八年级数学上册124分式方程巧解分式方程素材冀教版!

12.4分式方程教学目标【知识与能力】1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.【过程与方法】1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.【情感态度价值观】通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.教学重难点【教学重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【教学难点】理解解分式方程时可能无解的原因.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2km,才能到学校,路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?[设计意图]先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:2x +x x+3=1;猪八戒:2x +2x+3=1;沙和尚:21x +1x+3+x -2x+3=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗? 同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?[设计意图] 创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.二、新知构建：探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建立方程. 〔解析〕 设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v )千米/时,逆流航行的速度为(30-v )千米/时,顺流航行90千米所用的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米所用的时间为6030-v 小时.可列方程9030+v =6030-v .教师提问:刚才我们所接触的方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1,9030+v =6030-v 与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.[知识拓展] (1)理解分式方程要明确两点:①是方程;②分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程38-21-x =9×2x 和38-29x +2x =1呢? 在同学讨论的基础上分析:由于我们比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.[设计意图] 怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程38-21-x =9×2x ,38-29x +2x =1有什么特点? 学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】 判断下列各式哪个是分式方程.(1)x +y =5; (2)x+25=2y -z 3; (3)1x ; (4)y x+5; (5)1x +2x =5. 根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法学生自主探索,并尝试选分式方程求解【课件6】解方程1+x 5+x =12.解:两边同乘最简公分母2(x +5)得:2(x +1)=5+x ,2x +2=5+x ,x =3.检验:把x =3代入原方程左边=1+35+3=12,右边=12,左边=右边.所以x =3是原分式方程的解. 学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】 如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v )(30-v ),得90(30-v )=60(30+v ),解得v =6.检验:将v =6代入分式方程中,左边=52,右边=52,左边=右边,因此v =6是原分式方程的解. 师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.探究二:分式方程的增根【课件8】 解分式方程x+1x -1=x -31-x +1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x +1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x =1.师:x =1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:2x+2-2-x2+x =3.解:方程两边同乘x +2,得2-(2-x )=3(x +2),解这个整式方程,得x =-3,经检验,x =-3是原分式方程的根.[知识拓展] (1)检验的方法有两种:①把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.②把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:①若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;②将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;③解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;④解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.三、课堂小结：解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.[设计意图] 学生通过回顾,自己总结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.。

初二数学 分式方程的应用 冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．2. 在列方程的过程中体会题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．二. 知识要点：1. 列分式方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出表示问题全部含义的等量关系．（2）设未知数⎩⎪⎨⎪⎧直接设未知数，问什么设什么间接设未知数 ，用含未知量的代数式表示有关的未知量．（3）找相等关系，列出方程． （4）解方程：（其过程可以省略）（5）检验：检验时既要检验所求得的值是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即“双重检验”．（6）写出答案；不要忘记单位名称． 2. 列方程解应用题的常用方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系．（2）线示法：用直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系，列出方程．（3）列表法：把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系． （4）图示法：利用图示表示应用题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意． 3. 列分式方程解应用题常见的几个应用问题 （1）行程问题行程问题中的三量：速度、时间、路程中路程大多是已知的，所以设时间为未知数时，往往根据速度的数量关系列方程，如果设速度为未知数，往往根据时间的数量关系列方程．（2）工程问题工程问题中的数量有工作效率、工作时间和工作量，在用分式方程解应用题时，往往工作量是已知的，如果设工作效率为未知数，那么根据工作时间的数量关系列方程，反之也可以工作时间为未知数根据工作效率列方程．（3）数字问题①三个连续整数分别表示为x －1，x ，x ＋1； ②三个连续偶数分别表示为2x －2，2x ，2x ＋2； ③三个连续奇数分别表示为2x －3，2x －1，2x ＋1；④n 位数a 1a 2a 3…a n ＝a 1×10n －1＋a 2×10n －2＋…＋a n －1×10＋a n ． （4）利润问题利润问题常用的数量关系是利润＝售价－进价，利润率＝利润进价×100%．而用分式方程来解利润问题常常根据利润率之间的数量关系列方程．（5）几何图形问题解决这类问题的关键是要掌握各种几何图形的面积以及体积公式．三. 重点难点：重点是列分式方程解应用题；难点是审题，找准题目中的等量关系．四. 考点分析：列方程解应用题是中考的热点，题型以解答题为主．今后的中考题中，列分式方程解应用题仍然是必考内容，主要是考查可化为一元一次方程的分式方程的应用题．【典型例题】例1. 汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A 地先步行4千米，然后乘汽车16千米到达B 地，又骑自行车返回A 地，往返所用时间相同，求此人步行速度．分析：若设步行速度为x 千米/时，则汽车的速度为（24＋x ）千米/时，题目中所用时间的数量关系是：去时步行4千米的时间加上乘汽车16千米的时间等于返回时骑自行车行驶20千米所用的时间．解：设步行速度为x 千米/时，根据题意，得 4x ＋16x ＋24＝20x ＋12， 解得x ＝8．经检验x ＝8是原方程的根，并且符合题意． 答：此人步行的速度是8千米/时．例2. 相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数． 分析：先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数． 解：设相邻的两个偶数分别为2x 和2x ＋2，由题意列方程，得 2x 2x ＋2＝2425， 解得x ＝24．经检验x ＝24是原方程的根，并且符合题意． 所以2x ＝48，2x ＋2＝50．所以夹在48和50之间的奇数为49． 答：所求的奇数为49．例3. 某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%，现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？分析：解此题的关键是准确利用代数式表示出每人每日的工作效率，等量关系是：原来每人的日工作效率×（1＋60%）＝现在每人的日工作效率．解：设原计划用x 天完成，则现在实际只用了（x －7）天，原来每人的日工作效率为150x，现在每人的日工作效率为140（x －7）．依题意列方程，得150x ×（1＋60%）＝140（x －7）．整理，得1.6×40（x －7）＝50x ． 所以x ＝32．经检验x ＝32是原方程的解． 答：原计划要工作32天．评析：列分式方程解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤相同：①弄清题意；②设定未知数；③根据题目中的等量关系列出分式方程；④解分式方程；⑤检验并写出问题的答案，检验时既要检验得到的根是不是分式方程的增根，又要检验是否符合实际．例4. 太华商场买进一批运动衣用了10000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？（只列方程）分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价． 解：设买进的这批运动衣有x 件．由题意得：100x －10000＝10000x×200评析：并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．例5. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 分析：（1（2）求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的（2000＋6300）元，所得结果就是全部售出后的盈利．解：（1）设第一批购进书包的单价是x 元，根据题意得： 2000x ·3＝6300x ＋4， 解得x ＝80（元）（2）200080×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）答：（1）第一批购进书包的单价是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．例6. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？l分析：，数量关系如下表：根据表格数据列出方程，求得甲、乙二人的速度，再求出时间，比较二人所用时间的长短便可以区分哪位同学获胜．解：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意得： （601.2x ＋6）＋60x＝50， 解得x ＝2.5．经检验，x ＝2.5是方程的解，且符合题意．所以，甲同学所用的时间为：601.2x ＋6＝26（秒），乙同学所用的时间为：60x＝24（秒）．因为26＞24， 所以乙同学获胜．评析：注意正确理解题意，特别是甲所用的时间，他浪费了6秒钟，要重新开始，但这段时间要计算在内．【方法总结】1. 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根．一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意．原方程的增根和不符合题意的根都应舍去．2. 列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数．但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷．例：A ，B 两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，两车同时到达．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求大、小两辆汽车从A 地到达B 地各用的时间．如果设直接未知数，即设小汽车从A 地到B 地需用时间为x 小时，则大汽车从A 地到B 地需（x ＋5）小时，依题意，列方程135x ＋5∶135x ＝2∶5．解这个分式方程，运算较繁琐．如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A 地到B 地的时间．设大车的速度是x 千米/时，则小车的速度是52x 千米/时，列方程135x－1352.5x ＝5．运算就简便多了．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（ ）A. ＝15000xB. ＝15000x －3000C.＝15000x ＋3000D.9000x －3000＝15000x2. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A. 300x －2060＝3001.2xB. 300x －3001.2x ＝20C. 300x －300x ＋1.2x ＝2060D. 300x ＝3001.2x －2060*3. 某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土恰好能由1个人全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土及时运走且不窝工？解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土，则下列方程正确的有（ ）① 72－x x ＝13 ② 72－x ＝x 3 ③ x ＋3x ＝72 ④ x 72－x＝3A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二. 填空题1. 某食堂有煤m 吨，原计划每天烧煤a 吨，现在每天节约用煤b 吨，则可比原计划多烧__________天．2. 已知一个分数的分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为23．那么这个分数是__________．3. 当x ＝__________时，分式3x －2与2x ＋2的值相等．4. 已知2x －y 与x ＋y 的比是23，则xy＝__________．*5. 若在浓度为10%的a kg 盐水中加入食盐b kg ，则盐水的浓度为__________，若再蒸发掉b kg 水，则盐水的浓度为__________．*6. 上山和下山的路程均是s km ，某人上山的速度为a km /h ，下山的速度为b km /h ，则此人上山和下山的平均速度为__________km /h ．三. 解答题1. 购一年期债券，到期后本利共获2700元，如果债券年利率为12.5%，那么利息是多少元？2. 甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速．3. 某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用了10h，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？*4. 2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心，“一方有难，八方支援”．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区人民，在加工了300顶帐篷后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天加工多少顶帐篷？**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【试题答案】一. 选择题1. C2. A3. C二. 填空题1. m a －b －m a2. 133. －104. 545. 10a ＋100b a ＋b ％（提示：10%a ＋b a ＋b ＝10a ＋100b 100（a ＋b ）＝10a ＋100b 100（a ＋b ）×100%＝10a ＋100b a ＋b％）；10a ＋100ba ％ 6. 2ab a ＋b三. 解答题1. 设利息是x 元，则x2700－x＝12.5%．解得x ＝300．2. 设原来的平均车速为x km /h ，则360x －3601.5x ＝2．解得x ＝60．原来的平均车速为60km /h3. 设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则采用新工艺后每小时加工1.5x 个零件，列方程得1200x －12001.5x ＝10，解得x ＝40，1.5x ＝60．则采用新工艺前、后每小时分别加工零件40个，60个．4. 设原来每天加工x 顶帐篷，则1500x －（300x ＋12001.5x）＝4，解得x ＝100．5. （Ⅰ）10x ，2x ，102x （Ⅱ）根据题意，列方程得10x ＝102x ＋13，解这个方程，得x ＝15．则骑车同学的速度是15千米/时．。

冀教版数学八年级上册12.5《分式方程的应用》教学设计一. 教材分析《分式方程的应用》是冀教版数学八年级上册12.5节的内容，本节内容是在学生已经掌握了分式方程的基本知识的基础上进行授课的。

本节课主要让学生学会如何运用分式方程解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材中给出了两个应用实例，分别是“利率问题”和“面积问题”，通过这两个实例让学生了解分式方程在实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的基本知识，能够解简单的分式方程。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程进行求解。

三. 教学目标1.让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生学会如何将实际问题转化为分式方程，并运用分式方程进行求解。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为分式方程，并熟练运用分式方程进行求解。

五. 教学方法1.讲授法：讲解分式方程的基本知识，引导学生如何将实际问题转化为分式方程。

2.案例分析法：分析教材中的实例，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。

3.练习法：布置相应的练习题，让学生巩固所学知识。

4.小组讨论法：让学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含教材实例和相应练习题的PPT。

2.教学素材：准备一些与实际问题相关的素材，用于引导学生将实际问题转化为分式方程。

3.练习题：准备一些分式方程的应用题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示教材中的实例，引导学生思考：如何将实际问题转化为分式方程？2.呈现（10分钟）讲解分式方程的基本知识，让学生了解分式方程在实际问题中的应用。

通过讲解教材中的实例，让学生学会如何将实际问题转化为分式方程。