高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数的性质一 新人教A版

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三角函数的图像和性质新人教A版【考纲解读】1．能画出的图象，认识三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单一性、最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间内的单一性．3．认识函数的物理意义；能画出的图象，认识参数对函数图象变化的影响．4．认识三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实质问题．【考点展望】高考对此部分内容考察的热门与命题趋向为:1. 三角函数是历年来高考重点内容之一, 三角函数的图象和性质的考察，常常以选择题与填空题的形式出现, 还常在解答题中与三角变换联合起来考察，在考察三角函数知识的同时，又考察函数思想、数形联合思想和分类议论思想解决问题的能力.2. 高考将会持续保持稳固, 坚持考察三角函数的图象和性质, 命题形式会更为灵巧.【重点梳理】1. 三角函数的图象和性质函数y=sinx y=cosx y=tanx图象定义域R R值域R周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单一性在----------------- 上增; 在----------------- 上增;在-------------------- 上是增函在------------------- 上减在------------------ 上减数2. 当x=---------------- 时, 函数y=sinx 取最大值1; 当x=---------------- 时, 取最小值-1.3. 当x=---------------- 时, 函数y=cosx 取最大值1; 当x=---------------- 时, 取最小值-1.4.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的对称中心分别为---------------- , ------------------ , ----------------- ;对称轴为--------------------------- , ---------------------------- , ------------------------------- .5．表示一个振动量时， A 叫做振幅，叫周期，叫频次，叫相位，叫初相.6．图象变换：（1）相位变换：（2）周期变换：（3）振幅变换：【例题精析】考点一三角函数的图象与性质例1. ) 已知函数的部分图像如图 5 所示.（Ⅰ）求函数f（x）的分析式；（Ⅱ）求函数的单一递加区间.【名师点睛】此题主要考察三角函数的图像和性质. 第一问联合图形求得周期进而求得. 再利用特别点在图像上求出，进而求出 f （x）的分析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单一性求得.【变式训练】1. 设函数的图像对于直线x= π对称，此中，为常数，且.（1）求函数 f （x）的最小正周期；（2）若y=f （x）的图像经过点，求函数 f （x）的值域.【分析】（1）由于= = ，因此、考点二三角函数的图象变换例 2. 把函数y=cos2x+1 的图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），而后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，获得的图像是2．为了获得这个函数的图象，只需将的图象上全部的点(A) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变【易错专区】问题：图象变换14．为了获得函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向右平移个长度单位1. 已知函数的部分图象如题 1 图所示，则( )（A）（B）（C）(D)【答案】 D【分析】, 由五点作图法知，= - .2. ) 设，则“”是“为偶函数”的( )（A）充足而不用要条件（Ｂ）必需而不充足条件（Ｃ）充足必需条件（Ｄ）既不充足也不用要条件3．把函数的图象上全部的点向左平移个单位长度，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变），获得的图象所表示的函数为( )A．B．C．D．4. 设函数, 则( )A. 在单一递加, 其图象对于直线对称B. 在单一递加, 其图象对于直线对称C. 在单一递减, 其图象对于直线对称D. 在单一递减, 其图象对于直线对称【答案】 D【分析】由于, 应选D.5. 已知函数此中若的最小正周期为, 且当时, 获得最大值, 则( )A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数6．已知函数，若，则的取值范围为( )A. B.C. D.7. ) 已知函数，此中为实数，若对恒建立，且，则的单一递加区间是( )（A）（B）（C）（D）1. 若函数( ω>0) 在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=( )(A) (B) (C) 2 (D)32. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于( )（A）（B）（C）（D）3. 设命题p：函数的最小正周期为；命题q：函数的图象对于直线对称. 则以下判断正确的选项是( )(A) p 为真(B) 为假(C) 为假(D) 为真4. 已知ω>0，，直线和是函数 f ( x)=sin( ωx+φ) 图像的两条相邻的对称轴，则φ=( )（A）（B）（C）（D）5. 函数的最大值与最小值之和为( )(A) (B)0 (C) －1 (D)6. 要获得函数的图象，只需将函数的图象（）（A）向左平移 1 个单位（B）向右平移 1 个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位【答案】 C【分析】由于, 因此将向左平移个单位, 应选C.7. 将函数f(x)=sin （此中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是( )（A）（B）1 C）（D）28. 函数f(x)=sin(x- ) 的图像的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=-D.x=-【答案】 C【分析】把x=- 代入f(x)=sin(x- ) 得, 故x=- 是对称轴, 应选 C.9. 若函数是偶函数，则( )（A）（B）（C）（D）10. ) 设函数的最小正周期为，且，则( )（A）在单一递减（B）在单一递减（C）在单一递加（D）在单一递加11. 当函数获得最大值时，___________.12．已知函数。

【答案】(1){x|x≠kπ+ ,k∈Z}
2
3 9 (2)[3kπ- ,3kπ+ ](k∈Z) 8 8

9 21 [3kπ+ ,3kπ+ π] (k∈Z) 8 8
【点评】求三角函数的单调区间,有时可用换元的思想把角 的某个代数式作为新的变量.对于复合函数,应先考虑函数的 定义域,再结合函数的单调性来确定单调区间.
二、函数的周期性 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取 定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做 周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存 在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正 周期).函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(ω>0且为常数)的周 期T=
2 sin x
2cos 2 x
=

sin x , | cos x |
∴函数的定义域是{x|x≠kπ+ ,k∈Z}.
2 4
(2)原函数变形为y=- ,则只需求y=sin u的单调区间即可.
∵y=sin u在2kπ- ≤u= - ≤2kπ+ (k∈Z)上单调递增,即3kπ2 4 3 ≤ x≤3kπ+ (k9 ∈ Z)上单调递增, 8 8 2
4

3 4
【解析】y=2sin(ωx+φ)为偶函数(0<φ<π),所以φ= ,又其图像
2

与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1,x2,若|x1-x2|的最小值 为π,则T=π,ω=2,于是y=2cos 2x,单调递增区间为[kπ- ,kπ]( k∈Z), 2 选择A.

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版x 0例11.. 若x, y 满足约束条件：x 2y 3；则x y 的取值范围为▲2x y 3【答案】[ 3,0] 。

【考点】简单线性规划。

【解析】求x y 的取值范围，则求出x y 的最大值和最小值即可。

作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：3A(0,3), B(0, ), C (1,1)。

2当x 1, y 1时，x y 取得最大值0；当x 0, y 3 时，x y 取得最小值3。

∴x y的取值范围为[ 3,0] 。

例12. ）已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a cln c，则ba的取值范围是▲．【答案】e，7 。

【考点】可行域。

【解析】条件5c 3a≤b ≤4c a，cln b≥a cln c 可化为：a b3 5c ca bc c4。

b cace设a =x y=b，，则题目转化为：c c3x y 5已知x，y 满足x yxy e4，求yx的取值范围。

x > 0，y > 0作出（x，y ）所在平面区域（如图）。

求出y= e x 的切线的斜率 e ，设过切点P x0，y0 的切线为y =ex m m 0 ，1y ex m m则0 0= =ex x x0 0 0，要使它最小，须m=0 。

∴yx的最小值在xP x ，y 处，为 e 。

此时，点P x0，y0 在=y e 上A,B 之间。

0 0当（x，y ）对应点 C 时，y=4 x 5 y=20 5x yy=7 x =7y=5 3x 4 y=20 12x x，∴yx的最大值在 C 处，为7。

∴yx的取值范围为e，7 ，即ba的取值范围是e，7 。

例13. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1,3) ，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是【】（A）(1 －3，2) （B）(0 ，2) （C）( 3－1，2) （D）(0 ，1+ 3)【答案】A。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§4.5三角函数的图象与性质课标要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]－π2，知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π，0)，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π，－1)，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)|π方程常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝A cos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝A tan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(×)(2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋π2(k∈Z)．(×)(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(×)(4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(×)2．(多选)已知函数f(x)＝x∈R)，下列结论正确的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上单调递增C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数答案ABC解析由题意得f(x)＝－cos x，对于A，T＝2π1＝2π，故A正确；对于B，因为y＝cos x在0，π2上单调递减，所以函数f(x)在0，π2上单调递增，故B正确；对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C 正确，D 错误．3．函数f (x )＝2tan x ()π＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z＋π6，k ∈Z 答案D解析令2x －π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2tanx ＋π6，k ∈Z .4．(必修第一册P213T4改编)函数y ＝3－2cos ______，此时x ＝________.答案53π4＋2k π(k ∈Z )解析函数y ＝3－2cos 3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z ).题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y ＝cos x －32的定义域为()A.－π6，π6B.k π－π6，k π＋π6(k ∈Z )C.2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )D ．R 答案C解析由cos x －320，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．(2)如果函数f (x )＝＋32＋a 在区间－π3，5π6上的最小值为3，则a 的值为()A.3＋12B.32C.2＋32D.3－12答案A解析因为当x ∈－π3，5π6时，x ＋π3∈0，7π6，所以－12，1，当x ＝5π6时，sin 有最小值－12.可得f (x )＝＋32＋a 的最小值为－12＋32＋a ＝3，解得a ＝3＋12.思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域．(2)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．(3)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1(1)函数y ＝tan ()|x ≠π4|x ≠3π4|x ≠π4＋k π，k ∈Z|x ≠3π4＋k π，k ∈Z 答案D解析函数y ＝令x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，∴函数y |x ≠3π4＋k π，k ∈Z(2)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ()A ．4B ．5C ．6D ．7答案B解析因为f (x )＝cos 2x ＋＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x＝－x ＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.题型二三角函数的周期性、对称性与奇偶性例2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin x (sin x －cos x )，则下列说法正确的是()A ．函数f (x )的最小正周期为πB －π8，y ＝f (x )图象的对称中心C y ＝f (x )图象的对称中心D ．直线x ＝5π8是y ＝f (x )图象的对称轴答案AD解析f (x )＝sin x (sin x －cos x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin x ＋12，T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，此时x 0，－π8，B 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝π8对称，故C 错误；当x ＝5π8时，2x ＋π4＝3π2，此时x 1，则函数关于直线x ＝5π8对称，故D 正确．(2)已知函数f (x )＝2cos ＋π4＋φ∈－π2，π2，则φ的值为________．答案π4解析由已知，得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又因为φ∈－π2，π2，所以当k ＝0时，φ＝π4符合题意．思维升华(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z x 即可．对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可．跟踪训练2(1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x答案ABC解析A中，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；C中，y＝cosxT＝2π2＝π；D中，y＝tanxT＝π2.(2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，则f________.答案3解析函数f(x)＝2sin(ωx＋φ>0，|φπ，其图象关于直线x＝π6对称，π，φ＝π2＋kπ，k∈Z，∵|φ|<π2，∴ω＝2，φ＝π6，故f(x)＝x则f×π4＋＝3.题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则()A．f (x)－π2，－B．f (x)－π4，C．f(x)D．f(x)答案C解析依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A 选项，因为x －π2，－2x πf (x )＝cos 2x －π2，－单调递增，所以A 选项不正确；对于B 选项，因为x －π4，2x －π2，f (x )＝cos 2x －π4，调，所以B 选项不正确；对于C 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以C 选项正确；对于D 选项，因为x 2x f (x )＝cos 2x 以D 选项不正确．(2)函数f (x )＝sin 2________．答案k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z解析f (x )＝sin 2g (x )＝sin x 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调递减区间为k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .延伸探究若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间．解令A ＝k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝0，5π12∪11π12，π，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为0，5π12和11π12，π.命题点2根据单调性求参数例4已知f (x )＝sin(2x －φφ在0，π3上单调递增，且f (x )φ的取值范围是()A.π6，B.π6，C.π3，D.π4，答案B解析由x ∈0，π3，可得2x －φ∈－φ，2π3－φ，又由0<φ<π2，且f (x )在0，π3上单调递增，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ＜π2.当x 2x －φφ，7π4－由f (x )上有最小值，可得7π4－φ>3π2，所以φ<π4.综上，π6≤φ<π4.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3(1)设函数f (x )＝2f (x )在0，π2上的单调递减区间是()A.0，π8B.0，π4C.π4，π2 D.π8，π2答案D解析由已知f (x )＝x 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，又x ∈0，π2，∴f (x )在0，π2上的单调递减区间为π8，π2.(2)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上单调递减，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案A解析f(x)＝cos x－sin x＝2cos由题意得a>0，因为f(x)＝2cos[－a，a]上单调递减，a＋π4≥0，＋π4≤π，>0，解得0<a≤π4，所以a的最大值是π4.课时精练一、单项选择题1．若函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于() A．1B．2C．3D．4答案A解析因为函数y＝3cosωxω>0)两对称中心间的最小距离为π2，所以T2＝π2，则T＝π，所以T＝2π2ω＝π，解得ω＝1.2．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝xf(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案D解析∵x∈[－2,0]，∴2x－π6∈－4－π6，－π6，∵－3π2<－4－π6<－π<－π6<0，∴函数f (x )＝cos x [－2,0]上先减后增．3．已知函数f (x )＝a ＝f b ＝f c ＝f a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c 答案A解析a ＝f 2cos 13π42，b ＝f 2cos π3，c ＝f 2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，又0<13π42<π3<5π12<π，所以a >b >c .4．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，则f ()A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案D 解析因为直线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，所以T 2＝2π3－π6＝π2，不妨取ω>0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，由题意知，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2×π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则f ＝32.5．(2023·抚州模拟)已知函数f (x )＝sin|x |－cos 2x ，则下列结论错误的是()A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的最小值为－98D ．f (x )的最大值为2答案B 解析因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．6．(2023·安康模拟)记函数f (x )＝b (ω∈N *)的最小正周期为T ，若π2<T <π，且y ＝f (x )的最小值为1.则y ＝f (x )图象的一个对称中心为()－π12，答案C 解析由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N *，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝1答案AD 解析函数f (x )＝cos x ＋a sin x ＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．8．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6答案CD解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．方法二要使函数y ＝sin x －cos x 有意义，即使sin x －cos x ≥0，即2sin 0，即2k π≤x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，即原函数的定义域为2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f 答案－cos 4x (答案不唯一)解析由∀x ∈R ，f f (x )可知，函数的周期为π2，由∀x ∈R ，f (x )≤f x ＝π4处取到最大值，则f (x )＝－cos 4x 满足题意，一方面根据余弦函数的周期公式，T ＝2π4＝π2，满足∀x ∈R ，f f (x )，另一方面，f cos π＝1＝f (x )max ，满足∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．答案7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．答案916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34＝y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)函数f (x )＝a x 2cos＝a x x 1＝a x x ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z答案D 解析函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．答案12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝π，α＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。