2019届高考理科数学考点专题闯关训练31

【考点剖析】1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π⎛⎤⎥⎝⎦，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质8.面面平行的判定与性质9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系判定判定(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______.如图， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≤ D. A CB α'∠≤【考点分类】考向一 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题： ①若，，且，则②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则其中正确的命题是（ ）A ． ②③B ． ①③C ． ①④D ． ③④ 【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化. 【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．2．求线面所成角时注意垂直关系的应用．3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD, AO∥平面B1CD1;（Ⅰ）证明：1（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.【热点预测】1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”的（）∥”是“αβA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．【【衡水金卷压轴卷】2018年模拟（二）】已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为（）A ．B ．C ．D ．3．【2018届广东省深圳市高考模拟二】已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A ． 若,,且,则B ． 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C ． 若，则D ． 若，则4．【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ． 若垂直于同一平面，则与平行 B ． 若平行于同一平面，则与平行C ． 若不平行，则在内不存在与平行的直线D ． 若不平行，则与不可能垂直于同一平面5.【2018届上海市大同中学三模】平面外有两条直线和，如果和在平面内的摄影分别是和，给出下列四个命题：①；②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．【2018届福建省莆田第九中学高考模拟】过正方体的顶点的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．14 B ．4C ．4D ．12 8.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 9.【2018届福建省罗源第一中学5月校考】设分别是正方体的棱上两点，且，给出下列四个命题：①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为；③平面；④直线与平面所成的角为.其中正确的命题为（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①②④D ． ①④10.【江苏省南通市2018年高考模拟】在正四棱锥中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．11.【2018届上海市浦东新区5月三模】在四棱锥中,底面是边长为的正方形，平面,.(1)求四棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的大小.12.【2018届宁夏银川一中四模】如图，四棱锥，，，，，M ，O 分别为CD 和AC 的中点，平面ABCD ．求证：平面平面PAC ；Ⅱ是否存在线段PM 上一点N ，使得平面PAB ，若存在，求的值，如果不存在，说明理由．13.如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB =2，1AD AF ==，60BAF ∠=，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.14.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．。

新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题31、 双曲线的方程及几何性质一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .题型一、双曲线的方程与渐近线的方程例1、【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a=±，所以b b a-=-，1b b a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．变式、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±， 不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.例2、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A．y =B．y =C．2y x =±D．2y x =±【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 变式、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.题型二、双曲线的离心率例3、【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()a y x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ，解得：53e = ，或1e =-（舍）故选：C变式2、【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =,因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120FB F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60ba=︒=，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 题型三、双曲线的综合问题例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>， ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±， 直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴其焦距为28c ===，当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8.故选：B ．变式1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PFB B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ． 1B ． 2C ． 4D ． 8【答案】A【解析】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．1、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c =，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 2、【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(0)，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，，(0 D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =， 所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．3、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±=【答案】C【解析】由题,离心率c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±=故选：C4、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ====,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a=上，则P P b y x a =⋅==1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为3±，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得M ，3(,2N ，所以||3MN ==，故选B ．6、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D ．【答案】D【解析】如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为e == 故选：D.7、【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=.故答案为：()3,08、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.9、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ==，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3221/ 21。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备导数的概念及运算（含解析）【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法那么;5.了解复合函数的求导法那么.会求某些简单函数的导数.〔理科〕【基础练习】1、设函数f 〔x 〕在x =x 0处可导,那么0lim →h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是仅与x 0有关而与h 无关。

2、一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为t t t t s 873741234-+-=，那么速度为零的时刻是1，2，4秒末。

3、)1()('23f x x x f +=,那么=)2('f 0。

4、),(,cos 1sin ππ-∈+=x x x y ,那么当2'=y 时,=x 32π±。

5、〔1〕a x x a x f =)(,那么=)1('f 2ln a a a +。

〔2〕〔理科〕设函数5()ln(23)f x x =-，那么f ′1()3＝15-。

6、两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P 〔1,2〕，且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

解：因为点P 〔1,2〕在曲线ax x y +=3上，1=∴a 函数ax x y +=3和c bx x y ++=2的导数分别为a x y +='23和b x y +='2，且在点P 处有公切数b a +⨯=+⨯∴12132，得b=2又由c +⨯+=12122，得1-=c【范例导析】例1、电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。

从时刻0t=开始的t 秒内，通过导体的电量〔单位：库仑〕可由公式223q t t =+表示。

（1） 求第5秒内时的电流强度；（2） 什么时刻电流强度达到63安培〔即库仑/秒〕？分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。

专题二 三角函数与平面向量专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－452．已知向量a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，则k ＝2是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位4．已知|a |＝4，|b |＝1，且〈a ，b 〉＝23π，当|a ＋x b |取得最小值时，则实数x 的值为( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－25．已知sin α－cos α＝32，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.34 B.54 C ．－34 D ．－546．(2018·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a2C.34a 2D.32a 27．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且∫2π30f (x )d x ＝0，则函数f (x )图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π68．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝( )A.32＋36 B.32－36 C.26＋16D.26－169．已知函数f (x )＝2cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且f (0)＝1，f ′(0)>0，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π]上的最小值是( ) A ．－ 3 B ．－1 C. 3D ．110．(2018·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20B ．15C ．9D ．611．(2018·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5B. 5C ．2D ．112．△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量FE →在FD →方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3D ．－2 3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间[0，2π]上恰有三个根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.14．(2018·南京模拟)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 15．(2018·潍坊二模)已知G 为△ABC 的重心，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n ＝________．16．(2018·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北测一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2018·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－ 2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．18．(本小题满分12分)(2018·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n, 求tan x 的值．(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数g (x )＝f (x )f ′(x )－f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．20．(本小题满分12分)(2018·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．21．(本小题满分12分)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，且点P (0，3)是y ＝f ′(x )的图象与y 轴的交点，点Q 、R 为y ＝f ′(x )的图象与x 轴的两个交点，△ABC 的内角满足f (A )＝1，cos B ＝45.(1)若|QR |＝π2，且0<φ<π2，求sin C 的值； (2)求曲线段QSR ︵与x 轴所围成的区域的面积．22．(本小题满分12分)(2018·济南调研)已知m ＝(3sin(2π－x )，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫32π－x ，cos （π＋x ），f (x )＝m·n .(1)求y ＝f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若有f (B )＝12，b ＝7，sin A ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．专题过关·提升卷1．D [设P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D.]2．A [由a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，得b ＝(－1，k 2－2)． 又a ⊥b ⇔a ·b ＝－2＋k 2－2＝0，∴k ＝±2，故“k ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．]3．B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．] 4．C [∵|a |＝4，|b |＝1，〈a ，b 〉＝23π， ∴a 2＝16，b 2＝1，a ·b ＝|a ||b |·cos 23π＝－2.则|a ＋x b |2＝a 2＋x 2b 2＋2x a ·b ＝16＋x 2－4x ＝(x －2)2＋12≥12 当且仅当x ＝2时，|a ＋x b |2有最小值． ∴x ＝2时，|a ＋x b |取得最小值．]5．B [由sin α－cos α＝32，得1－sin 2α＝34，∴sin 2α＝14，因此2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋sin 2α＝54.]6．D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]7．A [∵∫2π30f (x )d x ＝∫2π30sin(x －φ)d x ＝0，∴－cos(x －φ)⎪⎪⎪2π30＝cos φ－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－φ＝0.则32cos φ－32sin φ＝0，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝0. ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3. ∴f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，由x －k π－π3＝k ′π＋π2， 得x ＝(k ＋k ′)π＋56π(k ，k ′∈Z )，取k ＋k ′＝0，得x ＝5π6.] 8．B [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，得sin θcos π3＋cos θsin π3＋sin θcos π3－cos θsin π3＝33. ∴2sin θcos π3＝33，则sin θ＝33. 又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝cos θcos π6－sin θsin π6＝32－36.] 9．B [由f (x )＝2cos(x ＋φ)，得f ′(x )＝－2sin(x ＋φ)． ∴f (0)＝2cos φ＝1，且f ′(0)＝－2sin φ>0， 因此cos φ＝12，且sin φ<0，所以φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝－π3， f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，根据图象平移变换，知g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －23π.又0≤x ≤π，知－2π3≤x －2π3≤π3.∴g (x )的最小值为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.]10．C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →， ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.] 11．B [由S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12，得sin B ＝22， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，则△ABC 为直角三角形，不合题设，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意．]12．A [如图所示，由OD →＋DE →＋DF →＝0，得DE →＋DF →＝DO →， ∴四边形DEOF 为平行四边形．又|OD→|＝|DF →|＝4，知△ODF 为等边三角形． 在△DEF 中，易知∠EDF ＝120°，∠EFD ＝30°，由正弦定理，得EF sin 120°＝DE sin 30°，则EF ＝4 3.故FE →在向量FD →方向上的投影为|EF →|cos 30°＝6.]13.2π3 [令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，作出函数图象如图所示，要使函数f (x )的图象与y ＝a 有三个交点，则a ＝3且必有一根x 1＝0，另外两根x 2，x 3关于直线x ＝76π对称，则x 2＋x 3＝73π，故x 1＋x 2＋x 3＝7π3.]14.π6 [根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，∴23π＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z . 又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6.]15．3 [由G 为重心，得AG →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋b 3，GQ →＝AQ →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b －13a ，又P 、G 、Q 三点共线，∴13－m －13＝13n －13，即m ＋n ＝3mn .因此1m ＋1n ＝3.]16．1006 [如图所示，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°.由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，∴BC ＝600×sin 30°sin 45°＝300 2. 在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.] 17．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.18．解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ， 所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4. 因此x －π4＝π6，故x ＝5π12.19．解 (1)∵f (x )＝sin x －cos x ，且g (x )＝f (x )·f ′(x )－f 2(x )， ∴f ′(x )＝cos x ＋sin x ，因此g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )－(sin x －cos x )2 ＝sin 2x －cos 2x －(1－sin 2x )＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1.故函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为2－1. (2)由f (x )＝2f ′(x )，得sin x －cos x ＝2(cos x ＋sin x )，得tan x ＝－3， 1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2xcos 2x －sin x cos x＝2tan 2x ＋11－tan x＝194. 20．解 (1)由A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C . 所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，得B ＋C ＝34π.∴2B ＝32π－2C ，则cos 2B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝－sin 2C . 从而sin 2C ＝sin 2C ，即2sin C cos C ＝sin 2C . 又sin C ≠0，故tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理，c ＝b sin C sin B ＝223b .① 又S △ABC ＝12bc sin A ＝3，A ＝π4， 所以bc ＝62，② 联立①，②可求b ＝3.21．解 (1)由f ′(x )＝ω·cos(ωx ＋φ)的图象知． |QR |＝T 2＝πω＝π2，∴ω＝2.∵点P 的坐标为(0，3)，且0<φ<π2， ∴2cos φ＝3，则φ＝π6.因此f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1，又0<A <π，得π6<2A ＋π6<13π6， 所以2A ＋π6＝π2，则A ＝π6，由cos B ＝45，且0<B <π，得sin B ＝35， 因此sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝12×45＋32×35＝4＋3310.(2)设曲线段QSR ︵与x 轴围成区域面积为S ，设Q (a ，0)，R (c ，0) 则cos(aω＋φ)＝0，cos(cω＋φ)＝0所以S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛a c f ′（x ）d x ＝||f （x ）|ca ＝|sin(cω＋φ)－sin(aω＋φ)|＝2.22．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin(2π－x )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x ＋cos x ·cos(π＋x )＝3sin x cos x －cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z . 得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ， 令2x －π6＝k π，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，－12，k ∈Z . (2)由f (B )＝12，得f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6－12＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，又0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， 则2B －π6＝π2，所以B ＝π3.由正弦定理得：sin A ＋sin C ＝a ＋cb sin B ， 即13314＝a ＋c 7×32， 所以a ＋c ＝13.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得：b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 则49＝169－3ac ，∴ac ＝40.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×40×32＝10 3.。

小题训练多抢分(三)时间：50分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604089)已知集合A ＝{}x | 2－3x －2x 2>0，B ＝{}x | y ＝ln ()x 2－1，则A ∩B ＝( )A.()－2，－1B.()－∞，－2∪()1，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－1，12 D.()－2，－1∪()1，＋∞ 2．(2017·黄山二模)若a ，b 为实数，且(a ＋i)i ＝b ＋2i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝2，b ＝－1 3．(导学号：50604090)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为(±1,0)，且过点⎝⎛⎭⎫62，1，则该椭圆长轴长为( )A ．2 3B ．2 2 C. 6 D. 35．(导学号：50604091)(2017·四平质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝5，a 7＝1，则a 1＝( )A ．－12 B ．－1C.12D.146．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π87．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]8．(导学号：50604092)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若判断框内是n ≤6，则输出的S 为( )A.34B.2524C.1112D.56 9．(2017·通化调研)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8，3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3，4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．r 2＜0＜r 1C ．0＜r 2＜r 1D ．r 2＝r 110．(2017·朔州质检)如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )11．(导学号：50604093)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为(单位：m 2)( )A ．(11＋42)πB ．(12＋42)πC ．(13＋42)πD ．(14＋42)π12．如图所示，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以O 为圆心，以||OF 1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y 轴左侧交于A ，B 两点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C ．2＋ 3 D.3＋1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(导学号：50604094)(2018·邯郸摸底考试)向量a ＝(1，－2)与b ＝(3，t )的夹角为θ，c ＝(1，－3)，b ⊥c ，则 cos θ＝________.14．设n ＝20π⎰10sin x d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫x －13x n 展开式中的常数项为________．(用数字作答) 15．(导学号：50604095)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n(n ∈N＋)，则S 2 014＝________.16．(导学号：50604096)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，若x ＞0，f (x )≤k －1x 恒成立，则k 的取值范围________．小题训练多抢分(三)1．A 集合A ＝{}x | 2－3x －2x 2>0 ＝{}x | 2x 2＋3x －2<0 ＝{}x | ()2x －1()x ＋2<0 ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <12； 又B ＝{}x | y ＝ln ()x 2－1＝{}x | x <－1或x >1，故A ∩B ＝()－2，－1. 2．D －1＋a i ＝b ＋2i ，a ＝2，b ＝－1，选D.3．A 若直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则圆心到直线距离d ＝11＋k 2，|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2，若k ＝1，则|AB |＝212＝2，d ＝11＋1＝22，则△OAB 的面积为12×2×22＝12成立，即充分性成立．若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝12×2×|k |1＋k 2＝|k |1＋k 2＝12，即k 2＋1＝2|k |，即k 2－2|k |＋1＝0， 则(|k |－1)2＝0，即|k |＝1，解得k ＝±1，则k ＝1不成立，即必要性不成立．故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．4．A 2a ＝⎝⎛⎭⎫62＋12＋(1－0)2＋⎝⎛⎭⎫62－12＋(1－0)2＝72＋6＋72－6， 4a 2＝72＋6＋2494－6＋72－6＝12，2a ＝2 3.5．B ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝1，10a 1＋10×92d ＝5，⇒a 1＝－1.6．D 以菱形的4个顶点为圆心，以1为半径作圆，则在菱形ABCD 内，到菱形的四个顶点的距离大于1的点在菱形内且在4个圆弧外的区域内．根据题意，菱形的面积为S 1＝2×12×4×4×sin30°＝8,4个圆弧的面积和为S 2＝π，所以所求的概率为P ＝S 2S 1＝8－π8＝1－π8.7．C 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，的平面区域如图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式，当x ＝1，y ＝1时，OA →·OM →＝－1×1＋1×1＝0，当x ＝1，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×1＋1×2＝1，当x ＝0，y ＝2时，OA →·OM →＝－1×0＋1×2＝2， 故OA →·OM →和取值范围为[0,2]．8．C 输出结果是12＋14＋16＝1112.9．B ∵变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，X ＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋135＝11.72，Y ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，∴这组数据的相关系数是r 1＝7.219.172＝0.3755，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U ＝5＋4＋3＋2＋15＝3，∴这组数据的相关系数是r 2＝－0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零．10．C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．11．B 由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体， 圆柱的底面直径为2，故底面周长为2π 圆柱的高为4，故圆柱的侧面积为8π，圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，底面面积S ＝4π， 圆锥的高h ＝2，故母线长为22， 故圆锥的侧面积为：42π，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和， 故组合体的表面积S ＝(12＋42)π.12．A 直线OA 方程为y ＝－3x ，∴ba＝3，b ＝3a ，c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋3a 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴e ＝ca＝2.13.210 ∵b ⊥c ，∴t ＝1，∴cos θ＝3－25×10＝210. 14．210 ∵n ＝20π⎰10sin x d x ＝－10cos x ＝－10⎝⎛⎭⎫cos π2－cos 0＝10，∴⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 10展开式中，通项T r ＋1＝C r 10·(x)10－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·C r 10·x 55-6r， 令5－5r6＝0，解得r ＝6.∴展开式中的常数项为T 6＋1＝(－1)6·C 10－610＝C 410＝210. 15．2·31 007－2 由a n a n ＋1＝3n ，得a n ＋1a n ＋2＝3n ＋1，两式作商得：a n ＋2a n＝3，又a 1＝1，∴a 2＝3，则数列{a n }的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列， ∴S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014) ＝1×(1－31 007)1－3＋3×(1－31 007)1－3＝31 007－12＋31 008－32＝2·31 007－2.16.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 作出函数f(x)的图象如图，则f(1)＝1， f(3)＝12f(1)＝12，f(5)＝12f(3)＝14f(1)＝14， f(7)＝12f(5)＝12×14＝18，要使x ＞0时，f(x)≤k －1x恒成立，则f(1)≤k －1，且f(3)≤k －13，f(5)≤k －15，f(7)≤k －17，…，即1≤k －1，且12≤k －13，14≤k －15，18≤k －17，…，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥1，k －1≥32，k －1≥54，k －1≥78，解得k ≥52.即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫52，＋∞.。

1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：选B.根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y ||x |<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的()解析：选C.|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．3．(2018·高考湖北卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选C.根据约束条件画出可行域如图所示，设z ＝2x ＋y ， 即y ＝－2x ＋z ，作直线y ＝－2x 并向右上方平移，显然，当直线过x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点M (3，1)时，2x ＋y 取得最大值，即z max ＝6＋1＝7.4．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5x －y ≤2x ≤6x ∈N ，y ∈N，则该校招聘的教师最多为( )A ．10名B ．11名C ．12名D ．13名解析：选D.设z ＝x ＋y ，作出可行域如图阴影部分中的整点，可知当直线z ＝x ＋y 过A 点时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝62x －y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝7， 故z 的最大值为7＋6＝13.5．曲线f (x )＝e x(其中e 为自然对数的底数)在点(0，1)处的切线与直线y ＝－x ＋3和x 轴所围成的区域为D (包含边界)，点P (x ，y )为区域D 内的动点，则z ＝x －3y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．－1D ．1解析：选A ．∵f ′(x )＝e x，∴f ′(0)＝1，∴曲线f (x )＝e x 在点(0，1)处的切线方程为y ＝x ＋1，其与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝x －3y 过点A (3，0)时，目标函数z ＝x －3y 取得最大值3，故选A.6．满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≤02≤y ≤3的点(x ，y )构成的区域的面积为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．易知A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(1，2)，从而可知图中阴影部分的面积为12×2×1＝1.答案：17．(2018·高考湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.答案：－28．(2018·长春调研)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤1，y ≥－x ＋1，y ≤x ＋1，则y ＋1x的取值范围是________．解析：由题可知y ＋1x ＝y －（－1）x －0，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k 的取值范围，由图可知k ∈[1，5]．答案：[1，5]9．已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 10．(2018·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝m AB →＋n AC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解：(1)法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2.法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0， 则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2) ∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.1．(2018·东北三校联合模拟)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3，0}B ．{3，－1}C ．{0，1}D ．{－3，0，1}解析：选B. 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，所以a ＝－1或a ＝3.故选B.2．(2018·东北三校联考)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0x －y －2≤0x －3y ＋4≥0所表示的平面区域为M .若M 与圆(x －4)2＋(y －1)2＝a (a >0)至少有两个公共点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，5 B ．(1，5) C.⎝⎛⎦⎤12，5D ．(1，5]解析：选C.如图，若使以(4，1)为圆心的圆与阴影部分区域至少有两个交点，结合图形，当圆与直线x －y －2＝0相切时，恰有一个公共点，此时a ＝⎝⎛⎭⎫122＝12，当圆的半径增大到恰好过点A (2，2)时，圆与阴影部分至少有两个公共点，此时a ＝5，故实数a 的取值范围是12<a≤5.3．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0，1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值，而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．答案：64．(2018·宁德质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －2y ≥－1x ＋y ≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m＝(1，1)，n ＝(2，1)．若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为________．解析：设P 的坐标为(x ，y )，因为OP →＝λm ＋μn ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μy ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3，0)时，μ取得最大值为3－0＝3.答案：35．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．6．(选做题)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元．依据题意，得目标函数为z ＝300x ＋200y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤504x ≤1602x ＋5y ≤200y ≥0x ≥0.欲求目标函数z ＝300x ＋200y ＝100(3x ＋2y )的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点A (40，0)，B (40，10)，C (503，1003)，D (0，40)．作直线3x ＋2y ＝0，当移动该直线过点B (40，10)时，3x ＋2y 取得最大值，则z ＝300x ＋200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)．故z max ＝300×40＋200×10＝14 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元．。

题组层级快练(十二)1．函数y ＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )答案 D2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )答案 B解析 方法一：y ＝1－1x －1的图像可以看成由y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的． 方法二：由于x ≠1，故排除C ，D.又函数在(－∞，1)及(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．(2018·陕西宝鸡质检)函数f(x)＝lnx －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x)＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0，1)时，f ′(x)>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f(1)＝－12<0，故选B.4．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.5．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图像可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x ＞b 时，f(x)＞0，由此可以排除A ，B 选项．又当x ≤b 时，f(x)≤0，从而可以排除D.故选择C.6．(2018·《高考调研》原创题)已知函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像如图所示，给出下列四个命题：p 1：函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)； p 2：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(－x)；p 3：函数y ＝f(x)满足f(x)＝f(－x)； p 4：函数y ＝f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 4答案 C解析 从函数图像上可以看出函数的图像关于原点对称，所以是奇函数，函数y ＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，p 1为真命题，p 3为假命题；从函数图像上可以看出函数的周期为4，由p 2：f(x ＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x ＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以p 2为真命题，p 4为假命题，选择C.7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x<0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )答案 B解析 当x<0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x<0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.8．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x·sinx ，②y ＝x·cosx ，③y ＝x·|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x·sinx 在定义域上是偶函数，其图像关于y 轴对称；②y ＝x·cosx 在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称；③y ＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图像关于原点对称，且当x>0时，其函数值y ≥0；④y ＝x·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.9．(2018·北京海淀一模)下列函数f(x)图像中，满足f(14)>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D解析 因为f(14)>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A ，B.又C 中，f(14)<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f(14)<f(3)，所以不选C ，选D. 10．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )答案 A解析 易探索知x ＝2和4是函数的两个零点，故排除B ，C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D ，选A. 11．函数f(x)＝4x －12x 的图像关于( ) A ．原点对称 B ．直线y ＝x 对称 C ．直线y ＝－x 对称 D ．y 轴对称答案 A解析 由题意可知，函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝4x －12x ＝2x －2－x，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.12．(2018·福建)若函数y ＝log a x(a ＞0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析因为函数y＝log a x过点(3，1)，所以1＝log a3，解得a＝3，所以y＝3－x不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B. 13．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图像如下图所示，则函数f(|x|)的图像大致是()答案 B14．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝(12)x(x ≤0)，若g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________． 答案 g(x)＝2|x|解析 画出函数f(x)＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g(x)的图像，由图可知：函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|.15．若关于x 的方程|x|＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝|x|和函数y ＝－x ＋a 的图像，即可知当a>0时，两函数有且只有一个交点，即|x|＝a －x 只有一个解．16．(2018·安徽文)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，则a 的值为________． 答案 －12解析 函数y ＝|x －a|－1的大致图像如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图像只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.17．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．答案 (1)增区间[1，2]，[3，＋∞) 减区间(－∞，1]，[2，3] (2)[－1，－34] 解析f(x)＝⎩⎨⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）.作出图像如图所示．(1)递增区间为[1，2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图． 则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．函数y ＝lg|x|x 的图像大致是( )答案 D2．设a>1，对于实数x ，y 满足：|x|－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x|，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1a ）x ，x ≥0，（1a ）－x ，x<0.∵a>1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0，1)，且函数为偶函数．故图像关于y 轴对称．故选B. 3．函数y ＝lnxx 的图像大致是( )答案 A解析函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，令y＝0，得x＝1.所以函数y＝lnxx只有一个零点．当0<x<1时，lnx<0，所以y＝lnxx<0；当x>1时，lnx>0，所以y＝lnx x>0.结合图中四个选项，可知应选A.4．(2018·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则方程y＝f(2－x)的曲线是()答案 C解析先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像，再向右平移两个单位，即可得到y＝f(－(x－2))＝f(2－x)的图像．所以答案为C.注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式子变化．5．当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图像是( )答案 C解析 当0<a<1时，y ＝a －x 为增函数且过点(0，1)，y ＝log a x 为减函数且过点(1，0)，故应选C.6．(2018·东北三校联考)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，43] C ．[0，32) D ．[1，2)答案 D解析 方法一：当2－x ≥1，即x ≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x<2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1，2)上单调递增，故选D.方法二：f(x)＝|ln(2－x)|的图像如图所示．由图像可得，函数f(x)的区间[1，2)上为增函数，故选D.7．(2018·华东师大附中调研)若函数y＝f(x)的图像上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是()A．f(x)＝e x－1 B．f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝sinx D．f(x)＝tanx答案 C解析不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示，函数f(x)具有性质S，则函数图像必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝e x－1的图像分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图像分布在区域②和④内，f(x)＝sinx的图像分布在区域①和②内，f(x)＝tanx在每个区域都有图像，故选C.8．函数y＝5x与函数y＝－15x的图像关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案 C9．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图像大致是()答案 B10．(2018·石家庄二中月考)函数y ＝e lnx －|x －1|的图像大致是( )答案 D11．函数y ＝x2－2sinx 的图像大致是( )答案 C解析 易知函数y ＝x2－2sinx 为奇函数，排除A ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除D ；令y ′＝12－2cosx ＝0，得cosx ＝14，可知y ′有无穷多个零点，即f(x)有无穷多个极值点，排除B ，选C.12．(2018·山东)函数y ＝cos6x2x －2－x的图像大致为( )答案 D解析 令f(x)＝cos6x2x －2－x ，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而f(－x)＝cos （－6x ）2－x －2x ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A 项．又因为当x ∈(0，16)时，cos6x>0，2x －2－x >0，即f(x)>0，故排除B 项，而f(x)＝0有无数个根，所以排除C 项，D 项正确．13．(2018·新课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f(x)，则f(x)的图像大致为( )答案 B解析 由题意可得f(π2)＝22，f(π4)＝5＋1⇒f(π2)<f(π4)，由此可排除C ，D 项，当3π4≤x ≤π时f(x)＝－tanx ＋tan 2x ＋4，可知x ∈[3π4，π]时图像不是线段，可排除A 项，故选B 项．14．(2018·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (0，1)∪(1，4)解析y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x>1，－x －1，－1<x<1，函数y ＝kx －2恒过定点M(0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x>1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0，1)∪(1，4)，两函数图像恰有两个交点．。

1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( )A ．5B ．9C ．10D ．25解析：选B.X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13D.23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，则成功率为2p .由p＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.3．设随机变量Y则“32≤Y ≤72”的概率为( )A.14B.12C.34D.23 解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝⎛⎭⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34. 4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k 8C 1015，故k ＝4，故选C.5．则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2 解析：选C.由随机变量η的分布列知：P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8，则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1＜x 2， 则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________．解析：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．答案：1－(α＋β)7．若离散型随机变量X则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 138．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴X 的分布列为答案：9.(2018·长沙调研)试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 解：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为10.(2018·高考重庆卷节选)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数字的中位数) 解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1，2，3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为1．在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的概率分布．解：(1)该顾客中奖的概率p ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60.P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故X 的概率分布如下表所示：2.2018年8月22日是邓小平同志110周年诞辰，为纪念邓小平同志110周年诞辰，促进广安乃至四川旅游业进一步发展，国家旅游局把2018年“5.19”中国旅游日主会场放在四川广安．为迎接今年旅游日的到来，某旅行社组织了14人参加“四川旅游常识”知识竞赛，每人回答3根据上表信息解答以下问题：(1)从14人中任选3人，求3人答对题目个数之和为6的概率；(2)从14人中任选2人，用X 表示这2人答对题目个数之和，求随机变量X 的分布列．解：(1)记“3人答对题目个数之和为6”为事件A ，则P (A )＝C 35＋C 12C 15C 14＋C 13C 24C 314＝10＋40＋1814×26＝1791， 即3人答对题目个数之和为6的概率为1791.(2)依题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 则P (X ＝0)＝C 23C 214＝37×13＝391，P (X ＝1)C 13C 12C 214＝67×13＝691，P (X ＝2)＝C 22＋C 13C 15C 214＝167×13＝1691， P (X ＝3)＝C 13C 14＋C 12C 15C 214＝227×13＝2291， P (X ＝4)＝C 25＋C 12C 14C 214＝187×13＝1891， P (X ＝5)＝C 15C 14C 214＝207×13＝2091，P (X ＝6)＝C 24C 214＝67×13＝691.3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量ξ的概率分布； (3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ，则P (A )＝P (ξ＝1或ξ＝3或ξ＝5)． 因为事件“ξ＝1”“ξ＝3”“ξ＝5”两两互斥， 所以P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。