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随机变量及其分布知识点整理以及高考训练一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 两点分布如果随机变量X 的分布列为 X1P 1-p p则称X 服从两点分布。

二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =.注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式：n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n kn n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，X 01… k … nP00nn C p q111n n C p q -…k k n kn C p q - …n n n C p q此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率. 六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 Xx 1 x 2 … x i … x n Pp 1 p 2 … p i … p n2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X DX X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差并称为随机变量的标准差例题练习11年山东数学高考红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.12年山东数学高考先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.13年山东数学高考甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果互相独立.（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.13年天津数学高考一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.13年北京数学高考下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。

P(B|A)= ()
=
=
2
.
3
=

4
,
15
典例分析
(2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每
次取球互不影响,
6
3
所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为10 = 5.
4
2
2
(3)依题意,每次取到白球的概率为10 = 5,且每次互不影响,故ξ~B 3, 5 ,
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
解: 设“第1次抽到理科题”为事件 A ，“第2次抽到理科题”为事件 B ，则“第1次和第2次都抽
这时称 X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)．
当 X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
要点四 超几何分布
(1) 若随机变量 X 服从超几何分布，则满足如下条件：
①该试验是不放回地抽取 n 次；
②随机变量 X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有 N 件产品，其中次品的件数分别为 M，(M≤N)，从中任取 n(n≤N)
<
>
/m
<
>
/m
<
典例分析
（2）因为 n(AB) =
>
m
<
A23
= 6 ，所以 P(AB) =
>
/m
<
>
m

记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率

随机变量及其分布知识点
随机变量是概率论的重要概念，它是指一个随机试验中的某个数值特征。

随机变量可分为离散型和连续型两种类型。

离散型随机变量只能取有限的几个或无限个可数值，例如掷骰子所得点数就是一个离散型随机变量。

离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，它指定了每个可能取值的概率。

连续型随机变量可以取任意实数值，例如一个人的身高就是一个连续型随机变量。

连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述，它指定了每个可能取值的概率密度。

常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

这些分布函数具有特定的形式和性质，可以用于描述和分析各种随机现象的概率分布。

随机变量及其分布是概率论和数理统计的基础知识，它们在实际应用中具有广泛的应用，例如金融、统计学、物理学、工程学等领域。

对于学习和掌握这些知识点，需要熟悉概率论的基本概念、运算法则和常用的分布函数，同时还需要具备一定的数学基础和逻辑思维能力。

- 1 -。

第二章随机变量及其分布内容提要：一、随机变量的定义设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。

二、分布函数的概念和性质1．分布函数的定义设是随机变量，称定义在上的实值函数为随机变量的分布函数。

2．分布函数的性质(1) ，（2）单调不减性：，（3）（4）右连续性：。

注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。

在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。

（5）注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、离散型随机变量1．离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布律（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为或用表格表示：x1 x2 … x n…p k P1 p2… p n…或记为~（2）性质：，注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

其中。

注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的分布函数=，它是右连续的阶梯状函数。

4．常见的离散型分布（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为即0 1p 1–p p（2）二项分布（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。

（ⅱ）二项分布的定义设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为，，称随机变量服从参数为的二项分布，记作。

注：即为两点分布。

（3）泊松分布：若随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。

高中数学系列2—3练习题（2.1）一、选择题：1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数； B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 1316aA ．12B ．16C ．13D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,kP X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1； B ．12； C ．13； D ．145、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163 B. 41 C. 161 D. 165 6、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 8、设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,kP X k k n λ==⋅=⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．14二、填空题：9 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）X-1 0 1 p 0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1,2,3,4,5,P X k k k===④⑤()12,1,2,3,,21k n P X k k n -===-10、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为 三、解答题：12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.高中数学系列2—3练习题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、A6、C7、D8、C 二、填空题：9、 ③④ 10、13579,1,,2,,3,,4,,52222211、 3,4,5三、解答题：12、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．13、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． X 10 －1 P74 71 7214、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X 24 8 16 ．．．n 2．．． P21 41 81 161 ．．． n21 ．．．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．。

概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)( )(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kk n n k n kn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (m , s 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xy dvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望 ∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X EX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机 量的分布列一 般 地 ， 离 散 型 随 机 量 X 可 能 取 的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取 每 一 个 x i (i1,2, , n) 的 概 率P( Xx i ) p i ， 称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机 量 X 的概率分布列， 称X 的分布列 .离散型随机 量的分布列具有下述两个性 ：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机 量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 事件X k 生的概率 ：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机 量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。

注：超几何分布的模型是不放回抽 二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且 P( A)0 ,称P(B | A)P( AB )在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条件概率 .P( A)0≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C 互斥，那么 P[( B U C ) | A] P( B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB) P( A)P( B) ), 称事件 A 与事件B 相互独立。

即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 ，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。

随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=常见的两种分布： 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k MN M n NC C P X k k m C--===则随机变量X 的概率分布列如下：{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。

注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记iA 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=八、正态分布1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3．3σ原则：对于正态总体),(2σμN 取值的概率：练习：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。

高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。

在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。

本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。

一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。

随机变量的取值可以是离散的或连续的。

离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。

二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。

概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。

概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。

三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。

离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。

1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。

例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。

例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。

离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。

期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。

第二章随机变量及其分布2.1随机变量为全面研究随机试验的结果，皆是随机现象的统计规律性，需要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.2.1.1随机变量的定义定义一：设Ω为随机试验E 的样本空间，若对Ω中的每一个样本点ω都有一个确定的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX X =为定义在Ω上的随机变量.随机变量通常用大写字母X、Y、Z 或希腊字母ηξ，等表示，而表示随机变量所取的值时，一般用小写字母x,y,z 等表示.2.1.2引入随机变量的意义随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类.非离散型随机变量最重要的是连续型随机变量.2.1.3随机变量的分布函数定义二：设X 是一个随机变量，称+∞<<-∞≤=x x X P x F },{)(为X 的分布函数.对任意实数)(,2121x x x x <，随机点落在区间（21,x x ]内的概率为：)()(}{}{)(121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=<<分布函数的性质：(1)1)(0≤≤x F (2)非减(3),0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x 事实上，由事件+∞≤-∞≤x x 和分别是不可能事件和必然事件(4)右连续)()(lim 00x F x F x x =+→2.2离散型随机变量及其概率分布2.2.1离散型随机扮靓及其概率分布定义三：设X 是一个随机变量，如果他的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称X 是离散型随机变量.设随机变量X 的全部可能取值为，，，，，n i x i ...21=X 取各个可能取值的概率n i x p x X P i i ，，，，...21)()(===，则称为随机变量X 的分布律，离散型随机变量X 的分布律也可以表示为：X X1X2...Xn ...P(X)P(x1)P(x2)...P(xn)...离散型随机变量X 的分布律满足：(1)),...(,...,2,1,0)(非负性n i x p i =≥(2))(1)(1规范性=∑+∞=i i x p 易得X 的分布函数为：)(}{}{)(∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i x p x X P x X P x F 即，当i x x <时，0)(=x F ；当1x x <时，0)(=x F ；当21x x x <<时，)()(1x p x F =；当32x x x <<时，)()()(21x p x p x F +=；......当n n x x x <<-1时，)(.....)()()(21n x p x p x p x F +++=；......2.2.2常用离散型随机变量的分布1.两点分布（“0-1”分布）定义四：若一个随机变量X 只有两个可能取值21x x ，，且其分布为：10,1)(,)(21<<-====p p x X P p x X P 则称X 服从21x x ，处参数为p 的两点分布.2.二项分布若随机变量X 的全部可能取值为0，1，2，...，n，且其分布律为，，，，，n k q p C p k X P k n k k n ...,210,)(===-其中，0<p<1,q+p=1,则称为X 服从参数为n，p 的二项分布，或称X 服从参数为n，p 的伯努利分布，记为)(~p n B X ，3.泊松分布定义五：若一个随机变量X 的分布律为：...210,0,!)(，，，=>==-k k e k X P kλλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作)(~λP X .易见：(1)...210,0)(，，，=≥=k k X P (2)1!!}{00=====-+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑λλλλλλe e k e k ek X P k k k k k 4.二项分布的泊松近似引言：对于二项分布B(n,p)，当实验次数n 很大时，计算其概率很麻烦.例如:10001,5000(~B X 定理1：（泊松定理）在n 次伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与实验的次数有关），如果∞→n 时，λ→n np （λ》0为常数），则对于任意给定的k,有!)1(lim k ep p C kkn kk nn λλ--∞→=-(np =λ)2.3连续型随机变量及其概率密度2.3.1连续型随机变量及其概率密度定义六：设)(x F 为随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=x dt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率密度函数或分布密度函数，简称概率密度.概率密度具有下列性质：(1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 连续型随机变量的性质：(1)连续型随机变量X ，若已知其密度函数)(x f ，则根据定义，可求其分布函数)(x F ，同时，还可求得X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率为⎰=-=≤<ba dxx f a F b F b X a P )()()(}{(2)连续型随机变量X 取任意指定值)(R a a ∈的概率为零，因为⎰∆-→∆→∆=<<∆-==axa x x dxx f a X x a P a X P )(lim }{lim }{00故对连续型随机变量X ，则有⎰=-=<<=≤≤ba dxx f a F b F b X a P b X a P )()()(}{}{(3)若)(x f 在点x 处连续，则)()('x f x F =2.3.2常用连续型随机变量的分布1.均匀分布定义七：若连续型随机变量X 的概率密度=)(x f 其他bx a ab <<⎪⎩⎪⎨⎧-,,01则称X 在区间（a,b）上服从均匀分布，记作),(~b a U X 易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 求得其分布函数：.;;,,,10)(b x b x a a x a b ax x F ≥<<≤⎪⎩⎪⎨⎧--=2.指数分布定义八：若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ其中，0>λ是常数，则称X 服从参数λ的指数分布，简记为)(~λe X .易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 易求出其分布函数：⎩⎨⎧>-=-其他。

一、离散型随机量的分布列一般地，离散型随机量X 可能取的x1 , x2 , , x i , , x n，X取每一个x i (i 1,2,, n) 的概率P( X x i ) p i，称以下表格X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n随机量X 的概率分布列，称X 的分布列 .离散型随机量的分布列具有下述两个性：（ 1）P i≥0, i1,2, , n （2） p1p2p n11．两点分布如果随机量X 的分布列X01P1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率.2．超几何分布一般地，在含有 M件次品的 N件品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，事件X k 生的概率：P( X k)C M k C N n k M, k0,1,2,3,..., mC N n随机量 X 的概率分布列如下：X01⋯mC0C n 0C1C n 1C m C n mP M N M M N M⋯M N MC N n C N n C N n其中 m min M , n ,且n N, M N ,n,M , N N *。

注：超几何分布的模型是不放回抽二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且P( A)P( AB)0 ,称 P( B | A)在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条P( A)件概率 .0 ≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C互斥，那么P[( B U C ) | A] P(B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB)P( A) P(B) ), 称事件A 与事件B 相互独立。

即 A 、 B 相互独立 P( AB)P( A) P(B)一般地，如果事件 A ,A, ⋯,An 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概12率的 ，即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 )P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件 ：指同一次 中的两个事件不可能同 生；(2) 相互独立事件 ：指在不同 下的两个事件互不影响. 四、 n 次独立重复一般地，在相同条件下，重复做的n 次 称 n 次独立重复 .在 n 次独立重复 中，A i 是“第 i 次 的 果” ， 然， P( A 1 A 2A n ) P( A 1 ) P( A 2 ) P( A n )“相同条件下”等价于各次 的 果不会受其他 的影响注 : 独立重复 模型 足以下三方面特征第一：每次 是在同 条件下 行；第二：各次 中的事件是相互独立的；第三：每次 都只有两种 果，即事件要么 生，要么不 生.n 次独立重复 的公式：一般地，在 次独立重复 中， 事件生的次数X ，在每次 中事件 生的概率，那么在 次nAApn独立重复 中，事件恰好 生 k 次的概率AP( Xk) C n k p k (1 p)n kC n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q1 p) ，而称 p 成功概率 .五、二 分布一般地，在 n 次独立重复 中，用X 表示事件 A 生的次数， 每次 中事件A 生的概率p ，P( Xk) C n k p k (1 p)n k ， k 0,1,2, , nX1⋯ k ⋯nPC n 0 p 0q n C n 1 p 1q n 1 ⋯ C n k p k q n k ⋯C n n p n q 0此 称随机 量 X 服从二 分布， 作 X ~ B(n, p) ，并称 p 成功概率 .六、离散随机 量的均 （数学期望）一般地，随机 量 X 的概率分布列X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 E( X ) x1 p1x2 p2x i p i x n p n为 X 的数学期望或均值，简称为期望. 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y也是变量Y ax 1 b ax 2 b ⋯ ax i b ⋯ ax n bP p1p2⋯p⋯pni则EY aE ( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1p0 (1p)p即若 X 服从两点分布，则E( X )p3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n则称 DX(x1E( X )) 2 p1 (x2E( X ))2 p2( x n E( X )) 2 p n为随机变量 X的方差.并称 DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X )p(1p) 2．若X ~ B(n, p)，则D ( X ) np(1p) 3．D (aX b)a2 D( X )。

C k C n kC M C N M随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为X i ，X 2， , X i ， ,X n ,X 取每一个 值x(i 1,2, ,n)的概率P(X X i ) P i ，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称 X 的分布列.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质: (1) P > 0,i1,2, , n(2)P i P 2P n 1常见的两种分布: 1. 两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称P =P (X =1)为成功概率. 2. 超几何分布一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品， 则事件X k 发生的概率为：则随机变量X 的概率分布列如下:其中 m min M , n ,且 n N, M N,n ,M,N N注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率三、相互独立事件设A , B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即P(AB) P(A)P(B)),则称事件A 与事件B 相互独立。

即A B 相互独立 P (AB)P(A)P(B)一般地，如果事件 A I ,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这 n 个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AA …A n ) P(A)P(A 2)…P(A n ). 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.一般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 发生的条件下，事件B 发生的条件概率 0,称 P(B |A)P(AB) P(A)为在事件A四、n次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.在n次独立重复试验中，记A是“第i次试验的结果”，显然，P(A I A2代)P(A)P(h) P(代)“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k k n kP(X k) C n P (1 p) ，k 0,1,2, ,n此时称随机变量X服从二项分布，记作X ~B(n, p)，并称p为成功概率.则称E(X) X1P1 X2P2 X j P j X n P n为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1.若Y aX b，其中a, b为常数，则Y也是变量贝y EY aE(X) b，即E(aX b) aE(X) b2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1 p 0 (1 p) p即若X服从两点分布，则E(X) p3.若X ~ B(n, p)，则E(X) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差般地,若离散型随机变量X的概率分布列为八、正态分布1.正态分布一般记为N( [L,a2).U为正态分布的均值；彷是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交.(2)曲线关于直线x =卩对称.(3)当x =卩时，曲线位于最高点.(4)当x Vy时，曲线上升(增函数)；当x>y时，曲线下降(减函数) .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.(5)卩一定时，曲线的形状由彷确定.彷越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“高” ，总体分布越集中；3. 3（T 原则:对于正态总体N （ , 2）取值的概率:练习：1. 正态分布有两个参数 与，（）相应的正态曲线的形状越扁 平。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

随机变量及其分布知识点总结(一)前言•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，是描述随机现象的数值特征的数学工具。

深入理解随机变量及其分布有助于我们对概率和统计的理解，从而更好地应用于实际问题的解决。

•本文将介绍随机变量的定义与分类、随机变量的概率分布函数与密度函数、常见的随机变量分布及其特性。

正文1. 随机变量的定义与分类•随机变量是随机试验结果的实值函数，通常用大写字母表示，如X、Y等。

它可以是离散的（只能取有限或可列个值）或连续的（可以取任意实数值）。

•离散随机变量表示一个事件的可能结果是离散的，例如掷骰子的点数。

•连续随机变量表示一个事件的可能结果是连续的，例如人的身高或温度的测量值。

2. 随机变量的概率分布函数与密度函数•对于离散随机变量，其概率分布函数（Probability Mass Function，PMF）表示随机变量取某个特定值的概率。

•对于连续随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示连续随机变量在某个数值范围内取值的概率密度。

•概率分布函数和概率密度函数都具有以下特点：非负性、归一性和单调性。

3. 常见的随机变量分布及其特性3.1. 离散随机变量分布•伯努利分布：描述两个可能结果的随机试验。

•二项分布：描述多次伯努利试验中成功次数的随机变量。

•泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的随机变量。

3.2. 连续随机变量分布•均匀分布：在一个区间上的取值是等可能的。

•正态分布：一种常见的连续随机变量分布，呈钟形曲线，常用于自然和社会科学中建模。

•指数分布：描述独立随机事件发生时间间隔的分布。

结尾•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过对随机变量、概率分布函数、概率密度函数以及常见的分布特性的学习，我们可以更好地理解随机现象，并在实际问题中应用概率和统计的方法。

•随机变量及其分布的深入研究对统计学、机器学习、金融等领域具有重要意义，帮助我们更好地分析数据、建立模型、做出决策。

随机变量可以看作是样本空间中每一 个样本点的一个函数，它将每一个样 本点映射到一个实数上。
随机变量的分类
离散随机变量
离散随机变量的取值可以列举出来，如投掷一枚骰子出现的点数。
连续随机变量
连续随机变量的取值范围是连续的，如人的身高、体重等。
随机变量的数学表示
离散随机变量常用概率分布列表示，如二项分布、泊松分布等。
连续随机变量常用概率密度函数表示，如正态分布、指数分布等。
PART 02
离散型随机变量及其分布 律
REPORTING
WENKU DESIGN
离散型随机变量的定义
离散型随机变量是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，其取值范围称为样本空间，样本空间 中的每一个元素称为样本点。
离散型随机变量的取值可以是整数、分数等，但取值范围必须是有限的或者可数的。
协方差的计算公式为： Cov(X,Y) = Σ[(x-E(X))*(yE(Y))*p(x,y)]，其中x、y分 别是两个随机变量的取值， p(x,y)是相应的联合概率。
相关系数是协方差与两个 随机变量标准差的乘积之 比，用于衡量两个随机变 量的线性相关程度。
相关系数的计算公式为： ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X)*σ(Y))，其中σ(X)、 σ(Y)分别是X、Y的标准差。
方差
01
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，表示随机变量取值 偏离期望值的程度。
02
方差的计算公式为：Var(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]，其中x是 随机变量的取值，p(x)是相应的概率。
03
方差具有非负性，即Var(X) ≥ 0。
协方差与相关系数
协方差是衡量两个随机变 量同时取值的分散程度和 趋势的量。

第一章随机变量基础1 历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？答: 随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。

这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。

1907 年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。

1923 年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。

随机过程一般理论的研究通常认为开始于20 世纪30 年代。

1931 年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934 年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。

1953 年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

2 全概率公式的含义？答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。

3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。

概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。

4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf ）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。

5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。

6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。