考点透视立体几何是高中数学中的重要板块.立体几何问题主要是有关空间几何体图形的体积、表面积以及空间中点、线、面的位置关系问题，侧重于考查空间想象和抽象思维能力.解答立体几何问题的方法有很多种，如直接法、向量法、转化法、函数性质法、图形转化法等.本文主要谈一谈三个解答立体几何问题的技巧.一、采用直接法直接法是指直接利用立体几何的相关性质、定理、公式等解题的方法.该方法适用于求解简单的空间几何问题.在解题时，可根据题意明确问题所考查的性质、定理、公式等，直接根据相关的性质、定理、公式等来解题.例1.已知直线a ,b 以及平面α，下面说法正确的为().A.若a //α，b ⊂α,则a //b ，B.若a ⊥α，b ⊂α,则a ⊥b ，C.若a ，b 与α所成的角相等,则a //b ，D.若a //α，b //α,则a //b ，解：对于选项A ，若a //α，b ⊂α，由线面平行的判定定理以及异面直线的定义可知：a //b 或a 与b 异面，故A 错误；对于选项B ，由线面垂直的定义可知：若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b ，则选项B 正确；对于选项C ，若a ，b 与α所成的角相等，根据直线与平面所成角的定义可知：a 与b 平行、相交、不在同一平面上，故选项C 错误；对于选项D ，由a //α，b //α，当a ,b 在两个不同的平面内，根据线面平行的判定定理可得：a 与b 之间的关系存在相交、平行、异面3种情况，故选项D 错误.综合以上分析可知，选项B 为正确答案.解答这类简单的选择、填空题，通常可采用直接法，根据相关的性质、定理、公式等进行运算、推理即可.二、构造空间向量空间向量法是解答空间立体几何问题的一种重要方法.运用空间向量法解题，往往要根据立体几何图形的特点建立空间直角坐标系，然后给各个点赋予坐标，给各条线段赋予方向，用向量表示出各条线段、各个平面，通过空间向量运算求得问题的答案.例2.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D的棱长为1，线段D 1B 1上有两个动点E ，F ，且EF =，则下列结论中不正确的是().A.AC ⊥BE .B.EF //平面ABCDC.三棱锥A -BEF 的体积为定值D.异面直线AE ,BF 所成的角为定值图1解：以D 点坐标原点，以棱DA 、DC 、DD 1所在的直线为坐标轴，建立坐标系，可得A (1,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1),C (0,1,0),D 1(0,0,1),∴AC =(-1,1,0).设 EF =γD 1B 1=(γ,γ,0),∴ AC ⋅EF =γ-γ=0,∴AC ⊥EF ,又∵DB =(1,1,0)，∴ EF =γ DB ,∴EF //DB ,∴EF //平面ABCD .在三棱锥A -BEF 中，EF 的长为定值，∴△BEF 的面积也为定值，点A 到面BEF 的距离也为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积也为定值，综上所述，选项ABC 均正确，故本题答案为D .运用空间向量法解题，关键是根据几何图形的特点建立合适的空间直角坐标系.可根据已知条件和图形的特性，找到三条相互垂直且交于一点的直线，并将其视为坐标轴.有时可根据线面垂直的性质作出一条与另两条直线垂直的直线.三、利用函数的性质一般地，与动点、动直线有关的立体几何问题较为复杂，很多同学不知如何下手，其实我们可以将动点、动直线看作变量，设出相应的参数，构建关于参数或变量的关系式，将其视为函数式，通过分析该函数的单调性、有界性来求得问题的答案.张凤晴36考点透视线性规划思想是指在约束条件下研究目标函数的最值.线性规划思想常用于解答最值问题、取值范围问题.运用线性规划思想解题的基本思路是：（1）根据题意列出约束条件及目标函数；（2）画出约束条件所表示的可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值.下面结合实例谈一谈如何运用线性规划思想求解向量最值问题、概率最值问题、含参函数问题.一、求向量最值问题一些平面向量最值问题可运用线性规划思想来解答.运用线性规划思想解答平面向量问题，需首先根据向量运算法则求得最值表达式，然后选择合适的变量，将最值表达式看作目标函数，列出变量的约束条件，再画出约束条件所表示的可行域，在可行域内求目标函数的最优解.例1.已知△ABC的三个顶点分别为A()1,1，B(2,3)，C()3,2，点P()x,y为△ABC内任意一点，若OP=mAB+nAC，则m-n的最大值为____.解：∵AB=()1,2，AC=()2,1，OP=mAB+nAC=()m+2n,2m+n，∴{x=m+2n，y=2m+n，即P()m+2n,2m+n,设目标函数z=y-x=m-n，画出如图1所示的图形，当直线y=x+z经过点B()2,3时，z有最大值1，故m-n的最大值为1.图1解答该题主要运用了线性规划思想，从向量OP的坐标表达式着手，找出m、n与x、y之间的对应关系，并设置目标函数z=m-n=y-x，在△ABC内找到一点P，使目标函数取得最大值即可.二、求概率最值问题概率最值问题比较常见，一般要求根据题意求概胡胜平例3.如图2所示，已知AB为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面垂直，C为圆周上的任意一点，若∠BAC=α，PA=AB=2r,试求异面直线PB与AC之间的距离.图2解：在PB上任意取一点M,过M作MD⊥AC于点D，MH⊥AB于点H,因为PA⊥平面ABC，则PA⊥AB，则MH⊥平面ABC,则MH⊥AC，MH⊥DH,所以AC⊥平面MDH,所以AC⊥HD，设MH=t，而三角形DHM为直角三角形，所以MD2=t2+[]()2r-t sinα2=()sin2α+1[t-2r sin2αsin2α+1]2+4r2sin2αsin2α+1，即当t=2r sin2αsin2α+1时，MD取最小值,故异面直线PB与AC之间的距离为2r sinα1+sin2α.解答本题，需将MH看作变量，根据勾股定理、线面垂直的性质定理和判定定理建立关于t的二次函数式，然后将其配方，根据二次函数的单调性和最值求得问题的答案.相比较而言，直接法较为简单，且较为常用；运用空间向量法解题运算量比较大，但较为简单；函数性质法的适用范围较窄，但是比较有效.同学们在解题时，可首先采用直接法，再考虑运用空间向量、函数的性质来求解.（作者单位：安徽省砀山第二中学）37。
