王锐利，林大志：一阶微分方程解的存在性的再讨论
一阶微分方程解的存在性的再讨论
王锐利 ，林大志
（１．济源职业技术学院，河南济源４５９０００；２．郑州牧业工程高等专科学校，河南郑州４５００１１）
摘要：把欧拉折线法与改进的欧拉数值解法结合起来，对佩亚诺存在定理进行了新的证明。当
未知函数可进行适当的泰勒展开（若未知函数２阶，甚至３阶可导）时，无论在证明上，还是在进行简单
的数值计算方面都有一定的意义，这样就有可能提高数值计算时的精度以及要求精确解的步数减少。
关键词：佩亚诺存在定理；欧拉折线法；改进的欧拉数值解法；线素
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—０３４２．２０１０．０２．００５
中图分类号：０１７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—０３４２（２０１０）０２—００１３～０４
早在１ ８世纪，欧拉就依据微分方程的几何解
释，提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的 积分曲线一后人称这种方法为欧拉折线法。 １ Ｉ４］
它是微分方程近似计算方法的开端。
一、欧拉折线
（一）方程的建立
设微分方程
ｄｄ
ｘｙ＝ｆ（ｘ，ｙ） （１）
和相关的初值问题
Ｅ： ｄｘ＝ｆ（ｘ，ｙ），ｙ（Ｘ０）：Ｙ。
其中ｆ（Ｘ，Ｙ）是在矩形区域
Ｒ：Ｉ Ｘ—Ｘ０ Ｊ≤ａ，Ｊ Ｙ—Ｙ０ Ｉ≤ｂ
内给定的连续函数。令正数Ｍ为ｌ ｆ（Ｘ，Ｙ）Ｉ在Ｒ
上的一个上界，则微分方程（１）在Ｒ．内各点Ｐ的
线素Ｌ（Ｐ）的斜率界于一Ｍ和Ｍ之间。由此不难
推出：若ｆ（Ｘ，Ｙ）是初值问题的Ｅ的一个解，则它
满足不等式
ｌ Ｙ（Ｘ）一Ｙ０ Ｉ≤Ｍ ｌ Ｘ—Ｘｏ Ｉ
因此，只要令ｈ＝ｍｉｎ（ａ， ），则在闭区间ｌ ｘ—ｘ。ｌ
≤ｈ上Ｅ的积分曲线ｒ：ｙ＝Ｙ（Ｘ）停留在Ｒ内。事
实上，它停留在Ｒ内的一个角形区：
△ｈ：ｌ Ｙ—Ｙｏ ｌ≤Ｍ ｌ Ｘ—Ｘｏ Ｉ，ｌ Ｘ—Ｘｏ Ｉ≤ｈ 之中。
现在把区间Ｉ Ｘ—Ｘ Ｉ≤ｈ分成２ｎ等份。则每
第８卷第１９期２００８年１０月 １６７１—１８１９（２００８）１９—５４７０—０３ 科学技术与工程 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．８ Ｎｏ．１９ Ｏｃｔ．２００８ ＠２００８ Ｓｅｉ．Ｔｅｅｈ．Ｅｎｇｎｇ．
一类高阶微分方程周期解的存在性
陈新一 （西北民族大学中国民族信息技术研究院，兰州７３００３０）
摘要考虑一类高阶微分方程０ （￡）＋ｃａ； （ｔ）＋ （ｆ）＋ｇ［ｘ（ｔ一７．）］＝ｐ（ ），利用重合度理论，获得了此类方程至少存 在一个 一周期解的充分条件。 关键词高阶微分方程 周期解 重合度 中图法分类号０１７５．１４； 文献标志码Ａ
本文研究如下的高阶微分方程 ａｘ‘ （ ）＋ （ ）＋ｂｘ（￡）＋ｇ（ｘ（ｔ— ））＝ｐ（ ） （１） 的周期解的存在性，（１）式中ｇ，Ｐ都是定义在Ｒ上 的实连续函数，ｂ≠０， ≥０，Ｐ以 为周期，且 ，ｒ 』）ｐ（ ） ＝０。本文利用重合度理论获得了（１）式 至少存在一个 －周期解的充分条件，其结果是如下 定理． 定理如果下列条件成立： （ｉ）存在正常数 ，使得ｇ（ｘ）≤Ｍ，Ｙｘ∈Ｒ； （ｉｉ）０＜Ｉ ６ ｌ＜ ； 则方程（１）至少存在一个 （Ｔ＞０）周期解。 证明考察方程 ａｇｅ‘ （ｔ）＋ａｃｘ （ｔ）＋ｈｂｘ（ｔ）＋ Ｘｇ［ｘ（ｔ—ｒ）］＝Ａｐ（ｔ） （２） 这里Ａ Ｅ（０，１），设 （￡）是方程（２）的任一 一周期 解，将方程（２）两边同时从０到 积分得 ｒ Ｊ０［６ （ ）＋ｇ（ （ —ｒ））］ｄｆ＝０。 因此存在ｔ０∈（０，Ｔ），使得ｂｘ（ｔ。）＋ｇ（ （ｔｏ— ｒ））＝０，从而有
２００８年６月１７日收到 作者简介：陈新一（１９５７一），男，教授，研究方向：微分方程理论及 应用。 Ｉ ０）Ｊ≤ １ Ｊ （ 。一 Ｉ≤ 。 于是 圳≤ ｌ＋．／（＝ｔｏ ㈤ ≤ ＋ ｌ Ｄ １
． 上ｌ （ｔ）ｌ ｄ ，Ｖ ∈［ｏ， ］ （３） 因为 Ｊ（ （ｔ） （ｔ）ｄｔ＝…＝
微分方程的稳定性与全局解的存在性
微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。对于微分方程的研究，稳定性与全局解的存在性是两个重要的问题。本文将针对微分方程的稳定性与全局解的存在性展开讨论，并探讨它们在应用中的意义。
一、稳定性分析
稳定性是指微分方程解的行为在微小扰动下是否保持不变。对于一阶线性微分方程，稳定性可通过特征值的符号来判断。具体而言，若特征值的实部均小于零，则系统稳定；若存在大于零的实部特征值，则系统不稳定。
对于高阶非线性微分方程，稳定性的分析相对复杂。一种常用方法是通过线性化系统来研究非线性系统的稳定性。线性化系统是在非线性系统的稳定点附近对非线性系统进行线性逼近得到的系统。通过分析线性化系统的特征值，可以判断非线性系统的局部稳定性。
二、全局解的存在性
全局解是指微分方程在整个定义域上存在且唯一的解。对于一阶线性微分方程，全局解的存在性一般能得到保证。而对于非线性微分方程，全局解的存在性则需要满足一定的条件。
全局解的存在性与定理有关。例如，一个常用的定理是皮卡-里普丝定理（Picard-Lindelöf Theorem），该定理保证了一阶常微分方程在给定条件下存在唯一的全局解。另外，拉格朗日平均值定理（Mean
Value Theorem）也是分析全局解存在性的有用工具。
除了定理，数值方法也可以用来求解微分方程的全局解。例如，常用的欧拉方法、龙格-库塔方法等数值方法能够逼近微分方程的全局解。这些数值方法在实际应用中具有重要意义，特别是对于复杂的非线性微分方程。
三、稳定性与全局解的应用意义
微分方程的稳定性和全局解的存在性在科学与工程中具有广泛的应用价值。以下列举几个具体的应用领域：
1. 物理学：微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。通过稳定性分析和全局解的存在性可以确定物理系统的稳定性和行为。
2. 工程学：微分方程被应用于工程学中的控制系统、信号处理、电路等领域。通过稳定性分析可以设计稳定的控制系统，通过全局解的存在性可以预测系统的行为。
第三章 一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程 2dyydx
过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2yx或更一般地，函数
20 0() c<1xcyxcx
都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x上的解，其中c是满足01c的任一数。
