第三章一阶微分方程的解的存在定理 (2)

第三章 有限差分法

函数fx，x为定义在区间ab,上的连续变

量。将区间ab,等分成n份，令hban称为

步长，x在这些离散点处的取值为

xaihi in01,,,

称为节点。函数fx在这些节点处的差值

fxhfxfxfxhfxhfxhiiiiii (5-1)

分别称为一阶向前、向后和中心差分，可以用它

们作为函数fx在xi处的微分近似值。这些差分

与相应x区间的比值

1112hfxhfxhfxfxhhfxhfxhiiiiii (5-2)

分别称为一阶向前、向后和中心差商，可以用它

们作为函数fx在xi处的导数近似值。完全类似

地可以定义高阶差商，例如常用的二阶中心差商

122hfxhfxfxhiii (5-3)

可以作为函数fx在xi处的二阶导数近似值。

§3.1 常微分方程初值问题的差分解法

考虑电学中的一个问题：如图5-1。研究

电容器上的电荷随时间的变化规律。

图5-1 RC放电回路

这个问题对应的微分方程及其定解条件为： ddQtQRCQQt00 (5-4)

这是一阶微分方程的初值问题，它的解析解为

QQetRC0 (5-5)

一、欧拉(Euler)折线法

求解下列普遍形式的一阶微分方程的初值

问题：

yfxyxabyay,,0 (5-6)

首先，将区间ab,等分n份，取值

axxxbn01，步长hxxii1。

第十四章 偏微分方程

物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.

本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.

§1 偏微分方程的一般概念与定解问题

[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.

[方程的解与积分曲面] 设函数u在区域D内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u代入方程后，能使它在区域D内成为恒等式，就称u为方程在区域D中的解，或称正规解. ),,,(21nxxxuu 在n+1维空间),,,,(21nxxxu中是一曲面，称它为方程的积分曲面.

[齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如

yxfuyxcyuyxbxuyxa,,,,

就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f(x,y).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.

[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如

0,,,,,,,,,,,,22222122211uyxcyuuyxbxuuyxayuuyxayxuuyxaxuuyxa

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精品文档 高等数学 概率论 线性代数

回答者： 357386379 | 四级 | 2009-12-3 19:40

数三考试科目是《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》这三门，这个数三的大纲可以参考一下：

第一章：函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则） 两个重要极限：

函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。

6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

7、理解无穷小的概念和基本性质。掌握无穷小的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。

8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

第二章：一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（l'hospital）法则 函数的极值 函数单调性的判别 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值

第一章测试

1. 下列方程不是常微分方程的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D: .

答案:D

2. 下面方程中不是线性微分方程的是（ ）

A: .

B:

C: .

D: .

答案:D

3. 下列微分方程不是驻定的是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 下面是微分方程 的特解的是（ ）

A: .

B: .

C: .

D:

答案:D

5. 微分方程 的阶数是（ ）.

A:1；

B:3；

C:4.

D:2；

答案:B

6. 下列方程中的线性微分方程是（ ）.

A: .

B: ；

C: ；

D: ；

答案:D

第二章测试

1. 下列微分方程中，可分离变量的是( )。

A:

B: C:

D:

答案:D

2. 下列函数中，哪个是微分方程的解( )。

A:y=2x

B:y=-x

C:y=-2x

D:y=x2

答案:D

3. 微分方程的一个特解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:C

4. 满足的特解是( )。

A:

B: C:

D:

答案:C

5. 方程的通解是( )。

A:

B:

C:

D:

答案:B

第三章测试

1. 利用唯一性充分条件，在 平面上微分方程 有唯一解的区域是（ ）

A:

B:

C:

D: .

答案:A

2. 微分方程 的第二次近似解是（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:D

3. 按存在唯一解定理，微分方程 第一次近似解在区域 中的误差估计是（ ）

A:0.375 B:0.625

C:0.125

D:0.325

答案:A

4. 方程 存在唯一解的区域是（ ）

A:除了 外均存在唯一解

B:除了 外均存在唯一解

C:除了 外均存在唯一解

D:除了 外均存在唯一解

答案:D

5. 方程 存在唯一解的区域是以下选项中的（ ）

A:

B:

C:

D:

答案:C

6. 方程 的第二次近似解在解的存在区间的误差估计是（ ）

A: B: .

C: .

D: .

答案:A

7. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的（ ）