕坐标原点旋转R = P－Z周。
• 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是： 映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为R=0。
• 根据系统闭环特征方程有
G( s) H ( s ) F ( s ) 1
F(s) 的 映 射 曲 线 CF 围 绕 原 点 运 动 情 况 ， 相 当 于 G(s)H(s)的封闭曲线CGH 围绕(－1，j0)点的运动情况 。
s lim e j
0
当ω从0- 沿小半圆变到0+ 时，s按逆时针方向旋转了 180°。
G(s)H(s)在其平面上的映射为
G(s) H (s)
s lim ei
0
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) s ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
s平面 q2
j
j1
jV
F(s) 0 U
p2

z1
0 p1 z2

q1 j2 s
封闭曲线包围z1时的映射情况
• 若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s) 的Z个零点，则 在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着 坐标原点旋转Z周； • 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs 包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一 周时，在F(s) 平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向 围绕着原点旋转P周。
5-4 频域：奈氏 判据

5-4 频域：奈氏 判据

2. 奈氏判据 设： F (S ) = 1 + G (s )H (s ) ——闭环系统特征多项式 闭环系统特征多项式 的零点就是闭环系统的极点。 显然： 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 ＋ 平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈 根据幅角定理， 沿着奈氏路径绕一圈， 假如 沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 平 面上绘制的F(s)曲线 F逆时针方向绕原点的圈数 则为 曲线Γ 方向绕原点的圈数N则为 面上绘制的 曲线 逆时针方向绕原点的圈数 F(s)在s右半开平面内极点个数 与的零点个数 之差： 右半开平面内极点个数P与的零点个数 之差： 在 右半开平面内极点个数 与的零点个数Z之差 N= P - Z 说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 当 Z=0 时，说明系统闭环传递函数无极点在 右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
8
某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有 个开环极点分 轨迹如下， 例: 某系统 轨迹如下 已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 布在 的右半平面，试判别系统的稳定性。 的右半平面 系统有2个开环极点分布在 的右半平面（ 个开环极点分布在s的右半平面 解：系统有 个开环极点分布在 的右半平面（P=2）， ）， G(jω)H(jω)轨迹在点 轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有 次正穿越，1次 以左的负实轴有2次正穿越 轨迹在点 以左的负实轴有 次正穿越， 次 负穿越，因为： 负穿越，因为：N= N + N = 2 ,1 = 1 求得： 所以系统是稳定系统。 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
Im
5-4稳定裕度

5-4稳定裕度


1
kg

08:37 11
作业： 5-17 5-18（1）
08:37
12

0
3
L( )
1
x
A(x ) 1
c x
0
c
( c )
h
( )
h0


0
一、 相角裕度
A(c ) G( jc ) H ( jc ) 1
c 称为系统的截止频率。
(c ) 与-1800(负实轴)的相角差称为相角裕度 ，即 此时定义：
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如左所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度， 是稳定的，因此系 统在不稳定之前， 增益可以增加8dB， 达到临界情况.
6
8dB 0
21 0
08:37
相位裕度和幅值裕度的计算：
08:37
10
[稳定裕度概念使用时的局限性]： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的1点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：
2
由三角函数关系得： x 0.2x 1, 解得：x 2.24
A( x )
x 1 x
2
1 0.04 x
2
0.33216
所以，幅值裕度为： h 20lg A(x ) 9.6(dB)
08:37
8
当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件

控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件


如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3

2
1
A0
-1

-2
F -3 -3

-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
自动控制原理5.4 奈奎斯特判据

自动控制原理5.4 奈奎斯特判据

二、奈氏判据
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk

Nk Mk Nk

Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
5-4奈魁斯特稳定判据1.

5-4奈魁斯特稳定判据1.


Monday, October 29, 2018
3
Gk ( s) [例5-6]开环传递函数为：
断闭环系统的稳定性。
k ，试用奈氏判据判 (T1s 1)(T2 s 1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Z k N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
由三角函数关系得： g 0.2g 1, 解得： g 2.24 2 A( g ) 0.33216 2 2 g 1 g 1 0.04 g 所以，幅值裕度为： Lg 20log A( g ) 9.6(dB)
Monday, October 29, 2018
2
一、奈氏稳定判据
Z : 在左半s平面中闭环极点的个数 Z P R P 2N P : 在右半s平面中开环极点的个数 N : GH ( j )包围( 1, j 0)点的圈数
N：逆时针包围为正，顺时针包围为负 注意：若含有积分环节v，奈氏曲线需要在ω=0+ 处逆时针延长到半径为无穷大的v/4的圆，该延长 线是本曲线的一部分。
Monday, October 29, 2018
-
k s 1
C (s)
6
当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。
Pk 1 ，所以Z k 1， 当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0， 闭环系统不稳定。
Monday, October 29, 2018
7
频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿 越情况来表示。当 增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴 的 (,1)段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的 (,1)段的 正穿越（这时随着 的增加，频率特性的相角也是增加的）； 意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。
5-4 奈奎斯特

5-4 奈奎斯特

G( j ) H ( j ) 与复变函数 F ( s) 1 G( s) H ( s) 位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是一种图解法，它依 据的是系统的开环频率特性。由于系统的开环特性可用解析法 或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定性兼有方 便和实用的优点。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( s) H ( s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
k ( s z1 )( s z 2 ) ( s z n ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
6
前面我们已经指出， (s ) 的极点数等于开环传递函数 G(s) H (s) 的极点数，因 F 此当我们从 F (s ) 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在 S 平面上 封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算出 来
Z=P-N
（5-109）
封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，因为它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为
前面已经指出，辅助函数 F (s) 的极点等于系统的 开环极点， (s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 F 果奈氏轨迹中包围F (s)的零点数Z=0，系统是稳定的，
此时由F (s)映射到 F (s)平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （5-114）( s) 2 ( P Z ) 2N N=P-Z
（5-112） （5-113）
Im
j
p1
0
F s
F (s1 )
(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据

(第13讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据


在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )

( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
第五节 Nyquist稳定判据

第五节 Nyquist稳定判据

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第五节Nyquist稳定判据5-4 频率域稳定判据控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。

频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于推广。

Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出改善系统性能指标的途径。

1/ 391、奈氏判据的数学基础复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。

（1）、幅角原理设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。

对于S平面上任意一点S，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。

在S平面上任选一条闭合曲线Γ 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线Γ上任一一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线ΓF。

若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图 5-39所示的映射关系。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点d′（d′是d的像）；对于S平面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线Γ，也可以通过映射关系在F(S)平面上找到一条与它相对应的曲线ΓF。

第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据

第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据

c
0dB

180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2

270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o90o0ຫໍສະໝຸດ oc 12

90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据

对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c

c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。

自动控制理论 5-4 频域：奈氏 判据

L( )P20 ( )



Z =2（ N- -N+ ）+P=-2+1= -1 所以，系统不稳 定。
18
例5-14 为
已知一单位反馈系统的开环传递函数
K
G(s)H (s) 1 T1s1 T2s
T1 T2 0
试判别系统的稳定性。
W=0-
19
自控理论实验‘频率分析’中
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
13
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)

K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
例4: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)

K
s1 Ts

( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
(1, j0)
Im
G( j)H ( j)
L( ) dB



0 Re
0
( )
0
c





16
参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈
判据可表述如下：
当 由 0 时，奈氏曲线GH对于（-1， j0）点围绕的圈数N与其相频特性曲线 () 在开环对数 幅频特性L() 0 的频段内，负、正穿越次数之差相等， 即

自动控制原理-5.4奈氏判据


稳定性。
5.4.1 辅助函数F(s)
R(s)
+﹣
图示的控制系统中，G(s)
C(s) G(s)
和H(s)是两个多项式之比
H(s)
1
G(s) M1(s)
N 开环传递函数为：
1
(
s)
H(s) M2(s) N2(s)
Gk (s) G(s)H(s) 闭环传递函数为：

M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
（1）0型系统(开环没有串联积分 0 环节的系统)
s为包s围平虚面轴s 和整个右映半射平面。F(s)
正虚轴 j (:0)
F(j) ( : 0)
s
负虚轴 j (: 0)
F(j) ( : 0)
半径的半圆
( 1, j0)点
5
F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。 F(j)包围原点就 是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。
R=2 z = p R = 2
kT1T2
T1 T2
1
∴ 闭环系统是不稳定的 。
当 kT1T2 > 1 T1 T2
R=0
z = p R= 0
=0+
∴ 闭环系统是稳定的 。
Im

0
Re
增补线
16
(3) 由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从
j 1
F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。 4
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个F(s)
的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在F(s)
平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之

自动控制理论5-4频域：奈氏判据

自动控制理论5-4频 域：奈氏判据
目录
• 引言 • 奈氏判据的基本原理 • 奈氏判据的应用 • 实例分析 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
理解并掌握奈氏判据在自动控制理论中的应用，掌握如何使用奈氏判据判断系统 的稳定性。
背景
随着工业自动化水平的提高，自动控制系统在各个领域得到广泛应用。为了确保 系统的稳定运行，需要借助自动控制理论对系统进行分析。频域分析是自动控制 理论的重要分支，而奈氏判据则是频域分析中的一种重要方法。
05
结论
奈氏判据的重要性和意义
1 2 3
确定系统的稳定性
通过奈氏判据，可以确定一个线性时不变系统的 稳定性，这对于控制系统的设计和分析至关重要。
预测系统行为
奈氏判据提供了一种方法，用于预测系统在不同 频率下的行为，这对于理解系统的动态特性和性 能至关重要。
优化系统设计
通过使用奈氏判据，可以在设计阶段优化控制系 统的性能，从而提高系统的可靠性和稳定性。
复杂系统
在实际的工程应用中，控制系统往往比较复杂，由多个环节和元件组成，其传递函数也较为复杂。
奈氏判据应用
对于复杂系统，需要先进行简化或分解，然后对每个子系统分别应用奈氏判据进行稳定性分析。如果 所有子系统都稳定，则整个系统稳定；否则，整个系统不稳定。
实际应用中的奈氏判据
实际应用
在工业控制、航空航天、交通运输等领域，控制系统发挥着至关重要的作用。
基于奈氏曲线的几何特性，通过观察曲线在实轴上的投影，可以判断系统的稳定性。具体 来说，如果曲线没有穿越实轴，则系统是稳定的；如果曲线穿越实轴且在穿越点附近存在 无穷大的斜率，则系统是不稳定的。
应用范围
奈氏判据适用于线性时不变系统的频域分析，对于具有开环极点的系统尤为适用。

第4讲_5.5奈奎斯特稳定判据

2014-12-22 第五章 频率响应 16
GH
K 1 (T2 ) 2
() 180 arctanT2 arctanT1
K (1 T2T1 2 ) j (T2 T1 ) G ( j ) 2 (1 (T1 ) 2 ) 2 (1 (T1 ) 2 )
2014-12-22
第五章 频率响应
13
例4
K
K GH 2 ，K 0，T 0 S (1 TS )
解 : G ( j )
2 1 T 2 2
() 180 arctanT
因为 p 0， N 2 P Z， 所以 z 2 闭环系统不稳定。
Z = P -2（ N’+ - N’- ）
由以上分析可知，开环系统型别过高会影响稳定性，而串联 比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要 选择合适的参数。
2014-12-22 第五章 频率响应 20
三、奈氏判据在对数坐标图上的应用
由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈 奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来 进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以 回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳 定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参 数对系统稳定性的影响。
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）； 3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
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第五章 频率响应
2
一、幅角原理
令F (S )
K ( s z1 )(s z2 ) (s zn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则

第五章 5 4 奈氏稳定判据


试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。
解： K 200, 20lg K 46.02
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第五章 线性系统的频域分析法
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6
5-4 频率域稳定判据
本节内容：
✓ 奈氏判据数学基础 ✓ 奈奎斯特稳定判据 ✓ 对数频率稳定判据
R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF
逆时针包围原点的圈数。
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第五章 线性系统的频域分析法
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1 、 奈氏判据数学基础…
（2）复变函数F(s)的选择
F (s) 1 G(s)H (s) 1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
则: 1) F(s)的零点=闭环极点， F(s)的极点=开环极点 2)因为m≤n，所以 F(s)零点数= F(s)的极点数
3)G(S)H(S)含等幅振荡环节：G(s)H
(s)
(s2
1
2 n
)1
G1 ( s)
G(s)H (s) s jn e j
1
(2 jne j 2e2 j )1
G1( jn
e j )
j
jn
e j
e j( 90o )v1
(2n )v1
G1(
jn )
0
e j
jn
e j G1 ( j n )
900，s jn
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第五章 线性系统的频域分析法
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1 、 奈氏判据数学基础…
（4）G(s)H(s)闭合曲线的绘制

奈奎斯特稳定判据


由此推论，若s平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围
的z个零点，则在
平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。
如果s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
的一个极点
旋转一
周，则向量
的相角变化了
。由式（5－42）可知，
的相角
变化了
。这表示
平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点
一周。由此推广到一般，若s平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着
（1）首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则P为多少？
（2）作出奈氏曲线 曲线，然后以实轴为对称轴，画出 氏曲线。
。具体作图时可先画出 从0到
的一段
从0到
的另一段曲线，从而得到完整的奈
（3）计算奈氏曲线
对点（－1，j0）按顺时针方向的包围圈数N。
（4）根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z＝0，表示.闭环系统稳定；反之， ，表示该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在s右半平面
11.01.2011
控制理论
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把上述 和 了。
部分在GH平面上的映射曲线和
的奈氏曲线在
处相连接，就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据
例5－6 试判别该系统的稳定性。
反馈控制系统开环传函数为
试判别该系统的稳定性。
解：由于该系统为I型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，因而在s上所取的奈氏
的具体形状，而是它是否包围
平面的坐标原点以及围绕原点的方向和圈数，
因为它与系统的稳定性有着密切的关系。
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
图5－35 s平面上封闭曲线及其在F(s)平面上的映射线
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d d x [( 2 k 1) arctg x ] 0
为 x的减函数
x
2
xm 亦为 的减函数
j
xm
xm 3时， 3） 3 2 3 3
1
0
2
arctg （
2 3 3 , 稳定
，临界稳定
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第五章 线性系统的频域分析法
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5-4 频率域稳定判据
本节内容：
奈氏判据数学基础 奈奎斯特稳定判据 对数频率稳定判据
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F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
2 0 ( 2 ) ( 2 ) 2
j
z1
j
F (s)
s
p1

s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
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, [ 0 , 90 ] 上映射为原点（n>m）
o
* 或（ K，j0）点（n=m）
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1 、 奈氏判据数学基础…
2）G(s)H(s)含积分环节 G ( s ) H ( s )

1 s

G1 ( s )
在原点附近 s e j , [ 0 , 90 o ]
j

1
0
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1 、 奈氏判据数学基础…
j
e
j
0

1）G(s)H(s)无虚轴上的极点
在 s j , [ 0 , )上映射的开环幅相曲线
G ( j ) H ( j ), [ 0 , )
在 s e
j
x
3 , Re G ( j x ) H ( j x )
K 12

3
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第五章 线性系统的频域分析法
重点练习


2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为 10 s 2 G (s) 2 s s 0 .1 试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。 解： K 200 , 20 lg K 46 . 02
A ( x ) 2 1x
2
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2、奈奎斯特稳定判据…
( xm )
xm
arctg xm
x
1x
2
A ( xm ) 1 xm
3
[( 2 k 1) arctg x ] x 0
24
2、奈奎斯特稳定判据…
奈氏稳定判据总结：
Z=P-2N Z—闭环系统正实部极点个数 P—开环系统正实部极点个数
R—开环幅相曲线（ω：0 →+∞）逆时针包围临界点 j （-1，j0）的圈数
R 2N , N N N


1

0
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25
2、奈奎斯特稳定判据…
系统不稳定
条件稳定系统
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2、奈奎斯特稳定判据…
例5-9， G ( s ) H ( s )
2e
s
s 1
, 0 , 确定系统稳定的
j
值范围
xm
1
0
2
解： ( x )
x
arctg x
( 2 k 1) ; k 0 ,1, 2 ,3
3
s
2 2
n
1)
2
( K ,T 0)
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1 、 奈氏判据数学基础…
（5）闭合曲线 F 包围原点圈数R的计算 R= GH 包围（-1，j0）点圈数N×2
N：GH 穿越（-1，j0）左侧实轴的次数
N N
：正穿越次数和（从上向下） ：负穿越次数和（从下向上）
G ( s ) H ( s ) 在原点有极点
G ( s ) H ( s ) 有虚数极点
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11
1 、 奈氏判据数学基础…
（4）G(s)H(s)闭合曲线的绘制
F 平面上封闭曲线 GH 即 G ( j ) H ( j ) : 而 GH 关于虚轴对称， 因此只需画 G ( j ) H ( j ) : 0 的半封闭曲线
第五章 线性系统的频域分析法
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1 、 奈氏判据数学基础…
j
z1
j
F (s)
s
p1

s F (s) 映射
0
F (s)
0
z2
p2
F
F ( s ) 平面
s 平面
幅角原理：R=P-Z Z — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的零点个数 P — s平面闭合曲线Γ包围F(s)的极点个数 R — 当s沿Γ顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线гF 逆时针包围原点的圈数。
第五章 线性系统的频域分析法
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1 、 奈氏判据数学基础
（1）幅角原理
s为复数变量
F F（s）为s的有理分式函数，设： ( s )
F ( s ) s z1 s z 2 s p1 s p 2
( s z 1 )( s z 2 ) ( s p 1 )( s p 2 )
j [ G1 ( j
n
) 1 180 ]
0
90 ， s j n
0
第五章 线性系统的频域分析法
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1 、 奈氏判据数学基础…
j
j j
0
0
0
G (s)H (s) : K s (Ts 1)( s
2 2
K
1)
K
s
2 2
n
s (Ts 1)(
n
1)
2
s (Ts 1)(
系统稳定
系统不稳定
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2、奈奎斯特稳定判据…
j
1
0
j
1 0
k 2 k k 3, N N 1, R 0 , Z 0
k k 3, N 1， N 2 , R 2， Z 2
系统稳定
k 为（ 0，） ( 5 , 20 3 , 20 ) 稳定。
映射为 G ( s ) H ( s ) S e
j
j
e
j
j [ ( ) G（ j 0 )] 1
1
G ( j ) H ( j )
e
0
j
0
G ( j0)H ( j0)


G ( j0 )H ( j0 )
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1 、 奈氏判据数学基础…
j j
R 2 N 2( N N )
0

1 1
1
0
0
N 1, N 0
R 2
N 0, N 0
R 0
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第五章 线性系统的频域分析法
1 、 奈氏判据数学基础…
j j
2

1 2
0
1

1
0

0
N 1, N


斜率：-20υdb/dec
直线或延长线上一点：
L a ( ) 20 lg K 20 lg 0 ( db ) ①任选 ω 0 , ② 0 1 L a ( ) 20 lg K ( db ) ③ 0 K 1 , L a ( ) 0 ( db )
4)
3） F 和 GH 只相差常数1， F 对原点的包围的圈数= GH
对（-1，j0）点包围的圈数
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1 、 奈氏判据数学基础…
（3）s平面闭合曲线Г 的选择
j j j
j n
e
j
e
j
e
0 0
j
0


e
j
j n

G ( s ) H ( s ) 虚轴上无极点
重点回顾

幅相曲线绘制三要素
（1）开环幅相曲线的起点（ 0 ）和终点( ) （2）开环幅相曲线与实轴的交点 交点处的频率 x -------穿越频率
x : I m [ G ( j x ) H ( j x )] 0
或 ( x ) G ( j x ) H ( j x ) k , k 0 ,1, 2 交点处坐标
完成书P216习题5-14：指出N-、N+、R、Z
切记：Z为s右半平面闭环极点个数，P开环右半平面 极点数。任何时候Z（个数）均不能小于零。
能源与动力学院 第五章 线性系统的频域分析法
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2、奈奎斯特稳定判据…
例5-8 单位负反馈系统开环幅相曲线如图（k=10， p=0，v=1），试确定系统闭环稳定的k值范围 解：