数学立体几何解题技巧
数学立体几何解题技巧
1平行、垂直位置关系的论证的策略:
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高,在证明线线垂直时应优先考虑。
2空间角的计算方法与技巧:
主要步骤:一作、二证、三算;若用向量,那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角:
①平移法:②补形法:③向量法:
(2)直线和平面所成的角
①作出直线和平面所成的角,关键是作垂线,找射影转化到同一三角形中计算,或用向量计算。
②用公式计算.
(3)二面角:
①平面角的作法:
(i)定义法;
(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法:
(i)找到平面角,然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;
(ii)射影面积法;
(iii)向量夹角公式.
3空间距离的计算方法与技巧:
(1)求点到直线的距离:
经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关的三角形中求解,也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离:
一般先找出其公垂线,然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下,可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离:
一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线,进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时,我们可以
把点到平面的距离转化为直线到平面的距离,从而“转移”到另一
点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面
的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4熟记一些常用的小结论
诸如:正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件,这可能是快速解答某些问题的前提。
5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题
要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
6与球有关的题型
只能应用“老方法”,求出球的半径即可。
7立体几何读题:
(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。
(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直,线线平行、线面平行等。
高考数学立体几何解题程序
①弄清问题。
也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?
结论是什么?也就是我们常说的审题。
②拟定计划。
找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,
从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组
信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即
是我们常说的思考。
③执行计划。
以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。
④回顾。
对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。
1.60分考生赶紧去啃公式
2.80—90分奔120+的考生要总结常考题型
那些现在能考八九十分,努力要拿下120分的同学,一般缺乏的是知识框架和条理。考生可把数学大题的每一道题作为一个章节,
自己或者找老师把每章节的知识脉络捋顺。在这个基础上,再试着
总结每道大题常考的几种题型。例如,数列题基本上第一问求通项
公式(记住求通项公式常用的几种办法),第二问求前N项和(通常裂
项相消或错位相减)或者数列的证明(包括不等式证明)。这样做题的时候大部分的内容就都了然于胸。只是要符合总结的框架套路的题,
都是可以直接秒刷的,所花费的时间是用来计算、写字的。能做到
这样,120分就不在话下了。
其实要拿到120分并不难,只要分配好各种题型的丢分就可以了。选择加填空最多错3个,这个可以通过训练达到,因为大部分的题
都是固定的.。一般来说,有集合的题(称之为“简单送分的)、向量
的题(送分的)、充分必要条件的题(送分的)、复数的题(送分的),
立体几何三视图还原求体积表面积的题(经过训练就是送分的),有
的省份还有线性规划的题(经过训练也是送分的)。当你总结出题目
的出题策略时,答题就变得很简单了。
3.120+奔140+的考生要减少总体失分
分数达到120+的同学,知识框架应该有了,做题的套路也有一
些了。那么怎么提高?可以从上述丢分的地方抢分,把选填的分数拿到,把标准提高到最多错一个;大题部分就在丢分那两道题里再找提
高的空间。考生要注意,这个时候前4道大题基本是不可再丢分的,否则就永远陷在120+的循环里出不来,最后都不知道该补哪一块了。
4.140+奔150的同学要转移复习中心
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线,可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义:如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行 3、两面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面,则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行,则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义:没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行,则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截,则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线,必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直,则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义:成? 90角 2、直线和平面垂直,则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直,它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义:两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面,则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是:? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量;取值范围是:? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心:内切圆的圆心,角平分线的交点 2、外心:外接圆的圆心,垂直平分线的交点 3、重心:中线的交点 4、垂心:高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是() A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行; (3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
立体几何新题型的解题技巧 立体几何新题型的解题技巧 【命题趋向】 在高考中立体几何命题有如下特点: 1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系. 2.多面体中线面关系论证,空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现. 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现. 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为1个选择题,1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质,掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量,向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质,掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离,点到平面的距离,两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容,高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题,但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中,正是本专题的一大特色. 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
线面角的求法 1.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的元素,它可以起到联系各线段的作用。 例1 ( 如图1 )四面体ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面SAB 所成的角。(2)SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:(1) ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影, ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 (2) 连结SM,CM ,则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH /SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7/7 (“垂线”是相对的,SC 是面 SAB 的垂线,又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理,其思路是:先找出与已知平面垂直的平面,然后一面内找出或作出交线的垂线,则得面的垂线。) 2. 利用公式sin θ=h /ι 其中θ是斜线与平面所成的角, h 是 垂线段的长,ι是斜线段的长,其中求出垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 ( 如图2) 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ,求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解:设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ,∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1/3 S △AB 1C 1 ·h= 1/3 S △BB 1C 1 ·AB,易得h=12/5 ,
空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD (1)证明AB⊥平面VAD; (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=, BC=1,PA=2,E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图,在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ; (2)当E 为AB 的中点时,求点A 到面ECD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,AB =2DC =2,E 为BD 1的中点,F 为AB 的中点,∠DAB =60°. (1)求证:EF ∥平面ADD 1A 1; (2)若2 21BB ,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值.
N:5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中,AB=BC=CD,AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成60度角,求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内, 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长 8.如图,已知空间四边形OABC中,OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ,求证OA⊥BC。 9.如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE。 (1)计算DE的长; (2)求点O到平面ABC的距离。 10.如图,线段AB在平面⊥α,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,求线段BD与平面α所成的角。