椭圆的几何性质

椭圆的几何性质

范围：焦点在x轴上-a≤x≤a，-b≤y≤b；焦点在y轴上-b≤x≤b，-a≤y≤a。对称性：关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称。顶点：（a，0），（-a，0），（0，b），（0，-b）。离心率：e=c/a。离心率范围0

椭圆的几何性质

1离心率

1、定义：e=c/a。

2、离心率范围：0

3、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆。

2面积

S=π×a×b（其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。

或S=π×A×B/4（其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

3周长

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程

一、教学目标：

1、知识与技能：①掌握椭圆的基本性质；②掌握利用椭圆的基本性质求椭圆的标准方程；

2、过程与方法：由椭圆的几何性质出发，培养学生分析探索能力，熟练掌握利用几何性质求椭圆标准方程的方法；

3、情感、态度与价值观：通过利用椭圆的几何性质求椭圆标准方程的学习，渗透几何性质与数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨思考，规范得出解答；培养学生自主学习能力；

4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题；

5、高考问题设置：①以选择、填空的形式考查利用性质求椭圆的标准方程，5分；②出现解答题的第一问求椭圆的标准方程，一般4分；

二、重点与难点：

1、重点：①利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；难点：椭圆几何性质的实际应用；

三、教学过程

（一）复习回顾：①椭圆的几何性质；②给出椭圆的标准方程求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

（二）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程

例1、（人教A版教材第48页练习3）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

;31,6)1(eax轴上，焦点在

。，离心率等于长轴长等于5320)2(

.13236,32,2,31,31,6).0(1)1(222222222yxcabcaceababyaxx椭圆的标准方程为程为：轴上，设椭圆的标准方焦点在解析： .11625.16,5,53,53,3).0(1)2(222222222xycabaacecbabxayy椭圆的标准方程为程为轴上，设椭圆的标准方焦点在

资料

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（一）椭圆的定义：

1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离之和等于定长（大于12||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F、2F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||FF叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：

（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；

（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；

（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：

22222222xyyx1(ab0),1(ab0),abab

相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222acb。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222xy1(ab0)ab的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出2222yx1(ab0)ab的有关性质。总结如下： 资料

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课题： §.椭圆简单几何性质习题

课时： 课时 班级： 姓名：

【学习目标】

知识与技能：进一步掌握椭圆的几何性质，并了解椭圆的实际应用，解决一些较复杂问题。

过程与方法：使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。

情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。

【学习重点】 椭圆的几何性质及其应用。

【学习难点】 焦点三角形，第二定义，弦长公式，点差法。

【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记.

2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果.

【知识链接】 椭圆的标准方程：_____________________________________

椭圆的范围：_________________________________________

对称性：_____________________________________________

顶点坐标：___________________________________________

焦点坐标：___________________________________________

半轴长: _____________________________________________

离心率: _____________________________________________

a,b,c的关系：________________________________________

【学习过程】

一、焦点三角形问题：

1、已知椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点1F、2F连线的夹角为直角，则12PFPF是多少？