hungarian method
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hungarian method
Hungarian method是一种经典的解决分配问题的算法。该算法在二十世纪五六十年代由匈牙利数学家Dénes
Kőnig和Jenő Egerváry所发明，用于解决在线性规划中常见的任务分配问题。这种算法结合了图论和线性规划的技术，是一种非常高效和精准的优化算法。
1. 问题定义
在任务分配问题中，我们需要将n项活动分配给n个人，每个人只能完成一项活动。每项活动有一个与之相关联的成本或权重，我们需要最小化这些权重的总和。该问题可描述为一个n*n的矩阵，其中每个元素aij代表将任务i分配给人j所需的代价。
2. 算法步骤
Hungarian method的实现步骤如下：
（1）首先，对原始的代价矩阵进行列减法和行减法，得到一个新的矩阵。
（2）使用最小化（或最大化）算法，将矩阵的元素分组为行和列，并将它们连接起来。
（3）通过在每个组内选择最小的元素并在每个组之间进行替换来得到最优解。
（4）如果问题没有得到解决，则回到步骤1并继续执行算法，直到找到最优解为止。 3. 矩阵的处理
在第一步中，我们需要对原始的代价矩阵进行行减法和列减法。对于每一行和每一列，我们从其中选择一个最小的元素，并将该最小元素从行（或列）的其他元素中减去。通过这种方式，我们可以得到一个新的矩阵，它的元素最少有一个为0。该矩阵称为减法矩阵。
4. 匈牙利算法的实现
在第二步中，我们使用最小化算法将减法矩阵的元素分组为行和列。我们将行中的最小元素和列中的最小元素连接起来，并用直线穿过它们。接下来，我们用相邻线覆盖矩阵的其他元素，直到矩阵的每个元素都被覆盖。
第三步是通过在组内选择最小元素并在组和列之间进行替换来获得最优解的。如果我们无法替换元素，例如在第二步中，我们没有找到足够的相邻行或列，则需要回到第1步并继续。
5. 求解复杂度的分析
Hungarian method是一种精确的分配算法，可以在多项多项任务分配问题上得到最优解。它的时间复杂度为O(n^3)，其中n是任务数量。虽然它比其他一些算法更慢，但它的精度和准确性令人信服。尤其是在小型问题上，它通常是最好的选择。
6. 总结 总而言之，Hungarian method是一种精确的分配算法，用于在线性规划中的任务分配问题。它利用图论和线性规划技术，具有非常高的效率和准确性。通过使用行和列的减法和穷举选择的方法，它能够生成最优解，并且在小规模问题上具有很好的表现。这使它成为许多优化问题的最佳解决方案之一。
