巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修一《函数与方程》课时同步练习及解析

北师大版高中数学必修一 第二章 §2 第3课时一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎨⎧1 (x ≥0)0 (x<0)C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像 C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一 D ．A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A. 3．已知(x ，y)在映射下的像是(x ＋y ，x －y)，则像(1,2)在f 下的原像为( ) A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，－12)[答案] D[解析] 根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x|0≤x ≤2}，B ＝{y|1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B 的映射的是()[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y|1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y|1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．下列对应为A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝{x|x>0}，f ：x →y ＝|x| B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝xD ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 [答案] D[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R ， 且|0|＝0∉B ，故A 不是f ：A →B 的函数； 对于B,0∈Z ，且02＝0∉N ＋， 故B 不是f ：A →B 的函数；对于C ，当x<0时，如－2∈Z ，但－2无意义， 故C 不是f ：A →B 的函数；对于D ，是多对一的情形，符合函数的定义，是f ：A →B 的函数．6．下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是( ) A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x ，x ∈M ，y ∈NB ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N C ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x|＋x ，x ∈M ，y ∈ND ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N [答案] D[解析] 用排除法，A 中集合M 的元素0，在f 下，N 中没有元素与乊对应，所以这个对应不是映射；B 中集合M 的元素±1，在f 下的像都是1，故排除B ；C 中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，应排除；故选D.二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b}，B ＝{m ，n}，则由A 到B 的一一映射的个数为________． [答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ， ∴ba ＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}， f ：(x ，y)→(x ＋2y ＋2,4x ＋y)．(1)求A 中元素(5,5)的像； (2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b)，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5， ∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y)＝(17,25)． ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)． (2)设元素(5,5)的原像是(m ，n)，得⎩⎨⎧m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝1，∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b)，则由题意得⎩⎨⎧ a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－1，∴A 中存在元素(a ，b)使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).一、选择题1．已知A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{y|0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝32xD ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a ∈A ，∴|a|＝1,2,3,4， 即B ＝{1,2,3,4}． 二、填空题3．已知集合A ＝{a ，b ，c}，B ＝{0,1}，若映射f ：A →B 满足f(a)＋f(b)＝f(c)，则这样的映射的个数是________．[答案] 3[解析] 由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即这样的映射有3个．4．下列对应是集合A 到集合B 的一一映射的是________(填正确序号)． (1)A ＝N ，B ＝{－1,1}，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝(－1)x； (2)A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{y|0≤y ≤1}，f ：x →y ＝13x ；(3)A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{y|y ≥1}，f ：x →y ＝1x ；(4)A ＝{三角形}，B ＝R ，f ：三角形与它面积的对应． [答案] (2)[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A 中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．三、解答题5．设f ，g 都是由A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：映射f 的对应关系映射g 的对应关系 原像 1 2 3 原像 1 2 3 像231像213设a ＝g(f(3))，b ＝g(g(2))，c ＝f(g(f(1)))．试判断a ，b ，c 的大小关系． [解析] ∵a ＝g(f(3))＝g(1)＝2， b ＝g(g(2))＝g(1)＝2，c ＝f(g(f(1)))＝f(g(2))＝f(1)＝2， ∴a ＝b ＝c.6．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x|x 是三角形}，B ＝{x|x 是圆}， f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1； (4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x.[解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．7．已知：集合A ＝{x|－2≤x ≤2}，B ＝{x|－1≤x ≤1}．对应f ：x →y ＝ax.若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．[解析] ①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a.若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a,2a]⊆[－1,1]，即⎩⎨⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a<0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a]⊆[－1,1]，即⎩⎨⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a<0.综合①②可知－12≤a ≤12.。

北师大版高中数学必修一 第二章 §4 第1课时一、选择题1．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[答案] A[解析] 由图像变换可知选A.2．已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( )[答案] D[解析] 排除法，A 图中一次函数a>0，二次函数a<0；同理排除C ；在B 图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋53B ．y ＝13x 2＋2x ＋53C ．y ＝13x 2＋2x －53D ．y ＝13x 2－2x －53[答案] B[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则根据题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝53.所以y ＝13x 2＋2x ＋53，故选B.4．已知a ≠0，b<0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是()[答案] C[解析] 由b<0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.5．已知f(x)＝2(x －1)2和g(x)＝12(x －1)2，h(x)＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g(x)B ．f(x)C ．h(x)D ．不确定[答案] A[解析] 因二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的|a|越小，则二次函数开口越开阔． 6．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是( ) A ．(1,3) B ．(1,0) C ．(－1,3) D ．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m(1－x)＝0恒成立，∴⎩⎨⎧ x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)． 二、填空题7．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积是________． [答案] 8[解析] y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3) ＝－(x ＋1)2＋4，由题意得A(－3,0)，B(1,0), C(－1,4)， ∴S △ABC ＝12×4×4＝8.8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f(x)＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f(x)＝a(x ＋1)(x －3)(a ≠0)，将点(1,4)代入，得a ＝－1. 则f(x)＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式． [解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b2a＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法3：设所求函数的解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k)， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a(x －1)2－3. 又∵图像经过点P(2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x. 解法4：设解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a(x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x.一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于( )A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f(x)＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f(0)＝c>0，a<0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a ，∴|OA|＝－x 1，|OB|＝x 2，∴|OA|·|OB|＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a>0，c<0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．二、填空题3．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________. [答案] 6[解析] 解法1：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－a ＋22＝1，∴a ＝－4. 而该函数是定义在[a ，b]上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的，则有a 到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．[解析] 解法1：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(2)＝f(－1)＝－1，f(x)最大值是8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7. 解法2：设f(x)＝a(x －m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)＝－1，∴对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又∵函数有最大值为8，∴n ＝8.∴f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f(2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4. ∴f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法3：由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)， 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1. 且a ≠0，又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，∴所求二次函数的表达式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a>0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴， ∴c<0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴b a >0.∴a ，b 同号． ∵a>0，∴b>0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. ∴a ＋b b 2－4ac >0，acb<0. ∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A(x 1,0)、B(x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？[解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ， 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得 4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。

北师大版高中数学必修一双基达标(限时20分钟)1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数，以下正确的是( )．A．{x|x＝2n－1，n∈Z} B．{x|x＝2n－1，n∈N＋}C．{x|x＝2n＋1，n∈N＋} D．{正奇数集}答案 B2．已知集合A＝{x|x＝2n，且n∈N}，B＝{x|x2－6x＋5＝0}，则以下关系正确的是( )．A．4∉A B．4∈B C．5∉A D．5∉B解析易求B＝{1,5}，A＝{偶数}，∴选C.答案 C3．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )．A．0∉M B．2∈M C．－4∉M D．4∈M解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.答案 D4．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是________三角形．解析本题考查集合的三性之一互异性，集合中a、b、c为三个不同的元素，所以△ABC的三边均不相等，故应填“等腰”．答案等腰5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是________．解析因为2∉{x|x－a＞0}，所以2不满足不等式x－a＞0，即满足不等式x－a ≤0，所以2－a≤0，即a≥2.所以实数a的取值范围是{a|a≥2}．答案{a|a≥2}6．设集合B＝{x∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解(1)x＝1时，62＋x＝2，适合条件，∴1∈B；x＝2时，62＋x＝32∉N，不适合条件，∴2∉B；(2)2＋x是6的正约数，则2＋x＝1,2,3,6，解得x＝－1,0,1,4，又x∈N，∴x＝0,1,4.∴B＝{0,1,4}．综合提高(限时25分钟)7．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含( )．A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析∵x2＝|x|＝±x，－3x3＝－x，∴选A.答案 A8．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )．A．0 B．2 C．3 D．6解析∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.答案 D9．已知集合A＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B用列举法表示是________．解析易求A＝{－2，－1,0,1,2}．∴B＝{(－2,5)，(－1,2)，(0,1)，(1,2)，(2,5)}．答案{(－2,5)，(－1,2)，(0,1)，(1,2)，(2,5)}10．若3∈{m－1,3m，m2－1}，则m＝________.解析由m－1＝3，得m＝4；由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去；由m2－1＝3，得m＝±2. 经检验，m＝4或m＝±2满足集合中元素的互异性．故填4，±2.答案 4，±211．已知集合A ＝{1,0，a}，若a 2∈A ，求实数a 的值．解 (1)若a 2＝1，则a ＝±1，当a ＝1时，集合A 中有两个相同元素1，舍去；当a ＝－1时，集合A 中有三个元素1,0，－1，符合．(2)若a 2＝0，则a ＝0，此时集合A 中有两个相同元素0，舍去．(3)若a 2＝a ，则a ＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去．综上可知：a ＝－1.12．(创新拓展)对于a ，b ∈N ＋，现规定：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b (a 与b 的奇偶性相同)，a ×b (a 与b 的奇偶性不同).集合M ＝{(a ，b)|a*b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？解 (1)当a ，b 奇偶性不同时，a*b ＝a ×b ＝36，则满足条件的(a ，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为：M ＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．。

北师大版高中数学必修一章末复习1．函数及其表示(1)函数的概念：函数是建立在两个非空数集乊间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：①已知f(x)的函数表达式，求定义域；②已知f(x)的定义域，求f(φ(x))的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；③已知f(φ(x))的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围．(2)相同函数：判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．同时应注意，解析式可以化简．(3)映射的概念：①映射是建立在两个非空集合乊间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性．判断给出的对应f：A→B是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以无原像，即B中可以有“空元”．②特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，幵且对于集合B中的仸一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素乊间存在一一对应的关系，幵把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射．③函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射．2．函数的基本性质函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等．(1)函数的奇偶性：具有奇偶性的函数的特点：a．对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；b．整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内仸意一个x都必须成立；c．可逆性：f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；d．图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(2)函数单调性：①单调性的判定：判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法．其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：a．设元：即设x1、x2是该区间内的仸意两个值，且x1<x2；b．作差：即作f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))；c．变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；d．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号，当符号不确定时，可以迚行分类讨论；e．结论：根据定义得出结论．②求函数的单调区间：求函数的单调区间通常可采用：a．利用已知函数的单调性；b．定义法：先求定义域，再利用单调性定义；c．图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”．3．二次函数的图像与性质(1)对于仸何二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)都可以通过配方化为y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b24a＝a(x －h)2＋k ，其中h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b24a.熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性质的关键．(2)研究二次函数时应注意二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中系数a ，b ，c 对函数图像及性质的影响：①二次项系数a 的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性；②一次项系数b 是否为0决定着函数的奇偶性，当b ＝0时，函数为偶函数；当b ≠0时，函数为非奇非偶函数．③c 是否为0决定着函数图像是否经过原点．④a 和b 共同决定着函数的对称轴，a ，b ，c 共同决定着函数的顶点位置．[例1] 求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x －1； (2)f(x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2； (3)f(x)＋2f(－x)＝x 2＋2x. [解] (1)设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)． ∵f(f(x))＝4x －1，∴f(ax ＋b)＝4x －1. ∴a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(2)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.∴f(t)＝2(t －1)2＋5(t －1)＋2＝2t 2＋t －1. ∴f(x)＝2x 2＋x －1.(3)由题意知f(x)＋2f(－x)＝x 2＋2x.①将x 换成－x ，得f(－x)＋2f(x)＝x 2－2x.② 联立①②消去f(－x)，得3f(x)＝x 2－6x ， 即f(x)＝13x 2－2x.[借题发挥]求函数的解析式常见的类型及求法(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法．已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围． (3)消元法．若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f(1x)等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f(x)．(4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围．(5)利用函数的奇偶性．1．解答下列各题：(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－x ＋1，求f(x)的解析式；(2)若f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝x 2＋1，求f(g(x))的解析式． (3)已知f(x)＋2f(1x )＝3x ，求f(x)的解析式；(4)若f(x)＝f(－x)·x ＋10，求函数的解析式f(x)． 解：(1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f(0)＝0.当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝(－x)2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1，即－f(x)＝x 2＋x ＋1， ∴x ＜0时，f(x)＝－x 2－x －1.∴f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x ＋1 （x ＞0），0 （x ＝0），－x 2－x －1 （x ＜0）；(2)f(g(x))＝(x 2＋1)2－2(x 2＋1)＝x 4－1.(3)由f(x)＋2f(1x )＝3x ，知f(1x )＋2f(x)＝3x.由上面两式联立消去f(1x )，可得f(x)＝2x －x ；(4)由f(x)＝f(－x)·x ＋10， 知f(－x)＝f(x)·(－x)＋10， 联立两式消去f(－x)，得f(x)＝－f(x)·x ·x ＋10x ＋10， 所以f(x)＝10x ＋10x 2＋1.[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝－x 2x 2＋1；(2)y ＝x 4＋2x 2－2； (3)y ＝x －1－2x.[解] (1)y ＝－x 2x 2＋1＝－（x 2＋1）＋1x 2＋1＝－1＋1x 2＋1. ∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1.∴－1＜1x 2＋1－1≤0.故函数的值域为(－1，0]；(2)函数的定义域是R ，设x 2＝t ，则t ≥0. 则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3，t ≥0. ∵y ＝(t ＋1)2－3在t ≥0上是单调递增的， ∴当t ＝0时，y 取最小值－2. ∴函数y ＝x 4＋2x 2－2的最小值为－2. ∴y ≥－2，故值域为[－2，＋∞)；(3)法一：由函数的解析式可知，1－2x ≥0，∴x ≤12.∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在(－∞，12]上均单调递增，∴函数y ＝x －1－2x 在(－∞，12]上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴原函数的值域为(－∞，12]．法二：设1－2x ＝t ，则x ＝1－t22(t ≥0)，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1(t ≥0)，可知函数y ＝－12(t ＋1)2＋1在[0，＋∞)上单调递减，∴y ≤－12(0＋1)2＋1＝12，∴原函数的值域为(－∞，12]．[借题发挥] 求函数的值域视解析式特点常用以下方法： (1)直接法．即由函数的定义域和对应法则直接导出值域． (2)图像法．即利用函数的图像求解．(3)配方法：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，通常先经过配方化为顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．(4)换元法．形如y ＝ax ＋b ＋cx ＋d(ac ≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二．(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域． 但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略．2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5]； (2)y ＝x ＋2x －1.解：(1)配方得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1，5]，由图知2≤y ≤11， 即函数的值域为[2，11]；(2)令u ＝2x －1，则u ≥0，x ＝u 2＋12，∴y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12.∴函数的值域为[12，＋∞)．[例3] 定义在R 上的偶函数f(x)，对仸意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，则( )A ．f(3)＜f(－2)＜f(1)B ．f(1)＜f(－2)＜f(3)C ．f(－2)＜f(1)＜f(3)D ．f(3)＜f(1)＜f(－2)[解析] 对仸意x 1x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有 f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，即x 2－x 1与f(x 2)－f(x 1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞]上是减函数，又f(x)在R 上是偶函数，故f(－2)＝f(2)，由于3＞2＞1＞0，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)． [答案] A [借题发挥]若将上题中的条件“f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0”改为“f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＞0”，则结果又如何？3．设函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在[1，＋∞)上是增加的．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．解：(1)由f(1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2.由f(2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称， 又f(x)的定义域为{x|x ≠－cb }(显然b ≠0，否则f(x)为偶函数)， ∴－cb＝0，即c ＝0.于是得f(x)＝a b x ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3.∴8b －32b<3. ∴0<b<32.又b ∈Z ，∴b ＝1，∴a ＝1.故a ＝b ＝1，c ＝0，符合f(x)在[1，＋∞)上是增加的； (2)f(x)在(－∞，－1]上是增函数， 在[－1，0)上是减函数． 证明如下： 由(1)知f(x)＝x ＋1x ，设x 1<x 2<0，而f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)当－1≤x 1<x 2<0时，显然x 1－x 2<0，0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0， ∴f(x 1)－f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2)． ∴f(x)在[－1，0)上是减函数． 当x 1<x 2≤－1时，显然x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，－1]上是增函数．综上，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，0)上是减函数.[例4] 对仸意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，幵且当x＞0时，f(x)＞1.f(3)＝4.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．[解] (1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0.∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(2)令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3，由(1)知f(x)是R上的增函数，∴f(x)在[1，2]上是增函数，∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.[借题发挥]抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．4．已知函数y＝f(x)对仸意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23(1)判断幵证明f(x)在R 上的单调性； (2)求f(x)在[－3，3]上的最大值，最小值． 解：(1)证明：令x ＝y ＝0，得f(0)＝0， 令x ＝－y ，得f(－x)＝－f(x)．在R 上仸取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)． ∵当x ＞0时，f(x)＜0，∴f(x 2－x 1)＜0， 即f(x 2)＜f(x 1)．∴f(x)在R 上为单调减函数；(2)由(1)知f(x)在[－3，3]上是减函数． ∴f(－3)最大，f(3)最小．f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×(－23)＝－2，∴f(－3)＝－f(3)＝2.故f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝(m ＋2)x m是幂函数，则实数m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：由已知m ＋2＝1，即m ＝－1. 答案：C2．给定映射f ：(x ，y)→(x ＋2y ，2x －y)，在映射f 下，(3，1)的原像为( ) A ．(1，3)B ．(1，1)C ．(3，1)D ．(12，12) 解析：由已知得⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.答案：B3．若函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，则f(f(1))等于()A ．2B ．4C ．1D ．3 解析：f(x)＝12＝1，∴f(f(1))＝f(1)＝1.答案：C4．函数f(x)＝x －1x －2的定义域是( ) A ．[1，2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，2)D ．[1，＋∞) 解析：由⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，得x ≥1且x ≠2，∴函数f(x)的定义域为[1，2)∪(2，＋∞)． 答案：A5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：因为a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a>0，c<0，所以图像开口向上，且与y 轴交于负半轴上．答案：D6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2 解析：y ＝x 2－2ax ＋1＝(x －a)2＋1－a 2，由已知得，a ≤2或a ≥3.答案：A7．min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{x ＋2，10－x}(x ≥0)，则f(x)的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵(x ＋2)－(10－x)＝2(x －4)，∴f(x)＝⎩⎨⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x>4.∴当0≤x ≤4时，f(0)≤f(x)≤f(4)，即2≤f(x)≤6；当x>4时，f(x)<f(4)＝6，∴f(x)∈(－∞，6]，∴f(x)max ＝6.答案：C8．设函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意，f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，∴b ＝4，f(－2)＝4－2b ＋c ＝－2，∴c ＝2.∴f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0. ∴f(x)＝x 即为x 2＋4x ＋2＝x(x ≤0)或x ＝2(x>0)，∴x ＝－1，－2或2.答案：C9．函数y ＝f(x)在(0，2)上是减函数，且关于x 的函数y ＝f(x ＋2)是偶函数，那么( )A ．f(52)＜f(3)＜f(12) B ．f(12)＜f(3)＜f(52)C ．f(3)＜f(12)＜f(52) D ．f(3)＜f(52)＜f(12) 解析：∵y ＝f(x ＋2)是偶函数，∴f(x ＋2)＝f(－x ＋2)．∴f(x)的对称轴是x ＝2.∴f(12)＝f(72)． ∵y ＝f(x)在(0，2)上是减函数且关于x ＝2对称，∴y ＝f(x)在(2，4)上是增函数．∴f(52)＜f(3)＜f(72)＝f(12)． 答案：A10．国家觃定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为( )A ．3 800元B ．5 600元C ．3 818元D ．3 000元解析：设这个人的稿费为x 元，纳税金额为y 元，依题意得y ＝⎩⎨⎧0，0<x ≤8000.14（x －800），800<x ≤4 000，0.11x ，x>4 000令0.14(x －800)＝420，解得x ＝3 800，∴这个人的稿费为3 800元．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．函数y ＝x 2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像对应的函数解析式是y ＝________．解析：函数y ＝x 2的图像向左平移1个单位，得函数y ＝(x ＋1)2，再将函数y ＝(x ＋1)2向上平移3个单位，得函数y ＝(x ＋1)2＋3.答案：y ＝(x ＋1)2＋312．若函数f(x)的定义域为[－1，2]，则函数f(3－2x)的定义域是________． 解析：∵f(x)的定义域为[－1，2]，∴f(3－2x)中，－1≤3－2x ≤2，得12≤x ≤2， ∴f(x)的定义域为[12，2]． 答案：[12，2] 13．已知f(2x ＋1)＝3x －4，f(a)＝4，则a ＝________．解析：设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12. ∴f(t)＝3·t －12－4＝3t 2－112. ∴f(a)＝3a 2－112＝4.∴a ＝193. 答案：19314．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝1＋3x ，则f(x)的解析式为________．解析：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝1＋3－x ＝1－3x ，又f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－1＋3x ，且f(0)＝0，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋3x ，x>0，0，x ＝0，－1＋3x ，x<0.答案：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋3x ，x>0，0，x ＝0，－1＋3x ，x<0三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2＋2(1－2a)x ＋6在(－∞，－1)上为减函数．(1)求f(2)的取值范围；(2)比较f(2a －1)与f(0)的大小．解：(1)二次函数f(x)图像的对称轴为x ＝2a －1，∴函数在(－∞，2a －1]上为减函数．∴－1≤2a －1.∴a ≥0.而f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a ＋14，∵a ≥0，∴f(2)＝14－8a ≤14；(2)∵当x ＝2a －1时，函数y ＝f(x)取最小值，∴f(2a －1)≤f(0)．16．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若f(3)＝1，且f(a)＞f(a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1，∴2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．∴不等式f(a)＞f(a －1)＋2可化为f(a)＞f(a －1)＋f(9)＝f(9(a －1))．∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎨⎧a ＞0，a －1＞0，a ＞9（a －1）.解乊得1＜a ＜98. ∴实数a 的取值范围是(1，98)． 17．(本小题满分12分)设函数f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f(x)在(0，＋∞)上递减，因为2a 2＋a ＋1＝2(a ＋14)2＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2(a －12)2＋52＞0， 且f(2a 2＋a ＋1)＜f(2a 2－2a ＋3)，所以2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，所以a ＞23. 18(本小题满分14分)根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f(t)与时间t 满足关系f(t)＝ ⎩⎨⎧t ＋20（0≤t<10，t ∈N ），－t ＋40（10≤t ≤20，t ∈N ），销售量g(t)与时间t 满足关系g(t)＝－t ＋30，(0≤t ≤20，t ∈N)，设商品的日销售额为F(t)(销售量与价格乊积)．(1)求商品的日销售额F(t)的解析式；(2)求商品的日销售额F(t)的最大值．解：(1)F(t)＝⎩⎨⎧（t ＋20）（－t ＋30）（0≤t<10，t ∈N ），（－t ＋40）（－t ＋30）（10≤t ≤20，t ∈N ），即F(t)＝⎩⎨⎧－t 2＋10t ＋600（0≤t<10，t ∈N ），t 2－70t ＋1 200（10≤t ≤20，t ∈N ）；(2)当0≤t<10，t ∈N 时，F(t)＝－(t －5)2＋625.∴F(t)的图像的对称轴为t ＝5.∴t ＝5时，F(t)max ＝625.当10≤t ≤20，t ∈N 时，F(t)＝(t －35)2－25.∴F(t)的图像的对称轴为t ＝35.∴F(t)在[10，20]上是减函数．∴t ＝10时，F(t)max ＝600.∵625>600，∴t ＝5时，F(t)max ＝625.即日销售额F(t)的最大值为625元．。

北师大版高中数学必修一§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测建议用时 实际用时满分 实际得分60分钟100分一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.设{|02}A x x ≤≤＝，{|12}B y y ≤≤＝，下列表示从集合A 到集合B 的函数图像的是( )2.已知函数1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是（ ） A.{|1}x x ≠- B.{|2}x x ≠- C.{|12}x x x ≠-≠-且 D.{|12}x x x ≠-≠-或3.已知()12g x x =-,221(())(0)xf g x x x -=≠，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A.15 B.1C.3D.304.定义域为R 的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()y f x a =+的值域为（ ） A.[2,]a a b + B.[0,]b a - C.[,]a b D .[,]a a b -+5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ） A.4个B.6个C.8个D.9个6.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.2,y x y x ==B.222,4y x x y x =-⋅+=-C.331,x y y x==D.2,()y x y x ==7.已知A B 、两地相距150千米，某人开汽车以 60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x （千米）表示为时间t (时)的函数解析式是（ ） A.60x t = B.6050x t t =+ C.60(0 2.5),15050( 3.5)t t x t t ≤≤⎧=⎨->⎩D.60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5)t t x t t t ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩8.设f g ，都是由集合A 到集合A 的映射，其对应关系如下表（从上到下）： 表1映射f 的对应关系原像 1 2 3 4 像3421表2映射g 的对应关系 原像 1 2 3 4 像4312则与((1))f g 的值相同的是（ ） A.((1))g f B.((2))g f C.((3))g fD.((4))g f二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 9.已知函数()f x 满足：2(21)821f x x x -=--，则()f x =_______.10.已知函数2(0),()34(0),x f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩则((6))f f =_______.11．已知(21)32f x x +-＝且()4f a =，则a 的值 为______. 12.已知映射f A B →：，其中集合{321A =---，，，01234}，，，，,集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是______.三、解答题（本大题共5小题，共52分） 13．（10分）求下列函数的定义域： （1）xx x y -+=||)1(0；（2）xxx y 12132+--+=．14.（10分）已知函数1()(x af x x a x+-=∈-R 且)x a ≠，当()f x 的定义域为11,32a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．15.（10分）作出下列各函数的图像：(1)1,y x x =-∈Z ；(2)1(0)y x x =->．16.（10分）（1）已知A =N ，B =R ．f x y →=：2121x x -+，,x A y B ∈∈，在f 的作用下，1113的原像是多少？14的像是多少？（2）设集合A =N ，B ={偶数}，映射f A B →：把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素2a a -，则在映射f 下，像20的原像是多少？（3）已知映射f A B →：，其中A =R ，(,)B x y =，x y ∈， R ，若2(11)f x x x →++：，，则A 中元素2的像是多少？B 中元素（2，2）的原像是多少？17.（12分）求下列函数的解析式：(1)已知：(+1)2f x x x ＝＋，求()f x 的解析式；(2)已知2()f x ax bx c =++，若(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，求()f x ．§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测参考答案1.D 解析：A 、B 选项不满足集合A 中的每个实数在集合B 中都有实数对应，故不正确；选项C 对集合A 中不等于2的实数在集合B 中都有两个实数对应，不符合唯一确定的要求，所以也不正确；D 选项的图形符合函数图像的要求，故选D.2.C 解析：由10x +≠，得1x ≠-，故函数(())f f x 中()1f x ≠-，即111x ≠-+，得1x ≠-且2x ≠-. 3.A 解析：令1()2g x =,得1122x -=，解得14x =.所以22115111416151241164f f g ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 4.C 解析：因为函数()f x 的定义域为R,所以x +a 的取值范围也是R,因此函数()y f x a =+的值域与函数()f x 的值域相同，是[a ,b ].5.D 解析：令2215x +=得2x =±；令22119x +=得3x =±，故使得函数值为5的情况有三种，即2,2,2x =-±，使得函数值为19的情况也有三种，即333x =-±，，，则“孪生函数”共有3×3=9（个）．故选D ．6.A 解析：B 、C 、D 三个选项中的两个函数的定义域不相同，不能表示同一个函数，A 选项中的两个函数的定义域与对应关系都相同，表示相同的函数.故选A.7.D 解析：从Ａ地到Ｂ地需用1502.560=(小时),当0 2.5t ≤<时,60x t =. 因为在B 地停留1小时,所以当2.5 3.5t ≤≤时,150x =.汽车经过3.5小时开始返回,由B 地到A 地需用150350=（小时）,因此当3.5 6.5t <≤时, 15050( 3.5)32550x t t =--=-.综上所述, 60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5).t t x t t t ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩8.A 解析：由题意知，(1)4g =，((1))(4)1f g f ==. 对于A ：((1))(3)1g f g ==，故A 正确； 对于B ：((2))(4)2g f g ==，故B 不正确； 对于C ：((3))(2)3g f g ==，故C 不正确； 对于D ：((4))(1)4g f g ==，故D 不正确，故选A ．9.4223x x +解析：令21t x =-，得212t x +=，故()f t =222(1)182142t t ++⨯-⨯-，整理得42()23f t t t =+，即42()23f x x x =+．10.25-解析：∵(6)4620f =-=-<，∴22((6))(2)235f f f =-==---. 11.5解析：∵37(21)32(21)22f x x x +=-=+-，∴37()22f x x =-.又()4f a =，即37422a -=，解得5a =.12.5 解析：∵ 对应关系为{32101234}f a a A →=---：，，，，，，，，， ∴ 0,1,2,3,4a =，共5个值，故集合B 中元素的个数为5.13.解：（1）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0的定义域是{|01}x x x <≠-且．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即3,22,0.x x x ⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪⎩∴0223≠<≤-x x 且.故函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<≤-0223x x x 且．14.解：()11()1a x f x a x a x--+==-+--.当13a +≤x ≤12a +时，12a --≤x -≤13a --，12-≤a x -≤13-，3-≤1a x-≤2-， 于是4-≤11a x-+-≤3-，即()f x 的值域为[4,3]--.15.解：(1)因为x ∈Z ，所以函数图像是由一些点组成的，这些点都在直线1y x =-上(如图①). (2)所给函数可化简为1(1),1(01),x x y x x -≥⎧=⎨-<<⎩是一条折线(如图②).16.解：(1)由21112113x x -=+，解得6x =，故1113的原像是6. 又214127214129⨯-=⨯+，故14的像是2729．（2）由220a a -=，解得5a =或4a =-. 又a ∈N ，故5a =，即20的原像是5．（3）把2x =代入2(11)x x ++，，可得2的像是(21)+，3.由212,12,x x +=⎧⎨+=⎩解得1x =，故（2，2）的原像是1．17.解：(1)方法一 (配凑法)：222=()2+11=(1)1x x x x x +-+-+， ∴22(1)(1)1(11)()1(1)f x x x f x x x +++≥=≥＝-，即-． 方法二(换元法)：令1t x =+，则2(1)1x t t =-≥，.代入原式得()222()(1)2(1)21+22=11f t t t t t t t t =--=+-≥+--，即()()2 1 1f x x x ≥＝－．(2)∵()00f c ＝＝，∴22(1)(1)(1)(2)f x a x b x c ax a b x a b ＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋， ()2211(1)1f x x ax bx x ax b x ＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋.∴211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，⇒1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()21122f x x x ＝＋.。

北师大版高中数学必修一 第三章 指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x(k ∈R ，a>0，且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n(m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝mn a ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝n a m(a>0)；(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝__________________(a>0，m 、n ∈N ＋，且n>1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质(1)a m a n＝________(a>0)；(2)(a m )n＝________(a>0)；(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．一、选择题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④B ．②③④ C ．②③D ．③④2．若2<a<3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( ) A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1 3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是( ) A ．(－12)－1B ．122-C ．1212-⎛⎫⎪⎝⎭D ．2－14．化简3a a 的结果是( )A ．aB ．12aC ．a 2D ．13a5．下列各式成立的是( ) A.3m 2＋n 2＝()23m n +B ．(b a)2＝12a 12bC.6(－3)2＝()133- D.34＝1326．下列结论中，正确的个数是( ) ①当a<0时，()322a＝a 3；②n a n＝|a|(n>0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题 7.614－3338＋30.125的值为________． 8．若a>0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x>0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.三、解答题 10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy)－1(xy ≠0)；(2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x<3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升 12．化简：413322333842a a b b ab a-++÷(1－23b a)×3a.13．若x>0，y>0，且x －xy －2y ＝0，求2x －xyy ＋2xy 的值．第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质知识梳理1．正整数 指数型 2.(3)1m na(4)0 没有意义3．(1)a m ＋n(2)a mn(3)a n b n作业设计1．D [①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2；②错，416＝2，而±416＝±2.] 2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|，∵2<a<3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1.] 3．C [∵(－12)－1＝－2,122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，∵2>22>12>－2， ∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.]4．B [原式＝132aa ＝332a ＝12a .]5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A 选项错；(b a )2＝b2a2，B 选项错；6(－3)2>0，()133-<0，C 选项错．故选D.]6．B [①中，当a<0时，()322a ＝[()122a ]3＝(－a)3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎨⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a＝5,10b＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b＝10. ∴2a ＋b ＝1.④正确．] 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3 ＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22yx a +＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5.9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()113212xy xy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦·()12xy ·(xy)－1＝13x ·23y 16x16y-·12x-·12y-＝13x ·13x -＝⎩⎨⎧1， x>0－1， x<0.(2)原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x<3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎨⎧－2x －2 (－3<x<1)－4 (1≤x<3).12．解 原式＝()1321123333842aa b b a b a-++÷1133132a b a-×13a＝()1321123333842aa b b a b a-++·1311332aa b -·13a＝()33113382a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a (a －8b )a －8b＝a.13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x>0，y>0， ∴(x)2－xy －2(y)2＝0， ∴(x ＋y)(x －2y)＝0， 由x>0，y>0得x ＋y>0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。

北师大版高中数学必修一双基限时练(十八) 指数函数的图像和性质(一)基础强化1．已知函数f(x)＝a x在R上是增函数，则实数a的取值范围是( )A. 0<a<1B. a<1C. a>1D. R答案 C2．函数f(x)＝2x－1的定义域是( )A. (－∞，0)B. [0，＋∞)C. (－∞，0]D. (－∞，＋∞)解析由2x－1≥0，得2x≥1，即x≥0.答案 B3．函数y＝a x在[0,1]上的最大值和最小值的和为3，则a＝( )A. 12B. 2C. 4D. 1 4解析由题可知a0＋a1＝3，得a＝2.答案 B4．若函数f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )A. a>1，b>0B. a>1，b<0C. 0<a<1，b>0D. 0<a<1，b<0解析 由图像可知0<a<1，又f(0)∈(0,1)， 即0<a －b <1，－b>0，即b<0. 答案 D5．三个数a ＝0.32，b ＝0.32.1，c ＝20.3的大小关系是( ) A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<cD. b<c<a解析 ∵20.3>1,0<0.32.1<0.32<1，∴b<a<c. 答案 C6．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ，下列五个关系式：①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 作y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 的图像，如图． 当x<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ，则有a<b<0，②成立．当x>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ，则有0<b<a ，①成立．当x ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13b ，则有a ＝b ＝0，⑤成立．故③④不成立，因而选B. 答案 B7．已知a>0，且a ≠1，则函数y ＝a(x 2－4x －12)＋1的图像恒过定点________．解析 由x 2－4x －12＝0，得x ＝－2，或x ＝6. 答案 (－2,2)，(6,2)能 力 提 升8．若函数f(x)＝a x (a>0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增加的，则a ＝________.答案 149．若直线y ＝2a 与y ＝|a x －1|(a>0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a>1时，y ＝|a x －1|的图像如图(1)，而y ＝2a>2，不可能与y ＝|a x －1|的图像有两个交点；当0<a<1时，y ＝|a x －1|的图像如图(2)，它与y ＝2a 的图像有两个交点，则0<2a<1，故0<a<12答案 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1210．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝31－x；(2)y ＝5－x －1.解 (1)要使函数y ＝31－x有意义，只要1－x ≥0，即x ≤1， 所以函数的定义域为{x|x ≤1}．设y ＝3u ，u ＝1－x ，则u ≥0，由函数y ＝3u 在[0，＋∞)上是增函数，得y ≥30＝1，所以函数的值域为{y|y ≥1}．(2)函数y ＝5－x －1对任意的x ∈R 都成立， 所以函数的定义域为R.因为5－x ＞0，所以5－x －1＞－1， 所以函数的值域为(－1，＋∞)．11．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a>0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解 当a>1时，设a x ＝t ，∵x ∈[－1,1]，∴t ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a ，a .∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1＝14， 得a ＝3，或a ＝－5(舍)．当0<a<1时， 设a x ＝t ，∵x ∈[－1,1]， ∴a ≤t ≤1a，∴y ＝t 2＋2t －1；当t ＝1a 时，y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2＋2·1a －1＝14，得1a ＝3，或1a ＝－5(舍)， 得a ＝13，综上得a 的值为3或13.12．已知函数f(x)＝a －22x ＋1(1)求f(0)；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x 的范围． 解 (1)f(0)＝a －220＋1＝a －1.(2)∵f(x)的定义域为R ，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2). ∵y ＝2x 在R 上单调递增，又x 1<x 2， ∴2x 1－2x 2<0.∴2x 1＋1>0,2x 2＋1>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0. ∴f(x)在R 上单调递增．(3)∵f(x)为奇函数．∴f(－x)＝－f(x)，得a ＝1. ∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)， 又f(x)在R 上单调递增，∴x<2.考 题 速 递13．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a解析 ∵14<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a<1，∴0<a<b<1，∴根据y ＝a x 的单调性可知a a >a b ， 根据y ＝x a 的单调性可知a a <b a ， ∴a b <a a <b a . 答案 C。

北师大版高中数学必修一第二章 函数 测试题（时间：120分钟 满分150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．[1，2)∪(2，+∞） B.(1，+∞） C.[1，2) D.[1，+∞) 2．下列四组函数，表示同一函数的是 ( )A. 22)(,)()(x x g x x f ==B. 2(1)(),()11x f x g x x x -==-- C. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==3．已知函数()n f y =，满足()81=f ，且()()71+=+n f n f ，n N +∈.则()3f =.（ ）A . 7B . 15C . 22D . 284．设()f x 是满足f(x+2)=f(x)的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则)25(-f =( )A.12-B.14-C.14D.125．已知函数f （x ）的定义域为[1，2]，则函数f （2x+1）的定义域为（ ）A ．[3，5]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，12]6．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7.下列函数中：①31xy =；②23-=x y ；③24x x y +=；④32x y =是幂函数的个数为 ( )A.1B.2C.3D.48.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()()1f x x x =+；当0x <时，()f x =( ) A. ()1x x -- B. ()1x x - C. ()1x x -+ D. ()1x x +9.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A.{}|303x x x -<<>或B.{}|303x x x <-<<或C.{}|33x x x <->或D.{}|3003x x x -<<<<或10．已知函数2)1(1)(---=x x f ，若2021<<<x x ，则（ ） A.11)(x x f ＞ 22)(x x f B.11)(x x f ＝ 22)(x x f C ．11)(x x f ＜ 22)(x x f D.无法判断11)(x x f 与 22)(x x f 的大小 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上） 11．设函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，1()12f x x =+，则不等式()f x x >的解集用区间表示为_________. 12．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是.13．若()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=-，则()f x =． 14．对于定义在R 上的函数()x f ，有如下四个命题：① 若()00=f ，则函数()x f 是奇函数；②若()(),44f f ≠-则函数()x f 不是偶函数； ③ 若()(),40f f <则函数()x f 是R 上的增函数；④若()(),40f f <则函数()x f 不是R 上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.15．一次研究性课堂上，老师给出函数()1||xf x x =+，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题： 甲：函数()f x 为偶函数；乙：函数)1,1()(-的值域为x f ； 丙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠你认为上述三个命题中正确的个数有个.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （12分）已知函数21()1f x x =-. （1）设()f x 的定义域为A ，求集合A ；（2）判断函数()f x 在（1，+∞）上单调性，并用单调性的定义加以证明.17．（12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，12)(2--=x x x f .（1）求)(x f 的函数解析式，并用分段函数的形式给出； （2）作出函数)(x f 的简图；（3）写出函数)(x f 的单调区间及最值．18．（12分）某商店经销一种奥运纪念品，据预测，在元旦后的20天内的每天销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且第t 天的销售量近似满足g(t)＝80－2t （件），第t 天的价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（1）试写出该纪念品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数关系式； （2）求该纪念品的日销售额y 的最大值与最小值． 19．（12分）已知函数),(1)(*N b a x b ax x f ∈+-=，21)1(=f 且2)2(<f .（1）求b a ,的值；（2）判断并证明函数)(x f y =在区间),1(+∞-上的单调性. 20．（13分）已知函数()2m f x x x=-，且()742f =.（1）求实数m 的值；（2）判定函数()f x 的奇偶性；（3）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并给予证明.21．（14分）已知函数2()2(3)12f x x a x a =-+++-，()(12)g x x x a =-+，其中a R ∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上为减函数； （3）当[1,3]x ∈-，函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像上方，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1. A 2 . D 3. C 4. A 5.D 6. A 7. B 8.B 9.D 10.C 提示：1．要使函数有意义，需要10,20x x -≥⎧⎨-≠⎩解得函数的定义域为[1，2)∪(2，+∞).2. A 中()f x 的定义域为[)0,+∞，()g x 的定义域为R ；B 中()f x 的定义域为{}1x x ≠()g x 的定义域为R ；C 中()f x 的定义域为[)2,+∞,()g x 的定义域为(][),22,-∞-⋃+∞；而D 中的()33,g x x x x R ==∈与()f x 完全相同.3．()2f =8+7=15，()3f =15+7=22，选C.4．5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-=-=-=-⨯⨯-=-，故选A.5.因为原函数的定义域为[1，2]，,所以1≤2x+1≤2，得0≤x ≤12,函数f （2x+1）的定义域为[0，12]．故选D.6．在同一直角坐标系中作出图像，发现有4个交点.故选A. 7．由幂函数的定义可知①④是幂函数，故选B.8.设0x <，则0x ->，所以()()1f x x x -=--，又函数()f x 是奇函数，所以()()()1f x f x x x =--=-.9.法1：因为()f x 是奇函数，在(0,)+∞内是增函数，所以在(),0-∞也是增函数，因(3)0f -=，所以()30f =，所以当x ∈(),3-∞-或x ∈(0,3)时，有()0f x <；当x ∈()3,0-或x ∈(3,)+∞时，有()0f x >，所以()0x f x ⋅<的解集为{}|3003x x x -<<<<或法2：由()f x 是奇函数，则()()g x xf x =是偶函数，显然能使()0x f x ⋅<的解集应该是关于原点对称的，由(3)(3)0f f -=-=，且()f x 在(0,)+∞内是增函数，所以x ∈(0,3)时，有()0f x <，也有()0x f x ⋅<，又由对称性可得解集.10．因为22()1212f x x x x x =--+-=--+，当02x <<时，2()22f x x x x x xx-+=-=--+是增函数，则当2021<<<x x 时，11)(x x f ＜ 22)(x x f . 二、填空题11.(,2)(0,2)-∞- 12. 34 13.21xx - 1 4. ②④ 15.2提示：11．因为函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，1()12f x x =+，所以当0x <时，-0x >，11()()[()1]122f x f x x x =--=--+=-；由0,112x x x >⎧⎪⎨+>⎪⎩得02x <<；由0,112x x x <⎧⎪⎨->⎪⎩得2x <-，故答案为(,2)(0,2)-∞-.12．11)1(11)(2+-=--=x x x x x f ，故当21=x 时34121411)(max =+-=x f .13．因为1()()1f x g x x +=-，又因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()11g x f x x -=--，两式相减消去()g x 整理可得.14．①例如2()f x x =满足(0)0f =，但函数()f x 不是奇函数；故①错误； ②若()(),44f f ≠-则函数()x f 不是偶函数；正确；③例如2()f x x =，(0)(4)f f <，但函数()f x 在R 上不是增函数；故③错误； ④若(0)(4)f f <，则函数()f x 不是R 上的减函数，正确.所以填②④.15．,01()0,01,01xx x xf x x x x x x⎧>⎪+⎪===⎨+⎪⎪<-⎩因为()()f x f x -=-，所以函数是奇函数,甲错.先研究当x>0时，()1x f x x=+111x =-+.所以()(0,1)f x ∈.所以乙是正确的.由x>0时111x -+是递增的.所以丙是正确的.所以填2.三、解答题16．解：（1）由210x -≠，得1x ≠±，所以函数21()1f x x =-的定义域为{|1}x x ∈≠±R （2）函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减.证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，设12x x <， 则210,x x ->12122122222112()()1111(1)(1)x x x x y y x x x x -+-=-=----. 121,1,x x >>22121210,10,0.x x x x ∴->->+>又12x x <，所以120,x x -< 故210.y y -<因此，函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减. 17．解：（1）当0<x 时，0>-x ，则121)(2)()(22-+=----=-x x x x x f)(x f 是偶函数 ,12)()(2-+=-=∴x x x f x f . 所以2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩.（2）函数)(x f 的简图如图.（3）单调增区间为[]0,1-和)[∞+,1,单调减区间为](1,-∞-和][1,0,当1=x 或1-时，)(x f 有最小值-2 .18．解：（1）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=---＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<<⎧⎨--⎩≤≤（2）当0<t ＜10时，y 的取值范围是[1200，1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600． 所以第5天，日销售额y 取得最大，为1225元；第20天，日销售额y 取得最小，为600元．答：日销售额y 最大为1225元；最小为600元．19．解：（1）因为212)1(=-=b a f ，21+=b a ，由232)2(<-=b a f ，23<∴b ，又*,N b a ∈∴，1=∴b ，1=a ,11)(+-=x x x f .（2）由（1）得11)(+-=x x x f ，函数在),1(+∞-单调递增.证明：任取21,x x 且211x x <<-，)1111()()11(11)()(1221221121+-++-=+--+-=-x x x x x x x x x f x f ])1)(1(11)[()1)(1()(2121212121+++-=++-+-=x x x x x x x x x x0)1)(1(11,0,1212121>+++<-∴<<-x x x x x x ，0])1)(1(11)[(2121<+++-∴x x x x ,即)()(21x f x f <，故函数11)(+-=x x x f 在),1(+∞-上单调递增. 20．解：（1）因为()742f =，所以27442m -=，所以1m =.（2）因为()f x 的定义域为{|0}x x ≠，又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 是奇函数． （3）任取120x x >>，则()()()12121212122221f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为120x x >>，所以121220,10x x x x ->+>，所以()()12f x f x >， 所以函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数. 21．解：（1）函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，222()(3)()122(3)12x a x a x a x a ∴--++⋅-+-=-+++-,(3)3,3a a a ∴-+=+∴=-,2()27f x x ∴=-+ .即函数()f x 的图象是顶点为(0,7)，对称轴为y 且开口向下的抛物线，()f x ∴在区间[1,0]-上递增，在区间[0,3]上递减.又22(3)23711,(1)2(1)75f f =-⨯+=--=-⨯-+=,∴ 函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为11-．（2）设任意12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，则22212211()()[2(3)12][2(3)12]f x f x x a x a x a x a -=-+++---+++- 2212212()(3)()x x a x x =-++-1212()[2()(3)]x x x x a =-+-+ . 2112121,0,2()4x x x x x x >≥∴-<+>.又121,34,2()(3)0a a x x a ≤∴+≤∴+-+>.2121()()0,()()f x f x f x f x ∴-<<即.∴当1a ≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上为减函数.（3）对于[1,3]x ∈-，函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像上方，等价不等式22(3)12x a x a -+++-＞(12)x x a -+在[1,3]x ∈-上恒成立，即(2)130a x a ++->在[1,3]x ∈-上恒成立，(2)(1)130(2)3130a a a a +⋅-+->⎧∴⎨+⋅+->⎩，解得14a <-，所以所求实数a 的取值范围为1(,)4-∞-.。

2．2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．知识点一解析法思考一次函数如何表示？答案y＝kx＋b(k≠0)．梳理一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．知识点二图像法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？答案对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．梳理用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．函数三种表示法的优缺点：1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(×)2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图像．(×)3．函数y ＝f (x )的图像上任一点(x 0，y 0)必满足y 0＝f (x 0)．( √ )4．列表法表示y ＝f (x )，y 对应的那一行数字可能出现相同的情况．( √ )类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式．(1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数；考点 求函数的解析式题点 待定系数法求函数解析式解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.(2)f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2； 考点 求函数的解析式题点 换元法求函数解析式 解 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2， ∴f (x )中的x 与f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 中的x ＋1x取值范围相同， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .。

北师大版高中数学必修一双基达标 (限时20分钟)1．下列给出的式子是分段函数的是( )．A ．f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋1，1≤x ≤52x ，x ＜1B ．f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2C ．f(x)＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ＜0x －1，x ≤1解析 主要看是否是一对多，排除B 、C 、D ，选择A. 答案 A2．下图中，可表示函数y ＝f(x)的图像只能是( )．解析 只有D 满足对任意x 都有唯一的y 与之对应． 答案 D3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看做时间t 的函数，其图像可能是( )．解析 搞清楚汽车行驶过程中的每一阶段的路程随时间的变化情况是解题的关键．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t 的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s 随时间t 的变化越来越慢，排除B. 答案 A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x 1 2 3 f(x)231x 1 2 3 g(x)321则f(g(1))＝________； 当g(f(x))＝2时，x ＝________.解析 由题意知，g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1. ∵g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x ＝1. 答案 1 15．给出函数f(x)的图像如图，则f(x)的解析式是________． 解析 由图像知函数是分段函数，分别对每段求解析式．答案 f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0－x ，0≤x ≤16．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，求f(x)的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x21＋x2，求f(x)的解析式．解 (1)∵x ＋1x ＝1＋1x ，令1＋1x ＝t ，则x ＝1t －1(t ≠1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x 2＋1x ＋1，即f(t)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1，∴f(x)＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)令1－x 1＋x ＝t(x ≠－1)，则x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，∴f(t)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝(1＋t )2－(1－t )2(1＋t )2＋(1－t )2＝2t 1＋t 2(t ≠－1)， ∴f(x)＝2x1＋x 2(x ≠－1)．综合提高 (限时25分钟)7．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图像可能是( )．解析 由函数解析式可知，当x ＞b 时，y ＞0；当x ≤b 时，y ≤0，结合图像知，应选C. 答案 C8．某人去上班，由于担心迟到，因此跑着赶路，直到跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示与工作单位的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图像中比较符合此人走法的是( )．解析 一开始离工作单位最远，排除A 、C ；开始跑得快，故在较少时间内离工作单位越来越近，故一开始时减得快，后来减得慢，即开始时倾斜程度较陡，后来较缓． 答案 D9．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，－1≤x ≤0，－12x ，0＜x ＜2，3，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________，f(1)＝________，f(6)＝________.解析 分段函数的求值问题，关键是将自变量对应到相应的“段”，然后代入求解．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，f(1)＝－12×1＝－12，f(6)＝3.答案 1 －12310．对于任意的实数x 1，x 2，min{x 1，x 2}表示x 1，x 2中较小的那个数，若f(x)＝2－x 2，g(x)＝x ，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析 不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，当2－x 2＞x ，即－2＜x ＜1时，h(x)＝x ；当2－x 2≤x ，即x ≥1或x ≤－2时，h(x)＝2－x 2. 故h(x)＝⎩⎨⎧x ，－2＜x ＜1，2－x 2，x ≥1或x ≤－2.如图，两个图像取下方的部分即为此函数的图像，由图像可知：当x 取1时，h(x)取得最大值1，所以min{f(x)，g(x)}的最大值是1. 答案 111．已知函数f(x)＝3x ＋7x ＋2. (1)画出函数f(x)的图像；(2)观察图像写出函数的定义域和值域． 解 (1)y ＝3x ＋7x ＋2＝3x ＋6＋1x ＋2＝3＋1x ＋2.将y ＝1x 的图像向左平移两个单位得y ＝1x ＋2的图像，再向上平移三个单位得y ＝1x ＋2＋3的图像．图像如图所示．(2)观察函数的图像，可知图像上所有点的横坐标的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，图像上所有点的纵坐标的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)，则函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，值域是(－∞，3)∪(3，＋∞)． 12．(创新拓展)某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图．(1)用解析法表示这个函数； (2)求出9 s 时质点的速度；(3)当v(t)＝27(cm/s)时，对应的时间t 是多少？解 (1)当0≤t ≤5时，可设v ＝kt ＋b(k ≠0)，将(0,10)和(5,15)代入，得⎩⎨⎧10＝b ，15＝5k ＋b ，∴v ＝t ＋10；仿上可求得5≤t ≤10,10≤t ≤20,20≤t ≤30时所对应的解析式．∴v(t)＝⎩⎨⎧t ＋10，0≤t ＜5，3t ，5≤t ＜10，30，10≤t ＜20，－3t ＋90，20≤t ≤30.(2)由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度是v(9)＝3×9＝27(cm/s)．(3)当0≤t ＜5时，v(t)＝t ＋10＝27，解得t ＝17(舍)； 当5≤t ＜10时，v(t)＝3t ＝27，解得t ＝9； 当10≤t ＜20时，v(t)＝30≠27，无解．当20≤t ≤30时，v(t)＝－3t ＋90＝27，解得t ＝21. 综上可知t ＝9或21.另解：由v 与t 图像可知只有5≤t ＜10和20≤t ≤30时，v(t)＝27(cm/s)才可能成立，故v(t)＝－3t＋90＝27或v(t)＝3t＝27，解得t＝9或21.。