(完整版)点关于直线的对称点的一种公式求法

点关于直线对称的一个新公式作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第10期[摘要] 對于解析几何中常见的点关于线对称问题，有许多研究者给了一些直接计算的公式，如李雪松发表在《数学通讯》的《关于直线对称点的一种求法》;张国治发表在《数学教学》的《点关于直线对称点的简便求法》等. 从点关于特殊直线对称点的简便求法出发，文章从一个全新角度思考这个陈题，得到一个新的计算公式.[关键词] 点的坐标;对称;旋转;矩阵变换？摇问题1：求点P（2，3）关于直线y=x-1对称点坐标.方法一：设P′（x■，y■）为所求对称点，有■=■-1，■=-1，得x■=4，y■=1，从而对称点P′（4，1）.方法二：x=2代入y=x-1有y=1，是对称点纵坐标;y=3代入y=x-1有x=4，是对称点横坐标，故对称点为P′（4，1）.分析：方法二是将P（2，3）的横坐标代入y=x-1得对称点纵坐标，将P（2，3）的纵坐标代入y=x-1得对称点横坐标. 如图1，四边形PAP′B是矩形，且y=x-1恰好是对角线所在的直线. 又∠ABP′=45°，所以PAP′B是正方形，从而PP′垂直平分AB，即P与P′关于直线AB对称.本题中，因为直线y=x-1的斜率为1，倾斜角为45°，从而能得出PAP′B是正方形，P与P′恰好对称;类似的，当倾斜角为135°时，如，求点P（2，3）关于直线y=-x-1对称点坐标时，用这个方法，很快得出答案P′（-4，-3）.？摇？摇事实上，也只有求点关于斜率为±1的直线的对称点时，能用上述快捷算法，当斜率不是±1，只能用上述方法一.笔者觉得通过坐标系旋转，将斜率不是±1直线旋转成新坐标系下斜率为±1的直线，然后用上述方法得到新坐标系下对称点的坐标，再通过坐标逆旋转成旧坐标系下的所求点的对称点坐标.问题2：求点P（2，3）关于直线y=3x对称点坐标.解：y=3x的斜率为3，令tanθ=3，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■，由正交变换可得变换矩阵为A=cosθ-■ -sinθ-■sinθ-■ cosθ-■，故点P（2，3）在新坐标系下的点P■坐标为（2，3）·cosθ-■ -sinθ-■sinθ-■ cosθ-■，而直线y=3x在新坐标系下方程为y=x，由问题1的解答，易知对称点P■坐标为（2，3）·-sinθ-■ cosθ-■cosθ-■ sinθ-■，易知，此正交变换的逆矩阵为A-1=cosθ-■ sinθ-■-sinθ-■ cosθ-■，将P■还原到旧坐标系下，得到P′坐标为（2，3）·-sinθ-■ cosθ-■cosθ-■ sinθ-■·cosθ-■ sinθ-■-sinθ-■ cosθ-■，化简得（2，3）·cos2θ sin2θsin2θ -cos2θ. 由tanθ=3，有cos2θ= -■，sin2θ=■，所以P′坐标为（2，3）·-■ ■■ ■=■，■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果是正确的.问题3：求点P（2，3）关于直线y=3x+5对称点坐标.解：直线y=3x+5的斜率为3，令tanθ=3，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■，由正交变换可得变换矩阵为A=cosθ-■ -sinθ-■sinθ-■ cosθ-■，直线y=3x+5的特殊点（0，5）化为（0，5）·cosθ-■ -sinθ-■sinθ-■ cosθ-■=5sinθ-■，5cosθ-■，新坐标系下，直线方程为y-5cosθ-■=x-5sinθ-■，化为y=x-5sinθ-■+5cosθ-■，点P为（2，3）·cosθ-■ -sinθ-■sinθ-■ cosθ-■，对称点为（2，3）·-sinθ-■ cosθ-■cosθ-■ sinθ-■+5sinθ-■-5cosθ-■，5cosθ-■-5sinθ-■，还原到原坐标系下（2，3）·-sinθ-■ cosθ-■cosθ-■ sinθ-■+5sinθ-■-5cosθ-■，5cosθ-■-5sinθ-■·cosθ-■ sinθ-■-sinθ-■ co sθ-■=（2，3）·cos2θ sin2θsin2θ -cos2θ+[-5sin2θ，5+5cos2θ]=（2，3）·-■ ■■ ■+-5×■，5-5×■=-■，■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果也是正确的.下面我们来试试最一般的情况：问题4：求点P（m，n）关于直线y=kx+b对称点坐标.解：y=kx+b的斜率为k，令tanθ=k，易知sin2θ=■，cos2θ=■，我们将坐标系绕原点逆时针旋转θ-■（当θ小于■时，就绕原点顺时针旋转■-θ），类似于问题3的推导，对称点为=（m，n）·cos2θ sin2θsin2θ -cos2θ+[-bsin2θ，b+bcos2θ]=（m，n）·■ ■■ ■+-■，b+■=■，■=m-■，n+■，通过用问题1中的传统方法一验证得，这个结果也是正确的. 这个结论与《数学教学》2012年第10期的张国治的《点关于直线对称点的简便求法》的结果一致.问题5：求点P（m，n）关于直线Ax+By+C=0（B≠0）的对称点坐标.解：由问题4，将k=-■，b=-■代入公式，得结论■■. 这个结论与《数学通讯》2003年第6期的李雪松的《关于直线对称点的一种求法》的结果一致.。

直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223xx ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.221AA x y y k x '++-⎛⎫= ⎪-⎝⎭由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55⎛⎫-- ⎪⎝⎭三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ，由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.C(7,0)已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.C (3,-6)2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程2l ：3x-y-10=03求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.解：设A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为A ′(x 1,y 1) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=++⨯++⨯145400212042451111x y y x解得：⎩⎨⎧-=-=8611y x ∴A ′(－6，－8)∴A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为(－6，－8)4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。

谈谈点关于直线对称问题求法在高中数学中对称问题随处可见,有点与点对称、点与直线的对称、直线与直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见，适时推导掌握一些公式,可以加快运算速度，降低失误率。

在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，（如图1）点P(x 0,y 0)关于直线x=a 的对称点P 1坐标为（x 1,y 1），则由中点坐标公式可得a=（x 0+x 1） /2,y 0=y 1即：x 1=2a-x 0,y 1=y 0所以得P 1坐标为（2a-x 0,y 0）；当直线斜率为0时，（如图2）点P(x 0,y 0)关于直线y=b 的对称点P 1坐标为（x 2,y 2）则由中点坐标公式可得b=（y 0+y 2） /2,x 0=x 2即：y 2=2b-y 0,x 2=x 0所以得P 1坐标为 (x 0,2b —y 0)。

图1 图2 图3下面介绍一般情况下，求点P(x 0,y 0)关于直线l ：y=kx+b （k ≠0）的对称点P 1的坐标（如图3），设P 1点坐标为（x ，y ），则由直线PP 1与l 垂直及线段PP 1的中点在l 上，可得： {)2(22)1(10000b x x k y y k xx y y ++∙=+-=∙--解这个关于x 、y 的二元一次方程组，得：{)4(12)1(2)3(12)1(220202020k b y k kx y k bk x k ky x ++--=+---= 可以验证：该公式在k=0时仍然成立。

一般情况下运用该公式较繁，也没有必要记住这个公式，但当直线的斜率为+1或者-1时，该公式变的简单明了，而且应用起来非常方便。

当k=l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=y 0-b, y=x 0+b.当k=-l 时，将k 值代入（3）（4）得：x=-y 0+b. y=-x 0+b.可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程中求得的x 的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的y 值即为对称点的纵坐标。

直线系对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 .2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭ 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等；② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)；④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一：由3a+2b=1得:b= 12(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0整理得(2x – 3 2 y-1)+a(x - 3 2 y)=0 由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)∴直线过定点(1, 23).思路二：赋值法令a=0得b= 12 得L 1: 2x - 32 y-1=0令b=0得a= 13 得L 2: x – 32 y=0由32102302x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 得交点(1, 23)把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= 13(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1, 23).例2:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d 都小于4 2 . 证明：将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 2 所以d ≤4 2而过点M 垂直PM 的直线方程为x-y-4=0, 又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4 2【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、已知直线：l kx y k k R -++=∈120() （1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围。

直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

点关于直线的对称点的几种公式求法结论一 ：点00(,)P x y 关于直线0Ax B y C ++=对称的点的坐标是：（22000)(2B A C By Ax A x +++-,22000)(2BA C By AxB y +++-）， （其中2200B A C By Ax d +++=¢的绝对值是点),(00y x 到直线l 的距离） 同理：d BA By y ¢×+-=22201，于是点),(00y x A 关于直线l 的对称点是d B A Ax B ¢×+-2(220，)2220d BA B y ¢×+-， 其中的向量),(2222BA B B A A e ++=是直线l 的法向量),(b a 的单位向量，如图，设点A 到直线l 的距离是d ，则d BA A xB ¢×+-2(220，)2220d BA B y ¢×+-， 意思是将点),(00y x A 按单位法向量,(2222BA B B A A e ++=的方向向直线l 的“对面”移动d 2个单位便得到A 关于直线l 的对称点B ，从图中看得更明显。

因而，对称点d B A A x B ¢×+-2(220，)2220d BA B y ¢×+-既是求对称点的公式，也是沿法向量平移d 2个单位而得到对称点的方法。

例1 求点)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点A 的坐标；解法一：公式法，设)3,1(B 关于直线：0232=+-y x 的对称点坐标为11,(y x A ） 依照上述公式得： 133313)292(213211=+-×-=x ，13913)292(213331=+-×--=y ， 所以对称点是139,1333(A 。

解法二 如图一，点B 到直线l 的距离是135=d ，点B 在直线l 的上方，直线l 的单位法向量是e =)133,132(-，沿此方向将点)3,1(B 平移13102=d 个单位便得到对称点)139,1333(A ； 例2 已知点),(00y x A ，（1）求A 关于直线0=++c y x 的对称点坐标；（2）求A 关于直线0=+-c y x 的对称点坐标；解（1）设对称点),(11y x B ，则由求对称点公式得：c y c y x x x --=++×-=000012)(221，c x c y x y y --=++×-=000012)(221，所以对称点是),(00c x c y ----；（2）c y c y x x x -=+-×-=000012)(221，c x c y x y y +=+-×--=000012)(221 即对称点是：),(00c x c y +-；直线关于直线对称的快速求法首先要说，本文中所涉及到的方法，其实并没有什么新的东西，我只是将已经有的公式进行一 番处理，以尽可能浅显易记的方式讲述出来，以便能帮助各位正奋斗在高考前线的同学们。