解立体几何题的四种思路

选择高斯，贴心的名师，让你轻松学知识！1立体几何解题思路归纳一、证明类：㈠、线面平行：①在面内找一条线与已知直线平行（具体模板应用，找到题目敏感信息，如中点、平行四边形对角线交点）②转化为证面面平行备注：优先用①思路㈡、面面平行：两条相交直线分别平行于另外两条相交直线㈢、★线线垂直：（共面、异面）①平移+计算（勾股定理）②转化为线面垂直（一条直线垂直另一条直线所在平面；关键在于找准目标平面，结合三垂线定理）③三垂线定理（有垂线时优先使用，比如：长方体、正方体中；题目已知线面垂直、面面垂直）㈣、线面垂直：转化为线垂直于面内两条相交直线（题目中往往有一条垂直是一致的或者很显然的，只需要找另一条垂直即可）㈤、面面垂直：在面内找一条线垂直于另一个面（两种对等的选择，往往有一种很简单）二、计算类：要求：★一作（在平面内作图、做辅助线）、二证（利用平行和垂直）、三算（放在三角形中计算）㈠、点到线的距离：过该点做目标线的垂线，垂线段的长即为距离（平面问题）㈡、★点（线）到面的距离（椎体的高H）：①直接法：做出高（借助面面垂直作图）②间接法：等体积法（椎体类，任一顶点和其对应底面确定了一个高）㈢、异面直线间的距离（向量法，略）㈣、异面直线夹角：平移+计算㈤、线面角：利用题目线面垂直、面面垂直的条件㈥、★二面角：利用三线合一等垂直模板（注意题目的等腰条件，即隐含的或者已知的边相等条件）㈦、★体积：①直接法：在掌握求解高的基础上，利用公式；②间接法：分割求和（将目标几何体分割为几个易求解的三棱锥，再求和）思维总结：立体几何综合考查学生的转化思想、逻辑推理能力、敏感信息提取能力；在计算上，与解三角形综合，考察知识的联系综合能力；同时锻炼学生的空间想象能力。

高中数学中的立体几何利用空间几何关系求解题目的技巧立体几何是高中数学中的一个重要内容，它研究的是物体的空间形态和结构关系。

在解决立体几何题目时，我们可以运用空间几何关系来进行推导和求解。

本文将介绍一些利用空间几何关系求解立体几何题目的技巧。

一、平行关系的应用平行关系是立体几何中经常出现的一种空间几何关系。

在解题时，我们可以利用平行关系来推导其他相关线段或角的性质。

例如，在解决平行四边形的性质题目时，我们可以利用平行关系得出对应角相等、内错角相等等结论，从而简化求解的过程。

二、垂直关系的应用垂直关系是立体几何中常见的一种空间几何关系。

在解决垂直关系题目时，我们可以利用垂直关系来推导其他相关线段或角的性质。

例如，在解决平面与直线的垂直关系时，我们可以利用垂直关系得出斜线的斜率与平面法向量的内积为零等性质，从而求解问题。

三、相似关系的应用相似关系是立体几何中重要的一种几何关系。

在解决相似关系的题目时，我们可以根据相似关系的性质来构建等式或比例关系，从而求解问题。

例如，在解决相似三角形的题目时，我们可以利用三角形的对应边成比例、对应角相等等性质来构建等式，再通过解方程或比例来求解问题。

四、平行投影的应用平行投影是立体几何中常用的一种方法，它可以将立体图形投影到平面上，从而简化求解问题。

在解决平行投影问题时，我们可以将立体图形投影成平面图形，然后利用平面几何的知识来求解问题。

例如，在解决棱柱或棱锥的截面积题目时，我们可以利用平行投影将立体图形投影成平面图形，再计算平面图形的面积，从而求解问题。

五、向量法的应用向量法是解决立体几何题目常用的一种方法，它可以通过向量的性质和运算来推导和求解问题。

在解决向量法题目时，我们可以利用向量的共线、垂直等性质，进行向量之间的运算，帮助我们推导和求解问题。

例如，在解决点在平面上的问题时，我们可以利用向量法得出点与平面的关系式，然后通过解方程来求解问题。

总结：高中数学中的立体几何利用空间几何关系求解题目的技巧主要包括利用平行关系、垂直关系、相似关系、平行投影和向量法等方法。

刍议高中数学中的立体几何解题技巧
立体几何解题技巧：
1、注意它的定义：首先要了解立体几何的各个概念，把它们心中栩栩
如生，当面对新概念时可以有个大概印象以类比先行理解，同时可以
借助相关图片辅助记忆。

2、先把图形想象清楚：在进行解题前一定要先把题目描述的几何体形
象地想象清楚，这样有利于利用相关定理进行解题，因为定理能够让
我们更有效的进行推理。

3、把定理有效运用：立体几何很多定理都是从事先假设好的，所以我
们在解题过程中只要把假设情况匹配合理即可，把定理有效运用，比
如一些关于勾股定理、三角形内心定理等等。

4、尝试着画出图形：有些题目可能是要求推断得出一个图形，而全都
用语言描述出来可能会有些困难，在此时建议画出图来来看关系，这
样可以更快的解决问题。

5、注意细节问题：高中数学很多题目都要求我们判断一个图形的关系，正确的判断出正确的关系需要我们注意一些细节问题，比如是否有共边、共点、对称轴等等。

6、多多练习：熟能生巧，只有大量地练习题目才能在解题上取得突破，多多思考问题，形成自己的思维分析方式，同时可以积累相关定理，
熟记一些重要的小细节，使得在进行高中几何解题时能更加便利。

解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法高中数学中的立体几何问题是学习者常常遇到的难点之一。

掌握解决这类问题的技巧和方法，有助于提升学习效率和解题能力。

本文将介绍一些解决高中数学中的立体几何问题的技巧与方法，帮助学习者更好地理解和应对这个领域的挑战。

一、画图准确在解决立体几何问题时，准确的图形是解题的基础。

因此，学习者需要养成细心观察和准确描绘图形的习惯。

画图时，应注意每一个线段、角度和形状的相对关系。

可以使用直尺、圆规等工具帮助画出准确的图形，避免出现不必要的错误。

二、理解立体几何基本概念在解决立体几何问题时，理解立体几何的基本概念非常重要。

这些基本概念包括平行、垂直、对称、相似、全等等。

学习者应该熟悉并理解这些概念的几何定义和性质，以便在解题过程中能够准确地运用它们。

三、运用立体几何定理和定律高中数学中有许多立体几何的定理和定律，学习者需要熟悉并灵活运用。

例如，平行线与截线定理可以用来确定平行线与平面的关系；空间中两条垂直平分线的交点在该线段的中点等。

运用这些定理和定律，可以简化解题过程，提高解题效率。

四、利用立体几何等距原理利用立体几何等距原理是解决数学中立体几何问题的重要方法。

该原理指出，如果两个几何体的形状和大小完全相同，则它们的性质和关系也相同。

在解题过程中，如果能够找到两个或多个形状完全相同的几何体，就可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易解决问题。

五、建立几何模型为了更好地理解和解决立体几何问题，学习者可以尝试建立几何模型。

几何模型能够帮助学习者形象地展示和观察问题，从而更容易找出解题的思路和方法。

通过动手实践建立几何模型，能够增加对立体几何性质和关系的直观认识，提高解题的准确性和效率。

六、多思考、多练习解决立体几何问题需要思维的灵活性和逻辑推理能力。

学习者应该养成多思考、多练习的习惯，通过大量的练习来提高解题的技巧和速度。

在解题过程中，遇到困难或者不理解的地方，可以请教老师或者同学，进行思路的交流和互动，有助于拓宽解题思路和提高解题能力。

数学解决立体几何问题的四种常用方法数学作为一门科学，其应用范围及其广泛。

在解决现实生活中的各种问题中，立体几何问题是其中之一。

在本文中，将介绍数学解决立体几何问题的四种常用方法，分别是平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。

一、平面几何方法平面几何方法是解决立体几何问题最常用的方法之一。

该方法的基本思想是将立体几何问题转化为平面几何问题来求解。

具体来说，可以通过绘制立体几何图形的几个视图，将其分解为多个平面几何图形，然后利用平面几何中的定理和性质进行求解。

例如，对于一个立方体求其体积，可以将其展开成一个平面图形，然后计算出展开图形的面积。

再根据立方体的性质，将展开图形的面积乘以立方体高度所得的积即为立方体的体积。

二、向量法向量法是一种几何分析方法，可以有效地解决立体几何问题。

该方法利用向量的运算和性质，将立体几何问题转化为向量计算问题来求解。

在利用向量法解决立体几何问题时，首先需要确定坐标系，并定义几何体的位置和方向。

然后，通过向量运算来计算几何体的性质。

例如，对于一个平行六面体的体积，可以通过计算其底面向量与高度向量的叉积来求解。

三、投影法投影法是解决立体几何问题的另一种常用方法。

该方法利用几何体在不同平面上的投影关系，将立体几何问题转化为投影几何问题来求解。

具体来说，可以通过绘制几何体在不同平面上的投影图形，并利用投影几何的定理和性质进行求解。

例如，对于一个棱柱在某个平面上的截面积，可以通过计算棱柱的投影图形在该平面上的面积来求解。

四、立体坐标法立体坐标法是一种通过引入三维坐标系来解决立体几何问题的方法。

该方法通过确定几何体的坐标，将立体几何问题转化为坐标几何问题来求解。

在利用立体坐标法解决立体几何问题时，首先需要建立一个三维坐标系，并确定几何体的坐标。

然后，通过坐标运算来计算几何体的性质。

例如，对于一个球体求其体积，可以根据球体的坐标及其半径，利用坐标运算公式计算出体积。

总结起来，数学解决立体几何问题的常用方法有平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。

C 1A 1C有效解决立体几何问题的几条途径福州三中 林珍芳立体几何是高中数学的一大分支，也是高考考查的主干知识之一。

高考主要考查同学们的空间想象能力以及应用定理、性质解决问题的能力。

高考中常见的题型主要是“空间角”问题、“距离”问题、“线面关系判定与证明”问题及“多面体的面积、体积”问题。

本文归纳了几种解决立体几何问题的有效方法，供同学们参考。

一．降维转化解决立体几何问题的一个基本原则就是空间问题平面化， 三维的空间向二维的平面转化, 即为降维转化的数学思想。

通过降维可以构建立体几何图形与平面几何图形之间的联系。

例1( 2008年福建高考卷（理）)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D1中，AB =BC =2，AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A.3B.5C. 5D.5【分析】线面成角的关键是找到面的垂线。

由AB =BC 得A 1B 1C 1D 1是正方形，所以容易想到连结A 1C 1【解答】连结A 1C 1， 设O D B C A =⋂1111 则易得D D BB O C 111面⊥BO C 1∠∴为所求的角在BO C Rt 1∆中，510sin 111==∠BC OC BO C 。

故选D 。

【点评】“空间几何搭台，平面几何唱戏”。

往往立体几何的问题可以通过采用合理的方法把空间几何问题转化为平面几何问题，即线面成角转化为平面的解三角形。

二．构造模型例2 ( 2009年江西高考题)如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的2C 1三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 ( ) A ．O ABC -是正三棱锥 B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为45w.w.w.k.s.【分析】注意到OA, OB, OC 两两垂直, 且四面体ABCD 是一个正四面体, 可联想到特殊的几何模型——正方体。

高中立体几何最佳解题方法总结一、线线平行的证明方法1、利用平行四边形；2、利用三角形或梯形的中位线；3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。

（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两个直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法1、定义法：直线和平面没有公共点。

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。

（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法1、定义法：两个平面没有公共点。

2、如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（面面平行的判定定理）3、平行于同一个平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一条直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法1、勾股定理；2、等腰三角形；3、菱形对角线;4、圆所对的圆周角是直角；5、点在线上的射影；6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

（三垂线定理）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内的任意直线都垂直；2、点在面内的射影；3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。

（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。

立体几何中主要解题思路如下：
1.建立空间坐标系：对于三维空间中的点、线、面等几何对象，
可以通过建立空间直角坐标系来描述它们的坐标。

通过坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代数方法进行求解。

2.向量方法：向量是解决立体几何问题的重要工具。

通过向量的
加、减、数乘以及向量的模长、向量之间的夹角等性质，可以
方便地解决与长度、角度、平行、垂直等问题。

3.空间几何的性质：掌握空间几何的基本性质，如平行、垂直、
相交等，对于理解问题和寻找解题思路至关重要。

4.投影与截面：在解决与空间几何体相关的问题时，常常需要利
用投影和截面的性质。

例如，求一个几何体的体积或表面积时，
可以通过投影或截面的面积来推导。

5.转化与构造：在解决立体几何问题时，有时需要将问题转化为
更容易处理的形式，或者构造新的几何图形来帮助解决问题。

6.运用几何定理：掌握并运用基本的几何定理是解决立体几何问
题的关键。

例如，勾股定理、余弦定理、正弦定理等。

7.数形结合：在解题过程中，将代数表达式与几何图形相结合，
有助于更直观地理解问题并找到解决方案。

8.逻辑推理：在证明题中，逻辑推理是必不可少的。

通过严密的
逻辑推理，可以证明某些结论或性质。

综上所述，掌握这些解题思路对于解决立体几何问题至关重要。

通过不断练习和总结，可以提高解决立体几何问题的能力。

解答立体几何问题的五大数学思想方法学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考． １ 割补思想分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．例１ 如图１，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且,ADE BCF △△均为正三角形，EF AB ∥，2EF =，则该多面体的体积为（ ）．()A 32 ()B 33()C 34()D 23解析 本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需要考虑割补．解 如图１，作,AG BH 垂直于EF ，垂足分别为,G H ，连结,DG CH ，由A B C D E F ∥∥，则有,DG CH 垂直于EF ．由图形的对称性，2EF =，知11,2GH EG FH ===，由1B F A B ==，3BFE π∠=，2BH =，得4B C H S =△．故所求体积为111243423+⨯⨯=选()A ．例２表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）．()A ()B 13π ()C 23π ()D解析 将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱ACDFGHBE 图１，选()A ． ２ 分类讨论思想若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答．例３ 如图２，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90=∠ABC ，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．解析 分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11AC 折到平面11ACC A 上；将11BCC B 沿1BB 折到平面11ABB A 上；将11BCC B 沿1CC 折到平面11ACC A 上，比较其中EF长即可．结果为2． ３ 等价转化思想一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答． ３．１ 求距离的转化点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．例４ 如图３，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为１，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（ ）．()A 21()B42()C 22()D 23 解析 若直接过点O 作平面11ABC D 的垂线求距离，则难以操作．但若借助“过O 与平面11ABC D 平行的直线上每个点到平面11ABC D 的距离相等”，如图４，点,E F 分别是棱1111,A D B C 的中点，易知EF 过点O 且与平面11ABC D 平行，A图２1A 1EABD1DE O1BFG C1C图４1AA BD1DO1BC1C图３1A于是，只需求点F 到平面11ABC D 的距离，又可得所求为1BC 的14，即42． ３．２ 求角的转化求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答． 例５ 如图５，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， 12AB BC PA ==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．解析 若直接求直线PA 与平面PBC 所成的角，不易操作，但若根据PA OD ∥，则可转化为求OD 与平面PBC所成的角．AB BC OA OC ⊥= ，，OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥又 平面，PA PB PC ∴== ，取BC 的中点E ，连结PE ，则B C P O E ⊥平面，作O F P E ⊥于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC ，所以ODF ∠是OD 与平面PBC 所成的角．又OD PA ∥，所以PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，在Rt O D F ∆中，sin OF ODF OD ∠==，所以PA 与平面PBC 所成角的大小为． 例６ （１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos ______α=．（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．解析 对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为α，求c o sα．如图６，设,,PA PB PC 两两垂直且相等，作PO ⊥平面ABC ，则PO 与三个侧面成角相等，连结CO 并延长交AB 于D ，连结PD ，则OPD α∠=，于是cos cos sin CPOPD CPD CDα=∠=∠=，设C Pa =，则图５APDBO C图６A1C一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．例７ 如图７，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为．解析 问题转化为将三棱柱的侧面沿1AA 剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为10．３．４求体积的转化一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解． 例８ 如图９，在体积为1的三棱锥A BCD -侧棱,,AB AC AD 上分别取点,,E F G ， 使:::2:1AE EB AF FC AG GD ===，记O 为三平面,,BCG CDE DBF 的交点，则三棱锥O BCD -的体积等于（ ）．()A91 ()B81 ()C 71 ()D 41 解析 如图１０，设BG DE M =，CG DF N =，则连结,CM BN 的交点为O ，设A 到平面BCD 的距离为h ，则由:2:1AG GD =，可知点G 到平面BCD 的距离为13h ；又由23GM MB =，故M 到平面BCD 的距离为3535h h ⨯=；又由25MO OC =，故O 到平面BCD 的距离为51757h h ⨯=．三棱锥A BCD -的体积为１，故三棱锥O BCD -的体积等于71．选()C ．A1AA1A B1C CA1C 1AC1B 1B 图８BCDEF GO图９ABC D EF G OM N 图１０AB评注 本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化． ４ 向量法借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．例９ 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点． （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC PB 与所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小．解析 根据题目特征，注意到,,AB AD AP 两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．解 因为PA PD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，1(0,1,)2M ．（Ⅰ）证明：因(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥．由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ．又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ．（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC 故||2,||5,2AC PB AC PB ==⋅=，所以10cos ,||||AC PB ACPB AC PB ⋅<>==⋅，即AC 与PB 所成的角为 （Ⅲ）解：在MC上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=11(1,1,),(1,0,1,1,22NC x y z MC x y z λλ=---=-∴=-==．要使AN MC ⊥，只需0AN MC ⋅=，即102x z -=，解得45λ=．可知当45λ=时，N 点坐标为12(,1,)55，能使0AN MC =．此时，1212(,1,),(,1,)5555A N BN ==-，有0B N M C ⋅=．由0A N M C ⋅=， 0BN MC=得,AN MC BN MC ⊥⊥，所以ANB ∠为所求二面角的平面角．图１１图１２30304||,||,5AN BN AN BN ==⋅=-．2cos(,)3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅，故所求的二面角为2arccos(3-．５ 极端化方法一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决． 例１０ 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）．()A 三棱锥 ()B 四棱锥 ()C 五棱锥 ()D 六棱锥解析 对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选()D ．借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．。