勾股定理全章复习与巩固基础教师讲义

《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

6.证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

7、证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴ 知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵ ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。

把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度A C .解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）： 解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=（ x +0.5）2解之得x =2. 故水深为2米. 题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三CBDA角形吗？为什么？解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。

勾股定理单元复习与巩固一、知识网络二、目标认知学习目标：1、了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程；2、理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；3、能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题．重点：勾股定理及其逆定理的应用难点：勾股定理及其逆定理的应用三、知识要点梳理知识点一、勾股定理及其逆定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2=c2）2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

知识点二、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系。

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点三、如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。

（若c2＞a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2＜a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形）四、规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是前面接触过的利用图形面积与代数恒等式的关系转化证明的。

大家注意总结体会。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁是直角边，这是这个定理在应用过程中易犯的主要错误。

4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．。

勾股定理复习讲义内容一、第一单元知识结构二、典例归类考点1：面积及面积的应用例1、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P 到三边的距离相等，这个距离为。

例2、在直线l 上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是,,,,1S S S S 则=+++S S S S 。

对应练习:1、如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图四边形ABCD 的各边的长。

（2）求∠ADC 的度数L3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积总结归纳： 。

考点2、距离（最短距离）问题例3、如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝ 6cm ，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。

在点A ’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A ’相对的C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？对应练习: 1、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、12、如上图，则正方体中能放入的最大长度为。

总结归纳：。

考点3：判断三角形的形状例4、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。

P BC PC 23BC对应练习:1、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角考点4：勾股定理与实际问题结合例6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝35，AB ＝105，BC 85=，E 是AB 上一点，且AE ＝45，求点E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ．。

《勾股定理》全章复习与巩固 要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. a b 、c 222a b c +=a b c 、、222a b c +=c 22a b +2c 222a b c +=222a b c +＞222a b c +＜222x y z +=x y z 、、知识点如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的应用例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：.a b c、、at bt ct、、a b c、、a b c<<2a b c=+27 29222AE BF EF+=典型例题举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：.例2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．222BD AB BC =+类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．例4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【变式】如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？类型三、勾股定理的实际应用例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD ＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合， 即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ， ∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°． ∵ ∠ACF′＝∠BCF ，∴ ∠ECF′＝45°． 在△ECF 和△ECF′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF′(SAS)，∴ EF ＝EF′． 在Rt △AEF′中，222AE F A F E ''+=， ∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题． 举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ． ∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB ∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30° ∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270° ∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE += ∴ 222BC AB BD +=2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8 又∵PB 2=1，BE 2=9 ∴PE 2+ PB 2= BE 2 则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（ •顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c 点的最大值，然后得到c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 【答案与解析】解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为锐角三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角；（2）∵c 为最长边，2+4=6，∴4≤c ＜6，a 2+b 2=22+42=20，①a 2+b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c ＜2时，这个三角形是锐角三角形； ②a 2+b 2=c 2，即c 2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H∵∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴△GAB≌△HCG∴∠GAB=∠H，AB=CH又∵AB=AD，∠B=∠D，BG=DE∴△ABG≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF△中，设AD a=，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】（春•防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点， 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离． 在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动． 所以台风影响该城市320÷20=16（小时）． （3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 答：该城市受台风影响最大风力7.2级． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．【巩固练习】 一.选择题1. 在△ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°3．（ 春•西华县期末）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）A ．2900mB ． 1200mC ． 1300mD ．1700m 5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ） A ．ab =h 2 B ．a 2+b 2=h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h+= 6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC)2等于( )A.25B.325C.2197D.4057. 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+ B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+ C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+ D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121二.填空题9. 如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．11．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．12．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD 上的任意一点，则AP+EP的最小值是cm．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要cm．14．（春•监利县期末）小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答：（选填“能”或“不能”）．15. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．16. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.三.解答题17.如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD，求：△ABC的面积．18．如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．19.（•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．20. 如图1，四根长度一定．．．．的木条，其中AB ＝6cm ，CD ＝15cm ，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD （在A 、B 、C 、D 四点处是可以活动的）.现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置. 位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点C 在线段AD 上（如图2）； 位置二：当点C 在AB 的延长线上时，∠C ＝90°．（1）在图2中，若设BC 的长为x ，请用x 的代数式表示AD 的长； （2）在图3中画出位置二的准确．．图形；（各木条长度需符合题目要求） （3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，BC 、AD 边的长．【答案与解析】 一.选择题1.【答案】D ；【解析】因为()()2222221111c a n n n n -=++-+-+＝422n b =，所以222c a b -=，222a b c +=，由勾股定理的逆定理可知：△ABC 是直角三角形．2.【答案】C ；【解析】连接AC ，计算AC 2＝BC 2＝5,AB 2＝10,根据勾股定理的逆定理，△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°. 3.【答案】D ；【解析】解：A 、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形，故正确；B 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；C 、因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确；D 、因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，所以不是直角三角形，故不正确． 故选D ．4.【答案】C ；【解析】作A 点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P ，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短，如图，BB′=BD+DB′=1200，B′A′=500，BA′=1300（m ）．5.【答案】D ；【解析】解：根据直角三角形的面积可以导出：abc h=．再结合勾股定理：a 2+b 2=c 2．进行等量代换，得a 2+b 2= 222a b h ．两边同除以a 2b 2，得222111a b h +=． 6．【答案】B ；【解析】()222222AC BC AC BC AC BC AB AB CD +=++⋅=+⋅＝169＋2×13×6＝325. 7.【答案】B ；【解析】()()22141m m m -+=+.8.【答案】C ；【解析】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，长方形KLMJ 的面积为10×11=110．故选C ．二.填空题9．【答案】6；【解析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结BE ，可得△ABE 为直角三角形． 10．【答案】3；【解析】设点B 落在AC 上的E 点处，设BD ＝x ，则DE ＝BD ＝x ，AE ＝AB ＝6，CE＝4，CD ＝8－x ，在Rt △CDE 中根据勾股定理列方程．【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4.12．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+EP 的最小值5.13．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5.14．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x 2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000， 所以能放进去．15.【答案】3，2， 8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三.解答题 17.【解析】 解：∵32BD CD =，设BD ＝3x ，则CD ＝2x ，由AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ， 即AF ＝3－2x ，AE ＝4－3x ，∴ 3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴ BC ＝3x ＋2x ＝5 又∵ 222345+=，即222AC AB BC += ∴ △ABC 是直角三角形，∠A ＝90°． ∴ 1143622ABC S AB AC ==⨯⨯=△ 18．【解析】解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ， ∵BC=8cm ，∴BD=CD=BC=4cm ， ∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP 2=PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+AD 2=PC 2﹣AC 2，∴PD 2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25， ∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ， ∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25， ∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ， ∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．19.【解析】 解：（1）过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM=30°，AO=80m ， ∴AD=40m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD=CD=BC ，OA=80m ，∵在Rt △AOD 中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m ，在Rt △ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD===30m ，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响． ∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．20.【解析】 解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9． （2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9． 在△ACD 中，∠C ＝90° 由勾股定理得222AC CD AD +=． ∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++． 化简，得6x ＝180． 解得 x ＝30． 即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使CE=CP，连结EP，EB在△APC和△BEC中PCA ECBAC BCPC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC≌△BEC∴△PCE为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又∵PB2=1，BE2=9∴PE2+ PB2= BE2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合即△APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M是△ABC内部任意一点，于G，于K，于，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF．图１图２【答案与解析】(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM ∵ AB ⊥DM ∴○1 ∵∴○2 ∵∴○3 把○1○2○3三式相加，得 222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴ 【总结升华】此题（1）考察的是勾股定理（2）的关键是能够构造出四边形利用（1）的结论，从而证得线段相等.4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.【答案】解：∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+DC2=122+162=202=BC2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=143，故△ABC的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图） 由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．。

勾股定理全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝BC =E 是AB 上一点，且AE ＝E 到CD 的距离EF ．【思路点拨】连接DE 、CE 将EF 转化为△DCE 一边CD 上的高，根据题目所给的条件，容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出CD 的长度，即可求出EF 的长度，过点D 作DH ⊥BC 于H ，在Rt △DCH 中利用勾股定理即可求出DC ． 【答案与解析】解：过点D 作DH ⊥BC 于H ，连接DE 、CE ，则AD ＝BH ，AB ＝DH ，∴ CH ＝BC －BH ＝=＝AB ＝在Rt △CDH 中，22222625CD DH CH =+=+=，∴ CD ＝25，∵ CDE ADE BCE ABCD S S S S =--△△△梯形111()222AD BC AB AD AE BC BE =+--111125222=⨯⨯⨯⨯=又∵ 12CDE S DC EF =△，∴ 1251252EF ⨯=，∴ EF ＝10．【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积之间的转换． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，9DC ===． 类型二、勾股定理与其他知识结合应用2、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC ＝400米，BD ＝200米，CD ＝800米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=． ∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+=． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．3、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：线段AE,BF,EF 之间的数量关系.【思路点拨】：由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合， 即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°． 在△ECF 和△ECF ′中：45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′． 在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．4、在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c 点的最大值，然后得到c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 【答案与解析】 解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10， ∴△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为锐角三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角； （2）∵c 为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a 2+b 2=22+42=20，①a 2+b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形； ②a 2+b 2=c 2，即c 2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形； ③a 2+b 2＜c 2，即c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．类型三、本章中的数学思想方法1.转化的思想方法：我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求线段EF的长.【答案与解析】解：连接AD．因为∠BAC＝90°，AB＝AC．又因为 AD为△ABC的中线，所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．且∠BAD＝∠C＝45°．因为∠EDA＋∠ADF＝90°．又因为∠CDF＋∠ADF＝90°．所以∠EDA＝∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以 AE＝FC＝5．同理：AF＝BE＝12．在Rt△AEF中，由勾股定理得：，所以EF＝13.【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题，我们可以知道：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵ BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴∴2.方程的思想方法6、（2016•安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：△ABC是勾股三角形．【思路点拨】（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；（3）过B作BH⊥AC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出结论．【答案与解析】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y=102；（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：设AH=x,Rt△ABH中，BH=，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，解得：x=，∴AH=BH=，HC=1，∴BC=2，∴∠HBC=30°，∴∠BCH=60°，∠B=75°，∴452+602=752∴△ABC 是勾股三角形．【总结升华】此题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理和直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用勾股定理得出AH ，HC 的长是解题关键． 举一反三：【变式1】直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积. 【答案】解：设此直角三角形两直角边长分别是x y ，，根据题意得：由（1）得：7x y +=，∴()249x y +=，即22249x xy y ++= (3)(3)－(2)，得：12xy = ∴直角三角形的面积是12xy ＝12×12＝6（2cm ） 【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ 的面积为多少？【答案】解：设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，∵周长为36cm ， AB+BC+AC=36cm ， ∴3x+4x+5x=36， 得x=3，∴AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，∵AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm ），BQ=2×3=6（cm ）， ∴S △PBQ =BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm 2）． 故过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2．。

《勾股定理》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解. 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+- ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，∴BE2+EF2=BF2，∴∠BEF=90°，即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP与△CBQ中，∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴△ABP≌△CBQ∴AP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°∴△PBQ为正三角形∴PQ=4a于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°． 在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形． 2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合， 即△ACF′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ， ∴ ∠CAF′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°．在△ECF和△ECF′中45CE CEECF ECFCF CF=⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴△ECF≌△ECF′(SAS)，∴EF＝EF′．在Rt△AEF′中，222AE F A F E''+=，∴222AE BF EF+=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求证：222BD AB BC=+.【答案】解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE．∵BD＝DE，∠BDE＝60°∴△BDE为等边三角形，BE＝BD易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE+=∴222BC AB BD+=2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA ，且使CE=CP ，连结EP ，EB在△APC 和△BEC 中PCA ECB AC BC PC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC ≌△BEC∴△PCE 为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE 2=PC 2+CE 2=8 又∵PB 2=1，BE 2=9 ∴PE 2+ PB 2= BE 2 则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA 、PB 、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC ≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014•顺义区一模）在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，设c 为最长边．当a 2+b 2=c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2+b 2≠c 2时，利用代数式a 2+b 2和c 2的大小关系，可以判断△ABC 的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC 为 三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC 为 三角形．（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a=2，b=4时，最长边c 在什么范围内取值时，△ABC 是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形？【思路点拨】（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c 点的最大值，然后得到c 的取值范围，然后分情况讨论即可得解． 【答案与解析】解：（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴△ABC 三边分别为6、8、9时，△ABC 为锐角三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时，△ABC 为钝角三角形； 故答案为：锐角；钝角；（2）∵c为最长边，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H∵∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC∴△GAB≌△HCG∴∠GAB=∠H，AB=CH又∵AB=AD，∠B=∠D，BG=DE∴△ABG≌△ADE∴∠GAB=∠DAE在Rt ADF△中，设AD a=，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】（2014春•防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ． ∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点， 则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离． 在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）． 所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动． 所以台风影响该城市320÷20=16（小时）． （3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 答：该城市受台风影响最大风力7.2级． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．。

勾股定理复习课教案教学目标：1、理解掌握勾股定理及逆定理的内容。

2、会利用勾股定理及逆定理进行相关的计算和证明，提高分析问题和解决问题的能力。

3、进一步增强数形结合的素养，培养团结合作的意识。

模块一：知识梳理：1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么____________,2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边如何判定一个三角形是否是直角三角形（若三边长分别为a,b,c）？（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证2c与2a+2b是否具有相等关系.若2c=2a+2b，则△ABC是；若2c≠2a+2b，则△ABC不是 .3.勾股数①能够构成直角三角形的三条边的三个_________称为勾股数，即222+=中，a，b，c为_____整a b c数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等：模块二：典例分析：如图：一棵32米高的树在一次暴风雨中被刮断，树顶落在离树根16米处，研究人员查看断痕的原因时，在离树根5米的地方竖起了一个梯子，这个梯子的长度是多少？跟踪练习1：如图所示，长方形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长？模块三：学以致用题型一：直接考察勾股定理1.求下列阴影部分的面积：（1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ；（用π表示）2.如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为4.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ .题型二：勾股定理的逆定理及判断三角形的形状已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =D CB A2．如图网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC 的面积；（2）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．模块四：课堂检测：如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD 的面积D C B A。