高中数学新人教版A版精品教案《2.3.2 抛物线的简单几何性质》

人教版高中数学选修1-1教学设计

1 2.3.2抛物线的简单几何性质

教学目标

1.知识与技能

(1)理解抛物线的几何性质及应用．

(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．

2．过程与方法

通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受激发学生对美好事物的追求．

教学重点：(1)抛物线的几何性质．

(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．

教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．

抛物线的几何性质

问题导思

类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？

[答案] 范围、对称性、顶点、离心率．

类型

y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)

图形

性

质 焦点 F(p2，0) F(－p2，0) F(0，p2) F(0，－p2)

准线 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0

对称轴 x轴 y轴

顶点 O(0,0)

离心率 e＝1

开口方向 向右 向左 向上 向下

人教版高中数学选修1-1教学设计

2 直线与抛物线的位置关系

问题导思

1．结合直线与椭圆、双曲线的位置关系，请你思考怎样讨论直线与抛物线的位置关系？

[答案] 联立直线与抛物线的方程，消元后，用“Δ”法．

2．如果直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切，对吗？为什么？

[答案] 不对．因为直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．

直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种情形，可以通过联立方程，判定解的个数来确定.

1

2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)

一、教学目标

1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；

2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；

3.对通径、焦半径公式进行初步探索；

4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。

二、教学重难点

1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。

2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。

三、教学过程

1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质

1.1 知识回顾，温故知新

【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。

图形

方程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx

焦点 )0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p

准线 2px 2px 2py 2py

【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。

1.2 数形结合，类比探究 xOyF•xyOF•xF•ylOxylOF•2

问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？

【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。

【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。

问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？

【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为0,0yx

§2.3.２ 抛物线的几何性质（２）

【学情分析】：

由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。

（2）过程与方法：

重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。

（3）情感、态度与价值观：

培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。

【教学重点】：

抛物线的几何性质及其运用。

【教学难点】：

抛物线几何性质的运用。

【课前准备】：

Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图

一、复习引入

回顾抛物线的几何性质：

将基本公式用填空的形式巩固。

二、知识准备 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：

2121212221111()4AByyyyyykk或22212121211()4ABkxxkxxxx

二、例题讲解 例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个正三角形的边长．

分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如

圆锥曲线的弦长求法

果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．

解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为),(11yx、),(22yx，则 1212pxy，2222pxy

又|OA|＝|OB|，所以 22222121yxyx

即 22212122pxxpxx

1 2.3.2 抛物线的简单几何性质

上课时间 第 周星期 第 节 课型

课题

教学目的 通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.

教学设想 教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.

教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.

教

学

过

程 一、复习准备：

1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?

2、抛物线212yx上与焦点的距离等于6的点的坐标

二、讲授新课：

1、教学抛物线的简单几何性质

抛物线的标准方程:22(0)ypxp

① 范围:

② 对称性:这条抛物线关于x对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点

④ 离心率:抛物线上点M与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示,抛物线的离心率e为1

2、教学直线与抛物线的位置关系

设直线:lykxb,抛物线22(0)ypxp,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22ykxbypx解的个数,也等价于方程2220kxpxbp解的个数.

3、教学例题：

① 出示例1：斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于,AB两点,求AB的长.

（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）

② 变式训练：过点(4,1)p做抛物线28yx的弦AB,恰被p所平分,求AB所在的直线方程

(.求直线方程的基本思路是求出斜率k)

2

教

学

过

程 ③ 出示例2：已知抛物线关于x轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,22)M,求它的标准方程.

④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是(0,5)F,求它的标准方程.

3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.

三、巩固练习：

①、过抛物线24yx的焦点作直线交抛物线于12(,)Axx,12(,)Bxx两点,如果126xx,那么||AB的值为多少?