2020中考数学冲刺练习-第20讲 面积的最值问题--含解析

初中中考数学复习专题：面积最值问题归类解析面积最值（动点）模型一例1：正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积； 分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题；（2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN （待求条件）（3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。

所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN 的长。

（4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。

解：（1）三直角结构；（略）（2）Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形（0<x<4） 当2x =时，y 取最大值，最大值为10．练习：如图：等腰梯形ABCD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB 。

求当AE 等于多少时，四边形MEFN 面积的最大值．1．定方向：面积最值问题的分析思路不规则图形面积分解为规则图形再表示2．定目标：确定待求条件3．定解法：解决待求条件题目中有角度或者三角函数值。

（解直角三角形）题目中只有长度。

（相似）4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。

规则图形面积直接利用面积公式答案 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． 当x ＝47时，面积的最大值为649．模型二例2：如图，Rt ABC △，906024BAC C BC ∠=∠==°，°，，点P 是BC 边上的动点（点P 与点B C 、不重合），过动点P 作PD BA ∥交AC 于点D ．试问：当PC 等于多少时，APD △的面积最大？最大面积是多少？ 分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；（2）定目标：△ADP 的底PD ，高AD 都不知道（待求条件）（3）定解法：本题有明显的角度或三角函数值。

）x 02x 212+-=S （2）∵）∵a=a=21-<0 <0 ∴∴S 有最大值有最大值 ∴0221202a2b x =-´-=-=）（ ∴ S 的最大值为200200220212=´+´-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。

2.2.如图，矩形如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm =18cm，，AD =4cm =4cm，点，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 22）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值的面积的最大值. .解：（1）∵）∵S S △PBQ =21PB PB··BQ, PB=AB PB=AB－－AP=18AP=18－－2x 2x，，BQ=x BQ=x，， ∴y=21（1818－－2x 2x））x ，即y=y=－－x 2+9x +9x（（0<x 0<x≤≤4）; （2）由（）由（11）知：）知：y=y=y=－－x 2+9x +9x，，∴y=y=－－(x (x－－29）2 +481,∵当0<x 0<x≤≤29时，时，y y 随x 的增大而增大，的增大而增大， 而0<x 0<x≤≤4，∴当x=4时，时，y y 最大值=20=20，即△，即△，即△PBQ PBQ 的最大面积是20cm 2.3．如图，在矩形ABCD 中，中，AB=6cm AB=6cm AB=6cm，，BC=12cm BC=12cm，点，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以 1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如的速度移动，如 果P ，Q 两点同时出发，分别到达B ，C 两点后就停止移动．两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数关的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．的取值范围．（2）t 为何值时，为何值时，S S 最小？最小值是多少？最小？最小值是多少？解：（1）第t 秒钟时，秒钟时，AP=tcm AP=tcm AP=tcm，故，故PB=PB=（（6﹣t ）cm cm，，BQ=2tcm BQ=2tcm，，故S △PBQ =•（•（66﹣t ）•2t=﹣）•2t=﹣t t 22+6t 二次函数最值问题例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(x(单位：单位：单位：cm)cm)cm)的边与这的边与这条边上的高之和为40 cm 40 cm，这个三角形的，这个三角形的，这个三角形的面积面积S(S(单位：单位：单位：cm cm 2)随x(x(单位：单位：单位：cm)cm)cm)的变化而变的变化而变化．化． (1) (1)请直接写出请直接写出S 与x 之间的函数关系式之间的函数关系式((不要求写出自变量x 的取值范围的取值范围))；(2) (2)当当x 是多少时，这个三角形面积S 最大最大??最大面积是多少最大面积是多少??21解：（1解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，是矩形，∴AB=CD，∴AB=CD，AD=BC AD=BC AD=BC，，∵BC=xm，∵BC=xm，AB+BC+CD=40m AB+BC+CD=40m AB+BC+CD=40m，∴AB=，∴AB=，∴花园的面积为：y=x•=﹣x 2+20x +20x（（0＜x≤15）； ∴y 与x 之间的函数关系式为：之间的函数关系式为：y=y=y=﹣﹣x 2+20x +20x（（0＜x≤15）； （2）∵y=﹣x 22+20x=+20x=﹣﹣（x ﹣2020））22+200+200，， ∵a=﹣＜0，∴当x ＜20时，时，y y 随x 的增大而增大，的增大而增大，∴当x=15时，时，y y 最大，最大值y=187.5y=187.5．． ∴当x 取15时花园的面积最大，最大面积为187.5187.5．．5.5.已知边长为已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ABCDE（如图）（如图），其中AF=2AF=2，，BF=1BF=1．．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x DN=x，，NP=y NP=y，，则矩形PNDM 的面积S=xy S=xy（2≤x≤4）（2≤x≤4）（2≤x≤4）易知CN=4-x CN=4-x，，EM=4-y EM=4-y．．过点B 作BH BH⊥⊥PN 于点H则有△则有△AFB AFB AFB∽△∽△∽△BHP BHP∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ，时，12454212=´+´-=最大S ． 6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．米．∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72﹣=6×12=72．∴S=72﹣S S △PBQ =t 22﹣6t+726t+72（（0＜t ＜6）； （2）∵S=t 2﹣6t+72=6t+72=（（t ﹣3）2+63+63，∴当，∴当t=3秒时，秒时，S S 有最小值63cm 63cm．．4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m 15m）的空地上修建一个矩形花园）的空地上修建一个矩形花园ABCD ABCD，花园，花园，花园 的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成如图，若设花园的BC 边长为x （m ）花园）花园 的面积为y （m 2）（1）求y 与x 之间的之间的函数函数关系式，并求自变量的x 的范围．的范围．（2）当x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？ x x xy S 5212+-==)42(££x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5x=5，∴当，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，的增大而增大，对于42££x 来说，当x=4解：解：(1)(1)(1)∵长为∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米．平方米． )50(313502x x x x S --=-×=3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米平方米) ) ) 即：鸡场的长度为即：鸡场的长度为25米时，面积最大．米时，面积最大． (2) (2) 中间有中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米．平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-×= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=xA B C DP Q解：∵∠∵∠APQ APQ APQ=90°,=90°,=90°,∴∠∴∠APB APB APB+∠+∠+∠QPC QPC QPC=90°.=90°.=90°.∵∠∵∠APB APB APB+∠+∠+∠BAP BAP BAP=90°,=90°,=90°,∴∠∴∠QPC QPC QPC=∠=∠=∠BAP BAP BAP，∠，∠，∠B B =∠=∠C C =90°=90° ∴△∴△∴△ABP ABP ABP∽△∽△∽△PCQ. PCQ.,86,y x x CQ BP PC AB =-=∴x x y 34612+-=． 8.8.小李想用篱笆围成一个周长为小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(S(单位：平方米单位：平方米单位：平方米))随矩形一边长x(x(单位：米单位：米单位：米))的变化而变化．的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x x S 3022602+-=×-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值有最大值(1)(1)要使鸡场要使鸡场要使鸡场面积面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)(2)如果中间有如果中间有n (n 是大于1的整数的整数))道篱笆隔墙，道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，要使鸡场面积最大，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多鸡场的长应为多少米？比较少米？比较(1)(2)(1)(2)(1)(2)的结果，你能得到什么结论？的结果，你能得到什么结论？时，2625max +=n S (平方米平方米) ) 由(1)(2)(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．值与中间有多少道隔墙无关． 7．如图，如图，矩形矩形ABCD 的边AB=6 cm cm，，BC=8cm BC=8cm，，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠使∠APQ APQ成直角，设BP=x cm BP=x cm，，CQ=y cm CQ=y cm，试以，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．当较难 如图，为坐标原点）方向向∴AB===10=10．时，AQ=2t AQ=2t AQ=2t，，BP=3t BP=3t，则∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，t=秒时，PQ∥BO．秒时，PQ∥BO． ①如图②所示，过点P 作∴，即，解得PD=6﹣﹣t S=AQ•PD=•2t•（•2t•（6﹣t =6t﹣﹣t ﹣（﹣）S=﹣﹣（﹣）＜）t=秒时，秒时，S 为9. ＜）。

中考数学总复习巅峰冲刺专题20面积的最值问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；面积最值问题的分析思路：1.定方向：规则图形面积直接利用面积公式；不规则图形面积分解为规则图形再表示2．定目标：确定待求条件3．定解法：解决待求条件，题目中有角度或者三角函数值。

（解直角三角形），题目中只有长度。

（相似）4．定最值：根据函数解析式和范围求最值。

【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥A B，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图3【原创2】如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．(1)如图①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【例题2】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S关于x的函数表达式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。

中考数学压轴大题冲刺专项训练面积的最值问题1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC 上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．2．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，10AC BD，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？3．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG ＝6时，求△FCG 的面积；（3）求△FCG 的面积的最小值．4．如图，已知点P 是∠AOB 内一点，过点P 的直线MN 分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，将直线MN 绕点P 旋转，△MON 的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON ，使得△MON 是以OM 为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP 的延长线上截取PC ＝OP ，过点C 作CM ∥OB 交射线OA 于点M ，连接MP 并延长交OB 于点N ．求证：OP 平分△MON 的面积；（3）小亮发现：在直线MN 旋转过程中，（2）中所作的△MON 的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．5．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，2AB =，6BC =，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．（1）求证：PM PN =；（2）当P ，A 重合时，求MN 的值；（3）若PQM ∆的面积为S ，求S 的取值范围．6．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m ，直角三角形较短边长n ，且n ＝2m ﹣4，大正方形的面积为S ．（1）求S 关于m 的函数关系式．（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m 的值．7．如图：已知矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =3cm ，点O 在边AD 上，且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<)，得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证：AC ⊥OB ；(2)如图1, 当B ′落在AC 上时，求AA ′；(3)如图2，求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.8．[问题提出]（1）如图①，在ABC 中，6,BC D =为BC 上一点，4,AD =则ABC 面积的最大值是（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积9．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x的取值范围；（2）求ABC面积的最大值．10．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．11．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．12．问题提出（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图三角形ABC，BC＝12，AD是BC边上的高AD＝10．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC 上的点，连接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的长；（2）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长．【解析】解：（1）设PQ＝y，则PN＝2y，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PNBC＝AEAD，即212y＝1010y，解得y＝154，∴PQ＝154，PN＝152．（2）设AE＝x．∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴PN BC ＝AE AD， ∴PN ＝65x ，PQ ＝DE ＝10﹣x ， ∴S 矩形PQMN ＝65x （10﹣x ）＝﹣65（x ﹣5）2+30， ∴当x ＝5时，S 的最大值为30，∴当AE ＝5时，矩形PQMN 的面积最大，最大面积是30，此时PQ ＝5，PN ＝6．2．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10ACBD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？【解析】解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ，则：211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252， 所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．3．已知，如图，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝7，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【解析】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG=12×FM×GC=12×2×（7-6）=1；（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤37，∴S△FCG的最小值为7-37，此时DG=37，∴当DG=37时，△FCG的面积最小为（7-37）．4．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【解析】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C 、D为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于E 点， ④作直线PE ，分别与OA 、OB 交于点M 、N ，故△OMN 就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PON PC POCPH OPN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．5．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，2AB =，6BC =，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．=；（1）求证：PM PN（2）当P，A重合时，求MN的值；∆的面积为S，求S的取值范围．（3）若PQM【解析】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．（2）解：点P与点A重合时，如图2中，设BN=x ，则AN=NC=6-x ，在Rt △ABN 中，AB 2+BN 2=AN 2，即22+x 2=（6-x ）2，解得x=83， ∴CN=6-83=103，222226210AC AB BC =+=+=， ∴1102CQ AC ==， ∴222210()(10)310QN CN CQ =-=-=， ∴10223MN QN ==． （3）解：当MN 过点D 时，如图3所示，此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为14S S =菱形CMPN =12214⨯⨯=，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为11210152102223S=⨯⨯⨯⨯=，∴513S≤≤．6．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，且n＝2m﹣4，大正方形的面积为S．（1）求S关于m的函数关系式．（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值．【解析】解：（1）∵小正方形的边长m，直角三角形较短边长n，∴直角三角形较长边长为m+n，∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，∵n＝2m﹣4，∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，＝13m2﹣40m+32，∵n＝2m﹣4＞0，∴m＞2，∴S关于m的函数关系式为S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），∴S ＝13(m-2013)2+1613∵m≥2013时，S 随x 的增大而增大， ∴m ＝3时，S 取最大．∴m ＝3．7．如图：已知矩形ABCD 中，AB =3cm ，BC =3cm ，点O 在边AD 上，且AO =1cm.将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转α角(0180α<<)，得到矩形A ′B ′C ′D ′(1)求证：AC ⊥OB ；(2)如图1, 当B ′落在AC 上时，求AA ′；(3)如图2，求旋转过程中△CC ′D ′的面积的最大值.【解析】解：(1)Rt △OAB 中，tan 3AB AOB OA∠== ∴∠AOB ＝60° R t △ACD 中，3tan CD CAD AD ∠== ∴∠CAD ＝30°∴∠OMA ＝180°－60°－30°＝90°即AC ⊥OB(2)Rt △OAM 中，1•sin 1sin 302OM OA CAD =∠=⨯︒= Rt △OAB 中，OB ′＝OB ＝60OA COS ︒＝2， Rt △O B ′M 中，B ′M ＝2215OB OM -='， BM ＝OB －OM ＝32， Rt △B B ′M 中，2222153()()622BB B M BM =++''== ,,OA OB AOB A OB AOA BOB OA OB'''=∠=∴∆'∆''∽ ∴1,26AA OA BB OB ==''， ∴62AA '=(3)如图，过C 点作CH ⊥于C ′D ′点H ，连结OC ，则CH ≤OC ＋OD ′只有当D ′在CO 的延长线上时，CH 才最大.又C ′D ′长一定，故此时△CC ′D ′的面积的最大.而2222OC CD OD =+=∴△CC ′D ′的最大面积为1(222)3632+⨯=+ 8．[问题提出]（1）如图①，在ABC 中，6,BC D =为BC 上一点，4,AD =则ABC 面积的最大值是（2）如图②，已知矩形ABCD 的周长为12，求矩形ABCD 面积的最大值[实际应用]（3）如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量60.80,70,AB cm BC cm CD cm ===且60,B C ∠=∠=︒木匠师傅从这块余料中裁出了顶点,M N 在边BC 上且面积最大的矩形,PQMN 求该矩形的面积【解析】解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，如图所示：∴12ABCS BC AE=⋅，∵D为BC上一点，∴AD AE≥，∴要使△ABC的面积最大，则需满足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面积最大为：16412 2⨯⨯=；故答案为12；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周长是12，∴设AB=x，则有AD=6-x，矩形ABCD的面积为S，则有：()()226639S x x x x x=-=-+=--+，此函数为二次函数，由10a=-<，二次函数的开口向下，∴当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：S9=；（3）如图所示：∵四边形PQMN 是矩形，∴QM=PN ，PQ=MN ，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ ≌△CNP ，∴BM=NC ，设BM=NC=x ，则有MN=PQ=80-2x ， ∴603QM BM tan x =⋅︒=，∴()()2380223208003PQMN S PQ QM x x x =⋅=⋅-=--+矩形， 此函数关系为二次函数，由230a =-<可得开口向下， ∴当x=20时，矩形PQMN 的面积有最大，即8003PQMN S =矩形． 9．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．【解析】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得2221AD AC CD h -=-=2222(3)BD BC CD x h =-=--∵BD AB AD =-， 222(3)1x h x h --=-2134-=-h x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当32x 时，ABC面积最大值的平方为12，∴ABC面积的最大值为22．10．如图，已知AB为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以OP、OB为一组邻边作▱POBQ，连接OQ、AP，设OQ、AP的中点分别为M、N，连接PM、ON．（1）试判断四边形OMPN的形状，并说明理由．（2）若点P从点B出发，以每秒15°的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为ts．①试求：当t为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆O的位置关系（需说明理由）；②是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请直接写出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ∥OB，PQ=OB．又∵OB=OA，∴PQ=AO．又∵PQ∥OA，∴四边形PQOA为平行四边形，∴P A∥QO，P A=QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM=12OQ，PN=12AP，∴OM=PN，∴四边形OMPN为平行四边形．∵OP=OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①∵四边形OMPN为矩形，∴S矩形OMPN =ON·NP=ON·12AP，即S矩形OMPN=S△AOP．∵△AOP的底AO为定值，∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，△AOP的AO边上的高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值，∴t=90÷15=6秒，∴当t=6秒时，四边形OMPN面积最大．此时，PQ与半圆O相切．理由如下：∵此时∠POB=90°，PQ//OB，∴∠OPQ=90°，∴PQ与半圆O相切；②当点Q在半圆O上时，∵四边形POBQ为平行四边形，且OB=OP，∴四边形POBQ为菱形，∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，∴此时，t=120°÷15°=8秒，当点P与点A重合时，t=180°÷15°=12秒，综上所述：当8＜t＜12时，点Q在半圆O内．11．如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．点D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．设CD＝x（x＞0），BE＝y，y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求出图②中线段PQ所在直线的函数表达式；（2）将△DCE沿DE翻折，得△DME．①点M是否可以落在△ABC的某条角平分线上？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由；②直接写出△DME与△ABC重叠部分面积的最大值及相应x的值．【解析】解：（1）设线段PQ 所在直线的函数表达式为y ＝kx +b ，将P （3，4）和Q （6，0）代入得，0306k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得438k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴线段PQ 所在直线的函数表达式为483y x =-+； （2）①如图1，连接CM 并延长CM 交AB 于点F ，∵∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝8，∴AC 22AB BC -＝6，由（1）得BE ＝()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴CE ＝43x ，∴34DC AC CE BC ==， ∵∠DCE ＝∠ACB ，∴△DCE ∽△ACB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∴DE//AB，∵点C和点M关于直线DE对称，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，∵1122ABCS AC BC AB CF==△，∴6×8＝10×CF，∴CF＝24 5,∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝43x，∴DE53x =，∴CM＝85x，MF＝24855x-，过点M作MG⊥AC于点M，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形GCHM为矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC，∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴MG CG CM AC BC AB==，即85 6810x MG CG==，∴MG ＝2425x ，CG ＝3225x ， ∴MH ＝3225x ， （Ⅰ）若点M 落在∠ACB 的平分线上，则有MG ＝MH ，即24322525x x =，解得x ＝0（不合题意舍去）， （Ⅱ）若点M 落在∠BAC 的平分线上，则有MG ＝MF ，即242482555x x =-，解得x ＝158， （Ⅲ）若点M 落在∠ABC 的平分线上，则有MH ＝MF ，即322482555x x =-，解得x ＝53． 综合以上可得，当x ＝158或x ＝53时，点M 落在△ABC 的某条角平分线上． ②当0＜x ≤3时，点M 不在三角形外，△DME 与△ABC 重叠部分面积为△DME 的面积，∴2142233S x x x ==， 当x ＝3时，S 的最大值为22363⨯=． 当3＜x ≤6时，点M 在三角形外，如图2，由①知CM ＝2CQ ＝85x ， ∴MT ＝CM ﹣CF ＝82455x -， ∵PK//DE ，∴△MPK ∽△MDE ，∴()2222824265545MPKMDE x x S MF S MQ x x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭△△ ， ∴()2226MPK MDE x S S x -=△△，∵DEKP MDE MPK S S S =-△△四边形，∴()()2222226262113DEKP MDE x x S S x x x ⎡⎤⎡⎤--=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦△四边形， 即：()2221624248DEKP S x x x =-+-=--+四边形，∴当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．综合可得，当x ＝4时，△DME 与△ABC 重叠部分面积的最大值为8．13．问题提出（1）如图①，已知线段AB ，请以AB 为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A 是直线l 外一点，点B 、C 均在直线l 上，AD ⊥l 且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD 中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m ，点E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若保持CE ⊥CF ，那么四边形AECF 的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）如图，Rt△ACB即为所求．（2）如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=12 BC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，设OA=OB=OC=r，则OE=12r，3，∵AO+OE≥A D，AD=3，∴r+12r≥3，解得r≥2，∴323∴S△ABC=12BC·AD≥12×33=33∴△ABC 面积的最小值为33．（3）存在；如图，分别延长AB 、DC 交于点M ， 则△ADM 、△CBM 均为等腰直角三角形， ∵CB=CD=6m ，∴BM=6m ，CM=62，AD=DM=（6+2m ， ∴S 四边形ABCD=S △ADM -S △CBM=12DM 2-12BC 2 =12×（6+622-12×62 =（36+362）m 2．将△CBE 绕点C 顺时针旋转135°得到△CDE′， 则A 、D 、E′三点共线．∴S 四边形AECF =S 四边形ABCD –（S △CBE +S △CDF ）=S 四边形ABCD –S △CE ′F ∵S 四边形ABCD 为定值，∴当S △CE ′F 取得最小值时，S 四边形AECF 取得最大值．∵∠E′CF=135°-90°=45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，设△CE′F的外接圆半径为rm，∴E′F=2rm，又∵OC+OD≥CD，∴22r+r≥6，∴r≥12-62，当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F=2r=（122-12）m，∴S△CE′F最小=12×（122-12）×6=（362-36）m2，∴S四边形AECF最大=S四边形ABCD-S△CE’F最小=36+362-（362-36）=72m2．。

2020年中考必考经典（江苏版）专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． （4）同底三角形的面积比等于高的比． （5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式；（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积．2(1)y x k =-+x A B A B y(0,3)C -P m 0m >P x ABP ∆C P C )P h h m m 9h =BCP ∆【分析】（1）将点代入即可；（2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值；（3）①当时，；当时，；当时，；②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积；【解析】解：（1）将点代入，得，； （2）令，或， ，，；抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， ；（3）①当时，；当时，；当时，；(0,3)C -2(1)y x k =-+(1,0)A -(3,0)B (1,4)-P ABP ∆)01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P BCP ∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=(0,3)C -2(1)y x k =-+4k =-22(1)423y x x x ∴=--=--0y =1x =-3x =(1,0)A ∴-(3,0)B 4AB ∴=(1,4)-P ABP ∆14482S =⨯⨯=01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+②当时若，此时△，无解； 若，则， ，，，的面积；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式训练】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标； （3）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可求得、的值，可求得抛物线解析； （2）可求得点关于轴的对称点的坐标，连接交轴于点，再求得直线的解析式，可求得点坐标；（3）过点作轴于点，设，可表示出、，再证明，可表示出，可得出关于的解析式，再根据二次函数的性质可求得点的坐标； （4）分、和三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进一步求得点坐标即可． 【解析】解：9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P ∴(3,0)B (0,3)C -BCP ∴∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=22(0)y ax ax c a =-+≠y (0,4)C x A B A (4,0)N x K CK KN +K Q AB Q //QE AC BC E CQ CQE ∆Q A C a c C x C 'C N 'x K C K 'K E EG x ⊥G (,0)Q m AB BQ BQE BAC ∆≅∆EG CQE ∆m Q DO DF =FO FD =OD OF =F P（1）抛物线经过点，， ，解得，抛物线解析式为；（2）由（1）可求得抛物线顶点为，如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，设直线的解析式为，把、点坐标代入可得，解得，直线的解析式为，令，解得， 点的坐标为，； （3）设点，过点作轴于点，如图2，由，得，，(0,4)C (4,0)A ∴416840c a a =⎧⎨-+=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2142y x x =-++9(1,)2N C x (0,4)C '-C N 'x KK C N 'y kx b =+C 'N 924k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴C N '1742y x =-0y =817x =∴K 8(170)(,0)Q m E EG x ⊥G 21402x x -++=12x =-24x =点的坐标为，，，又， ，，即，解得； ．又，当时，有最大值3，此时；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式；（2）当的面积为5时，求点的坐标；（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；（3）分当、、三种情况，分别求解即可．∴B (2,0)-6AB =2BQ m =+//QE AC BQE BAC ∴∆∆∽∴EG BQ CO BA =246EG m +=243m EG +=2211241281()(2)(4)(1)32233333CQE CBQ EBQ m S S S CO EG BQ m m m m ∆∆∆+∴=-=-=+-=-++=--+24m -∴1m =CQE S ∆(1,0)Q 229y x bx c =-++x (1,0)A -(5,0)B C xD P CD P C D C PB PBE xF PCF ∆P PCF ∆P 2(1)(5)9y x x =+-PB CE 2(23mF -0)112(2)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=CP CF =CP PF =CP PF =【解析】解：（1）函数的表达式为：；（2）抛物线的对称轴为，则点， 设点，将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：，，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：， 解得：， 故点，， ，解得：或， 故点或；（3）由（2）确定的点的坐标得：，，， ①当时，即：，解得：或舍去）， ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：（舍去， 故点或或或 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；222810(1)(5)9999y x x x x =+-=-++2x =(2,2)C (2,)P m P B y sx t =+PB 1533my mx =-+CE PE ⊥CE k 3mC CE 36(2)y x m m=+-223mx =-2(23mF -0)112(2|)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=5m =3-(2,3)P -(2,5)F 22(2)CP m =-222()43m CF =+2222()3mPF m =+CP CF =222(2)()43m m -=+0m =36(05CP PF=m CF PF =2m =±2)36(2,)5P (2,2)-23y ax bx =++(1,0)A (3,0)B -y C POP BC D :1:2CPD BPD S S ∆∆=D（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；（4）如图3，是否存在点，使四边形的面积为8？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2），则，即可求解； （3），，则，故，即可求解； （4）利用，即可求解．【解析】解：（1）函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①，顶点坐标为； （2）， ， ，， ，则点；（3）如图2，设直线交轴于点，E (0,1)-G x 15OGE ∠=︒PE 2PEG OGE ∠=∠P P BOCPP 2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ==⨯15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∠=︒1OH OE ==8OBC PBC BOCP S S S ∆∆=+=四边形2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-33a -=1a =-223y x x =--+⋯(1,4)-OB OC =45CBO ∴∠=︒:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ∴==⨯=sin 2D y BD CBO =∠=(1,2)D -PE x H，， ， ，则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：（舍去正值）， 故点； （4）不存在，理由：连接，过点作轴的平行线交于点， 直线的表达式为：，设点，点，则，整理得：， 解得：△，故方程无解， 则不存在满足条件的点．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点为的中点，点在抛物线上．（1） 2 ；（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，与、分别交于点、．是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∴∠=︒1OH OE ∴==HE 1y x =--⋯x =P BC P y BC H BC 3y x =+2(,23)P x x x --+(,3)H x x +()211332333822OBC PBC BOCP S S S x x x ∆∆=+=⨯⨯+--+--⨯=四边形23970x x ++=0<P 23y x bx =-++x A B y C A (1,0)-D OC P b =P P PH x ⊥H PH BC BD M N P PM MN NH ==P请说明理由；（3）若点的横坐标小于3，过点作，垂足为，直线与轴交于点，且，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式即求得的值．（2）求点、、坐标，求直线、解析式．设点横坐标为，则能用表示点、、、的坐标，进而用含的式子表示、、的长．以为等量关系列得关于的方程，求得的值合理（满足在第一象限），故存在满足条件的点，且求得点坐标．（3）过点作轴于，交直线于，根据同角的余角相等易证，所以，即在中，在中，，进而得，．设点横坐标为，可用表示、，即得到用表示、．又由易得．要对点位置进行分类讨论得到与的关系，即列得关于的方程．求得的值要注意是否符合各种情况下的取值范围．【解析】解：（1）二次函数的图象与轴交于点解得： 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点，使得．二次函数解析式为P P PQ BD ⊥Q PQ x R 2PQB QRB S S ∆∆=P A b B C D BC BD P t t P M N H t PM MN NH PM MN =t t P P P P PF x ⊥F BD E EPQ OBD ∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE ∆cos PQ EPQ PE ∠==Rt PFR ∆cos PF RPF PR ∠==PQ =PR P t t PE PF t PQ PR 2PQB QRB S S ∆∆=2PQ QR =P PQ PR t t t 23y x bx =-++x (1,0)A -130b ∴--+=2b =P PM MN NH ==223y x x =-++当时，当时， 解得：， ，直线的解析式为点为的中点，直线的解析式为， 设，，则，，，，解得：，（舍去） ，的坐标为，，使得．（3）过点作轴于，交直线于 ，，于点，轴于点0x =3y =(0,3)C ∴0y=2230x x-++=11x =-23x =(1,0)A ∴-(3,0)B ∴BC 3y x =-+D OC 3(0,)2D ∴∴BD 1322y x =-+(P t 223)(03)t t t -++<<(,3)M t t -+13(,)22N t t -+(,0)H t 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+13133()2222MN t x t =-+--+=-+1322NH t =-+MN NH ∴=PM MN =213322t t t ∴-+=-+112t =23t =1(2P ∴15)4P ∴1(215)4PM MN NH ==P PF x ⊥F BD E 3OB =32OD =90BOD ∠=︒BD ∴=cos OB OBD BD ∴∠==PQ BD ⊥Q PF x ⊥F 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒，即 在中， 在中， ，，设直线与抛物线交于点，解得：（即点横坐标），点横坐标为 设，，则，①若，则点在直线上方，如图2，，，即解得：，（舍去）②若，则点在轴上方、直线下方，如图3，此时，，即不成立． ③若，则点在轴下方，如图4，，，即 EPQ OBD ∴∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE∆cos PQ EPQ PE ∠==PQ ∴=Rt PFR∆cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB QRB S S ∆∆=12PQB S BQ PQ ∆=12QRB S BQ QR ∆=2PQ QR ∴=BD G 2132322x x x -+=-++13x =B 212x =-∴G 12-(P t 223)(3)t t t -++<13(,)22E t t -+2|23|PF t t ∴=-++221353|23()|||2222PE t t t t t =-++--+=-++132t -<<P BD 223PF t t ∴=-++25322PE t t =-++2PQ QR=23PQ PR ∴=∴253PF =65PE PF =22536()5(23)22t t t t ∴-++=-++12t =23t =(2,3)P ∴112t -<<-P x BD PQ QR <2PQB QRB S S ∆∆=1t <-P x 22(23)23PF t t t t ∴=--++=--221353(23)2222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR =2PQ PR ∴=∴52PF =25PE PF =解得：，（舍去），综上所述，点坐标为或，．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．【变式训练】如图，抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22532()5(23)22t t t t ∴--=--143t =-23t =4(3P ∴-13)9-P (2,3)4(3-13)9-P 2y ax bx c =++(1,0)A -(3,0)B (0,3)C P PAC ∆P PAC ∆x M C PAM PAC S S ∆∆=M【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．（3）由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．若点在点上方，则有．由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一种情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点所在直线的解析式． 【解析】解：（1）抛物线与轴交于点、可设交点式把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小． 如图1，连接、点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称x (1,0)A -(3,0)B (1)(3)y a x x =+-C a A B 1x =PA PB =PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++C P B PAC C AC CB ∆=+A B C AC CB BC 1x =P PAM PAC S S ∆∆=PA C M PA M P //CM PA A P AP CM CM M M P M PA CM PA M x (1,0)A -(3,0)B ∴(1)(3)y a x x =+-(0,3)C 33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴223y x x =-++P PAC ∆PB BC P 1x =A B PA PB ∴=当、、在同一直线上时，最小 、、， 最小设直线解析式为把点代入得：，解得：直线点使．（3）存在满足条件的点，使得．当以为底时，两三角形等高点和点到直线距离相等①若点在点上方，如图2，，，设直线解析式为 解得：直线直线解析式为：解得：（即点， 点坐标为②若点在点下方，如图3，则点所在的直线，且直线到的距离等于直线到的距离直线向下平移2个单位得即为直线的解析式解得：点在轴上方PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++C P B PC PB CB +=(1,0)A -(3,0)B (0,3)C AC ∴=BC ==PAC C AC CB ∆∴=+=BC 3y kx =+B 330k +=1k =-∴:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴(1,2)P PAC ∆M PAM PAC S S ∆∆=PAM PAC S S ∆∆=∴PA ∴C M PA M P //CM PA ∴(1,0)A -(1,2)P AP y px d =+∴02p d p d -+=⎧⎨+=⎩11p d =⎧⎨=⎩∴:1AP y x =+∴CM 3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩1103x y =⎧⎨=⎩)C 2214x y =⎧⎨=⎩∴M (1,4)M P M //l PA l PA 3y x =+PA ∴:1AP y x =+1y x =-l 2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M x点坐标为综上所述，点坐标为或时，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题利用等底等高面积相等可知点和点到直线距离相等，即点所在的直线与直线平行，有这样的直线有两条，需要分类讨论． 【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式；（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；0y ∴>∴M M (1,4)PAM PAC S S ∆∆=C M PA M PA x A B D B (5,0)D (1,3)E BD E x F ED EF =E G ADG ∆BDG ∆35G（2）可通过点，点求出线段所在的直线关系式，点在线段上，即可设点的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求解；（3）先求线段所在的直线解析式，当点在轴的上方时，过点作直线的垂线，交点垂足为，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．当点在轴的下方时，由，所以当与的高相等时，即存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，求得与抛物线的交点即可．【解析】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为将点代入得，得 二次函数的表达式为： （2）依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得线段所在的直线为， 设点的坐标为：，，，整理得， 解得，（舍去） 故点的纵坐标为点的坐标为 （3）存在点， 当点在轴的上方时，B D BD E BD E EF ED =AD G x G :3490AD x y -+=(,)Q x y ADG ∆BDG ∆G x :3:5AO OB =ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =2(1)3y a x =-+B 20(51)3a =-+316a =-∴23(1)316y x =--+(5,0)B (1,3)D BD y kx b =+053k b k b =+⎧⎨=+⎩34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BD 31544y x =-+E 315(,)44x x -+222315(1)(3)44ED x x ∴=-+-+-22315()44EF x =-+ED EF =222315315(1)(3)()4444x x x ∴-+-+-=-+225250x x +-=152x =25x =-E 3515154248y =-⨯+=∴E 515(,)28G G x设点的坐标为，点的坐标为，对称轴点的坐标为，设所在的直线解析式为，代入得，解得．直线的解析式为 的距离为5，过点作直线的垂线，交点垂足为， 得，化简得 由上式整理得，点到的距离为：， 由（2）知直线的解析式为：，的距离为5，同理得点至的距离为：， ， 整理得 点在二次函数上， 代入得， 整理得，G (,)m n B (5,0)1x =∴A (3,0)-∴AD y kx b =+033k b k b =-+⎧⎨=+⎩3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AD 3944y x =+AD ∴G :3490AD x y -+=(,)Q x y 3()143490y n x m x y -⎧=-⎪-⎨⎪-+=⎩22222(34)[()()](349)x m y n m n +-+-=-+||GQ ∴==∴G AD 1349||5m n d -+=BD 31544y x =-+BD ∴∴G BD 23415||5m n d +-=∴121349321341552ADG BDGAD d S m n S m n BD d ∆∆-+===+-632900m n -+=G 23(1)316n m ∴=--+23632[(1)3]90016m m ---++=2660(1)0m m m m -=⇒-=解得，（舍去） 此时点的坐标为 当点在轴下方时，如图2所示，当与的高相等时，存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点代入得， 故，则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点为， 综上所述，点的坐标为或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形10m =21m =G 45(0,)16G x :3:5AO OB =∴ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =D 3k =3y x =233(1)316y x y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩(1)(15)0x x -+=11x =215x =-15x =-45y =-G (15,45)--G 45(0,)16(15,45)--2y ax bx c =++(1,0)A -(0,3)C OB OC =D E 1x =1DE =D E ACDE的周长的最小值．（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；（3），即可求解．【解析】解：（1），点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：①，函数的对称轴为：；（2）的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小，取点关于函数对称点，则， 取点，则，故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，四边形的周长的最小值；P CP CP CBPA 3:5P OB OC =(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=OB OC =∴(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--33a -=1a =-223y x x =-++⋯1x =ACDE AC DE CD AE =+++AC 1DE =CD AE +C (2,3)C 'CD C D ='(1,1)A '-A D AE '=CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'ACDE 111AC DE CD AE A D DC A C =+++=+'+'+''（3）如图，设直线交轴于点，直线把四边形的面积分为两部分，又，则，或， 则或， 即：点的坐标为，或，，将点、的坐标代入一次函数表达式：， 解得：或，故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去）， 故点的坐标为或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点点来求最小值，是本题的难点．【达标检测】1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为，，且，求的值．CP x E CP CBPA 3:511:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=:BE AE 3:5=5:352AE =32E 3(20)1(20)E C 3y kx =+6k =-2-CP 23y x =-+63y x =-+⋯4x =P (4,5)-(8,45)-A '23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B y C C //CD x D (30)y m m =-<<AD BD G H G EG x ⊥E H HF x ⊥F GEFH 1y kx =+ABCD 1S 2S 12:4:5S S =k【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、先利用待定系数法求出直线，的解析式，进而求出，的坐标，进而求出，即可得出结论；方法2、利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可求出，即可得出结论； （3）先求出四边形的面积，分两种情况讨论计算即可．【解析】解：（1）抛物线与轴交于点和点，，，抛物线的解析式为；（2）方法1、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，直线的解析式为，直线的解析式为，直线与线段、分别交于、两点， ，，，AD BD G H GH GH ADNM 23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B ∴933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+-223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B ∴AD 39y x =--BD 1y x =-(30)y m m =-<<AD BD G H 1(33G m ∴--)m (1,)H m m +，，，矩形的最大面积为3．方法2、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，如图1，过点作轴于，交于， ，直线与线段、分别交于、两点， ，， ， ，，，矩形的最大面积为3．（3），，，，， ，，，141(3)433GH m m m ∴=+---=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH 223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B D DM x ⊥M GH N 3DN m ∴=+(30)y m m =-<<AD BD G H DGH DAB ∴∆∆∽∴DN GHDM AB =∴334m GH+=443GH m ∴=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH (3,0)A -(1,0)B 4AB ∴=(0,3)C -(2,3)D --2CD ∴=()134292ABCD S ∴=⨯+=四边形12:4:5S S =，如图，当直线与相交时，设直线与线段相交于，与线段相交于， ，，，，，，，， 当点与点重合时，直线的解析式为， ，，，直线和线段相交时， 直线不能和线段相交，即：，2．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左边），点，在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式．（2）当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．14S ∴=1y kx =+CD 1y kx =+AB M CD N 1(M k ∴-0)4(N k -3)-13AM k ∴=-+42DN k =-+1114(32)342S k k ∴=-+-+⨯=157k ∴=N D MN 21y x =+1(2M ∴-0)15(3)22AM ∴=---=∴MN AD 151534224AMN S ∆=⨯⨯=<最大∴1y kx =+AD 157k=2(0)y ax bx a =+<(10,0)E ABCD AB OE AB C D (,0)A t 2t =4AD =t ABCD 2t =ABCD G H GH【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由得出点、、、及对角线交点的坐标，由直线平分矩形的面积知直线必过点，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点平移后的对应点是知是中位线，据此可得． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为， 当时，，点的坐标为，将点坐标代入解析式得，解得：， 抛物线的函数表达式为；（2）由抛物线的对称性得， ，当时，，矩形的周长，， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为；E D (2,4)BE OA t ==102AB t =-x t =21542AD t t =-+2t =A B C D P GH GH P //AB CD OD GH OD Q P PQ OBD ∆(10)y ax x =-2t =4AD =∴D (2,4)∴D 164a -=14a =-21542y x x =-+BE OA t ==102AB t ∴=-x t =21542AD t t =-+∴ABCD 2()AB AD =+2152[(102)()]42t t t =-+-+21202t t =-++2141(1)22t =--+102-<∴1t =ABCD 412（3）如图，当时，点、、、的坐标分别为、、、，矩形对角线的交点的坐标为，当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时也不能将矩形面积平分；当，中有一点落在线段或上时，直线不可能将矩形面积平分；当点，分别落在线段，上时，直线过点，必平分矩形的面积． ，线段平移后得到线段．线段的中点平移后的对应点是．，由平移知， 是的中位线， ，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．3．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．（1）求点、、的坐标． （2）求直线的函数解析式． （3）试说明：．（4）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2t =A B C D (2,0)(8,0)(8,4)(2,4)∴ABCD P (5,2)A H (4,4)GH C G (6,0)GH ∴G H AD BC GH G H AB DC GH P ABCD //AB CD ∴OD GH ∴OD Q P DP PB ∴=//PQ OB PQ ∴ODB ∆142PQ OB ∴==223y x x =--x A B y C M A B C BM 90CBM CMB ∠+∠=︒P CP BCM ∆P【分析】（1）根据题意可以直接可求点、、的坐标； （2）用待定系数法可求解析式；（3）根据两点距离公式可求，，的长度，根据勾股定理的逆定理可得，即可证：；（4）根据题意可求线段中点坐标，即可求直线解析式，且点在抛物线上，可列方程，即可求点坐标．【解析】解：（1）抛物线与轴交于、两点，点，点抛物线与轴交于点当时， 点坐标为（2）抛物线点设直线的解析式：过点，解得：，直线的解析式：（3）点，点，点A B C BM BC CM 90BCM ∠=︒90CBM CMB ∠+∠=︒BM CP P P 223y x x =--x A B 2023x x ∴=--13x ∴=21x =-∴(1,0)A -(3,0)B 223y x x =--y C ∴0x =3y =-∴C (0,3)-2223(1)4y x x x =--=--∴(1,4)M -BM y kx b =+(3,0)B (1,4)M -∴403k b k b -=+⎧⎨=+⎩2k =6b =-∴BM 26y x =-(1,4)M -(3,0)B (0,3)C -BC ∴=， ．．（4）如图：设直线与的交点为直线把分成面积相等的两部分和是等高的两个三角形即点是的中点 点，点点坐标为设直线的解析式为解得：， 直线解析式 点是直线与抛物线的交点BM=CM =2220BC CM +=220BM =222BC CM BM ∴+=90BCM ∴∠=︒90CBM CMB ∴∠+∠=︒CP BMF CP BCM ∆CMF BCF S S ∆∆∴=CMF ∆BCF ∆FM BF ∴=F BM (3,0)B (1,4)M -∴F (2,2)-CP y mx n =+∴322n m n =-⎧⎨-=+⎩12m =3n =-∴CP 132y x =-P CP 223y x x =--∴213232x x x -=--解得：（不合题意舍去）， 当时， 点坐标为，4．如图1，抛物线与相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点． （1）求的值； （2）若，求的面积；（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；②如图2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用和表示出、两点的坐标，利用为的中点可得到和之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得点坐标，过作轴于点，可证得，由相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得和的长，可求得的面积； （3）①连接与的交点即为满足条件的点，可求得的解析式，则可求得点坐标；②设出点坐标，则可表示出的面积，过点作轴的平行线交直线于点，可先求得的解析式，则可表示出的长，进一步可表示出的面积，则可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及点的坐标．10x =252x =52x =255723424y =-⨯-=-∴P 5(27)4-21:C y x ax =+22:C y x bx =-+O C 1C 2C x B A B AO abOC AC ⊥OAC ∆2C l M P 2C l PAC ∆P E 2C O M OBCEE a b A B B OA a b C C CD x ⊥D OCD CAD ∆∆∽a OA CD OAC ∆OC l P OC P E EOB ∆E x BC N BC EN EBC ∆OBCE E【解析】解：（1）在中，当时，，，，，在中，当时，，，，，为的中点，，； （2）联立两抛物线解析式可得，消去整理可得，解得，，当时，，，过作轴于点，如图1，，， ，， ，即，2y x ax =+0y =20x ax +=10x =2x a =-(,0)B a ∴-2y x bx =-+0y =20x bx -+=10x =2x b =(,0)A b ∴B OA 2b a ∴=-∴12a b =-222y x ax y x ax ⎧=+⎨=--⎩y 2230x ax +=10x =232x a =-32x a =-234y a =∴233(,)24C a a -C CD x ⊥D ∴3(,0)2D a -90OCA ∠=︒OCD CAD ∴∆∆∽∴CD ODAD CD=2CD AD OD ∴=22313()()422a a a =--（舍去），（舍去），， （3）①抛物线， 其对称轴， 点关于的对称点为，， 则为直线与的交点， 设的解析式为，，得， 的解析式为， 当，； ②设，，， 则，而，，设直线的解析式为， 由，解得， 直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图2，10a ∴=2a =3a =∴2OA a =-=2314CD a ==∴12323OACS OA CD ∆==22:C y x x =-∴2:l x =A 2l (0,0)O C P OC 2l OC y kx=∴1=k OC ∴y =x=23y =∴2)3P 223(,)E m m m -+(E m 223)(0)m m -+2214)23OBE S m m ∆=-=+B C BC y kx b =+10b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2k b ==-∴BC 2y =-E x BC N则，即， ，，， 当，当， ，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线与该抛物线在第四象限内交于点，与线段交于点，与轴交于点，且． ①求的值；②连接，，线段与线段交于点，与是否全等？请说明理由； （3）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴22m -+-243x m =+224133EN m m m ∴=++-=+∴2213111(236EBC S m m m ∆=-+=+2222413362OBE EBC OBCE S S S m m m m ∆∆⎛⎫⎛∴=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭四边形230m∴m =S =最大m =2354y =-+=∴5)4E S 最大232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B y C y x n =-+D BC E x F 4BE EC =n AC CD AC DF G AGF ∆CGD ∆(0)y m m =>M N M N M y的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为．求点到的距离的值．【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，可得抛物线的解析式；（2）①过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例定理，可得，设点的坐标为，则，，根据，可得，再根据直线的解析式为，即可得到，，把的坐标代入直线，可得的值；②根据，，可得，再根据点的坐标为，点的坐标为，可得轴，，再根据，，即可判定；（3）根据轴对称的性质得出，进而判定四边形是平行四边形，再根据四边形的面积为，求得，再根据点的坐标为，，得到，中，运用勾股定理可得，最后根据，即可得到【解析】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ，解得，该抛物线的解析式；（2）①如图，过点作轴于，则，， M 'H (1,0)OM NH '53H OM 'd 232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B E EE x '⊥E '//EE OC '4BE OE ''=E (,)x y OE x '=4BE x '=2OB =25x =BC 332y x =-2(5E 12)5-E y x n =-+n (2,0)F -(1,0)A -1AF =D (1,3)-C (0,3)-//CD x 1CD =AFG CDG ∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∆≅∆1OH M N '==OM NH 'OM NH '5353OP =M 4(3-5)343PM '=Rt OPM '∆OM '=53OM d '⨯=d =232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B ∴302620b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩323b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴233322y x x =--E EE x '⊥E '//EE OC '∴BE BEOE CE'='，，设点的坐标为，则，， ，，即，， 抛物线与轴交于点， ，设直线的解析式为， ，， ，解得，直线的解析式为， 当时，， ，，把的坐标代入直线，可得，解得；②与全等．理由如下： 直线的解析式为，当时，，，， ， ，，由解得，， 4BE EC =4BE OE ''∴=E (,)x y OE x '=4BE x '=(2,0)B 2OB ∴=42x x +=25x ∴=233322y x x =--y C (0,3)C ∴-BC y kx b '=+(2,0)B (0,3)C -∴203k b b '+=⎧⎨'=-⎩323k b ⎧=⎪⎨⎪'=-⎩∴BC 332y x =-25x =125y =-2(5E ∴12)5-E y x n =-+21255n -+=-2n =-AGF ∆CGD ∆EF 2y x =--∴0y =2x =-(2,0)F ∴-2OF =(1,0)A -1OA ∴=211AF ∴=-=2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩112343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2213x y =⎧⎨=-⎩点在第四象限，点的坐标为，点的坐标为， 轴，，，， ；（3）抛物线的对称轴为，直线与该抛物线的交点为，， 点、关于直线对称， 设，则， 点关于轴的对称点为点， ，点在直线上，轴，， ， ，四边形是平行四边形，设直线与轴交于点， 四边形的面积为， ，即， ， 当时，解得，，点的坐标为，，，，即，中，， D ∴D (1,3)-C (0,3)-//CD x ∴1CD =AFG CDG ∴∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∴∆≅∆122b x a =-=(0)y m m =>M N ∴M N 12x =(,)N t m (1,)M t m -M y M '(1,)M t m '∴-∴M 'y m =//M N x '∴(1)1M N t t '∴=--=(1,0)H 1OH M N '∴==∴OM NH 'y m =y P OM NH '53513OH OP m ∴⨯=⨯=53m =53OP ∴=23353223x x --=143x =-273x =∴M 4(3-5)34(3M '∴5)343PM '=Rt OPM '∴∆OM '四边形的面积为， ， ．6．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数图象于点．（1）求的值和直线的解析式；（2）过点作于点，设，的面积分别为，，若，求的值；（3）点是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点是线段上的动点，当四边形是平行四边形，且周长取最大值时，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入可求，应用待定系数法可求直线的解析式；（2）用表示、，易证，，得到与的数量关系可以构造方程；OM NH '5353OM d '∴⨯=41d ∴=23(2)34y ax a x =--+(4,0)A y B x(C m 0)(04)m <<C x AB E D a AB D DF AB ⊥F ACE ∆DEF ∆1S 2S 124S S =m H G AB DEGH DEGHG A 23(2)34y ax a x =--+a AB m DE AC DEF AEC ∆∆∽124S S =DE AE（3）用表示，由平行四边形性质，可得，之间数量关系，利用相似用表示，表示周长，利用函数性质求出周长最大时的值，可得值，进而求点坐标．【解析】解：（1）把点代入，得解得 函数解析式为： 设直线解析式为 把，代入 解得直线解析式为：（2）由已知，点坐标为点坐标为轴，n GH DE GH =m n GM EG DEGH m n G (4,0)A 2304(2)434a a =--⨯+34a =-∴239344y x x =-++AB y kx b =+(4,0)A (0,3)B 043k bb =+⎧⎨=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 334y x =-+D 239(,3)44m m m -++E 3(,3)4m m -+4AC m ∴=-223933(3)(3)34444DE m m m m m =-++--+=-+//EC y ∴43AC AO EC OB ==5(4)4AE m ∴=-90DFA DCA ∠=∠=︒FBD CEA ∠=∠DEF AEC ∴∆∆∽124S S =解得，（舍去） 故值为（3）如图，过点做于点，设点的横坐标为，由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．2AE DE ∴=∴253(4)2(3)44m m m -=-+156m =24m =m 56G GM DC ⊥M Gn 2334DE m m =-+2334HG n n =-+DEGH 22333344m m n n ∴-+=-+3()[()3]04n m n m -+-=m n ≠4m n ∴+=4n m =-42MG n m m ∴=-=-EMG BOA ∆∆∽∴43MG EM =5(42)4EG m ∴=-DEGH ∴223532[3(42)]10442L m m m m m =-++-=-++302a =-<113232()2b m a ∴=-=-=⨯-L。

2020中考数学 压轴专题 二次函数中的图形面积问题（含答案）1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点，顶点为M .(1)求B 、C 的值；(2)将△OAB 绕点B 顺时针旋转90°后，点A 落到点C 的位置，该抛物线沿y 轴上下平移后经过点C ，求平移后所得抛物线的表达式；(3)设(2)中平移所得的抛物线与y 轴的交点为A 1，顶点为M 1，若点P 在平移后的抛物线上，且满足△PMM 1的面积是△P AA 1面积的3倍，求点P 的坐标．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋Bx ＋C 经过A (0，3)，B (1，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝31＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3；(2)由(1)知，抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. ∵A (0，3)，B (1，0) ∴OA ＝3，OB ＝1， ∴C 点坐标为(4，1)，当x ＝4时，由y ＝x 2－4x ＋3得y ＝3， 则抛物线y ＝x 2－4x ＋3经过点(4，3)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C ， ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋1；(3)∵点P 在y ＝x 2－4x ＋1上，可设P 点的坐标为(x 0，x 20－4x 0＋1)， 将y ＝x 2－4x ＋1配方得y ＝(x －2)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∵S △PMM 1＝12|x 0－2|·MM 1，S △P AA 1＝12|x 0|·AA 1，S △PMM 1＝3S △P AA 1，MM 1＝AA 1＝2， ∴x 0<2，|x 0－2|＝3|x 0|. 分情况讨论： ①当0<x 0<2时， 则有2－x 0＝3x 0，解得x 0＝12，则x 20－4x 0＋1＝－34， ∴点P 的坐标为(12，－34)；②当x 0<0时，则有2－x 0＝－3x 0，解得x 0＝－1，则x 20－4x 0＋1＝6， ∴点P 的坐标为(－1，6)．故满足△PMM 1的面积是△P AA 1面积的3倍时，点P 的坐标为(12，－34)或(－1，6)．2. 如图，抛物线y ＝Ax 2＋2x ＋C 经过点A (0，3)，B (－1，0)． (1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△MBC 的面积是4，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝Ax 2＋2x ＋C 经过点A (0，3)，B (－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋c ＝0c ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ， y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， B (－1，0)，∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2， ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝20＝25，∴BD 的长是25；(3)在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4. 设点M 的坐标为(1，M )， 令－x 2＋2x ＋3＝0得x ＝－1或3， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝3－(－1)＝4， ∵△MBC 的面积是4， ∴S △BCM ＝BC ×|m |2＝4×|m |2＝4， 解得M ＝±2，∴点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．3. 如图，抛物线y ＝12x 2－32x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称．(1)求点A 、B 、C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)令y＝0，则12x2－32x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，令x＝0，得y＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵C，D两点关于x轴对称，∴D(0，2)，设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B、D坐标代入可得4=0 =2k bb+⎧⎨⎩，解得1=-2 =2⎧⎪⎨⎪⎩kb，∴直线BD的解析式为y＝－12x＋2；(3)存在这样的点P，使得△PBD的面积最大．设P(m，12m2－32m－2)，如解图，过点P作PE⊥x轴于点F，与BD交于点E，第3题解图则E 点坐标为(m ，－ 12m ＋2)，∴PE ＝(－ 12m ＋2)－(12m 2－32m －2)＝－ 12m 2＋m ＋4，∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB ＝12PE ·OF ＋12PE ·BF ＝12PE ·OB ＝12×(－12m 2＋m ＋4)×4 ＝－m 2＋2m ＋8 ＝－(m －1)2＋9，当m ＝1时，S △PBD 取得最大值，最大值为9， 此时12m 2－32m －2＝－3，∴P (1，－3)．4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝Ax 2＋2Ax ＋C 的图象与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(－3，0)． (1)求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M 的坐标；(3)点P 是第二象限内抛物线上的一动点，当点P 在何处时△CPB 的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P 的坐标．第4题图解：(1)根据题意将B (－3，0)，C (0，3)代入抛物线解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝39a －6a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3， ∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， 将其化为顶点式为y ＝－(x ＋1)2＋4， ∴顶点D 的坐标为(－1，4)；（2）如解图①，连接OD 、AD 、AD 与y 轴交于点F ，第4题解图①S △OBD ＝12×3×4＝6，S 四边形ACDB ＝S △ABD ＋S △CDF ＋S △ACF ＝12×4×4＋12×1×1＋12×1×1＋12×1×1＝9，因此直线OM 必过线段BD ，由B (－3，0)，D (－1，4)得线段BD 的解析式为y ＝2x ＋6， 设直线OM 与线段BD 交于点E ， 则△OBE 的面积可以为3或6.①当S △OBE ＝3时，12×3×y E ＝3，解得y E ＝2，将y ＝2代入y ＝2x ＋6中，得x ＝－2，∴E 点坐标(－2，2)．则直线OE 的解析式为y ＝－x .设M 点坐标为(x ，－x )，联立抛物线的解析式可得－x ＝－x 2－2x ＋3， 解得x 1＝－1－132，x 2＝－1＋132(舍去)．∴点M (－1－132，1＋132)；②当S △OBE ＝6时，12×3×y E ＝6，解得y E ＝4，将y ＝4代入y ＝2x ＋6中得x ＝－1，此时点E 、M 、D 三点重合． ∴点M 坐标为(－1，4)；综上所述，点M 的坐标为(－1－132，－1＋132)，(－1，4)．（3）如解图②，连接OP ，设P 点的坐标为(M ，－M 2－2M ＋3)，第4题解图②∵点P 在抛物线上，∴S △CPB ＝S △CPO ＋S △OPB －S △COB＝12OC ·(－M )＋12OB ·(－M 2－2M ＋3)－12OC ·OB ＝－32M ＋32(－M 2－2M ＋3)－92＝－32(M 2＋3M )＝－32(M ＋32)2＋278.∵－3＜M ＜0，∴当M ＝－32时，(－M 2－2M ＋3)＝154，△CPB 的面积有最大值278.∴当点P 的坐标为(－32，154)时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为278.5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－14x 2＋Bx ＋C 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0)． (1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S .①求S 的最大值；②在点F 的运动过程中，当点E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S 的值．第5题图解：(1)∵二次函数y ＝－14x 2＋Bx ＋C 过A (0，8)、B (－4，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×（－4）2－4b ＋c ＝0c ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝8，∴二次函数的解析式为y ＝－14x 2＋x ＋8，当y ＝0时，解得x 1＝－4，x 2＝8， ∴C 点坐标为(8，0)；（2）①如解图，连接DF ，OF ，设F (M ，－14M 2＋M ＋8)，第5题解图∵S 四边形OCFD ＝S △CDF ＋S △OCD ＝ S △ODF ＋S △OCF ，∴S △CDF ＝S △ODF ＋S △OCF －S △OCD ，＝12×4×M ＋12×8×(－14M 2＋M ＋8)－12×8×4 ＝2M －M 2＋4M ＋32－16 ＝－M 2＋6M ＋16 ＝－(M －3)2＋25，当M ＝3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴S 四边形CDEF ＝2S △CDF ＝50， ∴S 的最大值为50； ②S ＝18.【解法提示】∵四边形CDEF 为平行四边形， ∴CD ∥EF ，CD ＝EF ，∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E (M －8，－14M 2＋M ＋12)，∵E (M －8，－14M 2＋M ＋12)在抛物线上，∴－14(M －8)2＋(M －8)＋8＝－14M 2＋M ＋12，解得M ＝7，当M ＝7时，S △CDF ＝－(7－3)2＋25＝9， ∴此时S ＝2S △CDF ＝18.6. 如图，抛物线y ＝Ax 2＋Bx －3与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C ，且其对称轴L 为直线x ＝－1，点P 是抛物线上B ，C 之间的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)．第6题图(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P 的位置时发现：当动点N 在对称轴L 上时，存在PB ⊥NB ，且PB ＝NB 的关系，请求出此时点P 的坐标；(3)是否存在点P 使得四边形PBAC 的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC 面积的最大值，若不存在，请说明理由．解：(1)y ＝x 2＋2x －3；【解法提示】∵A (1，0)，对称轴L 为直线x ＝－1， ∴B (－3，0)，将AB 两点坐标代入得，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接BP ，过点B 作BN ⊥PB 交直线L 于点N ， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q ，第6题解图①∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°.∴∠BPM＝∠NBQ.又∵PB＝NB，∴△BPM≌△NBQ.∴PM＝BQ.由(1)得y＝x2＋2x－3，∴Q(－1，0)，B(－3，0)∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(－1－2，－2)；（3）存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，第6题解图②∵A (1，0)，B (－3，0)，C (0，－3)，∴S △ABC ＝12×3×4＝6， 直线BC 的解析式为y ＝－x －3.设P (T ，T 2＋2T －3)，则D (T ，－T －3)，∴S △BPC ＝12×3×(－T －3－T 2－2T ＋3)＝－32T 2－92T ， ∴S 四边形PBAC ＝－32T 2－92T ＋6 ＝－32(T ＋32)2＋758， 当T ＝－32时，S 四边形PBAC 存在最大值，最大值为758. 此时点P 的坐标为(－32，－154)． 7. 如图，抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A 点坐标为(－3，0)，连接BC 、AC .(1)求抛物线的解析式；(2)点E 从点B 出发，沿x 轴向点A 运动(点E 与点A 、B 不重合)，过点E 作直线L 平行于AC ，交BC 于点D ，设BE 的长为M ，△BDE 的面积为S ，求S 关于M 的函数关系式，并写出自变量M 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－12x 2＋32x ＋c 过A 点，且A (－3，0)， ∴0＝－12×9－32×3＋c ，解得c ＝9， ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋9； (2)∵抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋9， ∴C 点坐标为(0，9)，∴OC ＝9，令y ＝0可得－12x 2＋32x ＋9＝0，解得x ＝－3或x ＝6， ∴B 点坐标为(6，0)，∴AB ＝6－(－3)＝9；设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝9， ∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋9，∵直线ED ∥AC ，∴可设直线ED 的解析式为y ＝3x ＋m ，∵OB ＝6，BE ＝m ，∴OE ＝6－m ，∴E 点的坐标为(6－m ，0)，代入直线ED 的解析式可得0＝3(6－m )＋n ，解得n ＝3(m －6)，∴直线ED 的解析式为y ＝3x ＋3m －18，设直线BC 的解析式为y ＝rx ＋s ，把B 、C 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧6r ＋s ＝0s ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝－32s ＝9， ∴直线BC 的解析式为y ＝－32x ＋9， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3m －18y ＝－32x ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－23m y ＝m， ∴D 点坐标为(6－23m ，m )， ∴D 到BE 的距离为m ，∴S ＝S △BDE ＝12m ·m ＝12m 2， 又∵E 在线段AB 上，且不与点A 、B 重合，∴0<BE <AB ，∴m 的取值范围为0<m <9；(3)∵OC ＝9，BE ＝m ，∴S △BEC ＝12BE ·OC ＝12×m ×9＝92m ， ∴S △CDE ＝S △BEC －S △BDE ＝92m －12m 2＝－12(m －92)2＋818， ∴当m ＝92时，△CDE 的面积有最大值，最大值为818. 8. 已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋3交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴l 交x 轴于点E .(1)求抛物线的对称轴及点A 的坐标；(2)点P 为坐标系内一点，且以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形，求出所有满足条件的P 点的坐标．(3)连接CA 与L 交于点D ，M 为抛物线上一点，是否存在点M ，使经过点C 、M 的直线恰好将四边形DEOC 的面积平分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)对称轴为直线x＝－42＝－2，当y＝0时，有x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，∴点A的坐标为(－3，0)；(2)由y＝x2＋4x＋3可知A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，①当AC是平行四边形的对角线时，将点C向左平移两个单位长度即是P点，即P(－2，3)；②当BC是平行四边形的对角线时，将点C向右平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；③当AB是平行四边形的对角线时，将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点，即P(－4，－3)；满足条件的点P有3个，分别为(－2，3)，(2，3)，(－4，－3)；(3)存在；∵点C的坐标为(0，3)，又DE∥y轴，AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3，∴△AED∽△AOC，∴AEAO＝DECO，即13＝DE3，∴DE＝1，∴S四边形DEOC＝12×(1＋3)×2＝4，在OE上找点F，使OF＝43，此时S △COF ＝12×43×3＝2， 直线CF 把四边形DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点M ，设直线CM 的解析式为y ＝kx ＋3，它经过点F (－43，0)， 则－43k ＋3＝0，解得k ＝94， ∴直线CM 的解析式为y ＝94x ＋3. 9. 如图，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点B ，E 两点，与y 轴交于点A ，OB ＝8，tan ∠ABD ＝1，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长x 度移动，动点C ，D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C ，D 停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，△CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当△CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P (点E 除外)，使△PCD 的面积等于△CED 的最大面积，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵OB ＝8，tan ∠ABD ＝1，∴OA ＝OB ＝8，∴A (0，8)，B (8，0)．把点A (0，8)，B (8，0)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝8－12×82＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝8， ∴抛物线解析式为y ＝－12x 2＋3x ＋8； (2)令y ＝0时，有－12x 2＋3x ＋8＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝8，∴E (－2，0)，∴BE ＝10，∵S △CED ＝12DE ·OC ， ∴S ＝12t (10－t )＝－12t 2＋5t ， ∴S 与T 的函数解析式为S ＝－12t 2＋5t ＝－12(t －5)2＋252(0≤t ≤8)， ∴当t ＝5时，△CED 的面积最大，最大面积为252； (3)存在，P 点坐标为(8，0)或(43，1009)或(343，－2009)． 【解法提示】当△CED 的面积最大时，t ＝5，即BD ＝DE ＝5，此时要使S △PCD ＝S △CED ，CD 为公共边，只需求出过点B 、或点E 且平行于CD 的直线即可，如下：设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋B ，由(2)可知OC ＝5，OD ＝3，∴C (0，5)，D (3，0)，把C (0，5)、D (3，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝53k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53b ＝5， ∴直线CD 的解析式为y ＝－53x ＋5， ∵DE ＝DB ＝5，∴过点B 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x －5)＋5， 过点E 且平行于CD 的直线为y ＝－53(x ＋5)＋5， 与抛物线解析式联立得方程①：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x －5)＋5， 解得x 1＝8，x 2＝43， 方程②：－12x 2＋3x ＋8＝－53(x ＋5)＋5， 解得x 3＝343，x 4＝－2， 分别将x 的值代入抛物线的解析式，得y 1＝0，y 2＝1009，y 3＝－2009，y 4＝0， 又∵P 点不与E 点重合，∴满足题意的P 点坐标有3个，分别是P 1(8，0)，P 2(43，1009)，P 3(343，－2009)．第9题解图10.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H 的坐标及最大面积．第10题图解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)，∴--502555=0a ba b=⎧⎨+-⎩=1=4ab⎧⎨-⎩，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5；(2)∵OB＝OC＝5，∴∠ABC＝∠OCB＝45°，∴以B 、C 、D 三点为顶点的三角形要与△ABC 相似，必须要有一个角等于45°.(ⅰ)当点D 在点C 的下方时，∠BCD ＝180°－45°＝135°，∴不会出现45°角，∴此种情况不存在；(ⅱ)当点D 在点C 的上方时，∠BCD ＝45°，易得BC ＝2OB ＝52，AB ＝OA ＋OB ＝1＋5＝6， 存在两种情况：①当△BCD ∽△ABC 时，BC AB ＝CD BC， 即526＝， ∴CD ＝253， OD ＝CD －OC ＝253－5＝103， ∴D (0，103)； ②当△DCB ∽△ABC 时，DC AB ＝CB BC， 即6CD ＝5252， ∴CD ＝6，OD ＝CD －OC ＝6－5＝1，∴点D (0，1)，∴综上所述，点D 的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似； (3)令y ＝－5得x 2－4x －5＝－5，解得x 1＝0，x 2＝4，∴E (4，－5)，∴CE ＝4，设H (a ，a 2－4a －5)，点H 是在直线CE 下方抛物线上的动点，∴0＜a ＜4.设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，把点B (5，0)、C (0，－5)代入得5=0=5k b b +⎧⎨-⎩，解得=1=5k b ⎧⎨-⎩， ∴直线BC 的表达式为y ＝x －5，则点F (a ，a －5)，∴FH ＝a －5－(a 2－4a －5)＝－a 2＋5a ，∵CE ⊥FH ，∴S 四边形CHEF ＝12CE ×FH ＝－2a 2＋10a ＝－2(a －52)2＋252， ∵0＜a ＜4，∴当a ＝52时，四边形CHEF 面积有最大值，最大值是252， 此时H (52，－354)． 11. 已知：二次函数y ＝－x 2－2x ＋M 的图象与x 轴交于点A (1，0)、B ，与y 轴交于点C .(1)求M 的值；(2)求点B 的坐标；(3)若该二次函数图象上有一点P (不与点C 重合)，满足S △ABP ＝S △ABC ，求点P 的坐标．第11题图解：(1)将点A (1，0)代入y ＝－x 2－2x ＋M 中，得－1－2＋M ＝0，解得M ＝3；(2)由(1)知y ＝－x 2－2x ＋3，令y＝0，则－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∵A(1，0)，∴B(－3，0)；(3)①当点P在x轴上方时，∵S△ABP＝S△ABC，且点P不与点C重合，∴点C和点P关于二次函数图象的对称轴对称，由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x＝－1，∵C(0，3)，∴P(－2，3)；②当点P在x轴下方时，∵△ABP与△ABC的底边均为AB，∴△ABP的边AB上的高应等于OC，即此时点P的纵坐标y＝－3，即－3＝－x2－2x＋3，整理得x2＋2x－6＝0，解得x＝－1±7，∴点P的坐标为(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．综上，当S△ABP＝S△ABC时，点P的坐标为(－2，3)或(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．。

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时s最小，最小值时多少？[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？作业布置：1．某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 最大h ．2．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．12 m3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为()A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 4．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10mx yOB（图7）6(抛物线所在的6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m7．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．A B C D P Q11．如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？12．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系13．小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？14．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．16．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．参考答案 1，答案6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=2.解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 3.答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3412--=y x， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 4.解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省． 作业布置 1.4.9米 2.2080．3.D 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2 ∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4. C5. D6. B 解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7. B8.解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米． 9.解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10.解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-= 11.解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.5 12.则：设c ax y +=2 将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13.解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米． 14.解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得==+21y y +== ∵021>=a ∴当时，的最小值是14；11 因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15.解：（1）设正方形的边长为cm ， 则． 即． 解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 则与的函数关系式为：． 即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．12 当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即． 当时，．16.解：（1）根据题目条件，的坐标分别是． 设抛物线的解析式为，将的坐标代入， 得 解得． 所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是． 过点作垂直交抛物线于， 则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．13。

面积最值问题模型1 定弦定角面积最值【问题背景】如图1，AB 为⊙O 上不过圆心O 的弦，P 为⊙O 上任意一点(点A ，B 除外)，△PAB 的面积是否存在最大值？如果存在，请找出满足条件的点P ；如果不存在，请说明理由．【模型分析】如图2，作线段AB 的中垂线分别交⊙O 于点P1，P2，此时当点P 在优弧AB 上时，△P1AB 的面积最大；同理当点P 在劣弧AB 上时，△P2AB 的面积最大．模型2 定角定高面积最值【问题背景】在△ABC 中，∠ACB ＝θ，点C 到直线AB 的距离是h ，∠ACB 的两边分别与直线AB 交于A ，B ，则△ABC 的面积存在最小值．【模型分析】如图，作△ABC 的外接圆⊙O ，作CF ⊥AB 于点F ，作OE ⊥AB于点E ，连接OC ，OA ，则∠ACB ＝∠AOE ＝θ，OC ＋OE ≥CF ，∴OA ＋OE ≥CF ，AE ＝OA ·sin θ，OE ＝OA ·cos θ，∴OA ＋OA ·cos θ≥h ，∴OA ≥h 1＋cos θ，∴AB ＝2AE ＝2OA ·sin θ≥2h sin θ1＋cos θ， ∴AB 有最小值，∴△ABC 的面积有最小值，最小面积为h 2sin θ1＋cos θ.例题(2019·陕西)问题提出(1)如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形．【解答】如答图1，平行四边形ACBD1，ABCD2，ABD3C即为所求．(答案不唯一，画出一个即可)问题探究(2)如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10.若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC ＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；【解答】如答图2.∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O.∵∠BPC＝90°，∴当点P在P1或P2位置时，△BPC的面积最大，过点P1作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2，由对称性，得AP2＝8.则满足条件的点P到点A的距离为2或8.问题解决(3)如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50 m，∠CBE＝120°.那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的□BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．(塔A的占地面积忽略不计)【解答】可以．如答图3，连接BD．∵A为□BCDE的对称中心，BA＝50 m，∠CBE＝120°，∴BD＝100 m，∠BED＝60°.作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取弧BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为等边三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′.∵E′A⊥BD，∴四边形BC′DE′为菱形，且∠C′BE′＝120°.作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO＋OA＝E′O＋OA＝E′A，∴S△BDE＝12BD·EF≤12BD·E′A＝S△E′BD，∴S□BCDE≤S菱形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002·sin60°＝5 0003(m2)．答：符合要求的□BCDE的最大面积为5 000 3 m2.作业1.在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°.(1)如图1，已知∠D＝30°，则∠A＋∠C的大小为__270°__.(2)已知AD＝3，CD＝4，在(1)的条件下，利用图1，连接BD，并求出BD的长度．(3)如图2，已知∠ADC＝75°，BD＝6，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．解：(1)270°.【解法提示】∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A＋∠C＝270°.(2)如答图1，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得△BAQ，则∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ.∵∠CBD＋∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠ABQ＋∠ABD＝60°，即∠DBQ＝60°，∴△BDQ是等边三角形，∴BD＝DQ.∵∠C＋∠BAD＝270°，∴∠BAQ＋∠BAD＝270°，∴∠DAQ＝90°，∴BD＝DQ＝AD2＋AQ2＝32＋42＝5.答图1(3)能．如答图2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得△BAH，连接DH.答图2由(2)知△BDH 是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝S △BAH ＋S △ABD ＝S △DBH －S △ADH ，∴当△ADH 的面积最大时，四边形ABCD 的面积最小．∵∠ABC ＝60°，∠ADC ＝75°，∴∠BAD ＋∠BCD ＝∠BAD ＋∠BAH ＝360°－75°－60°＝225°，∴∠DAH ＝135°.∵DH ＝DB ＝6，∴点A 在定圆⊙O 上运动，当O ，A ，B 三点共线时，△ADH 的面积最大，连接OB ，交DH 于点K ，交⊙O 于点A ′，则OB ⊥DH ，HK ＝KD ＝3.∵A ′H ＝A ′D ，∴∠A ′HD ＝∠A ′DH ＝22.5°.在HK 上取一点F ，使得FH ＝FA ′，则△A ′KF 是等腰直角三角形，设A ′K ＝FK ＝x ，则FH ＝A ′F ＝2x ，∴3＝x ＋2x ，∴x ＝32－3，∴△ADH 的面积最大值为12×6×(32－3)＝92－9，∴四边形ABCD 的面积的最小值为34×62－(92－9)＝93－92＋9. 2.问题探究(1)如图1，已知等边三角形ABC ，边长为4，则△ABC 的外接圆的半径为3(2)如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝4，对角线BD 与边BC 的夹角为30°，点E 在边BC 上，且BE ＝14BC ，点P 是对角线BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，求△PEC 周长的最小值．问题解决(3)为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图3，若将两根光线(AB ，AC )和光线与城墙的两交点连接的线段(BC )看作一个三角形，记为△ABC ，那么该三角形的面积有没有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．解：(1)433.【解法提示】如答图1，作等边三角形ABC 的外接圆⊙O ，作直径AD ，连接BD ．∵等边三角形ABC 内接于⊙O ，AD 为⊙O 的直径，∴∠C ＝60°＝∠D ，∠ABD ＝90°，∴sin D ＝ABAD ＝32，∴AD ＝2AB 3＝4×23＝833， ∴⊙O 的半径是433.(2)如答图2，作点E 关于BD 的对称点E ′，连接E ′C 交BD 于点P ，连接PE ，则PE ′＝PE ，此时△PEC 的周长最小，即为PC ＋PE ＋EC ＝PC ＋PE ′＋EC ＝CE ′＋EC 的长．连接BE ′，过点E ′作E ′H ⊥BC 于点H .∵∠DBC ＝30°，AB ＝CD ＝4，∴BC ＝43.又∵BE＝14BC，∴BE＝3，EC＝3 3.∵点E关于BD的对称点是E′，∴∠E′BH＝60°，BE′＝BE＝3，∴BH＝32，E′H＝32，∴HC＝723，∴E′C＝E′H2＋HC2＝(32)2＋(723)2＝39，∴△PEC周长的最小值为PC＋PE＋EC＝CE′＋EC＝39＋3 3.答图(3)有．如答图3，作△ABC的外接圆⊙O，过点A作AH⊥BC于点H，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，OB．设⊙O的半径长为2x.∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴BE＝3x，∴BC＝23x.∵OA＋OE≥AH，即2x＋x≥30，∴x≥10，∴BC≥203，1 2BC·AH＝12×203×30＝3003(平方米)．∴当BC＝203时，△ABC的面积最小，最小值为。

中考数学专题探究-----面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。

但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。

因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a aS ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：图12（1）图12（2）图12（3）2、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边A B 上沿A B 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作A B 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形M N Q P 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形M N Q P 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形M N Q P的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 解：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2A D =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形M N Q P 是矩形， 即32A M =时，四边形M N Q P 是矩形，32t ∴=秒时，四边形M N Q P 是矩形．tan 60PM AM = °=，M N Q P S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·11)2t ⎤=++⎦2=+))4<≤aC PQBA M NC PQBA MN2°当12t ≤≤时1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·1)12t ⎤=+-⎦·= 3°当23t <<时，1()2M N Q P S P M Q N M N =+四边形·1))2t t ⎤=-+-⎦=+3、（2010年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0）CPQA M N CPQA MN（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所求抛物线关系式为：213442y x x =-++．（3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ．∴AG F EO F BEC EFG B ABC O S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OAm m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（2882+-=m m （ 0＜m ＜4）∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． （4）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ．4、如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、QO MN HA CE FDB↑→ －8(－6，－4)x y运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式． 解：（1）6． （2）8．（3）①当03x <≤时，2111sin 6022222AP Q y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ②当3x <≤6时，1222222121sin 6021(12-2)22A P Q y S A P P Q A P C Q x x ==︒=△= ····=2.2x -+③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E C E C Q x Q E C B C O P EO Q ∴===-∴ ∥△∽△（第28题）Q 1B C D Q 2 P 3 Q 3 EP 2 P 1 O3361,212211(212),33C P O C x O EEQ x O C C E x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQ P AC P C O P y S S C P AC O C C P ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-．（解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3O G C Q ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.A CB ACD O F O G ∠=∠∴=又33,6,2122(6),C P x C Q x x =-=-=-3312C Q P C O Q S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)322(6).6C O P C P Q S S C Q P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△···又331sin 602AC P S C P AC =△··°1(6)6226).2x x =-⨯⨯=-P 3OABC DQ 3G H F3A O P y S ∴=△3326)6)26AC P O C P S S x x =-=---△△262x x =-+-考点2、面积最值问题典型例题：1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值解．（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅(2)当时，如图104≤≤tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR ∆∽BQM ∆∽CRN ∆图11得2)324(-=∆∆t S S PQRBQM2)326(t S S PQRCRN -=∆∆22)4(43)324(-=-=∆∆t S t S PQR BQM ,22)6(43)326(t S t S PQR CRN -=-=∆∆S ＝3255)-(t 23t)-(6434t 4333222+-=---）（当t 取5时，最大值为325当t 取6时，有最大值32 综上所述，最大值为325二、名题精练：1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(0--，、，，点B在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段P F（3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a a b c =++≠，、、为常数，由抛物线的对称性知B 点坐标为(30)，，依题意得：093a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩（第25题）解得：33a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=⎪⎩∴所求二次函数的解析式为233y x x =--（2）P 点的横坐标为m ，P ∴点的纵坐标为233m m --设直线BC 的解析式为(0)y kx b k k b =+≠，、是常数，依题意，得30k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩3k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 故直线BC的解析式为3y x =-∴点F的坐标为3m ⎛-⎝⎭2(03)3PF m ∴=-+<<（3）PBC △的面积12C P F B P F S S S P F B O =+=△△·=2213323228m ⎛⎫⎫⨯-+⨯=--+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当32m =时，PBC △的最大面积为8把32m =代入233y m m =--4y =-∴点P的坐标为324⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，（第25题）2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ，已知OA=2 ∠AOB=30°,D 、E 两点同时从原点O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动，E 点以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动，设D 、E 两点运动的时间为t 秒。