新人教A版安阳一中数学必修一3.2函数模型及其应用教学参考课件

y＝ mlogax＋ n(m， a， n为 常 数 ， m≠ 0， a>0且a≠ 1) y＝ axn＋ b(a， b为 常 数 ， a≠ 0)
ax＋ b x<m ， y＝
cx＋ d x≥ m
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2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
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PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
[自主预习 · 探新知 ]
1． 常 见 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 (2)二 次 函 数 模 拟
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1 t
32－ 24＝ (88－ 24)×2 ， ∴ t＝ 30.
64 8
因 此 ， 需 要30min， 可 降 温 到32℃ .
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[规律方法] 已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数 模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值
它 们 发 展 到 ( )
A． 300只
B． 400只
C． 600只
D． 700只
A [将x＝ 1， y＝ 100代 入y＝ alog2(x＋ 1)得 ， 100＝ alog2(1＋ 1)， 解 得a＝ 100.所 以x＝ 7时 ， y＝ 100log2(7
＋ 1)＝ 300.]
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常 用(3)指 数 函 数 模 型 函 数(4)对 数 函 数 模 型 模 型(5)幂 函 数 模 型

典例精讲
题型一 函数模型的选择
少弧度时，扇形面积最大？
例1 扇形的周长为c(c>0)，当圆心角为多
c 所以0<r< . 2 c c 1 1 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0<r< ), 2 2 2 2 2 c
当r= 时， Smax=
此时|α|= l =
r
(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0,
2
2
c . a 2
a
2(2 a
a
4)
1 6
当且仅当α= 4 ，即α=2时，等号成立. 所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最
大，为
c 1 6
2
.
为自变量，运算较大且需用到均值不等 式等技巧，而方法一以半径为自变量， 是一个简单的二次函数模型.同样，若以 弧长l为自变量，也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中，要合理选择自 变量.
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种 方式是月租20元，B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间（分钟） 与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种方式的电 话费相差（ A ） A.10元 C.30元 B.20元
4 0 D. 元 3
中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是 空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对 数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求：
（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系； a （2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升? 8 (1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt， 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， ln2.所以y1=ae . a 已知函数模型求参数值，关键是 a 点评 当y1= 时,有 =ae t=15(分钟). 8 8 根据题设条件建立方程求解 . a 所以经过15分钟木桶1的水是 . 8

C A由.3题.71设元知,f(5.5)=1B.0.36.×97(元0.50×［5.5］+1) =1,06C×.4(.02.45元×6+1)=4.24D.故.4.选77C元.
2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规
2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题 的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关 系，选择适当的方法加以解决.
3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问 题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小， 效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的 性质和数学方法.
4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数 中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际 意义.
律,其中最接近的一个是( )
B
A.y=2x-2 C.y=log2x
B.y= (x2-112) D.y=( )x 1
2
将各组数据代入验证，选B.
3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20 元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时 间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当 打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）
0
t0
(A)
t0
t0
(B)
t 0 （Ct)0
t0
t0
(D)
24
问题2
韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道洪泽出租车的价格，凡上车起步 价为4元，行程不超过3km者均按此价收费， 行程超过3km，按1.5元/km收费。 县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车 用了多少钱？

解得 a＝ 1 3 425 ，b＝－ ，c＝ ， 200 2 2
1 2 3 425 故 Q＝ t － t＋ . 200 2 2 1 ②Q＝ (t－150) 2＋100， 200
∴当 t＝150 天时，西红柿种植成本最低为 100 元/102kg.
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1．通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学 模型方法，简称数学建模．在函数模型中，二次函数模型占有重要的 地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、
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3．2.2 函数模型的应用实例
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目标要求
1.进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问
题的意识． 2．进一步尝试用函数描述实际问题，通过研究函数的性质解 决实际问题． 3．了解数学建模的过程.
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0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
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该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入 A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方 案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月 可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 思路分析：只给数据，没明确函数关系，这样就需要准确地画 出散点图．然后根据图形状态，选择合适的函数模型来解决实际问 题．
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温馨提示：根据题中给出的数据，画出散点图，然后观察散点 图，选择合适的函数模型，并求解析式的问题，这是本节新的解题思 路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他的数据点，观察 结果的差异．
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解 决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就

解应用题类似,故称为方程法.
题型一
题型二
题型三
已知函数模型的应用题
【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度
是θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1θ0)e-kt求得,这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某
种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温
∴2=

e2 ; ∴k=2ln
2,∴y=e2tln 2=22t.
∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2
1 024
题型一
题型二
题型三
建立函数模型的应用题
【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是
M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有
1
数问题,即实际问题函数化;
第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函
数问题的解;
第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检
验所得的结论是否符合实际问题的意义.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记
鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现
− 2 log3 100
= 1.
1


∴ 2 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.
题型一
题型二
题型三
易混易错题
易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制

3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几种不同增长的函数模型
通过网站的点击量实例，让学生感性认识到几类不同函数的增 长模型，了解增长速度，感性上认识这几类增长情况，从而引入课 题；通过对例题的讲解，让学生明白这三类增长型函数模型的不同 点，演示它们的函数图象和发展趋势，深入了解增长的幅度；本节 课的重点为：函数模型的建立思路和求解过程，难度是如何建立函
时间/小时
函数模型的建立 假如你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三 种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？
方案一：每天回报40元；
y/元
增量/元 10 10 10 10 10 10 10 10 10 … 10
y/元
增量/元 0.4 0.8 1.6
1
2 3
40
40 40
0 0
0
10
20 30
40 50 60 70 80
0.4
0.8 1.6
3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
4
5 6 7 8 9 … 30
40
40 40 40 40 40 … 40
数模型。 教学过程中渗透数形结合思想和化归思想，让学生深入理解
增长函数的模型不同点和相同点，并会在求解实际问题中灵活 运用。可以适当的配以例题进行强化与练习，达到学生“不怕 函数应用题”的目的君鹏你妈妈喊你回家做作业》贴子。
思考1：大家觉得这样的结论可靠吗？你有什么担忧吗？
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。

我们来看两个具体问题：
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方 案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报 10元 方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一 天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案？
y 0.4 2 分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案 ： y=40,y=10x, 通过比较它们的增长情况，为选择投 资方案提供依据。
y 0.4 2 x1
我们看到，底为 2的指数函数模型比 线性函数模型增长 速度要快得多。从中 体会“指数爆炸“的含义。
160 120 80 40
y= 10x
y=40
o
２ ４ ６ ８ 10 12 x
下面再看累计的回报数：
回报/ 元 方案 天 数
1 2403来自4 567
8
9
10
11
一 二 三
80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8
结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案；
投资8－10天，应选择第二种投资方案；
投资10天以上，应选择第三种投资方案。
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个奖励模型： y log7 x 1, y 1.002x ,其中哪个 y＝0.25X， 模型能符合公司的要求？

0.0221
对于已给出模型的函数问题：
1、根据已知的部分数据，用待定系数确定函数 的解析式；
2、利用计算器或计算机作出散点图，对得到的 函数解析式进行拟合检验；
3、运用已经求出的函数模型解决相应的问题.
变式、(1)已知1650年世界人口为5亿，当时人 口的年增长率为0.3%；用马尔萨斯人口模型计 算，什么时候世界人口是1650年的2倍？
,
0t 1
2004
1t 2 2t3 S
50t2004 0t1
80(t1)20541t2 90(t2)21342t3
75t 3 220 , 3 t 4
65
t
s(k4m)
295 ,
4
t
5
75(t3)22243t4
65(t4)22994t5
360
295
2004
220
130
50
图像向上整体移2004个单位
3.2.2函数模型的应用实例
学习目标
1、能根据图象和表格提供的有关信息和数据， 建立确定函数模型；
2、会利用建立的函数模型解决实际问题以及会 对给出函数模型进行简单的分析和验证；
3、提升学生阅读理解、抽象概括、数据处理、 语言转换、数学建模等数学能力.
1、请同学们说说我们已经学过哪些函数模型？ （1）、一次函数型 yk xb,k0
然状态下的人口增长模型：y y0ert，其中t表示经过的
时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是我国1950～1959年的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

(5) y＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
而在实际问题中，有的能应用已知的函 数模型解决，有的需要根据问题的条件建立 函数模型加以解决．
学以致用
例 1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一 天多回报 10 元；
函数模型的应用（2）
温故知新
我们曾经用过的函数模型： (1) y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数， (2)
a≠0)
y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 (3)
且 a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n 为常数，m≠0，
(4) a>0 且 a≠1)
例 2 某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备 制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y (单位：万 元)随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖
金总数不超过 5 万元，同时奖金不超过利润的 25%．现
有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其 中哪个模型能符合公司的要求？
问题 3 根据题目条件，你认为应该选择哪 个奖励模型才符合公司的要求？
追问 1：公司提出的要求与函数的什么性质 有关？这对选择函数模型有什么帮助？
这个例题提供了三个不同增长方式的奖励模型，按 要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润 的关系．由于公司总的利润目标 1000 万元，所以销售人 员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需 在区间［10，1000］上，寻找并验证所选函数是否满足 两条要求：第一，奖金总数不超过５万元，即最大值不 大于 5；第二，奖金不超过利润的 25％，即 y≤0.25x．

第三章 函数的应用
(2)依题意并结合(1)可得
60x，0≤x≤20， f(x)＝13x200－x，20＜x≤200.
当 0≤x≤20 时，f(x)为增函数，故当 x＝20 时，f(x)在区间[0,20]
上取得最大值 60×20＝1 200；
当
20＜x≤200
时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋10
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[解] (1)由 v＝12log310θ0可知，
第三章 函数的应用
当 θ＝900 时，
v＝12log3910000＝12log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s.
(2)由 v2－v1＝1， 即12log31θ020－12log31θ010＝1，
格为( )
A．0.972 元
B．0.972a 元
C．0.96 元
D．0.96a 元
答案：B
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第三章 函数的应用
3．某物体一天内的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)＝t3－3t＋60， 时间单位是 h，温度单位是℃，t＝0 时表示中午 12：00，上午 8：00 时的温度为________℃.
答案：8
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第三章 函数的应用
4．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少2x时面积最
大，此时 x＝________，面积 S＝________.
答案：1
25 2
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第三章 函数的应用
5．某人从 A 地出发，开车以每小时 80 千米的速度经 2 小时 到达 B 地，在 B 地停留 3 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位： 千 米 ) 是 时 间 t( 单 位 ： 小 时 ) 的 函 数 ， 则 该 函 数 的 解 析 式 为 ____________．