鲁教版中考数学一轮复习 圆 专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质与圆有关的位置关系1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.考点1：点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

考点2：直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；r d=r r dd考点3：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

考点4：切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA∠考点5：三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

注意：内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2cb a -+。

（3）S △ABC =)(21c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

2019备战中考数学（鲁教版五四制）巩固复习-圆（含解析）一、单选题1.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5，则直线l和圆O的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上均有可能2.已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出（）A. 5个圆B. 8个圆C. 10个圆D. 12个圆3.下列命题中，假命题是（）A. 如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； B. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C. 如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．4.已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm5.已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（）A. 4B. 14C. 4或14D. 6或146.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=40°，则∠B的度数为（）A. 20°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，已知，AB是⊙的直径，点C，D在⊙上，∠ABC=50°，则∠D为（）A. 50°B. 45°C. 40°D. 30°8.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°9.如图O是圆心，半径OC垂直弦AB于点D，AB=8，OB=5，则OD等于（）A. 2B. 3C. 4D. 510.下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为________．12.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，HN=c，则a、b、c三者间的大小关系为 ________13.如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD=40°，则∠A= ________14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则弧AB的长为 ________.15.已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是________．16.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是________ mm．17.一个正八边形要绕它的中心至少转________ 度，才能和原来的图形重合，它有________ 条对称轴．18.在综合实践活动课上，小明用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OA=6cm，高SO=8cm，则这个圆锥漏斗的侧面积是________ cm2.(结果保留π)19.将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．20.如果圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径，那么直线l和⊙O的公共点有________个．三、解答题21.如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC= ，求⊙O半径的长．22.一堆圆锥形沙子，底面直径是8米，高是1.5米，如果每立方米沙子重1.5吨，那么这堆沙子重多少吨？23.如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD=78°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数．四、综合题24.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．25.如图，已知AB、AD是⊙O的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，∠ABO=30°，OB=2．（1）求弦AB的长；（2）若∠D=20°，求∠BOD的度数．26.在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O 上任意一点距离的最小值．27.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】【分析】圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为5；∵5>3，∴直线l和圆O的位置关系是相离。

中考复习之圆与圆的位置关系一、选择题：1.如果两圆的半径长分别为 6 和2，圆心距为 3，那么这两个圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含2.若两圆的半径分别为 2cm 和6cm，圆心距为 4cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含 B．内切 C．外切 D．外离3.如图，用邻边分别为 a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 a 与b 满足的关系式是【】A．b= a B．b= 5+1a2C．b=5a2D．b= 2a4.已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【】A.13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.外切B．相交C．内切D．内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm 和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【】A.内含B．相交C．外切D．外离9.若两圆的半径分别为2 和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【】A.外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为 1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为 2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a 的值为【】（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±311.已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【】A.8cm B．5cm C．3cm D．2cm12.⊙O1的半径为3 厘米，⊙O2的半径为2 厘米，圆心距O1O2=5 厘米，这两圆的位置关系是【】A.内含B．内切C．相交D．外切13.已知两圆的半径分别为1 和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2 的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1 或2 (D)1 或315.第三十奥运会将于 2012 年7 月27 日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是【】 A 外离 B 内切 C 外切 D 相交16.已知两圆相外切，连心线长度是 10 厘米，其中一圆的半径为 6 厘米，则另一圆的半径是【】A．16 厘米B．10 厘米C．6 厘米D．4 厘米17.如果两圆的半径分别为4 和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是【】A.内含B．外离C．相交D．外切18.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4 和6，O1O2＝2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离19.如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【】A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm220.已知两圆的半径分别是3 和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【】A.外离B．相交C．内切D．外切21.已知两圆半径为5cm 和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【】A.相交B．内含C．内切D．外切22.定圆O 的半径是4cm，动圆P 的半径是2cm，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是【】A.2cm 或6cm B．2cm C．4cmD．6cm23.若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0 的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【】A.内切B．相交C．外切D．外离24.已知两圆的直径分别为2cm 和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【】A.相交B．外切C．外离D．内含25.已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是【】A.外离B．相切C．相交D．内含二、填空题：1.半径分别为3cm 和4cm 的两圆内切，这两圆的圆心距为cm．2.如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为cm。

2021中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系一、选择题1. 如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是()A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不确定2. 下列说法中，正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线3. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．到圆心的距离等于半径的直线D．经过圆的直径一端的直线4. △△△AB△△O△△△△B△△AOB△60°△△△A△△△△()A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 已知△O的半径为2，点P到圆心O的距离为4，则点P在()A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定6. 2019·泰安如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO 的延长线于点P ，则∠P 的度数为( )A ．32°B ．31°C ．29° D．61°7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少．”答案是 ( )A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步8. (2019•仙桃)如图，AB 为的直径，BC 为的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为 .10. 如图，△O 分别切△BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧上.若△BAC=66°，则△EPF 等于 度.O O O CO DB ⊥EDA EBD △∽△ED BC BO BE ⋅=⋅11. 如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC 为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．12. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC ＝40°，则∠BOD的度数是________．13. 已知点P到⊙O上的点的最短距离为3 cm，最长距离为5 cm，则⊙O的半径为__________．14. 如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为________．三、解答题15. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．图16. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D ＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．17. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E.(1)求证：DF⊥AC；(2)求CG的长.18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ 交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2021中考数学一轮复习：与圆有关的位置关系-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]连接BI，如图，∵△ABC内心为I，∴∠1=∠2，∠5=∠6.∵∠3=∠1，∴∠3=∠2.∵∠4=∠2+∠6=∠3+∠5，∴∠4=∠DBI，∴DI=DB.故选A.2. 【答案】B3. 【答案】C4.【答案】B△△△△△AB △△O △△△△B △△OB △AB △△△ABO △90°△△△AOB △60°△△△A △90°△△AOB △90°△60°△30°.5. 【答案】C6. 【答案】A7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】如图，连接．∵为的直径，为的切线，∴， ∵，∴，． 又∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．又∵点在上，∴是的切线，故①正确， ∵，∴，∵，∴垂直平分，即，故②正确； ∵为的直径，为的切线，∴， ∴，∴，DO AB O BC O 90CBO ∠=︒AD OC ∥DAO COB ∠=∠ADO COD ∠=∠OA OD =DAO ADO ∠=∠COD COB ∠=∠COD △COB △CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD COB △≌△90CDO CBO ∠=∠=︒D O CD O COD COB △≌△CD CB =OD OB =CO DB CO DB ⊥AB O DC O 90EDO ADB ∠=∠=︒90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒ADE BDO ∠=∠∵，∴，∴， ∵，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∵， ∴，故④正确，故选A ．二、填空题9. 【答案】2[解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】57[解析]连接OE ，OF .∵☉O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，∴OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴∠BAC +∠EOF=180°，∵∠BAC=66°， ∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.11. 【答案】5－533 [解析] ∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 和△BAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE (SAS)， ∴∠ADC ＝∠ABE ，OD OB =ODB OBD ∠=∠EDA DBE ∠=∠E E ∠=∠EDA EBD △∽△90EDO EBC ∠=∠=︒E E ∠=∠EOD ECB △∽△ED ODBE BC=OD OB =ED BC BO BE ⋅=⋅从而∠PDB＋∠PBD＝90°，即∠DPB＝90°，从而∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上．如图，过点O作OH⊥BC于点H，连接OB，OC.∵△ABC的外心为O，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°.又∵BC＝10，∴OH＝533，∴OP长的最小值是5－53 3.12. 【答案】70°[解析] 由切线长定理可知∠OBD＝12∠ABC＝20°.∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.13. 【答案】1 cm或4 cm[解析] 若点P在⊙O内，如图①.∵AP＝3 cm，BP＝5 cm，∴AB＝8 cm，∴OA＝4 cm；若点P在⊙O外，如图②.∵AP＝3 cm，BP＝5 cm，∴AB＝2 cm，∴OA＝1 cm.14. 【答案】[解析] ∵AB＝AC＝AD，∴点A是△BCD的外心，∴∠BAC＝2∠BDC.∵∠CBD＝2∠BDC，∴∠CBD＝∠BAC＝44°，∴∠CAD＝2∠CBD＝88°.三、解答题15. 【答案】解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，∴BM＝40千米．答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．(2)能．理由如下：如图，连接BC.∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，∴BC＝CM2＋BM2＝902＋402＝10 97(千米)＜100千米，∴到C城后还能接收到信号．16. 【答案】解：(1)连接OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝12×(180°－90°)＝45°.(2)由(1)可知∠COD＝∠D，∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝22＋22＝2 2，∴BD＝OD－OB＝2 2－2.17. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OD.∵DF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF. ∵AC ＝BC ， ∴∠DBC ＝∠A.∵OD ＝OB ，∴∠DBC ＝∠ODB ， ∴∠A ＝∠ODB ，∴OD ∥AC ，∴DF ⊥AC. (2)如图，连接CD ，BG. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BGC ＝∠BDC ＝90°.∵AC ＝BC ，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝12AB ＝3. 在Rt△ACD 中，CD ＝AC2－AD2＝52－32＝4. ∵AB·CD ＝2S△ABC ＝AC·BG ， ∴BG ＝AB·CD AC ＝6×45＝245， ∴CG ＝BC2－BG2＝52－（245）2＝75.18. 【答案】（1）直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4． （2）①如图2，∠BDE ＝∠CDE ＝∠ADP ；②如图3，∠ADP ＝∠DEP ＋∠DPE ，如图4，∠BDE ＝∠DBP ＋∠A ， 因为∠DEP ＝∠DBP ，所以∠DPE ＝∠A ＝45°．所以∠DFE ＝∠DPE ＝45°．因此△DEF 是等腰直角三角形．于是得到y ．图2 图3 图4 （3）①如图5，当BD ∶BF ＝2∶1时，P (2,2)．思路如下：由△DMB ∽△BNF ，知122BN DM ==．设OD ＝2m ，FN ＝m ，由DE ＝EF ，可得2m ＋2＝4－m ．解得23m =． 因此4(0,)3D ．再由直线CD 与直线AB 求得交点P (2,2)． ②如图6，当BD ∶BF ＝1∶2时，P (8,－4)．思路同上．图5图6。

九年级数学中考第一轮（七）圆鲁教版知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮（七）圆二. 知识学习：1. 圆的基础知识①圆的有关概念：弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。

②圆的确定圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。

注意：作图（两边中垂线找交点），三角形外心的位置，外心到三角形各顶点距离等③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性2. 圆与其它图形<1>点与圆三种<2>直线与圆①一条直线与圆三种②两条直线与圆③三条直线与圆三角形内切圆与圆外切三角形三角形内心（角平分线交点）位置永远在三角形内部，到三角形各边距离相等④四条直线与圆圆外切四边形两组对边的和相等+=+AB DC AD BC<3>两圆与直线两圆外切时连心线过内公切线，切点与该切线垂直。

两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

3. 定理<1>垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；2求3。

<2>圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

<3>与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角<4>切线的判定、性质：①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”或作垂直证d＝r②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。

常见“切连垂”<5>切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 4. 和圆有关的计算 < 1 >求线段 ①直径、半径②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高③切线长④直角三角形内切圆半径⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系 ⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2 ⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等 < 2 >求角圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角 < 3 >正多边形的有关计算正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

第2节 与圆有关的位置关系(必考,6~9分)命题分析【知识清单】知识点1 与圆有关的位置关系图1点与圆的位置关系 (设圆的半径为r , 平面内任一点到圆心的距离为d ){点在圆外⇔d① r,如图1中点A 点在圆上⇔d② r,如图1中点B 点在圆内⇔d③ r,如图1中点C直线与圆的位置关系(设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d )知识点2 切线切线的性质:圆的切线⑦ 于过切点的半径(或直径)切线的判定{若直线与圆的公共点已知,则连接过这点的半径,证明这条半径与要证直线垂直即可可简述为有公共点,连半径,证垂直若直线与圆的公共点未知,则过圆心作要证直线的垂线,证明垂线段的长等于圆的半径即可可简述为无公共点,作垂直,证半径图2切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长⑧ ,这一点和圆心的连线⑨ 两条切线的夹角,如图2,过☉O 外一点P 可引两条切线PA ,PB ,则PA=⑩ ,PO 平分∠APB知识点3 三角形的内心{定义:⑪ 叫做三角形的内切圆,⑫ 叫做三角形的内心性质:三角形的内心到三角形⑬ 的距离相等.三角形的内心是⑭ 的交点【参考答案】①> ②= ③< ④> ⑤= ⑥< ⑦垂直 ⑧相等 ⑨平分 ⑩PB与三角形各边相切的圆三角形内切圆的圆心各边三条角平分线【自我诊断】1.已知☉O 的半径为3,OA=5,则点A 在 ( )A .在☉O 外B .在☉O 上C .在☉O 内 D.无法确定2.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,3为半径的圆 ( ) A .与x 轴相离,与y 轴相切 B .与x 轴相离,与y 轴相交 C .与x 轴相切,与y 轴相交 D.与x 轴相切,与y 轴相离3.如图,P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段OP的长为( )A.3B.3√3C.6D.94.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC 的长为.【参考答案】1.A2.A3.C4.7【真题精粹】考向切线的性质与判定(必考)1.(2023·江西)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为⏜上一点,且∠ADE=40°.ABD⏜的长.(1)求BE(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.2.(2019·江西)如图1,AB 为半圆的直径,点O 为圆心,AF 为半圆的切线,过半圆上的点C 作CD ∥AB 交AF 于点D ,连接BC.(1)连接DO ,若BC ∥OD ,求证:CD 是半圆的切线.(2)如图2,当线段CD 与半圆交于点E 时,连接AE ,AC ,判断∠AED 和∠ACD 的数量关系,并证明你的结论.图1 图23.(2018·江西)如图,在△ABC 中,O 为AC 上一点,以点O 为圆心,OC 为半径作圆,与BC 相切于点C ,过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ,且∠AOD=∠BAD. (1)求证:AB 为☉O 的切线.(2)若BC=6,tan ∠ABC=43,求AD 的长.热点预测【参考答案】(2)略1.(1)10π92.(1)略(2)∠AED+∠ACD=90°.证明略3.(1)略(2)2√54.(1)略(2)154【核心突破】考点1点与圆的位置关系例题1已知☉O的半径为8 cm.(1)在同一个平面内,若点P到圆心O的距离为5 cm,则点P在☉O .(填“内”、“上”或“外”)(2)如图,若P是☉O外一点,且PO=12 cm,Q是☉O上的一个动点,则PQ的最小值是,PQ的最大值是.解题指南变式特训1.P是非圆上一点,若点P到☉O上的点的最小距离是4 cm,最大距离是10 cm,则☉O的半径是.考点2线与圆的位置关系例题2如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=3,AC=4.(1)以C为圆心,3为半径的☉C与直线AB的位置关系是.(2)以点B为圆心,3为半径的☉B与直线AC的位置关系是.(3)以点A为圆心,3为半径的☉A与直线BC的位置关系是.例题3如图,在☉O中,点O为圆心,半径为5,AB为圆上的一条弦,且AB=8,C为☉O上一动点,过点C作CD⊥AB于点D.⏜上时,求CD的最大值及△ABC面积的最大值.(1)如图1,当点C在劣弧AB⏜上时,求CD的最大值及△ABC面积的最大值.(2)如图2,当点C在优弧AB考点3 切线的性质与判定例题4如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,过点C 作☉O 的切线交AB 的延长线于点D ,DB=13AD ,连接AC ,若AB=4,则AC 的长为( )A .2√5B .72C .4 D.2√3变式特训2.如图,PA ,PB 分别与☉O 相切于A ,B 两点,C 为☉O 上一点,连接AC ,BC ,若∠P=80°,则∠ACB 的度数为 ( )A .80°B .40°C .50°D.70°3.如图,在△ABC 中,以AB 为直径作☉O 交AC ,BC 于点D ,E ,且D 是AC 的中点,过点D 作DG ⊥BC 于点G ,交BA 的延长线于点H. (1)求证:直线HG 是☉O 的切线. (2)若HA=3,cos B=25,求CG 的长.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,过点A,B的☉O分别交AC,BC于点D,E,AB=AE,CD的垂直平分线交BC于点F,连接DF.(1)求证:DF是☉O的切线.(2)已知EF=3,DE=4,求BE和AB的长.方法提炼考点4切线长定理例题5如图,从☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB 的长为( )A.8B.4C.4√3D.8√3变式特训5.如图,这是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成的图形,A为60°角与直尺的交点,B 为光盘与直尺唯一的交点,若AB=3,则光盘的直径是( ) A.6√3B.3√3C.6 D.3考点5三角形的内心和外心例题6如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点(不与点B重合),若点O是△BEC的内心,则∠COE( )A.大小为定值,等于112.5°B.大小不确定,可以等于90°C.大小为定值,等于127.5°D.大小不确定,随着点E的变化而变化变式特训6.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点P是下列哪个三角形的外心( )A.△ACEB.△ABDC.△ACDD.△BCE7.如图,在Rt△ABC中,内切圆O的半径为r,☉O与△ABC各边分别相切于点D,E和F,已知AD=3,BD=2,则r的值为.【参考答案】例题1(1) 内(2) 4 cm20 cm变式特训1.7 cm或3 cm例题2(1)相交(2)相切(3)相离例题3(1)CD=2,△ABC面积的最大值=8(2)CD=8,△ABC面积的最大值=32例题4 D变式特训2.C3.(1)略(2)654.(1)略(2)BE=163,AB=8√53例题5 A 变式特训5.A例题6 A 变式特训6.D7.111。

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】第27课时 与圆有关的位置关系班级： 姓名：学习目标: 1. 探索并了解点与圆的位置关系，了解直线与圆的位置关系及三角形内切圆的概念，会判断图形的位置关系．2. 掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3. 探索并证明切线长定理，会利用它进行证明和相关计算重难点：灵活运用切线的性质定理和判定定理进行相关计算和证明． 学习过程 一．知识梳理1.点与圆的位置关系：如果设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，那么： ①d r < ⇔点在 ． ②d r ＝ ⇔点在 ． ③d r > ⇔点在 ．2.直线与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： ①d r < ⇔ 直线l 与圆 ． ②d r ＝ ⇔ 直线l 与圆 ． ③d r > ⇔ 直线l 与圆 ．3.与圆有 公共点的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做 ． 切线的判定定理：经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线． 性质定理：圆的切线垂直于经过 的半径．4.在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，圆心和这一点的连线 两条切线的夹角．5.与三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形． 、典型例题 1.点与圆的位置关系（2017宁夏）如图，点A B C ，，均在6×6的正方形网格格点上，过A B C ，，三点的外接圆除经过A B C ，，三点外还能经过的格点数为 ． 2.切线的性质与判定（1）（2017自贡）AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ;连接BC,若P40∠=,则B∠等于（）A.20°B.25°C. 30°D.40°（2）（中考指要例1）（2017南充）如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．①求证：DE是⊙O的切线；②若24CF DF==，，求⊙O直径的长．（3）（中考指要例3）（2015青海）如图，在△ABC中，60B∠=︒，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．①求证：AM AC=；②若3AC=，求MC的长．P COAB3.切线长定理与内切圆（1）(2016·荆州)如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA PB ，，切点分别是A B ，，OP 交⊙O 于点C ，D 是优弧上不与点A C ，重合的一个动点，连接AD CD ，.若80APB ∠︒＝，则 ADC ∠的度数是( )A.15°B. 20°C. 25°D. 30°（2）(2017·武汉)已知一个等腰三角形三角形的底边长为10，腰长为分别13，则其内切圆的半径为 三、中考预测（2017东营）如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 于点E ，AC 的反向延长线交⊙O 于点F ． （1）求证：DE AC ⊥；（2）若8DE EA +=，⊙O 的半径为10，求AF 的长度．第6题图M GF EO CDBAN四、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？五、达标检测1、（2015•湘西州）⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离3OA cm =，则点A 与圆O 的位置关系为（ ） A ．点A 在圆上 B ． 点A 在圆内C ． 点A在圆外D ． 无法确定2、（2016嘉兴）如图，中，534AB BC AC ===，，，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C的半径为（ ） A. 2.3B.2.4C.2.5D.2.63、（2016南京）如图，在矩形ABCD 中，45AB AD ==，，AD AB BC 、、分别与⊙O 相切于E F G 、、三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为()A. 133B.92C.4133D. 254、（2016鄂州）如图，在△ABC 中，AB AC =，AE 是BAC ∠的平分线，ABC ∠的平分线 BM 交AE 于点M ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点M ，交BC 于点G ，交 AB 于点F ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线．（2）当812BC AC ==，时，求⊙O 的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG 的长．5、（中考指要例2）（2015温州）如图，AB 是半圆O 的直径，CD AB ⊥于点C ，交半圆于点E ，DF 切半圆于点F 。

简述质量管理体系的四级文件及作用Having a well-defined quality management system is essential for any organization to ensure that products and services consistently meet customer requirements. In order to establish and maintain such a system, four levels of documentation are typically required: quality manual, quality procedures, work instructions, and quality records. These documents play different but equally important roles in the effective implementation of a quality management system.建立一个明确定义的质量管理体系对于任何组织来说都是至关重要的，以确保产品和服务始终符合客户的要求。

为了建立和维护这样一个体系，通常需要四级文档：质量手册、质量程序、作业指导书和质量记录。

这些文档在有效实施质量管理体系中发挥着不同但同等重要的作用。

The quality manual serves as the top-level document that outlines the organization's quality policies, objectives, and overall approach to quality management. It provides a high-level overview of how the organization intends to meet customer expectations and regulatory requirements, setting the tone for the rest of the quality management system documentation. The quality manual is oftenused as a reference point for internal and external stakeholders to understand the organization's commitment to quality and continuous improvement.质量手册是最高级的文件，概述了组织的质量政策、目标和整体质量管理方法。