完整版)函数的单调性练习题及答案
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完整版)函数的单调性练习题及答案
1.函数的单调性练题一选择题：
1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。[-1,+∞))
2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。[－3，＋∞))
3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。b>0)
5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。y=x^2)
6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。1)
7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。0)
2.填空题：
8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.
9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：
10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1 f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1) x2-x1+2/x2-2/x1 x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2) x2-x1)(1-2/(x1x2)) 因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。 11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0. 1）求f(1)的值； 因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到： f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。=lim(n→∞)f(1-1/2^n) 因为当x>1时f(x)<0，所以f(1-1/2^n) 因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(x/2)=f(x)+f(x/4)，代入f(1)=lim(n→∞)f(1-1/2^n)中得到： f(1)=lim(n→∞)f(1-1/2^n)=lim(n→∞)(f(1-1/2^n/2)+f(1-1/2^n/4)) lim(n→∞)(f(1-1/2^(n+1))+f(1-1/2^(n+2)))=2f(1) 所以f(1)=0. 2）判断f(x)的单调性； 对于任意的x1,x2>1，且x1 f(x2)-f(x1)=f(x2/2)-f(x1/2)+f(x2/4)-f(x1/4)+。 f(x2/2)-f(x1/2)+f(x2/4)-f(x1/4)+。+f(x2/2^n)-f(x1/2^n)+。 f(x2/2)-f(x1/2))+(f(x2/4)-f(x1/4))+。+(f(x2/2^n)-f(x1/2^n))+。 f(x2/2)-f(x1/2))(1+(1/2)+(1/2)^2+。+(1/2)^(n-1)+。) f(x2/2)-f(x1/2))(1-(1/2)^n)/(1-1/2) 2(f(x2/2)-f(x1/2))(1-1/2^n) 因为x1,x2>1，所以x1/2,x2/2>1，所以f(x1/2),f(x2/2)0，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(1,+∞)上是单调递减的。 3）若f(3)=-1，解不等式f(|x|)>-1. 因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(3)=f(3/2)-f(3/4)，又因为f(3)<0，所以f(3/2) f(3)=f(3/2)-f(3/4)=f(3/4)-f(3/8) 所以f(3)-1. 因为f(x)是单调递减的，所以当x>3时，|x|>3，所以f(|x|)-1成立的解集是(-∞,-3)U(3,+∞)。
