当前位置：文档之家 › 25.3-25.4 解直角三角形

25.3-25.4 解直角三角形

  • 格式：doc
  • 大小：1.62 MB
  • 文档页数：27

25.3-25.4 解直角三角形及其应用

【学习目标】

1、理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角

三角形和解决一些简单的实际问题。

2、了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．

3、正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．

（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．

（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．

（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题．

【主要概念】

【1】勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 222cba

【2】如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系

正弦 斜边的对边AAsin caAsin 1sin0A

(∠A为锐角)

BAcossin

BAsincos

1cossin22AA 余弦 斜边的邻边AAcos cbAcos 1cos0A

(∠A为锐角)

正切 的邻边的对边AtanAA baAtan 0tanA

(∠A为锐角) BAcottan

BAtancot

AAcot1tan(倒数)

1cottan AA

余切 的对边的邻边AAAcot abAcot 0cotA

(∠A为锐角)

【3】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

【4】任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 BAcossinBAsincos)90cos(sinAA)90sin(cosAA A90B90得由BA 对边

邻边 斜边

A C B

b a c

A90B90得由BA

【5】0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值

三角函数 0° 30° 45° 60° 90°

sin 0

21

22

23 1

cos 1

23 22

21 0

tan 0 33 1 3 -

cot - 3 1 33 0

【6】解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222cba；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

【7】应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角铅垂线水平线视线视线俯角

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即hil。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i等。

把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么tanhil。

【8】从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

【9】指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），

南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

BAcottan

BAtancot )90cot(tanAA)90tan(cotAA

:ihlhlα

合集下载

25.3 解直角三角形(2)

25.3 解直角三角形(2)

黔江区舟白初级中学校初三数学教研组

教学设计

科目 数学 备课教师 上课时间 年 月 日

课题 25.3 解直角三角形(2) 课型 新课 课时 1

教学目标 1．理解俯、仰角的含义，能够把实际问题转化为数学问题，能够进行有关的三角函数的计算．

2．经历实际情境中三角函数的应用过程，掌握解直角三角形的应用方法．

3．发展数学应用意识，提高解决问题的能力，感受三角函数在实际问题中的应用价值

重、难点 1．重点：掌握结合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，•数形结合的想法为本节课的能力重点．

2．难点：掌握和运用仪器的操作方法，选择适当的关系或解决实际问题．

3．关键：采用活动课的形式，先在课堂上探讨、设计出活动方案，•可能出现的困难，对于选择锐角三角函数的概念时，首先应明确已知元素和未知元素，并注意它们的关系．

教法学法 教法：探究、讲授法；学法：自主学习、合作学习

课前准备 学案、课件、布置学生预习

教 学 过 程

一、回顾交流，导入新知

1． 什么是解直角三角形？

2．如图1，要测量铁塔的高度，你认为有哪些方案？

二、自主学习，探索新知

1．认识俯、仰角：

三、范例讲解，应用新知

例1：学习P96页例3，体会这类问题的解法。

例2：某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角

∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .

水平线 视线

视线 铅直线

（在上图中标出俯、仰角的位置）

25.3解直角三角形4- 坡度问题

25.3解直角三角形4- 坡度问题

图25.3.5

图25.3.6 25.3解直角三角形4－－ 坡度问题

课时学习目标

1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。

2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.

学习重点难点

重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。

难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。

课前预习导学 （ 自学课本完成下列问题）

1.坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i ．(坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6．)

2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tanα＝ ．

3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．

4.计算: 60cot60tan30cos30sin2222

5．如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）

课堂学习研讨

例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）

例2、 一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡

AB的坡度1i＝1∶3，斜坡CD的坡度2i＝1∶2．5．求：

（1） 斜坡AB与坝底AD的长度；（精确到0．1米）

（2） 斜坡CD的坡角α．（精确到1°）

A B

C

A A B B

C C 30°

第3题 课达标堂检测

1. 如果a是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的值是 。

2.如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为（ ）

A．4m B．3m C．43m3 D．43m

25.4(3)解直角三角形的应用

25.4(3)解直角三角形的应用

上海市杨泰实验学校教学设计表

课 题 25.4（3）解直角三角形的应用

课 型

单元重点

教学

目标 1．理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；

2．形成分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识，感悟数学来源于实践又作用于实践．体验数学的价值.

教学重点 学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题

教学难点 掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．

教学准备 实物投影仪、多媒体设备

教学重要环节的设计 意图说明

一、 情景引入

1．观察

同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条残疾人通道？

2．思考

我们知道，残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡角吗？

二、学习新课

1．概念辨析

如图，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=Lh.

坡度通常写成1:m的形式，如i=1∶1.5．

坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i与坡

[说明] 从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.

角α之间的关系: i=Lh=tanα.

2．例题分析

例题1 大楼前残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到1’，其他近似数取四位有效数字）.

提问：AB表示什么？题中数据3.2米、0.4米各表示什么量？如何求i？

解 过点A作水平线l，再作BC⊥l,垂足为点C.

根据题意,可知AB=3.2米,BC=0.4米.

在Rt△ABC中,

AC=22BCAB=224.02.3≈3.175(米).

∴i=175.34.0ACBC≈1:7.938.

∴tanA=175.34.0ACBC≈0.1260，

25.3(2)解直角三角形

25.3(2)解直角三角形

上海市杨泰实验学校教学设计表

课 题 25.3（2）解直角三角形

课 型

单元重点

教学

目标 1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．

2． 通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力

教学重点 学会把一般三角形转化为直角三角形解决．

教学难点 如何转化为直角三角形的辅助线的做法．

教学准备 实物投影仪、多媒体设备

教学重要环节的设计 意图说明

一、 情景引入

1．复习

1、求下列各直角三角形中字母的值．

2、在△ABC中，∠C为直角，b=2 ，a=6，解这个三角形．

3、在△ABC中，∠C为直角，且b=20，B=350，解这个三角形（精确到0.1）．

2．思考

在一般的三角形中，如果已知适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？

3．讨论

在一般的三角形中，已知几个元素能求出其余相关的元素呢？

二、学习新课

1．例题分析

例题1 在等腰三角形ABC中，已知AB=AC, ∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.

分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形．因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长．

解： 在△ABC中，

∠B= ∠C= 21(1800-∠A)

= 21（1800-450）=67.50=67030’

过点A作AD⊥BC，垂足为点D

∵ AB＝AC，

∴BD=21BC=21×6=3

在Rt△ABD中

∵cosB=ABBD

∴AB=839.70367cos3cos0BBD

所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为67030’.

思考：本题如果作腰上的高，能解△ABC吗？

试一试：在等腰三角形中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，求它的顶角和底角．