专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

高考数学《三角函数与平面向量》专项训练一、单选题1．已知()1,2a =r ，()1,0b =r ，则2a b +=r r （ ） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C ．32D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（ ）A ．4825B ．5625C ．85D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ） A ．31010- B ．155- C ．155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．56-B ．16-C ．16D ．568．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A ．32B ．4C 15D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A 55B ．35C ．52D 55二、填空题11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.12．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.14．将函数()3)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称； ⑤在(0,)3π上单调递减 三、解答题15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.参考答案1．C【解析】【分析】求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.【详解】()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q，因此，25a b +==r r .故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】 根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3．B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出． 【详解】由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα==， 而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++， 所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于5．C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值． 所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+， 由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=． 故选：C ．【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．6．D【解析】【分析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7．C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】 因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】 本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8．D【解析】【分析】 由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴A ＝B 或A +B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9．C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =． 因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v， 两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ． 因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43AO =u u u v ，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan 30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan 30︒︒︒-++=故答案为：3【点睛】 本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12．π【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-， 所以函数的最小正周期为22T ππ==． 故答案为：π．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．13．⎡-+⎣【解析】【分析】由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，且边长12182A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ， 由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r最小，且最小值为2cos112.5⎛⨯==-⎝⎭o当P与4A重合时，1318A A A P⋅==+u u u u r u u u r因此，131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是⎡-+⎣.故答案为：⎡-+⎣.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14．②③④【解析】将函数()213f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到2133y xππ⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()211x xπ=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数()g x x=的图象，对于函数()g x，由于当3xπ=-时，()g x=故()g x图象不关于直线3xπ=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为22ππ=，故③正确；当4xπ=时，()0g x=，故函数的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正④确；在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，()220,,3x g xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．15．3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分 【解析】解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 222223)432x x x tx x t x t ωωωωωπω=⋅+=-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=………………6分3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +)max (1,31,21()).832x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分 （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………10分55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分16．（Ⅰ）23π；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .化简得：tan B =，又0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17．(1)b =7；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=， 所以1cos 2B =-， 又0B π<<，所以23B π=， 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c b C B =， 所以sin sin c BC b=22sin π=7=； （2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD C CD CBD =∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=， 而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =， 因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯4=. 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。

专题三 三角函数与平面向量总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届陕西省宝鸡市金台区高三上期中】已知()()1,1,,3AB BC x ==-，若AC AB ⊥，则x = ( )A. 3B. 1C. 3-或2D. 4-或1 【答案】B【解析】AC = ()()()1,1,31,2x x +-=+-，由AC AB ⊥得120,1x x +-== ，选B. 2．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（ ） A. 195-B. 519-C. 3117-D. 1731- 【答案】D3．在ABC ∆中， ()223b c a bc -=-，则角A 等于（ ） A.56π B. 23π C. 3π D. 6π 【答案】B【解析】()223b c a bc -=-即22223b bc c a bc -+=- 所以()22212cos 0,23b c a bc A A A ππ+-=-∴=-∈∴=故选B.4．【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于（ ）A.14 B. 14-【答案】A【解析】由cos （α﹣4π）=cos2α，得22cos cossin sincos sin 44ππαααα+=-)()()sin cos sin cos cos sin αααααα+=+-， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin α+cos α＞0，则cos α﹣sin α． 两边平方得： 112sin cos 2αα-= ， ∴1sin cos 4αα=． 故答案为：A. 5．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ππ-≤≤的值域为( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. [－1,1]C. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣ 【答案】C【解析】由－π≤x ≤π，可知－2π≤2x ≤2π，－ 23π≤2x －6π≤3π，函数y ＝cosx 在区间2[3π-,0]内单调递增，在区间[0, ]3π内单调递减，且cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－12，cos 3π＝12，cos 0＝1，因此所求值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C. 6．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T， φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 7．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】D8．在ABC ∆中，若30a b A ===︒，则边c 的长度等于( )A. 以上都不对 【答案】C【解析】∵∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：5=15+c 2﹣，即c 2﹣，解得：则． 故答案为：C.9．【2018届广西玉林市陆川中学高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=, 故选：C.10．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的图形关于直线8x π=对称 C. ()f x 的一个零点为8x π=-D. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D【解析】逐一考查所给的选项： 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，则函数的周期为： ()*T k k N π=∈，取2k =可得函数的一个周期为2π； 函数图象的对称轴满足： ()242x k k Z πππ+=+∈，则： ()28k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数的一条对称轴为8x π=；函数的零点满足： ()24x k k Z ππ+=∈，则： ()28k x k Z ππ=-∈， 令0k =可得函数的一个零点为8x π=-；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性； 本题选择D 选项.11．若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B. 3π C. 43π D. 23π- 【答案】A【解析】()a b a +⊥ ()204a b a a a b a b ⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=-，412cos ,,,2423a b a b a b a b π⋅-===-∴=⨯, 故选：A ．12．如图，在直角坐标系xoy 中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP λAB μBC =+，其中λ,μR ∈，则4λμ- 的取值范围是（ ）] 【答案】B【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离；∴以点C为圆心，以12为半径的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=14，设P（m，n）则AP=（m，n），AB=（2，0），BC=（﹣1，1）；∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y，∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤14，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+16）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+16）x+8t2+7，x∈[12，32]，则12{32ff⎛⎫≤⎪⎝⎭⎛⎫≤⎪⎝⎭，解得2≤t ≤∴4x ﹣y 的取值范围是[2，． 故选：B ．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省济宁市高三上学期期末】 已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=________.【答案】1125-14．已知向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，则m =__________． 【答案】1±【解析】向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，故()()2222·0,a b a b a b a b +-=-=∴=1.m =⇒=±故答案为： 1±.15．【2018届四省名校（南宁二中等）高三上第一次大联考】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos c B C =， 45A =︒，则B =__________. 【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有： sin sin cos C B B C =，sin 0,tan 60B C C ≠∴==，三角形内角和为180，则180456075B =--=. 16．如图所示， 23BAC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),AP xAD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是__________．【答案】44⎡-+⎣【解析】三、解答题（共6道小题，共70分）17. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且bsin A a sin 2B =. (1)求角B 的大小；(2)若，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1) πB 3=;（2【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得1cos B 2=，则πB 3= . (2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得ac 7≤ ，结合面积公式可知ABC S的最大试题解析：(1)∵bsin A a sin 2B =,由正弦定理得： sin Bsin A sin A?2sin Bcos B = ∵0A π<<, 0B π<< ∴sin A 0>,sin B 0> ∴1cos B 2= ∴πB 3=.18．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）. （1）求f （2π3）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）π, ,,36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为-2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得f （x ）的最小正周期为π，令222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，，解不等式可求出函数的单调减区间.19．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟】已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C sin 2cos C c c A =+．（1）求角A ；（2）若a =， ABC ∆b ， c ． 【答案】(1) 23A π=;(2) 2b c ==. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边转角，消去sin C 后，利用辅助角公式化为关于角A 的三角方程，根据角的范围求出角A ；（2）利用余弦定理得出关于b,c 关系式，再利用三角形面积公式得出b,c 关系，联立方程组解出b 和c. 试题解析：（1sin 2cos C c c A =+及正弦定理，sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，故4bc =，① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，②由①②解得2b c ==．20．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线， 1cos 7B =， AD =，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）ABC S ∆=【解析】试题分析: （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A ；（2）由题意和平方关系求出sinB ，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC ，由正弦定理求出a 和c 关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a 、c ，由三角形的面积公式求出答案． 解析:（Ⅰ）∵cos sin 0a C C b c +--=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sinC A C A C A C =++，化简得：cos 1A A -=，∴()01sin 302A -=．在ABC ∆中， 000180A <<，∴003030A -=，得060A =．（Ⅱ）在ABC ∆中， 1cos 7B =，得sin B =，则()11sin sin 72C A B =+=+=sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222?cos AD AB BD AB BD B =+-， 则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，故1sin 2ABC S ac B ∆== 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.21．【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()()32sin πsin π2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3f A a ==,求ABC ∆周长的最大值．【答案】(1) π, 对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z (2) ΔABC 周长的最大值为9 【解析】试题分析：(1) ()f x = π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用正弦定理的性质求解即可;(2)由()f A =可得π3A =,再利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-,结合基本不等式可得26b c a +≤=,则可得结论. 试题解析：(1) ()f x ()32sin πsin π2x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭2cos sin x x x -=sin2x x -=π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以2ππ2T ==, 令()π2π6x k k +=∈Z ,解得()ππ212k x k =-∈Z , 所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z .22．已知向量()1,sin a x =， (cos b x =，⑴ 若a b ⊥，求tan2x 的值；⑵ 令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】(1) ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析： ()1由条件a b ⊥可得向量数量积，得出cos x 、sin x 的数量关系，即可求出tan x ，就可以求出结果；(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得出三角函数的图象．试题解析：⑴ ， ()(1,sin cos cos 0x x x x ∴=⋅==，tanx ∴= 22tan tan21tan x x x ∴==-.⑵()(π1,sin cos cos 2sin 6x x x x x ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， ()π2sin 6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈， ()g x ∴的单调增区间是()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

三角函数与平面向量题型归类解析1.考查三角函数的化简或求值2.考查三角函数中的求角问题3. 考查三角形的边长或角的运算4. 考查三角函数的最值与向量运算5. 考查三角函数解析式的求法一、结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【解答】因为β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，又cos tan()24a b βαα⋅=⋅+-，故cos tan()24m βαα⋅+=+．由于04πα<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)cos sin ααπαα++-22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan ααα+=⋅-cos tan()24m βαα=⋅+=+．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

专题（三） 三角函数与平面向量“三角函数”是高考中最重要的基本函数之一，也是每年的必考内容之一，有选择题，填空题，也有解答题。

多以低档或中档题目为主；“平面向量”是高中新课程增加的内容之一，题型主要有选择，填空，也可以与其它知识结合在解答题中出现。

考点1：三角函数公式的灵活运用例1：已知x (0,)2π∈且2sin 2x-sinxcosx-3cos 2x=0，求sin()4sin 2cos21x x x π+++的值。

例2：设a =（1+cos α，sin α），b =（1-cos β ，cos β），c =（1，0）α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为1,b θ与c 的夹角为2θ，且126πθθ-=，求sin4αβ-的值。

例3：△ABC 中，内角A 。

B 。

C 的对边，分别为a ，b ，c,已知a ，b ，c 成等比数列且cosB=34， （1）求cotA+cotC 的值；（2）设*BA BC =32，求a+c 的值。

专题练习：1．22sin 2cos .1cos 2cos 2x xx x+的值等于（ ）A ．tanxB 。

tan2xC 。

1D 。

1/22．若sin （1()63πα-=则2cos(2)3πα+等于（ ） A ．-79 B 。

-13 C 。

13 D 。

793．若02xπ时，函数f （x ）=21cos 28sin sin 2x xx++的最小值（ ） A ．2 B 。

C 。

4D 。

4．设θ在第二象限，且31sin()222θπ+，则cossin22- ）A ．1B 。

-1C 。

-1或1D 。

不能确定 5．已知x ∈（-2π，0），cosx=45，则tan2x 等于（ ）Ａ。

724 Ｂ。

－724 Ｃ。

247 Ｄ。

－724６．函数y ＝（１＋sinx ）（１＋cosx ）在区间［－4π，6π］上的最小值（ ） A ．2 B 。

1 C 。

12 D 。

14二．填空题1．已知a 。

★★★【高考猜题】★★★三角函数与平面向量一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量26()3λλ+=，a ，(10)=，i 和(01)=，j ，若⋅=-a j ，则向量a 与i 的夹角<>，a i =（ ）A ．3πB ．6π-C ．65πD ．6π2．已知函数()cos 2f x x π=+（x R ∈），则下列叙述错误的是（ ）A ．()f x 的最大值与最小值之和等于πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的图像关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 3．关于函数πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，有以下四个说法： ①关于点π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ②关于点5π012⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③关于直线π6x =对称； ④关于直线5π12x =对称 则正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 001)＝3，则f (2 012)的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．15．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于 ( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7 6．已知,a b 是夹角为120的单位向量，则向量a b λ+与2a b -垂直的充要条件是实数λ的值为（ ）A ．54 B ．52C ．34D ．327．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．32π8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ） A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度10. 设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5 D ．611. 将函数f(x)=2sin ()(0)3x πωω->的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知非零向量与满足||AB ||AC ·=0,||AB ·||AC 21,则△ABC 为______________．（ ）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形14．在ABC ∆中，O 为边BC 中线AM 上的一点，若4=AM ，则)(OC OB AO +∙的（ ） A ．最大值为8 B ．最大值为4 C ．最小值－4 D ．最小值为－816．设函数f （x ）的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝s1nn x 在[0，n π]上的面积为n 2（n ∈N *），（1）y ＝s1n3x 在[0,32π]上的面积为 ；（2）y ＝s1n （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 ．三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)17．已知向量(2c o s ,1),(3s i n c o s ,)m x n x x a ωωω==-，其中(,0)x R ω∈>，函数()f x m n =∙的最小正周期为π，最大值为3。

第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一 平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD 的对角线分别为AC ，BD ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( )A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →答案 C解析 AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点， ∴FO →＝14DB →，OE →＝16AC →，∴FE →＝FO →＋OE →＝14DB →＋16AC →，∵AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →， ∴FE →＝14(AB →－AD →)＋16(AB →＋AD →)＝512AB →－112AD →.故选C. (2)(2017届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.13B.14C.12D.23 答案 A解析 由AD →＝tAC →，得OD →－OA →＝t (OC →－OA →)， 所以OD →＝tOC →＋(1－t )OA →，因为B ，O ，D 三点共线，所以BO →＝λOD →， 则2OA →＋OC →＝λt OC →＋(1－t )λOA →，故有⎩⎪⎨⎪⎧2＝(1－t )λ，1＝λt ，t ＝13，故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1C ．1 D ．4 答案 B解析 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 5AC →，且AP →＝mAB →＋25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＝m ，k 5＝25，解得k ＝2，m ＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)答案 B解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以m ＋4＝0，m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B. 热点二 平面向量的数量积1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，非零向量b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为3，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则AM →·MB →的值为( ) A ．2 B ．－152C.152 D. －2答案 A解析 因为AM →＝CM →－CA →，MB →＝CB →－CM →，则AM →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →－12CA →⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →，即AM →·MB →＝29CB →2－12CA →·CB →＋14CA →2＝2－94＋94＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|a ＋2b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5答案 B解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)， 可得|a －b |2＝5，即|a |2＋|b |2－2a ·b ＝5，解得a ·b ＝0. |a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋16＝17， 所以|a ＋2b |＝17.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义． (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0,3)，B (－1,0)，C (1,0)．图①设P 点的坐标为(x ，y )， 则PA →＝(－x ，3－y )， PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y ) ＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32.故选B. 方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →.图②要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →|，问题转化为求|PA →|·|PD →|的最大值．又|PA →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当且仅当|PA →|＝|PD →|时取等号，∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 因为|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝2π3，故a ·b ＝2cos 〈a ，b 〉＝－1，则(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4＋4＝4，即|a ＋2b |＝2. 热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3 (2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 已知平面向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，x ∈R ，函数f (x )＝a·(b －c )．(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，求sin α的值． 解 (1)因为a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，c ＝(－cos x ，－sin x )，所以b －c ＝(sin x ＋cos x ，sin x －cos x )，f (x )＝a·(b －c )＝sin x (sin x ＋cos x )＋cos x (sin x －cos x )＝sin 2x ＋2sin x cos x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z 时，函数f (x )为减函数．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝22，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 因为sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝±32. 又sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32时， sin α＝12×22＋32×22＝2＋64；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－32时， sin α＝12×22－32×22＝2－64.综上，sin α＝2±64.真题体验1．(2017·北京改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的___________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°，∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件． 方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分不必要条件．2．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 3．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.4．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________． 答案 6解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )． 由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝|AQ →||AP →|＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.方法二 如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P (cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立． 押题预测1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →等于( )A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础． 答案 C解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．故选C.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49押题依据 数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式． 答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.3．在△ABC 中，AB →＝(cos 32°，cos 58°)，BC →＝(sin 60°sin 118°，sin 120°sin 208°)，则△ABC 的面积为( )A.14B.38C.32D.34押题依据 平面向量作为数学解题工具，通过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热点． 答案 B解析 |AB →|＝cos 232°＋cos 258°＝cos 232°＋sin 232°＝1，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos 28°，－32sin 28°，所以|BC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 28°2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin 28°2＝32. 则AB →·BC →＝cos 32°×32cos 28°－sin 32°×32sin 28°＝32(cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°) ＝32cos(32°＋28°)＝32cos 60°＝34，故cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝341×32＝12.又〈AB →，BC →〉∈[0°，180°]，所以〈AB →，BC →〉＝60°， 故B ＝180°－〈AB →，BC →〉＝180°－60°＝120°. 故△ABC 的面积为S ＝12·|AB →|·|BC →|sin B＝12×1×32×sin 120°＝38.故选B. 4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．押题依据 本题将向量与平面几何、最值问题等有机结合，体现了高考在知识交汇点命题的方向，本题解法灵活，难度适中． 答案 －116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋BP →2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，所以∠OBA ＝60°，OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|BP →|－142－116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →取得最小值－116.A 组 专题通关1. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2017届广西省教育质量诊断性联合考试)设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292答案 C解析 由已知可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，xλ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14⇒λ＋x ＝－292，故选C.3．已知向量a ，b ，其中a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，则b 在a 上的投影为( ) A.43 B ．－43C.23 D ．－23答案 C解析 由a ＝(－1，3)，且a ⊥(a －3b )，得a ·(a －3b )＝0＝a 2－3a·b ＝4－3a·b ，a·b ＝43，所以b 在a 上的投影为a·b |a |＝432＝23，故选C.4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为()A ．4 B.833C ．0D ．－4答案 D解析 如图所示，BE →＝2EC →⇒BE ＝23BC ＝233，AB →·AF →＝3⇒AF cos∠BAF ＝1⇒DF ＝1，以点A 为原点建立平面直角坐标系，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，则B (0,3)，F (3，1)，E (233，3)，因此BF →＝(3，－2)，AE →·BF →＝233×3－2×3＝2－6＝－4.5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，若B ＝2C ，则向量BC →在BA →方向上的投影是( ) A ．－75B ．－77125C.77125D.75答案 B解析 由正弦定理得ACsin B＝ABsin C ⇒6sin 2C ＝5sin C ⇒cos C ＝35，由余弦定理得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22AC ·BC ⇒BC ＝115或5，经检验知BC ＝5不符合，舍去，所以BC ＝115，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－725，则|BC →|cos B ＝－77125，故选B.6．(2017届吉林省普通中学调研)在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，若∠ACD ＝60°，则t 的值为( ) A.3－12 B.3－1C.3－22D.3＋12答案 A解析 因为D 在AB 边上且满足CD →＝tCA →＋(1－t )CB →，所以BD →＝tBA →，不妨设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，AD ＝2(1－t )，在△ACD 中，∠ACD ＝60°，∠CAD ＝45°，则∠ADC ＝75°，由正弦定理，得1sin 75°＝2(1－t )sin 60°，解得t ＝3－12.故选A. 7．(2017届河南南阳一中月考)已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△ABC 的面积为( ) A.85 B.75C.65 D.45 答案 C解析 如图所示，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，可得3OA →＋4OB →＝－5OC →，两边平方可得9＋24OA →·OB →＋16＝25，所以OA →·OB →＝0，因此OA →⊥OB →.同理3OA →＋5OC →＝－4OB →，4OB →＋5OC →＝－3OA →，两边分别平方可得cos 〈OB →，OC →〉＝－45，cos 〈OA →，OC →〉＝－35，根据同角三角函数基本关系可得sin 〈OB →，OC →〉＝35，sin 〈OA →，OC →〉＝45，所以S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △OBC＝12×1×1＋12×1×1×45＋12×1×1×35＝65，故选C. 8．已知向量OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )，其中O 为原点，若向量OA →与OB →的夹角在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12内变化，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 解析 因为OA →＝(1,1)，OB →＝(1，a )， 所以OA →·OB →＝1＋a .又OA →·OB →＝2·1＋a 2cos θ， 故cos θ＝1＋a2(1＋a 2)， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，故cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，即1＋a2(1＋a 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋24，1，解得33≤a ≤ 3. 9．(2017·辽宁省大连市双基测试)已知平面内三个单位向量OA →，OB →，OC →，〈OA →，OB →〉＝60°，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是______．答案233解析 由已知条件OC →＝mOA →＋nOB →，两边平方可得1＝m 2＋mn ＋n 2＝(m ＋n )2－mn ，∴(m ＋n )2－1＝mn ，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m ，n >0，∴(m ＋n )2－1＝mn ≤14(m ＋n )2，当且仅当m ＝n 时取等号，∴34(m ＋n )2≤1，则m ＋n ≤233，即m ＋n 的最大值为233. 10．(2017届陕西西安铁一中三模)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S . 解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3.所以2A －π6＝π2，A ＝π3.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得12＝b 2＋16－2×4b ×12，所以b ＝2.所以S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3.B 组 能力提高11. (2017届江西师大附中、临川一中联考)在Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点，AP →＝λAB →，若CP →·AB →≥PA →·PB →，则λ的最大值是( ) A.2＋22B. 2－22C ．1 D. 2答案 C解析 因为CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAB →，故由CP →·AB →≥PA →·PB →，可得2λ－1≥－2λ(1－λ)，即2λ－1≥－2λ＋2λ2， 也即λ2－2λ≤－12，解得1－22≤λ≤1＋22，由于点P ∈AB ，所以1－22≤λ≤1， 故选C.12．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10, 记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．15 3B ．45C ．60 3D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP i →在AB 2→上的投影为AC ，m i ＝AB 2→·AP i →＝|AB 2→||AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.13.(2017届江西上饶一模)已知在Rt△AOB 中，AO ＝1，BO ＝2，如图，动点P 是在以O 点为圆心，OB 为半径的扇形内运动(含边界)且∠BOC ＝90°.设OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值范围是__________． 答案 [－2,1]解析 由已知图形可知OP →，OA →的夹角∠AOP ∈[90°，180°]，所以x ≤0，OP →，OB →的夹角∠BOP ∈[0°，90°]，所以y ≥0，由平行四边形法则可知，当点P 沿着圆弧CB 由C 到B 移动时，负数x 逐渐增大，正数y 逐渐增大，所以当点P 在C 处时x ＋y 取得最小值，因为OC ＝2OA ，OC ⊥OB ，所以x ＝－2，y ＝0，所以x ＋y ＝－2，当点P 在点B 处时x ＋y 取得最大值，因为OA ⊥OB ，所以x ＝0，y ＝1， 所以x ＋y ＝1，所以x ＋y 的取值范围为[－2,1]．14．(2017届云南曲靖一中月考)已知向量a ＝(－1,0)，b ＝(cos α，sin α)，c ＝(cos β，sin β)． (1)求|a ＋c |的最大值；(2)若α＝π4，且向量b 与向量(a ＋c )垂直，求cos β的值．解 (1)a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，|a ＋c |＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2－2cos β， 当cos β＝－1时，|a ＋c |＝2，|a ＋c |的最大值为2.(2)若α＝π4，则b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，a ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∵向量b 与向量a ＋c 垂直， ∴22(cos β－1)＋22sin β＝0， ∴sin β＋cos β＝1，故sin 2β＝(1－cos β)2＝1－2cos β＋cos 2β， cos 2β－cos β＝0，∴cos β＝0或1.当cos β＝1时，sin β＝0，a ＋c ＝(0,0)不符合条件， ∴cos β＝0.。

高中数学：三角函数与平面向量综合问题
—6种类型全面解析
三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．
名师寄语
本讲要点小结与建议：
三角函数和平面向量的综合问题是近几年数学高考的一个新的视角．求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，又要求我们熟练地进行平面向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算．因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解训练，提高我们处理这类综合问题的能力．
二、三角函数与平面向量综合问题—6种类型
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【跟踪训练】
【参考答案】。

第二篇 易错考点大清查专题3 三角函数与平面向量1. 三角函数的符号致误进行三角运算时，正确使用同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和与差的三角公式是关键，同时一定要注意三角函数符号的判断. 例1【广东郴州第二次教学质量监测,3】已知(0,)6πα∈，12sin()313πα+=，则cos()6πα-=（ ） A ．512 B ．1213 C ． 513- D ．1213- 【答案】B【解析】因为12sin()cos[()]32313πππαα+=-+=，所以13cos()612πα-=，故选B. 点评：正确使用诱导公式，不注意角α的范围来正确确定符号，是本题的易错点.【举一反三】 已知 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα，则)4tan(απ-等于（A ）7（B ）71（C ）71-（D ）7-【答案】B【解析】因 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα，所以43tan ,53sin =-=αα，)4tan(απ-=+-=ααtan 1tan 1 71431431=+-2.三角函数的图象变换致误三角函数的图象变换中的左右平移变换的方向与符号的对应关系是极易搞混的，还有就是平移的单位个数问题也是容易错误的地方，再就是在审题上容易出现错误的情况． 例2【河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛,5】若将函数sin(6)4y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿轴向右平移8π个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） A ．(,0)16π B ．(,0)9π C. (,0)4π D ．(,0)2π【答案】D【解析】将函数sin(6)4y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数sin(2)4y x π=+的图象，再沿轴向右平移8π个单位长度,得到函数sin 2y x =的图象，由2()x k k Z π=∈得()2k x k Z π=∈，故函数sin 2y x =的图象的一个对称中心是(,0)2π，故选D.点评：正确利用图象的平移和伸缩变换以及三角函数的图象与性质解决问题【举一反三】【山东省枣庄市高三上学期期末，5】已知函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为（ ） A ． B ． C. D ．12 【答案】B【解析】将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度，得cos ()cos()33y x x ωωωππ=-=-，又因为所得的图象与原图象重合，所以23k ωπ-=π，即6k ω=()k Z ∈，所以ω的最小值为6，故选B ．3.三角恒等变形公式致误利用三角恒等变形公式对三角函数式进行化简，求值，证明的过程中，往往因为公式记忆不准确，从而导致错解．例3 【湖北省荆州市高三上学期第一次质量检，3】若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 【答案】D 【解析】cos 2cos 2cos 2cos 236233πππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=--=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 27cos 212sin 339ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.点评：熟练的运用诱导公式以及二倍角公式解决问题【举一反三】【广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，4】若1cos 23a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos 2a π-=（ ）A．．79- C.79D【答案】B【解析】∵1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3α=-，∴()2217cos 2cos 22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故应选B.4.向量的概念与运算致误向量的运算有加、减、数乘及数量积，特别是数量积的运算，由于数量积不满足结合律与消去律，若在计算的过程中不加特别注意，就会出现错误．例4 【河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛,9】已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则OC AB u u u r u u u rg 的值为（ ）A ．85 B ．75 C. 15- D ．45【答案】C【解析】因为3450OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以453OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r，所以2221640259OB OB OC OC OA +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为1OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，所以45OB OC ⋅=-u u u r u u u r ，同理可求35OA OC ⋅=-u u u r u u u r ，所以431()()555OC AB OC OB OA ⋅=⋅-=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选C.点评：本题考查向量的线性运算、向量数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积. 【举一反三】已知向量)2,1(-=a ，)3,2(=b ，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 . 【答案】9<λ且1-≠λ【解析】由已知得+=λ)23,2()3,2()21(λλλ+-=+-=，，-=)1,3()3,2()21(--=--=，，又因为+=λ与-=的夹角为钝角，所以⎩⎨⎧-≠<⇒⎩⎨⎧≠-⨯--+⨯-<+⨯-+-⨯-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<•190)1()2()23()3(0)23()1()2(30λλλλλλ不平行与 故答案为：9<λ且1-≠λ． 5.解三角形时致误解三角形时不仅要正确使用正弦定理和余弦定理，还应注意：内角和定理，大边对大角，大角对大边，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边等，若不注意这些是及易犯错的． 例5 【天津六校高三上学期期中联考，3】在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC ∆的面积为（ ）C. 233 D. 33 【答案】C【解析】22222()626c a b c a b ab =-+⇒=+-+，由3π=C 得222222cos3c a b ab a b ab π=+-=+-，因此2222266a b ab a b ab ab +-=+-+⇒=，ABC∆的面积为1sin 23ab π= C.点评：1．选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【举一反三】【广西柳州市高三模拟，14】已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC 的面积等于 ．【解析】设最小边为m ，则由余弦定理得222(4)(2)2(2)cos120m m m m m +=++-+o，解得3m =，所以△ABC 的面积等于135sin1202⨯⨯⨯=o1.2014cos()3π的值为（ ）A ．12B ．2C ．12-D ． 2-【答案】C 【解析】2014cos()3π213cos )3cos()32335cos(-=-=+=++⨯=ππππππ，选C.【易错点】符号的判断是易错点.2.将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点(43π，0)，则ω的最小值是 ( )A.31 B.1 C.35D.2 【答案】D【解析】将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度，得到函数sin 4y x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭若此函数的图象过点(43π，0)，则：sin 02ωπ= ，所以，(),2k k z ωππ=∈，所以，()2,k k z ω=∈又因为0ω> ，所以，ω 的最小值是2.故选D. 【易错点】由图象变换写解析式是易错点.3.已知 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα，则)4tan(απ-等于( )A.7B.71C.71-D.7-【答案】B【解析】因 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα，所以43tan ,53sin =-=αα，)4tan(απ-=+-=ααtan 1tan 1 71431431=+-【易错点】用平方关系求值是易错点.4.【云南大理高三第一次统测，6】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在x θ=时取得最大值，则tan θ等于（ ） A．．【答案】D【解析】由题意可知2,62k k ππθπ+=+∈Z ，所以2,3k k πθπ=+∈Z ，tan θ∴=选D.【易错点】对正弦函数的性质掌握的不熟5. 【河南省广东省佛山市高三教学质量检测（一），9】下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当63x ππ-<<时，()'0f x >”的一个函数是（ ） A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，函数()f x 的一个对称中心为(,0)12π，故排除A ，D ；又B 中，()2sin 23f x x π⎛⎫'=-+⎪⎝⎭，当63x ππ-<<时，2(0,)3x π+∈π，此时()0f x '<，故排除B ；C 中()2cos 26f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，63x ππ-<<时，2(,)622x πππ-∈-，此时()0f x '>，故选C ．【易错点】1、三角函数的图象与性质；2、导数的运算． 6.若函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则a x x -+21的取值范围是（ ）A ．)13,13(+-ππB ．)13,3[+ππ C ．)132,132(+-ππ D ．)132,32[+ππ 【答案】B【解析】函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点，即2sin(2),16y x y a π=+=-的图象在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个交点.由于6x π=是2sin(2)6y x π=+（x R ∈）图象的一条对称轴，所以123x x π+=.又0x =时，1y =，所以112,01a a ≤-<≤-<，故12133x x a ππ≤+-<+，选B .【易错点】正确画出函数图象是易错点.7.【湖南省五市十校教研教改共同体高三1联考，12】已知函数()()sin 0,2fx x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ）A ．-1B ．0C ．12D ．1 【答案】B 【解析】由题意得25244126T πππωω==-⇒=，sin()1,326πππϕϕϕ+=<⇒=，因为sin 636n n f πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，周期为，一个周期的和为零，所以201616n n f π=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑0，选B. 【易错点】三角函数解析式及周期性质8.【广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,2】已知,a b rr 均为单位向量，且33(2)(2)2a b a b +-=-r r r r •，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．6π B ．4πC ．34πD ．56π【答案】A【解析】向量,a b rr 的夹角为,因为1a b ==r r ，所以()()332233cos a b a b a b θ+⋅-=-⋅=-=-r r r r r r ，即3cos θ=，6πθ=，故选A.【易错点】1.向量相关的概念；2.向量的数量积及运算.9.设向量12,e e u r u u r 是夹角为23π的单位向量，若13a e =r u r ，12b e e =-r u r u u r ，则向量在方向的投影为（ ） A ．32 B ．12 C ． 12- D ． 【答案】A【易错点】一个向量在另一个向量方向上的投影是易错点.10.【广东高三上学期阶段测评（一），7】已知向量 AB AC AD u u u r u u u r u u u r，，满足2 1AC AB AD AB AD =+==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，， E F ，分别是线段 BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与AD u u u r的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 【答案】B【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r .∴1AB AD ⋅=u u u r u u u r ，1cos 2AB AD <>=u u u r u u u r ，，∴AB u u u r 与AD u u u r 的夹角为3π.选B. 【易错点】向量夹角的应用11．已知、为平面向量，若+a b 与的夹角为3π，+a b 与的夹角为4π，则||||=a b （ ） 36 56 【答案】D【解析】如图所示，60AOC BCO ∠=∠=︒，45BOC BCO ∠=∠=︒，在三角形OBC 中，由下正弦定理得sin 456sin 60a b ︒==︒rr ，故选D +ba CBAba【易错点】向量的减法是易错点.12.若G 是ABC ∆的重心，，，分别是角C B A ,,的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=u u u r u u u r u u ur r ，则角=A （ ）A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o【答案】D【易错点】正余弦定理解三角形以及三角形重心性质是易错点.13. 【中原名校豫南九校第四次质量考评，13】已知两个平面向量 a b r r，满足1 221a a b =-=r r r ，120︒，则b =r． 【答案】2 【解析】222 221442112||421||2a b a a b b b b b -=-⋅+=⇒++=⇒=r r r r r r r r r（负舍）【易错点】向量的数量积14.【天津六校高三上学期期中联考，13】D 为ABC ∆的BC 边上一点，2DC DB =-u u u r u u u r，过D点的直线分别交直线AB AC 、于E F 、，若,AE AB AF AC ==u u u r u u u r u u u r u u u rλμ，其中0,0λμ>>，则21+=λμ________．【答案】3【解析】因为21,(1)33AD AB AC mAE nAF m AB n AC m n λμ=+=+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以21,33m n λμ==⇒21333m n λμ+=+=【易错点】向量共线15.在直角ABC ∆中，2,AB AC ==，斜边BC 上有异于端点两点B C 、的两点E F 、，且=1EF ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ．【答案】11[,9)4【解析】建立如图所示的坐标系，易得)32,0(),0,2(),0,0(C B A ，设))43,0((∈=λλ，BCBE )41(+=λ,则)32,22(λλ-F ,)2332,223(+-λλE ,所以AE AF ⋅u u u r u u u r⋅-)32,22(λλ=+-)2332,223(λλ∈+-=+-=+++--411)81(16341631243432222λλλλλλλλ11[,9)4. 【易错点】向量数量积的坐标运算是易错点.16.如图，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 上任一点，且BC BA BE μλ+=，则μλ21+的最小值为_______.【答案】9【易错点】基本不等式是易错点.17.【广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,18】在ABC ∆中，，，分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.（1）求B 的大小；（2）若33a c +=，3b =ABC ∆的面积． 【答案】(1)3π；(2)316 【解析】 试题解析：（1）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=，得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()2sin sin cos cos 1A C A C ∴-=，()1cos 2A C ∴+=-，1cos 2B ∴=， 又0,3B B ππ<<∴=.（2）由2222cos b a c ac B =+-，得()222cos a c ac B b +-=，又335,3,,34a c b B ac π+===∴=， 115353sin 224ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【易错点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理及三角形面积公式.18.已知向量)3,cos 2(2x m =，)2sin ,1(x n =，函数n m x f ⋅=)(.（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，，，分别是角A ，B ，C 的对边，且3)(=C f ，1=c ，ABC ∆的面积为23，且a > b ，求,a b 的值． 【答案】（1）T π=，2[,],63k k k Z ππππ++∈，（2）2,3a b ==，【易错点】由三角函数确定角C 及条件b a >是易错点.19.【山东省枣庄市高三上学期期末，16】（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.（1）若3sin 4sin C A =，求的值；（2）求a c +的最大值.【答案】(1) 4c =；(2) 13【解析】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =.由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =.【易错点】1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦公式．。

高考数学（理）二轮复习：三角函数与平面向量（含答案）4 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 3．三种三角函数的性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z ) 上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0(k ∈对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2 D.12答案 B解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 A解析 化简函数的解析式，A 中，y ＝cos 2x 是最小正周期为π的偶函数． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝2，c ＝2，cos A ＝－24.则b 的值为( ) A ．1 B. 2 C.32D.62答案 A解析 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则22＝b 2＋(2)2－2b ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，所以b 2＋b －2＝0，解得b ＝1，故选A.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝sin 4x 向右平移π12个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.故选B. 5．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( )A ．－1B ．－ 3C ．－12D ．－32答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，则由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π6＝0，又因为0<θ<π，所以7π6<π＋θ＋π6<13π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x .又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上是减函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－3，故选B. 6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010答案 C解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，AD ＝BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010，故选C.7．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4 答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，即α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos( β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55 ＝－22， cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55 ＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23答案 A 解析 如图， CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， 所以λ＝23.故选A.9．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ的值为( ) A.π4B.3π8C.3π4D.5π8 答案 C解析 平移后有f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π4，f (x )关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．答案 1解析 根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.12．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角B 为锐角，且sin 2B ＝8sin A ·sinC ，则ba ＋c的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫63，255解析 因为sin 2B ＝8sin A ·sinC ，由正弦定理可知，b 2＝8ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(a ＋c )2－2ac －b22ac ＝(a ＋c )2－54b 214b 2＝4(a ＋c )2b2－5∈(0,1)， 令t ＝ba ＋c，t >0，则0＜4t2－5＜1，解得23＜t 2＜45，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫63，255.14．已知O 是锐角△ABC 外接圆的圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m 的值为______． 答案32解析 如图所示，取AB 的中点D ，则OA →＝OD →＋DA →，OD ⊥AB ，所以OD →·AB →＝0，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由cos B sin C ·AB→＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →，得cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝－2m (OD →＋DA →)，两边同乘以AB →，得cos B sin C ·AB →2＋cos C sin B ·AC →·AB →＝－2m (OD →＋DA →)·AB →，即cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·bc ·cos A ＝m ·c 2，所以cos B sin C ·c ＋cos C sin B ·b ·cos A ＝m ·c ， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，所以b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入上式整理，得cos B ＋cos C cos A ＝m ·sin C ， 所以m ＝cos B ＋cos C cos Asin C＝－cos (A ＋C )＋cos C cos A sin C＝sin A ，又∠A ＝60°，所以m ＝sin 60°＝32. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ，所以cos A ＝277. 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114， 所以S ＝12ab sin C ＝332. 16．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＋12(x ∈R )， ∴f (x )＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵－π12≤x ≤5π12，∴－π3≤2x －π6≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴1－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤2， ∴f (x )的最小值是1－32，最大值是2. (2)∵f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＋1＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6， ∴2C －π6＝π2，解得C ＝π3. ∵向量m ＝(1，a )与向量n ＝(2，b )共线，∴b －2a ＝0，即b ＝2a .①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝3.②由①②得a ＝1，b ＝2. 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。