第14章_勾股定理讲义(完)

21E DC B A勾股定理 一、知识归纳 1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a = ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC ∆中，90C ∠=︒⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长AB C D E例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

勾股定理 复习讲义【知识回顾】1.基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等c ba HGF EDC B Abacb ac ca bc ab ab cc baED C B A８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方。

也就就是说:如果直角三角形得两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。

公式得变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。

2、勾股定理得逆定理如果三角形ABC得三边长分别就是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 就是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理得逆定理、该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知得条件:某三角形得三条边得长度、②满足得条件:最大边得平方=最小边得平方+中间边得平方、③得到得结论:这个三角形就是直角三角形,并且最大边得对角就是直角、④如果不满足条件,就说明这个三角形不就是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2得三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须就是正整数,不能就是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同得正整数倍后,仍就是勾股数。

常见勾股数有:(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 )4、最短距离问题:主要运用得依据就是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分就是正方形;(2)阴影部分就是长方形;(3)阴影部分就是半圆.2、如图,以Rt△ABC得三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆得面积之间得关系.3、如图所示,分别以直角三角形得三边向外作三个正三角形,其面积分别就是S 1、S2、S3,则它们之间得关系就是( )A、 S1- S2= S3B、 S1+ S2= S3C、 S2+S3< S1D、 S2- S3=S1S3S2S14、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD得面积。

5、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。

1 直角三角形的三边关系第1课时 探索直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如果直角三角形的两直角边分别是b a ,，斜边是c ，那么222c b a =+. 图形说明：如图，正方形A 中含有_________个小方格，即A 的面积是_________个单位面积；正方形B 中含有_________个小方格，即B 的面积是_________个单位面积；正方形C 中含有_________个小方格，即C 的面积是_________个单位面积.由此得出正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积.即若正方形A 的边长为,a 则其面积为2a ，正方形B 的边长为b ，其面积为2b ，正方形C 的边长为c ，其面积为2c ，由此可推出：222c b a =+.说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进行计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵活变形. 适用条件：勾股定理适用的前提条件是 三角形；公式变形：根据公式222c b a =+可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.在计算时要会灵活变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比如：22b a c +=，()ab b a b a c 22222-+=+=，()ab b a b a c 22222+-=+=，()()b c b c b c a -+=-=222.注意事项：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点1：直接运用勾股定理例1、在△ABC 中，∠C =90°，(1)若a =8，b =6，则c =_________；(2)若 c =20，b =12，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a =_________，b =_________.【解题思路】在△ABC 中，∠C =90°，所以有关系：a 2+b 2=c 2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.【解】根据题意可得a 2+b 2=c 2.(1)若a =8，b =6，所以82+62=c 2.即c 2=100，c ＞0，所以c =10；(2)若c =20，b =12，所以a 2+122=202，即a 2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a ＞0，所以a =16；(3)若a ∶b =3∶4，可设a =3x ，b =4x ，所以(3x )2+(4x )2=102.化简，得9x 2+16x 2=100，25x 2=100，x 2=4，x =2(x ＞0)，所以a =3x =6；b =4x =8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形(即△ABC 为直角三角形)与数(a 2+b 2=c 2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b =4，则c =_______；（2）若a =6，c =10，则b =________.知识点2：勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到2A ,由2A 向西走36厘米到3A ,由3A 向南走48厘米到4A ,由4A 向东走60厘米到5A ,由5A 向北走72厘米到6A ，问:智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是多少厘米?【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达6A 点时,相对O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．【解】因26OA =362+482,即6OA =60．所以, 6A 点到O 点的距离为60厘米．【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知识点3：利用勾股定理求线段和例3、已知直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，D 为BC 中点，E 是AB 上任意一点，且EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，试确定EF+EP 的值.【解题思路】由EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，联想到连结DE ，从而将三角形ABD 的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定EF+EP 的值.【解】连结ED ，在直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，故有BC=22n m +；D为BC 中点，所以AD=BD=222n m +.因22122n m EF S AED +⨯=∆，,41mn S ABD =∆，22122n m EP S BED +⨯=∆，故有22122n m EF +⨯+22122n m EP +⨯=mn 41，∴EF+EP=.22nm mn+.【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习：在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则222BC AC AB ++= . 知识点4：利用勾股定理求面积例4、如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC=24，P 是∠A ，∠C 的平分线的交点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，求BEPD S 四边形.【解题思路】显然四边形BEPD 以四边形BEPD 【解】设PD=PE=PF=mCA m BC m AB m ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅212121=由勾股定理知2524722=+=AC ，所以，247)25247(⨯=++m ，3=m ，故932==B E P DS 四边形. 【方法归纳】求不规则四边形图形面积通常把四边形分割成三角形来求解.对应练习：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD=1，∠A ＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积.a 1=1，•按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a 2，a 3，a 4的值各为多少？（2）根据以上规律写出a n 的表达式．【解题思路】利用勾股定理求斜边的长，依次可求出a 2，a 3，a 4，再比较它们的值，•即可写出a n ． 【解】（1）因为四边形ABCD 是正方形， 所以AB=BC=1，∠B=90°，所以在Rt △ABC 中，=同样可求得，，即a 2a 3=2，a 4（2）a n （n 为正整数）．【方法归纳】将图形与数字有机结合，善于发现和总结规律，是解题的关键．对应练习：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．）2+1=2，S 1；）2+1=3，S 2=2；2+1=4，S 3=2；…（1）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．易错警示例6、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解：由勾股定理，得5432222=+=+=b ac .错解分析：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况． 正解：若∠C 为直角，则有5432222=+=+=b ac ；若∠B 为直角，则有7342222=-=-=a b c .例7、已知Rt △ABC 中，∠B=90°，22,2==c a ，求b .错解：由勾股定理，得()()62222222=-=-=a c b错解分析：这里错在盲目地套用勾股定理“222c b a =+”，殊不知，只有当∠C=90°时，222c b a =+才成立，而当∠B=90°时，勾股定理的表达式应为222b c a =+.正解：∵∠B=90°，∴222b c a =+，∴()()102222222=+=+=a c b .课堂练习评测考点1：利用勾股定理比较线段大小1、如图，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式：（ ）A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c <<考点2：利用勾股定理计算线段长度2、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 10 cm3、如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）B. 4、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．2.5B ．3C ．4D ．55、已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．考点3：利用勾股定理作线段6、如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”__________条.考点4：勾股定理的简单应用 7、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？课后作业练习一、填空题：1．在△ABC中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________．二、选择题5．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22 D．106．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．A．6cm B．5cm C．3060. 1313cm D cm7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A B．1 D．1 28．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN 的长为（）．A．72B．258C．278D．154三、解答题9．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形.10．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8．（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，•使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？四、探究题13．小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？14．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，•使点D 与点B 重合．求：（1）折叠后DE 的长； （2）以折痕EF 为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A15、铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25 km ，C 、D 两村庄（视为两个点）DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路上建一个土特产收购站E 使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？16、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？17、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图①中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？ （3）求出图①中线段AC 的长（可作辅助线）. （4）求出图②中四边形EFGH 的面积.14.1.1对应练习答案：1.提示：（1）22c a b =+2）22b c a =-.答案：（1）c =5；（2）b =8.2.答案：B.3.答案：84.解：延长BC 交AD 的延长线于E ，则△ABE 和△CDE 均为直角三角形.因为∠A=60°，所以∠E=30°.又2=AB ，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得322=-=CD CE DE ，3222=-=AB AE BE ，所以CDE ABE ABCD S S S ∆∆ -=四边形312132221⨯⨯-⨯⨯=323=. 5.答案：（1）n ）2+1=n+1，S n =2n ；（2）OA 105510;(3)4．课堂练习作业参考答案：1、答案：C2、答案：B3、答案：D4、答案：A5、答案：26、答案：87、答案：10参考答案：一、1．（1）4 （2）60 （3）1622．6 8 103．17cm 4．4.8 6和8二、5．D6．D7．A8．B三、9．提示：面积是2的直角三角形，两条直角边分别是1和4，或2和2；面积是2的正.答案：10．答案：因为AD⊥BC于D．所以在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＋BD2＝AB2，即BD2＝100－64＝36 所以BD＝6，所以BC＝BD×2＝12 (等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一”)，S△ABC＝12×BC×AD＝12×12×8＝48（平方单位）.11．169厘米2 • 12．12米四、13．解：矩形相邻两边分别为a m，b m，根据题意可得：2221048a bab⎧+=⎨=⎩，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=196，即a+b=14，则矩形周长为28米.14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-•（9-x）2=32，故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF•互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，∴以EF为边的正方形面积为144cm2．15、答案：如图，若设AE ＝x ，则BE ＝25－x ．因为DA ⊥AB 于A ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD 2＋AE 2＝DE 2，因为CB ⊥AB 于B ，所以在Rt △ECB 中 EB 2＋BC 2＝CE 2，因为DE ＝CE 所以DE 2＝CE 2，所以AD2＋AE 2＝EB 2＋BC 2 所以152＋x 2＝(25－x )2＋102x ＝10. 答：E 站应建在距A 站10 km 处.16、当CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最价， ∵CD ·AB=AC ·BC ∴CD=ABBCAC ⋅=48米，∴AD=22224880-=-CD AC =64米. 所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．17、解：（1）单位正三角形的高为23，面积是4323121=⨯⨯.（2）由图①可直接得出平行四边形ABCD 含有24个单位正三角形，因此其面积为43×24=36.（3）过A 作AK ⊥BC 于点K （如图①所示），则在Rt △ACK 中，252111,233233=++==⨯=KC AK ，故1322=+=KC AK AC . （4）过点G 、H 、E 、F 作矩形MNPQ （如图②）.∵2112111111,33236=+++++==⨯=NP MN ，∴四边形MNPQ 的面积=2333.∵8392332321=⨯⨯=∆EMF S ，83152332521=⨯⨯=∆FNG S ；2333321=⨯⨯=∆GPH S ，3432421=⨯⨯=∆EQH S .∴四边形EFGH 的面积=383423383158392333=----.。