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第二部分课后习题第1章技术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。
对或错？True or false ?If ()V y is a convex set,then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。
理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。
首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。
从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。
考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。
生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){}v y x x y =≥:是凸集。
2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology 11122()y a x a x ρρρ=+when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+-根据替代弹性的定义：()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =,what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为：()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-===第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x εis the elasticity of scale and ()i x εis the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。
第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。
Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。
这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。
假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。
2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。
3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。
第19章时间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。
证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19.Show that consumption in an arbitrary period t isgiven by证明：对数效用为：()11ln T t T t t U c c c α= =∑，…，（1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t t t t c s t c w α=== =∑∑∑（2）建立拉格朗日函数：111ln T T T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑（3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。
每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。
新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。
此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。
让我们在一个简单模型中分析这种说法。
假设公寓持续两个时期。
令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。
假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。
最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。
（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。
（d）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.”Each year landlords areallowed to increase their rents by 3/4of the rate of inflation.Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please.Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level,the supply of new housing will not be discouraged.Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2periods.Let r be the nominal rate of interest and πbe the rate of inflation.Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1will be p and the rent in period 2will be ()1p π＋.Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p .Finally,let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization,what must be the equilibrium relationship between the period 1rental pricep and the marginal cost of constructing a new apartment?（b）If the rent stabilization plan is adopted,what will this relationship have to be?（c）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of new apartments without rent stabilization.（d）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：求解均衡时的租金的价格可以得到：（b）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：（c）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。
第23章 公共物品1．考虑如下博弈作为两个当事人在离散公共物品情况下公共物品问题的一个解。
每一当事人宣布一个“出价”i b 。
如果12b b c +≥，就提供这一物品且每个当事人支付其出价额；否则就不提供公共物品，每个当事人也无需支付什么。
有效的结果是这一博弈的一个均衡吗？有其他的均衡吗？Consider the following game as a solution to the public goods problem in the case of a discrete public good with two agents. Each agent i states a “bid ”, i b . If 12b b c +≥, the good is provided and each agent pays their bid amount; otherwise,the good is not provided and neither agent pays anything. Is the efficient outcome an equilibrium to this game? Is anything else an equilibrium?答：假设当事人1愿意为公共品支付的最高价格为1v ，而他的实际报价为1b ；当事人2愿意为公共品支付的最高价格为2v ，而他的实际报价为2b ；给定当事人2的报价2b ，当事人1的反应函数为：类似地，当事人2的反应函数为：根据上面两个反应函数可知：①当12v v c +>时，任意满足1122b v b v ≤ ≤，以及12b b c +=的报价都构成纳什均衡。
公共品得到提供。
②当12120v c v c b b ==＜，＜时，也是一个纳什均衡，但此时公共品得不到提供。
2．假设1u 和2u 在()i x G ，上都是位似的。
推导纳什均衡时贡献水平的条件。
第8章选择1．弗兰克·费雪的支出函数是()e p u ，，他对开玩笑的需求函数是()j x p m ，，其中p 为价格向量，收入0m 。
证明：对弗兰克而言，当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is ()e p u ，.His demand function for jokes is ()j x p m ，,where p is vector of prices and 0m is his income.Show that jokesare a normal good for Frank if and only if 2/0j e p u ∂∂∂>.证明：恒等式()()()/j j j x p m h p v p m e p v p m p ≡ ≡∂ ∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，，，，，两边关于m 求导得：()()()2ji e p v p m x v p m m p u m∂ ∂∂ =⋅∂∂∂∂，，，，由于收入的边际效应/v m ∂∂一定为正，故当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，0j x m∂>∂，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。
验证对角线各项是负的，交叉价格效应是对称的。
Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods.Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：()11212a au x x x x - =，，在两边取对数，两种物品的需求函数可以通过解下式导出：()1212max ln 1ln x x a x a x +-，满足1122p x p x m+=将约束条件代入目标函数得到：()11112max ln 1lnx a x a p -+-解出物品1的马歇尔需求为：()1121am x p p m p =，，代入预算约束得出物品2的马歇尔需求为：()()11221a mx p p m p - =，，简化起见，令1a a =，21a a =-，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：111222a m x p a m x p ==由斯拉茨基方程：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =-∂∂∂，，，，，中可以得出替代效应：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =+∂∂∂，，，，，将需求函数分别对1p 、2p 、m 求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：22211111112121122212122222a mp a mp a a mp p a a mp p a mp a mp --------⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：1112121221h h a a mp p p p --∂∂==∂∂3．假设一个消费者具有线性需求函数x ap bm c =++。
第28章博弈论1．考虑重复囚徒博弈中的针锋相对策略。
假设当一个参与人意在采取合作策略时却出了疏忽而选择了背叛策略，如果接下来两个参与人继续采取针锋相对的策略，结果会怎么样？答：针锋相对的策略是指博弈双方的每一方都采取另一方在前一局的策略。
所以如果博弈双方之前一直采取合作策略，而在某一局，第1个参与者在他打算采取合作策略的时候出了差错而采取了背叛策略，那么第2个参与者在下一局将以背叛策略作为对第1个参与人在本局采取背叛策略的反应。
然后第1个参与人又以背叛策略作出反应，因此每个参与人都不断地以背叛策略作为对另一个参与人采取的背叛策略的反应。
这个例子说明，如果博弈中某个选手不慎犯错，他应该及时沟通，否则大家将一直背叛到底，这样的结果显然不是帕累托有效率的。
也就是说，在这种情形下，以牙还牙不再是一个很好的策略。
2．占优策略均衡总是纳什均衡吗？纳什均衡总是占优策略均衡吗？答：第一问正确；第二问错误。
在静态博弈中，一个参与人采取占优策略（行动）时不用考虑其对手的策略（行动），这样如果所有参与人都采取占优策略，将会出现给定对方的策略，他采取的正是最优策略的情况，从而形成纳什均衡。
不过并非所有的纳什均衡都是占优均衡，一个反例如表28－1所示。
表28－1 非占优均衡的纳什均衡该博弈有纳什均衡（0，0）和（1，3），对A而言，“上”并非其占优策略，同样，“左”也不是B的占优策略。
3．假定博弈的一方没有采取纳什均衡策略。
那么，另一方还应该选择纳什均衡策略吗？答：另一方不一定选择纳什均衡策略。
因为一个人的纳什均衡策略，只有在其对手采用纳什均衡策略时才是最优的，但是如果对手不这么做，那么，己方就可能有更好的选择。
4．一次性的囚徒困境博弈所实现的占优纳什均衡策略是帕累托低效率的。
假设允许两名囚徒在服刑期满后可以相互进行报复。
这将影响到博弈的哪个方面？它会导致帕累托有效率的结果吗？答：如果允许囚徒报复，则该博弈的支付矩阵就会发生变化，这就有可能导致帕累托有效的结果出现。
第11章不确定性r w v。
1．证明：为避免一个方差为v的小赌博，受益者负担近似等于()/2Show that the willingness-to-pay to avoid a small gamble with variance v is r w v.approximately()/2证明：假设赌博的收益为随机变量z，相应的均值和方差为w和v，再假设消费者为了避免赌博最多愿意支付a元。
从而有如下的恒等式：（1）u z作近似的泰勒展开得到（注意，这只是一个小赌博，所以二阶泰勒展开足以逼对()近原函数）：从而，把此式代入（1）式中得到：（2）又因为，结合（2）式可知：2．若风险规避为常数，预期效用函数为何种形式？如若相对风险规避为常数，预期效用函数为何种形式？What will the form of the expected utility function be if risk aversion is constant? What if relative risk aversion is constant?答：如果风险规避为常数，则有：求解该微分方程得到()12rx u x c e c -=-+，这里1c 和2c 是任意的常数。
因为()u x 是单增的，所以必有10c ＞，由于单调变换不改变效用函数代表的偏好关系，所以风险规避为常数的效用函数也可以写作：()rxu x e -=-如果相对风险规避为常数，则有：解该微分方程得到预期效用函数为：3．预期效用函数为何种形式，在风险资产上的投资才会独立于财富的变化？For what form of expected utility function will the investment in a risky asset be independent of wealth?答：首先陈述一个定理：假设投资者的总财富是w ，他在风险资产上的投资为a ，方便起见，假设无风险资产的收益率为0，风险资产的收益率为随机变量 R ，那么对投资者而言，他在风险资产上的最优投资数量()a w *依赖于他的总财富，特别地，()a w *关于w 的一阶导数为：4．考察预期效用方程为二次方程的情况，证明在某一财富水平边际效用是递减的。
第15章博弈论1．计算便士匹配博弈中的所有纳什均衡。
Calculate all the Nash equilibria in the game of Matching Pennies.答：表15-1为便士匹配博弈的支付矩阵。
表15-1便士匹配博弈这是一个典型的零和博弈。
在零和博弈里，不存在纯策略纳什均衡，唯一的混合策略纳什均衡为每一局中人以12／的概率选择正面或反面，此时混合策略纳什均衡的收益均为0。
根据同等支付原则，此时以12／的概率选择正面或反面的策略为混合策略纳什均衡。
2．在有限重复囚犯悖论博弈中，证明了一个纳什均衡为每一回合都背叛，请证明它事实上也是占优均衡。
In a finitely repeated Prisoner’s Dilemma game we showed that it was a Nash equilibrium to defect every round.Show that,in fact,this is the dominant strategy equilibrium.答：令r和2r为行参与人的两个策略。
1r严格占优于2r是说，不论列参与人选择何种策1略，行参与人选择r得到的支付至少和他选择2r得到的支付一样多，并且对列参与人做的一1些选择，行参与人选择r得到的支付要严格大于选择2r的支付。
1一个占优策略均衡是指均衡的策略组合对每个人而言都是其占优策略。
表15-2囚徒困境在表15-2中，如果行选择背叛，当列选择合作时，行得到4大于列的0，当列选择背叛时，行得到1等于列的1，因此选择背叛对行来说是占优策略；同理可以证明对列来讲，选择背叛也是占优策略。
对于有限重复的博弈，在最后一轮回合中，选择背叛行为是不可能被报复或受到惩罚的。
于是，最后一轮回合出于理性的占优策略就是选择背叛。
逆推到倒数第二回合，由于每个参与者都知道下一回合是背叛，因此，这一回合的占优策略也是选择背叛。
以此类推，在整个有限重复博弈中的占优策略均是选择背叛。
3．在剔除次优策略之后，表15-3所示的博弈的纳什均衡是什么？表15-3博弈的支付矩阵What are the Nash equilibria of the following game after one eliminates dominated strategies?（Figure15-3）答：一个关于局中人行为的明显信念是，要他们执行次优于其他策略的策略是不合理的。
因此对于给定的博弈，首先应该剔除所有的次优策略，然后在剩余的策略中计算纳什均衡。
这个程序被称作次优策略的剔除，有时，它可以导致纳什均衡数量的显著减少。
在表15-3中，这个博弈的纳什均衡为（上，左）、（中，中）和（下，右）。
但是通过剔除次优策略剩下的唯一均衡是（中，中）。
4．对于简单拍卖模型，如果每一局中人视他的估价V 遵循贝叶斯纳什均衡，计算每一局中人的期望支付。
Calculate the expected pay off to each player in the simple auction game described in the text if each player follows the Bayes-Nash equilibrium strategy,conditional on his value V .解：首先叙述一下简单拍卖模型：假设有一个由两个竞价者参与的密封拍卖中，每个局中人都不知道对手的投标情况，出价最高者最终会获得拍卖品。
假设拍卖品对每个人的价值是v ，并且每个竞价者都认为拍卖品对自己的对手的价值v 服从0到1上的均匀分布。
再假设每个人的报价b 是价值v 的函数，并且b 关于v 是单增的。
这样，每个竞价者都面临选择自己的最优策略的问题。
也就是当v 取不同的值时，b 的最优选择。
下面来分析这个问题：由于()b v 关于v 是单增的，所以v 也可以表示为b 的函数，即()v b ，并且这个函数也是单增的。
这样当某个竞标者的报价为b 时，他赢得拍卖品的概率就是他的对手报价低于自己的报价的概率，又因为()v b 是单增的，所以这个概率也就等于拍卖品给对手带来的价值低于给自己带来的价值的概率，为()v b ，所以对于任一个竞价者而言，他的期望支付为：①上式中第一项是竞价者获胜时的消费者剩余和获胜概率的乘积，第二项则是当他竞价失败的时候获得的剩余（这时等于零，因为竞价者此时得不到拍卖品）与竞价失败的概率乘积。
最优的报价应当最大化这个期望支付，从而由一阶条件得到：解这个微分方程得到：这里的c 是一个常数，特别的，当0v =时，必有0b =，从而就有：002c =+。
解得0c =，所以()2v b b =，即/2b v =，这就是每个人的最优报价策略。
把/2b v =代入①式中便可以得到每个参与人的期望支付为22v 。
5．考虑表15-4所示的博弈的支付矩阵：表15-4博弈的支付矩阵（a）如果（上，左）为一占优策略均衡，那么关于a ，…，h 必须成立什么不等式？（b）如果（上，左）为一纳什均衡，那么，上述不等式中哪一个必须要满足？（c）如果（上，左）为占优策略均衡，它必然是一个纳什均衡吗？Consider the game matrix given here.（figure 15-4）（a）If （top ,left）is a dominant strategy equilibrium,then what inequalities must hold among a ,…,h ?（b）If （top ,left）is a Nash equilibrium,then which of the above inequalities must be satisfied?（c）If （top ,left ）is a dominant strategy equilibrium,must it be a Nash equilibrium?答：（a）当且仅当a e c g > >，时，“上”是参与人A 的占优策略。
当且仅当b d f h> >，时，“左”是参与人B 的占优策略。
因此如果（上，左）是占优策略均衡，则必有：()11 ，（b）如果（上，左）是纳什均衡，那么给定A 选择“上”，“左”就是参与人B 的最优选择，这就意味着b d ＞；同样，给定B 选择“左”，“上”就是参与人A 的最优选择，这意味着a e ＞。
综上可知：b d ＞和a e ＞必须成立。
（c）如果（上，左）为占优策略均衡，则它也必然是一个纳什均衡。
6．两个加利福尼亚年轻人，比尔和泰德，正在相互挑衅。
比尔驾驶他的高速汽车在单向道路南边，泰德驾车在同一条路的北边。
每个人都有两个策略：保持原状或转向。
如果一个局中人选择转向，他就丧失了面子，如果两个都转向，则都失去面子。
不过，如果都选择保持原状，则他们会被撞死。
挑衅行为的支付矩阵如下列矩阵。
（见表15-5）表15-5挑衅行为的支付矩阵（a）找出所有的纯策略均衡；（b）找出所有的混合策略均衡；（c）两个年轻人都能活下来的概率是多少？Two California teenagers Bill and Ted are playing Chicken.Bill drives his hot rod south down a one-lane road,and Ted drives his hot rod north along the same road.Each has two strategies:Stay or Swerve.If one player chooses Swerve he looses face;if both Swerve,they both lose face.However,if both choose Stay,they are both killed.The payoff matrix for Chicken looks like this（figure 15-5）:Figure15-5（a）Find all pure strategy equilibria.（b）Find all mixed strategy equilibria.（c）What is the probability that both teenagers will survive?答：（a）当比尔选择“保持原状”时，泰德选择“转向”；当泰德选择“转向”时，比尔选择“保持原状”，因此，（转向，保持原状）是一个纯策略均衡；同理，（保持原状，转向）也是一个纯策略均衡。
因此本题共有两个纯策略均衡。
（b）有一个混合策略：每个年轻人以14的概率选择“保持原状”。
（c）只要两个年轻人不同时选择“保持原状”，那么他们就能活下来，因此两个年轻人都活下来的概率为：()211/415/16-＝。
7．在一个重复、对称的双头垄断中，如果两个厂商的产量水平是最大化他们的共同利润，则对其支付为j π；如果他们生产古诺产量水平，则为c π。
如果其他人选择最大化共同利润的产量水平，一个局中人可以得到的最大支付为d π，折现率为r 。
局中人采用的是惩罚策略，如果一个局中人从共同利润最大化策略背叛，则他就会转向古诺博弈。
问r 可以为多大？In a repeated,symmetric duopoly the payoff to both firms is jπif they。
