黑龙江省高考数学备考复习(文科)专题十：圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。

椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。

椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。

2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。

双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。

双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。

3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。

抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。

4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。

(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。

(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。

(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。

圆锥曲线高二文科知识点圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，也是文科生需要掌握的知识点之一。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种形态，每种形态都有其独特的性质和应用。

下面将逐一介绍这些知识点。

一、圆圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点构成的集合。

圆的特点是：1. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等；2. 半径：圆心到圆上任一点的距离。

圆的方程可以表示为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

圆的性质可以应用于日常生活中的测量、建筑等方面。

在几何中，圆的相关定理也是很重要的内容。

二、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 两个焦点F₁和F₂：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个固定值2a；2. 短轴：过圆心的直径，一般记为2b；3. 长轴：连接两个焦点并通过圆心的直径，一般记为2a。

椭圆的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标。

椭圆在几何学、天文学等领域有广泛的应用。

如行星运动的轨道、航天器发射中的轨迹分析等。

三、双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 两个焦点F₁和F₂：双曲线上任意一点到焦点距离之差等于两个固定值2a；2. 短轴：通过两个焦点且垂直于连接两焦点的直线的直径，一般记为2b。

双曲线的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标。

双曲线在物理学、天文学等领域有广泛应用，例如天体运动轨迹、电磁场分布等。

四、抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 焦点F：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；2. 准线：与抛物线对称轴平行且与焦点的距离相等的直线。

2021年黑龙江省高考数学二轮解答题专项复习：圆锥曲线
1．已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为
√32，设直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2√55． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．
（Ⅱ）过点D （3，0）且斜率不为零的直线l '交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点Q ，使得直线AQ ，BQ 的斜率之积为非零的常数？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22
，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y ＝x ﹣1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB （O 为坐标原点）的面积．
3．已知动圆C 的圆心为点C ，圆C 过点P （3，0）且与被直线x ＝1截得弦长为4√2．不过
原点O 的直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，且|OA →+OB →|＝|OA →−OB →|．
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）求三角形OAB 面积的最小值．
4．已知椭圆C ：x 2
a +y 2
b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22
，短轴一个端点与右焦点的距离为2． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 过点P （0，3）且与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值．。

文档仅供参考................................................................高三数学总复习高 考 复 习 科 目 ： 数 学高 中 数 学 总 复 习 （ 八 ）复习内容：高中数学第八章 - 圆锥曲线方程复习范围：第八章 编写时间： 2015-2 修订时间：总计第三次2015-4I. 基础知识要点一、椭圆方程 .1. 椭圆方程的第一定义： PF1 PF2 2aF F 2 方程为椭圆 , 1PF 1 PF 2 2aF F2 无轨迹 ,1PF 1 PF 2 2a F 1F 2 以F 1,F 2为端点的线段⑴①椭圆的标准方程：2y22 2i. 中心在原点， 焦点在 x 轴上： x1( a b 0). ii. 中心在原点， 焦点在 y 轴上： yx1(a b 0) .a 2b 2a 2b 222x a cos②一般方程： Ax 2By 21( A 0, B 0) . ③椭圆的标准参数方程： xy1 的参数方程为b 2a 2y b sin（一象限应是属于 02） .⑵①顶点：( a,0)(0, b) 或( 0,a)( b,0) .②轴：对称轴： x 轴， y 轴；长轴长2a ，短轴长 2b . ③焦点：( c,0)(c,0) 或 (0, c)(0, c) .④焦距： F 1F 22c, ca 2 b 2.⑤准线： xa 2或 yce ce1) .⑦焦点半径：(0ai. 设P( x 0 , y 0 )为椭圆 x 2y 21(a b0) 上的一点， F ,F2为左、右焦点，则PF1a2b2 1由椭圆方程的第二定义可以推出.a 2 .⑥离心率：ca ex 0 , PF 2 a ex 0x 2 y 2 1( a b0) 上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则PF 1 a ey 0 , PF 2a ey 0ii. 设 P(x 0 ,y 0 ) 为椭圆2a 2b由椭圆方程的第二定义可以推出 .由椭圆第二定义可知：pF 1 e(x 0 a 2a ex 0 (x 0 0), pF 2 a 2a( x 00) 归结起来为 “左加) e(x 0 ) ex 0c c ▲y右减 ”.( bcos , bsin )N (a cos , b sin )方程的轨迹为椭圆 .( acos ,asin )注意：椭圆参数方程的推导：得N x⑧通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d2b 2( c, b2) 和 (c,b 2)a 2aaN 的轨迹是椭圆⑶ 共 离心率的椭 圆系的方程 ：椭 圆 x2y 2c(c1(a b 0) 的离 心率是 ea 2b 2 ) ， 方程a 2b 2ax2y2t(t 是大于 0 的参数， ab 0) 的离心率也是 ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a 2b 2a文档仅供参考⑸若 P 是椭圆： x2y 21 上的点 . F ,F 2为焦点，若F PF2 ，则PF F 2的面积为 b 2 tan（用a2b21112余弦定理与 PF 1PF 2 2a 可得） . 若是双曲线，则面积为b 2 cot .2二、双曲线方程 .1. 双曲线的第一定义：PF 1 PF 2 2a F 1F 2 方程为双曲线 PF 1PF 2 2a F 1F 2 无轨迹PF 1PF 22aF 1F 2 以F 1 ,F 2的一个端点的一条射线⑴① 双曲线 标准方程： x 2y 21(a, ba2b2⑵① i. 焦点在 x 轴上：顶点：( a,0), ( a,0)焦点：(c,0), ( c,0)ii. 焦点在 y 轴上：顶点： (0, a), (0, a) .0), y2x21(a , b0). 一般方程： Ax 2Cy 2 1( AC0) .a 2b 2准线方程 xa 2 渐近线方程： xy0 或 x 2 y 2caba 2b 2焦点： (0, c), (0, c) . 准线方程： ya 2. 渐近线方程：cy x 0 或y 2x2xa secxb tan .a ba 20 ，参数方程：或b 2y b tan ya sec②轴 x, y 为对称轴，实轴长为 2a, 虚轴长为 2b ，焦距 2c. ③离心率 ec . ④准线距 2a2 （两准线的a c距离）；通径2b2c 2 a 2 b 2, e c .x2y 2.⑤参数关系 ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程1b 2aaa 2（F 1 ,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：MF 1 ex 0 a 构成满足 MF 1MF 22aM F 1ex 0 a MF 2ex 0 aM F 2（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带ex 0 a符号计算，而双曲线不带符号）▲▲yyMF 1ey 0 aM'MF 1MF 2ey 0 aMxxM F 1 ey 0 aF 1F 2M'M F 2ey 0 aF 2⑶等轴双曲线：双曲线x 2 y 2 a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x ，离心率 e2 .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲222 2x 2y2线. xy 与 xy 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0 .a 2b 2a 2b 2a 2b 2⑸共渐近线的双曲线系方程：x 2y2( 0) 的渐近线方程为x 2y2b 20 如果双曲线的渐近线为a 2a2b 2xy0 时，它的双曲线方程可设为 x 2 y 2 0) .a b a 2(b 2文档仅供参考例如：若双曲线一条渐近线为y1 x 且过 p(3, 1 ) ，求双曲线的方程？▲y2 2x 21) 得 x2 y 2 4 3解：令双曲线的方程为：y 2 ( 0) ，代入(3, 1 .242 8 21⑹直线与双曲线的位置关系：xF 15 3F 2区域①：无切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域②：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；3区域③： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、 3、 4 条.（ 2）若直线与双曲线一支有交点， 交点为二个时， 求确定直线的斜率可用代入 “ ”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 .⑺若 P 在双曲线x2y 2 1，则常用结论 1：P 到焦点的距离为 m = n ，则 P 到两准线的距离比为m ︰n.a 2b 2PF 1d 1 em 简证：PF=.d 22ne常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b.三、抛物线方程 .3. 设 p 0 ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 22 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 2 2 py图形▲▲▲y▲yyyxxxxOOOO焦点F ( p,0)F (p,0) F (0, p)F (0, p )22 22 准线pxppypx2y2 22范围 x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称轴x 轴y轴顶点 （0，0）离心率e 1焦点p x 1PF pp y 1PFpPFx 1PFy 12222注：① ay 2byc x 顶点 ( 4ac b2b) .4a2a② y 22 px( p0) 则焦点半径 PFx P ; x 22 py( p 0) 则焦点半径为 PF yP .22文档仅供参考③通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.x 2 pt 2x 2 pt④ y 2 2 px （或 x 2 2 py ）的参数方程为）（ t 为参数）.（或2 pt 2y 2 pt y四、圆锥曲线的统一定义 ..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数 e 的点的轨迹.当0 e 1时，轨迹为椭圆；当e 1 时，轨迹为抛物线；当e 1 时，轨迹为双曲线；当 e 0 时，轨迹为圆（e c，当 c0, a b 时）. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可 .最后希望同学们在做题的过程中养成不断总结的好习惯，考试中避免出现技术性错误，在数学考试中取得最好的成绩！最后希望同学们在做题的过程中养成不断总结的好习惯，考试中避免出现技术性错误，在数学考试中取得最好的成绩！文档仅供参考。

题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。

2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。

椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。

其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。

由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。

当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。

当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。

需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。

当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。

当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。

双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。

圆锥曲线与方程知识点详细圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们在数学、物理等领域都有着广泛的应用。

接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线与方程的相关知识点。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。

3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

（2）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

（3）顶点：焦点在$x$轴上的椭圆的顶点为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆的顶点为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

2、标准方程焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，其中$a ＞ 0$，＄b ＞ 0$，＄c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。