2 2 2
题型三
判断三角形的形状
【例3】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos A· sin B=sin C,试确定△ABC的形状. 分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正 弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的 恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类 型.
分析 （1）由b2+c2-a2+bc=0的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求 出A的值. （2）由a=3及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可 求出bc的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的. 解
b 2 c 2 - a 2 - bc 1 (1)∵ cos A 2bc 2bc 2
学后反思 在解决三角形问题中，面积公式S= 2 absin 1 C= 2 bcsin A= 1 acsin B最常用，因为公式中既有边也 2 有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
1
举一反三
2. (2010· 江阳模拟）在△ABC中，a=4,A=30°,b= 4 3 ,则 S△ABC= .
解析： 根据a b c -2bccos A得c=4或c=8. 1 ∵S= 2 bcsin A,∴S△ABC=8 3 或4 3 . 答案： 8 3 或4 3
方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,
2bc 6- 2 当 a 3, b 2 , c 时, 2
即 ( 2 )2 ( 3)2 c2 - 2 3ccos 45 6 2 6 2 2 c 或c 整理得 c - 6c 1 0,解得, 2 2 2 2 2 b c -a . cos A ①
学后反思
………… 11′
3 sin C 1 4 2 3 sin C 2
………… 14′
(1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数 在（0，π）上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视.
举一反三
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、 2 2 b 2 c bc a 和 c 1 b、c满足条件 3,求A和tan B的值.
2
2 Байду номын сангаас , 4 2 6
.
11. （2009·4 北京）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， B= ,cos A= 5 ,b= 3 . 3 (1)求sin C的值； （2）求△ABC的面积.
4 解析: (1)∵角A,B,C为△ABC的内角，且B= 3 ，cos A= 5 , 2 3 ∴C= 3 -A,sin2A= 5 , 1 3 3 4 3 ∴sin C=sin( 3 -A)= 2 cos A+ 2 sin A= 10 . 3 3 4 3
bsin C 2sin 75 c sin B sin 45
6 2 . 2
(2)当A=120°时，C=180°-A-B=15°,
bsin C 2sin 15 6- 2 所以 c . sin B sin 45 2
故A=60°,C=75°, c
6 2 6 2 或A=120°,C=15°, c 2 2
由①可得cos A -
1 ,故A=120°; 2
当a 3, b 2 , c
1 由①可得 cos A - ,故A=60°, 2
故A=60°,C=75°, c
6 2 时， 2
6 2 或 2 A=120°,C=15°, c 6 2 2
学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个
(2)由(1)知sin A= 5 ,sin C= 10 . 又∵B= ,b= 3, 3 6 ∴在△ABC中，由正弦定理得a=bsin Asin B= . 5 ∴△ABC的面积为 S= 1 ab sin C 1 6 3 3 4 3 36 9 3 .
2 2 5 10 50
12. (2009· 浙江)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, A 2 5 且满足cos ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC的面积； （2）若b+c=6,求a的值.
举一反三
3. 在△ABC中，a2tan B=b2tan A,则三角形的形状是____. 解析： 由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.∵A,B∈(0,π),∴A=B或A+B=90°. 答案： 等腰三角形或直角三角形 题型四 正、余弦定理的综合应用 例4. (14分) (2008· 哈尔滨模拟）△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2a2+bc=0. (1)求角A的大小； (2)若a=3,求bc的最大值； asin(30 - C) (3)求 的值. b-c
,解得cot B=2,从而tan B=
易错警示
【例】(2009· 济南高三统考改编)在锐角三角形ABC中，若 AB ∠C=2∠B,则 的取值范围是 .
AC
错解 由正弦定理易得 B,由于三角形 为锐角三角形，故0°＜C=2B＜90°,得B∈(0°,45°). AB 故 AC =2cos B∈(2,2). 错解分析 思维不严密导致错误.显然0°＜C=2B＜90°是 三角形为锐角三角形的必要不充分条件,还应有B+C＞90°. 正解 =2cos B.由锐角三角形ABC， 2 C=2B两个条件可得 ＜B＜ , ＜cos B＜ ,2 ＜ 6 2 4 3 3 2 . 2cos B＜ 2 即ABAC的取值范围是( 2 , 3 ).
数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，
则对边进行分类讨论.
举一反三
1. 已知在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值. 解析: ∵a>c>b,∴角A为最大角.
b2 c2 - a 2 1 由余弦定理,得 cos A - ,∴A=120° 2bc 2
(1) S
3. 余弦定理
三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两倍 ,即
a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.
余弦定理也可以写成如下形式：
b2 c2 - a 2 a 2 c2 - b2 a 2 b2 - c2 cos A , cos B , cos C . 2bc 2ac 2ab
应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A. 解 方法一:∵B=45°<90°,且b<a,∴此题有两解. asin B 3 sin 45 3 由正弦定理，得 sin A , b 2 2 ∴A=60°或A=120°. (1)当A=60°时，C=180°-A-B=75°,所以
b 2
解析：由已知条件，应用余弦定理得cos A= ,故A=60°. 在△ABC中，C=180°-A-B=120°-B. 由已知条件，应用正弦定理得
1 . 2
b2 c a 2 1 2bc 2
2
1 c sin C sin 120 B sin120 cos B cos120 sin B 3 1 3 cot B 2 b sin B sin B sin B 2 2
∴sin A= 3 ,再根据正弦定理，得
2
a c sin A sin C
∴ sin C c sin A 5 3 5 3
a
7
2
14
题型二 三角形的面积问题 【例2】(2008· 辽宁)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别 是a,b,c，已知c=2,C= .若△ABC的面积等于 3 ,求a,b.
解 ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 2 ∴ a 2 b 2 c =ab, 2 2 2 ∴cos C= a b c ab 1 , 2ab 2 ∵0＜C＜π, 2ab ∴C= . 3 又∵A+B+C=π, 2 ∴A+B= 3 . ∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin(π-A-B), ∴2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0, 2 ∴A=B= 3 2 , ∴A=B=C= 3 . ∴三角形ABC为等边三角形. 学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是 化角为边，二是化边为角. （2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式， 则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C 2 b2 c 2 sin 2A sin 2B sin 2C . a
AB sin C sin 2C AC sin B sin B
AB sin C sin 2C AC sin B sin B =2cos
考点演练
10. 在△ABC中，sin A+cos A= 的面积.
2 2
,AC=2,AB=3,求△ABC
解析: ∵sin A+cos A= 2 cos(A-45°)= 2 , 1 ∴cos(A-45°)= . 2 又∵0°<A<180°, ∴A=105°,sin A=sin 105°=sin(45°+60°)= 1 1 3 2 6 S△ABC= 2 AC· sin A= 2 ×2×3× 4 AB· = 4
3
分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程， 然后解方程组得a,b.
