人教版高中数学必修五课件 第一章 1.1.2 余弦定理

课题：1.1.2余弦定理 （两课时） 第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月

日

教学目标：

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 批

注

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

教学用具：三角板，直尺，投影。

教学方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

教学过程：

Ⅰ.课题导入 C

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求边c b

a

A c

B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A

如图1．1-5，设CBauurr，CAbuurr，ABcuurr，那么cabrrr，则 br

cr

222 2 2cccababaabbabababrrrrrrrrrrrrrrrrr C ar

数学人教B必修5第一章1.1.2 余弦定理

1．理解用向量的工具推导余弦定理的过程，并能初步运用余弦定理解斜三角形．

2．掌握三角形的面积公式．

3．能够运用正弦定理、余弦定理、面积公式等知识和方法解决一些与测量及几何计算有关的三角形问题．

1．余弦定理

公式表达 语言叙述 推论

a2＝____________ 三角形任何一边的平方等于_______ cos A＝____________

b2＝______________ cos B＝____________

c2＝____________ cos C＝__________

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具；

(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；

(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一；

(4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．

【做一做1－1】在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则AC的长为________．

【做一做1－2】在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝________.

2．余弦定理的应用

(1)利用余弦定理判断三角形的形状

由余弦定理，当边c为最大边时，

如果c2＝a2＋b2，则△ABC为____三角形；

如果c2＜a2＋b2，则△ABC为____三角形；

如果c2＞a2＋b2，则△ABC为____三角形．

(2)利用余弦定理可以解决有关斜三角形的问题

①已知三边，________；

②已知两边和它们的夹角，求______和其他______；

③已知三角形的两边和其中一边的对角解斜三角形时，也可用余弦定理，如已知a，b，A，可先用余弦定理__________，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．

使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°或最小角大于60°，可知三角形无解．

正弦定理与余弦定理

知识集结

知识元

正弦定理公式

知识讲解

1．正弦定理

【知识点的知识】

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

内容

＝2R

（ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA，

b2＝a2+c2﹣2accosB，

c2＝a2+b2﹣2abcosC

变形

形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

②sinA＝，sinB＝，sinC＝；

③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；

④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝，

cosB＝，

cosC＝

解决

三角

形的

问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角 A为钝角或直角 图形

关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b

解的个数 一解 两解 一解 一解

由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．

2、三角形常用面积公式

1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；

2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．

3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素．

2、判断三角形的形状．

3、解决与面积有关的问题．

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识

（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

1 余弦定理的证明方法大全(共十法)

一、余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC中,已知ABc,BCa,CAb,则有

2222cosabcbcA,

2222cosbcacaB,

2222coscababC.

二、定理证明

为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:

在ABC中,已知ABc,ACb,及角A,求证:2222cosabcbcA.

证法一:如图1,在ABC中,由CBABAC可得:

()()CBCBABACABAC

222ABACABAC

222cosbcbcA

即,2222cosabcbcA.

证法二:本方法要注意对A进行讨论.

(1)当A是直角时,由22222222cos2cos90bcbcAbcbcbca知结论成立.

(2)当A是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则

在RtACD中,cosADbA,sinCDbA.

从而,cosBDABADcbA.

在RtBCD中,由勾股定理可得:

222BCBDCD

22(cos)(sin)cbAbA

222cosccbAb

即,2222cosabcbcA.

说明:图2-1中只对B是锐角时符合,而B还可以是直角或钝角.若B是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB

2 点D就与点B重合；若B是钝角,图中的点D就在AB的延长线上.

(3)当A是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则

在RtACD中,cos()cosADbAbA,sin()sinCDbAbA.

从而,cosBDABADcbA.