三角函数大题综合训练
1.已知函数
()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
2.设函数f (x )=cos(2x +
3
π)+sin 2
x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为∆ABC 的三个内角，若cos B =31，
1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sin A .
3.已知函数2()sin cos cos 2.222
x x x
f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式，
并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12
f x π
π在上的最大值和最小值
4.已知函数
()2sin cos 442x x x f x =+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3
4
4
f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在
区间[,]122
ππ-上的值域
6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α
满足
()3f α=-4
tan 5
α的值．
7.已知0α
βπ<<4，为()cos 2f x x π⎛
⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，
a (cos 2)α=，
b ，且m =·a b ．求22cos sin 2()
cos sin ααβαα
++-的值．
8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[]
π4，11π
24上的最大值和最小值．
9.已知函数
2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）
求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
10.已知函数
()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
π
ϕ<
（I ）若cos
cos sin
sin 0,4
4
π
π
ϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数
()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。
11. 已知函数f (x )＝
)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为
.2π(Ⅰ)求f (8π)的值；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 12.
22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为
23
π
．（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移
2
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间．
1.解（Ⅰ）∵
()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤≤，∴3sin 212x -
≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，最小值为32-. 2解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin
sin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π.
（2）
()2c f =1
3sin 22
C -
=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=
3
1
, 所以 2
sin 33
B =
, 所以 2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C =+=+=+⨯=. 3.【解析】(Ⅰ)f (x )=
2
1
sin x +23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.(Ⅱ)由π≤x ≤
12
17
π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[
12
17,45ππ]上是增函数.故当
x =
4
5π时，f (x )有最小值－
2
2
3+；而f (π)=－2，f
(
12
17
π)＝－
466+＜－2，所以当x =π时，f (x )有最大值－2.
4.【解析】（Ⅰ）
()f x sin
322x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12
T ==当πsin 123x ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭时，
()f x 取得最小值2-；
当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛
⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫
-=-== ⎪⎝⎭
．
∴函数()g x 是偶函数．
5.()cos(2)2sin()sin()3
4
4
f x x x x πππ=－＋－＋31cos 22(sin cos )(sin cos )
2
x x x x x x =+
+-+2231cos 22sin cos 2x x x x =++-31cos22cos2sin(2)226
x x x x π=-=- ∴周期22T ππ==. 由2()62x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈.∴函数图象的对称轴方程为()23
k x k Z ππ=+∈
（II ）∵[,]122x ππ∈-，∴52[,]636x πππ-∈-.因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123
ππ-
上单调递增，在区间[,]32
ππ上单调递减，所以
当3
x π=
时，()f x 取得最大值1；又31()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取得最小值3.函数()f x 在[,]122ππ-上
