嘉定区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)

1 2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）

满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．221lim22nnnn____________．

2．设集合},02{2RxxxxA，RxxxxB,011，则BA__________．

3．若函数xaxf)(（0a且1a）的反函数的图像过点)1,3(，则a_________．

4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是_________．

5．在正方体1111DCBAABCD中，M为棱11BA的中点，则异面直线AM与CB1所成的

角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．

6．若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为______________．

7．已知31cos75sinsin75cos，则)230cos(_________．

8．某程序框图如图所示，则该程序运行后

输出的S值是_____________．

9．过点)2,1(P的直线与圆422yx相切，且与直线01yax垂直，则实数a的值

为___________．

10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传

给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．

11．已知直角梯形ABCD ，AD∥BC，90BAD．2AD，1BC，P是腰AB

上的动点，则||PDPC的最小值为__________．

12．已知*Nn，若4022221123221nnnnnnnCCCC，则n________． 开始

1k，0S

2015k

)1(1kkSS

1kk 输出S

结束 是 否 2 13．对一切实数x，令][x为不大于x的最大整数，则函数][)(xxf称为取整函数．若

10nfan，*Nn，nS为数列}{na的前n项和，则20102009S__________．

14．对于函数)(xfy，若存在定义域D内某个区间],[ba，使得)(xfy在],[ba上的

值域也是],[ba，则称函数)(xfy在定义域D上封闭．如果函数||1)(xkxxf

（0k）在R上封闭，那么实数k的取值范围是______________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．

15．“函数)sin()(xxf为偶函数”是“2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．下列四个命题：

①任意两条直线都可以确定一个平面；

②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；

③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；

④若直线l上有一点在平面外，则l在平面外．

其中错误命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17．已知圆M过定点)0,2(，圆心M在抛物线xy42上运动，若y轴截圆M所得的弦

为AB，则||AB等于（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

18．已知数列}{na的通项公式为113294nnna，则数列}{na（ ）

A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项

C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项

3 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，能实现要求吗？请说明理由．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知Rx，设)cossin,cos2(xxxm，)cossin,sin3(xxxn，记函数nmxf)(．

（1）求函数)(xf取最小值时x的取值范围；

（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2)(Cf，3c，求△ABC的面积S的最大值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设函数xxaakxf)(（0a且1a）是奇函数．

（1）求常数k的值；

（2）若38)1(f，且函数)(2)(22xmfaaxgxx在区间),1[上的最小值为2，求实数m的值．



① ② 4 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点)0,1(F的距离与P到定直线4x的距离之比为21．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）若轨迹C上的动点N到定点)0,(mM（20m）的距离的最小值为1，求m的值．

（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为1A、1B，且直线OA、OB的斜率之积等于43，问四边形11BABA的面积S是否为定值？请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设复数nnnyixz，其中nxRny，*Nn，i为虚数单位，nnziz)1(1，iz431，复数nz在复平面上对应的点为nZ．

（1）求复数2z，3z，4z的值；

（2）是否存在正整数n使得nOZ∥1OZ？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；

（3）求数列}{nnyx的前102项之和． 5 2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷（理）参考答案及评分标准

一．填空题（每题4分，满分56分）

1．21 2．},01{Rxxx（或)0,1[） 3．31 4．2

5．510arccos 6．33 7．97 8．20162015

9．43 10．41 11．3

12．4 13．100 14．),1()1,(

二．选择题（每题5分，满分20分）

15．B 16．C 17．A 18．C

三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数

19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．

（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，

此时最大． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2分）

解法一：此时，梯形ABED的面积等于400202（2cm）， „„„„„„（3分）

因为CBE，所以tan2030DE，ADABDESABED)(21，

即40020)tan2060(21，解得1tan，45． „„„„„„（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45． „„„„„（6分）

解法二：此时，△BEC的面积等于图①中没有液体部分的面积，

即200BECS（2cm）， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

因为CBE，所以tan21212BCCEBCSBEC，即200tan200，

解得1tan，45． „„„„„„„„„„„„„„„„（5分）

所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45． „„„„（6分）  60

A B C

D

A B C

D

③ ④ E

F 6 （2）如图④，当60时，设上液面为BF，因为6023arctanCBD，

所以点F在线段AD上， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（1分）

此时30ABF，31030tanABAF，

ABFS315021AFAB（2cm）， „„„„„„„„„„„„„„„（3分）

剩余溶液的体积为33000203150（3cm）， „„„„„„„„„„（4分）

由题意，原来溶液的体积为80003cm，

因为3000330008000，所以倒出的溶液不满30003cm． „„„„（5分）

所以，要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，不能实现要求．„„（6分）

20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．

（1）xxxxxxnmxf2cos2sin3cossincossin32)(22

62sin2x． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

当)(xf取最小值时，162sinx，2262kx，Zk，„„（6分）

所以，所求x的取值集合是Zkkxx,6． „„„„„„„（7分）

（2）由2)(Cf，得162sinC， „„„„„„„„„„（1分）

因为C0，所以611626C，

所以262C，3C． „„„„„„„„„„„„„„（3分）

在△ABC中，由余弦定理Cabbaccos2222， „„„„„„（4分）

得ababba223，即3ab， „„„„„„„„„„（5分）

所以△ABC的面积43323321sin21CabS， „„„„„（6分）

因此△ABC的面积S的最大值为433． „„„„„„„„（7分）