高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

word - 1 - / 6 课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)

知识点一直线与抛物线的交点问题

1.过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )

A.1条 B.2条

C.3条 D.4条

答案 B

解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.

2．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：

(1)一个公共点？

(2)两个公共点？

(3)没有公共点？

解 将直线l和抛物线C的方程联立得 y＝kx＋1，y2＝4x，

消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.

∴直线l与抛物线C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，

①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；

③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．

综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；

(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；

(3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点.

知识点二中点弦问题

3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．

答案 y＝x

解析 由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

把A，B代入抛物线方程得 y21＝4x1，y22＝4x2， ①②

①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． word

- 2 - / 6 又y1＋y2＝4，

∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1.

∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.

知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用

4.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于( )

A.45° B.90°

C.60° D.120°

答案 B

解析 如图，由抛物线定义知

|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，

所以∠AA1F＝∠AFA1.

又∠AA1F＝∠A1FO，

所以∠AFA1＝∠A1FO.

同理∠BFB1＝∠B1FO.

于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.故选B.

5．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，求|PQ|的最小值．

解 设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由 x＋y＋m＝0，y2＝2x，消去x得y2＋2y＋2m＝0，令Δ＝4－8m＝0，得m＝12，因此|PQ|的最小值等于直线x＋y＋5＝0与x＋y＋12＝0间的距离，即等于5－122＝924.

一、选择题

1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )

A.2或－2 B.1或－1 word

- 3 - / 6 C.2

D.3

答案

C

解析

由

y2＝8x，y＝kx－2，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.又由Δ＝42(k＋2)2－16k2＞0，得k＞－1.则由4k＋2k2＝4，得k＝2.故选C.

2．已知抛物线y2＝8x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为( )

A.2x－y－4＝0 B.2x＋y－4＝0

C.2x－y＋4＝0 D.2x＋y＋4＝0

答案 A

解析 设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＝8x1，y22＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)．又P(3,2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4.又直线l的斜率存在，∴直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0，故选A.

3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1y2x1x2的值为( )

A.4 B.－4

C.p2 D.－p2

答案 B

解析 解法一：设过焦点Fp2，0的直线方程为x＝my＋p2.联立 x＝my＋p2，y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得y1y2＝－p2.又x1＝y212p，x2＝y222p，所以x1x2＝y21y224p2＝p24.于是y1y2x1x2＝－p2p24＝－4.故选B.

解法二：采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得Ap2，p，Bp2，－p，y1y2x1x2＝－4.故选B.

4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值X围是( )

A.－12，12 B.[－2,2]

C.[－1,1] D.[－4,4]

答案 C

解析 设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得 y2＝8x，y＝kx＋2，消去x得word

- 4 - / 6 到关于y的方程ky2－8y＋16k＝0.

当k＝0时，直线与抛物线有一个交点；

当k≠0时，令Δ＝64－64k2≥0，

解得－1≤k<0或0

故－1≤k≤1.故选C.

5．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA→·MB→＝0，则k＝( )

A.12 B.22

C.2 D.2

答案 D

解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋8k2，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝8k，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为MA→·MB→＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.

二、填空题

6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2有两个公共点，则a的取值X围是________．

答案 a>－14且a≠0

解析 由 x－y＋1＝0，y＝ax2，得ax2－x－1＝0.

由题意得 a≠0，Δ＝－12－4×a×－1>0，

解得a>－14且a≠0.

7．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．

答案 (1,1)

解析 把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.

8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为________．

答案 23

解析 由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2. word

- 5 - / 6 设P点坐标为(x0，y0)，

则x0＋2＝42，∴x0＝32，

∴y20＝42×32＝24，

∴|y0|＝26，

∴S△POF＝12×2×26＝23.

三、解答题

9．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点．

(1)若|AB|＝10，某某数m的值；

(2)若OA⊥OB，某某数m的值．

解 由 y＝x＋m，y2＝8x，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.Δ>0解得m<2，

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.

(1)因为|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝2·64－32m＝10，所以m＝716.

(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8，m＝0(舍去)．

10．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．

证明 设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－1kx，

由题意知k≠0.

由 y＝kx，y2＝2x，解得 x＝0，y＝0或 x＝2k2，y＝2k，

即点A的坐标为2k2，2k，

同样由 y＝－1kx，y2＝2x，解得点B的坐标为(2k2，－2k)．

故AB所在直线的方程为y＋2k＝2k＋2k2k2－2k2(x－2k2)，

化简并整理，得1k－ky＝x－2.

不论实数k取任何不等于0的实数，

当x＝2时，恒有y＝0.

故直线过定点P(2,0)．

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