(教师用书)高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1

1 2.3.2 抛物线的简单几何性质

(教师用书独具)

●三维目标

1.知识与技能

(1)理解抛物线的几何性质．

(2)与抛物线有关的轨迹的求法，直线与抛物线的位置关系．

2．过程与方法

(1)灵活运用抛物线的性质．

(2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)训练学生分析问题、解决问题的能力．

(2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．

●重点、难点

重点：(1)掌握抛物线的几何性质．

(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．

难点：抛物线各个几何性质的灵活应用．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练 2 习加以巩固提高．

学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比——探索——应用”的探究式学习方法，增加学生参与的机会，使学生在掌握知识形成技能的同时，培养逻辑推理、理性思维的能力及科学的学习方法，增强自信心．学法指导包括：联想法、观察分析法、练习巩固法．

这样，本节课的重点与难点就迎刃而解了．

●教学流程

提出问题：你能说出抛物线y2＝2pxp＞的几何性质吗？⇒引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质，并对比它们的区别与联系.⇒通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题，引出直线与抛物线的位置关系知识.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握抛物线的性质及应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握抛物线的焦点弦问题.⇒错误!⇒错误!⇒错误!

(对应学生用书第39页)

课标解读

1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用．(重点)

2．掌握直线与抛物线的位置关系．(难点)

抛物线的几何性质

【问题导思】

类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p＞0)的范围、对称性、顶点坐标吗？

【提示】 范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．

标准方程 y2＝2px

(p＞0) y2＝－2px

(p＞0) x2＝2py

(p＞0) x2＝－2py

(p＞0) 3 图形

续表

标准方程

y2＝2px

(p＞0) y2＝－2px

(p＞0) x2＝2py

(p＞0) x2＝－2py

(p＞0)

性质

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0

对称轴 x轴 y轴

顶点 O(0,0)

离心率 e＝1

直线与抛物线的位置关系

【问题导思】

1．直线与抛物线有哪几种位置关系？

【提示】 三种：相离、相切、相交．

2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？

【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．

直线与抛物线的位置关系与公共点

位置关系 公共点个数

相交 有两个或一个公共点

相切 有且只有一个公共点

相离 无公共点

(对应学生用书第40页)

4

抛物线简单几何性质的应用

如图2－3－3所示，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A

图2－3－3

是抛物线上的一点，其横坐标为4，且在x轴的上方，点A到抛物线的准线的距离等于5，过A作AB⊥y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求直线MN的方程．

【思路探究】 (1)根据题意你能求出p的值吗？

(2)M点的坐标是多少？直线MN的斜率呢？

【自主解答】 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－p2，

于是4＋p2＝5，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.

(2)由题意知A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)，

∴kFA＝43.

又MN⊥FA，∴kMN＝－34，

则直线FA的方程为y＝43(x－1)，

直线MN的方程为y－2＝－34x，即3x＋4y－8＝0.

研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，离心率不变总为1.

已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 5 【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点Fp2，0，直线l：x＝p2，

∴A、B两点坐标为p2，p，p2，－p，

∴|AB|＝2|p|.

∵△OAB的面积为4，

∴12·p2·2|p|＝4，∴p＝±22.

∴抛物线标准方程为y2＝±42x.

直线与抛物线的位置关系问题

已知：直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点？

【思路探究】 (1)联立直线l与抛物线C的方程，得到的关于x的方程是什么形式？(2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗？

【自主解答】 由 y＝kx＋1，y2＝4x，得

k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝14，此时y＝1.

∴直线l与C只有一个公共点(14，1)，

此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：

Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k

①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时l与C相切；

③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时l与C相离．

综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；

(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；

(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．

1．直线与抛物线的位置关系判断方法．

通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0. 6 (1)当a≠0时，利用判别式解决．

Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离．

(2)当a＝0时，方程只有一解x＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合．

2．直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的．

若过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x有两个公共点，求直线的斜率k的取值范围．

【解】 设直线方程为y－2＝k(x＋3)．

由 y－2＝kx＋y2＝4x消去x，整理得

ky2－4y＋8＋12k＝0.①

(1)当k＝0时，方程①化为y＝2，

直线y＝2与抛物线y2＝4x相交，有一个公共点，不合要求；

(2)当k≠0时，Δ＝16－4k(8＋12k)＞0.

∴－1＜k＜13，因此－1＜k＜13且k≠0.

综上可知，斜率k的取值范围为{k|－1＜k＜13且k≠0}.

抛物线的焦点弦问题

已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．

【思路探究】 (1)焦点在x轴上的抛物线方程如何设？

(2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？

【自主解答】 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，

可设抛物线标准方程是y2＝2px(p＞0)，

则焦点F(p2，0)，直线l为y＝x－p2.

设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1| 7 ＝(x1＋p2)＋(x2＋p2)＝x1＋x2＋p＝6，

∴x1＋x2＝6－p.①

由 y＝x－p2，y2＝2px，消去y，得(x－p2)2＝2px，

即x2－3px＋p24＝0.

∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝32.

∴所求抛物线标准方程是y2＝3x.

当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.

1．本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题，抛物线的方程有两种形式，解答时切勿漏掉．

2．过焦点F和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦，在解决与焦点弦有关的问题时，一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数关系解题，二是注意抛物线定义的灵活运用，特别应注意整体代入的方法．

本例中，若把直线的倾斜角改为135°，被抛物线截得的弦长改为8，其他条件不变，试求抛物线的方程．

【解】 如图，依题意当抛物线方程设为y2＝2px(p＞0)时，

抛物线的准线为l，则直线方程为y＝－x＋12p.

设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2＋x2＋p2，

即x1＋p2＋x2＋p2＝8.①

又A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，