高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第05节 三角恒等变换 2

2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

第四章 三角函数及三角恒等变换第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换第一局部 五年高考荟萃2021年高考题一、选择题1.(2021年卷文)函数1)4(cos 22--=πx y 是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭为奇函数,22T ππ==,所以选A. 答案 A2.〔2021全国卷Ⅰ理〕假如函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为〔 〕A .6πB.4πC.3πD.2π解析:函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称 423k πφπ∴⋅+=42()3k k Z πφπ∴=-⋅∈由此易得min ||3πφ=.应选C 答案 C3.〔2021全国卷Ⅰ理〕假设42x ππ<<，那么函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

解析:令tan ,x t =142x t ππ<<∴>,4432224222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------答案4..〔2021理〕a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D5..〔2021文〕a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是〔 〕【命题意图】此题是一个考察三角函数图象的问题，但考察的知识点因含有参数而丰富，结合图形考察使得所考察的问题形象而富有深度． 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案 D6.(2021卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,应选B.答案:B【命题立意】:此题考察三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进展化简解析式的根本知识和根本技能,学会公式的变形. 7.(2021卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)42sin(1π++=x y D. cos 2y x =解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22cos y x x =+=,应选A.答案:A【命题立意】:此题考察三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进展化简解析式的根本知识和根本技能,学会公式的变形.8〔2021卷理〕函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的间隔 等于π，那么()f x 的单调递增区间是A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈解析 ()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，应选C答案 C9..〔2021卷文〕设函数，其中，那么导数的取值范围是 A.B.C.D.解析 21(1)sin 3x f x xθθ='=⋅+⋅sin 32sin()3πθθθ=+=+520,sin()(1)2,21232f πθπθ⎤⎡⎤⎤'∈∴+∈∴∈⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎦，选D 10.〔2021卷文〕函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π答案：A解析 由()(13tan )cos cos 32sin()6f x x x x x x π=+=+=+可得最小正周期为2π,应选A.11.〔2021卷理〕假设函数()(13)cos f x x x =+，02x π≤<，那么()f x 的最大值为A ．1B ．2C 31+D 32+ 答案：B解析 因为()(1)cos f x x x =+=cos x x =2cos()3x π-当3x π=是，函数获得最大值为2. 应选B12.(2021卷理)函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π答案 B(,)a x y ''=，根据定义cos[2()]26y y x x π''-=-+-，根据y 是奇函数，对应求出x '，y '13.〔2021全国卷Ⅱ理〕假设将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，那么ω的最小值为 A ．16B.14C.13D.12解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x πππππωωω⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位164()662k k k Z ππωπωπ+=∴=+∈∴-， 又min102ωω>∴=.应选D 答案 D14..〔2021卷理〕函数()sin cos f x x x =最小值是 ( ) A ．-1 B. 12- C. 12答案 B解析 ∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.应选B 15.〔2021卷理〕函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如下图，2()23f π=-，那么(0)f =( )A.23-B. 23C.－ 12D. 12解析 由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23答案 B16.〔2021全国卷Ⅰ文〕假如函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为 A.6π B.4π C.3π D.2π【解析】本小题考察三角函数的图象性质，根底题。

专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形三角恒等变换一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.已知x ∈),2(ππ，cos2x ＝a ，则cosx ＝()A.1－a2B ．－1－a2C. 1＋a2D ．－1＋a2【答案】D【解析】依题意得cos2x ＝1＋cos2x 2＝1＋a2；又x ∈),2(ππ，因此cosx ＝－1＋a2. 2. 【成都七中数学阶段性测试题，理8】已知10,2sin cos 2a R αα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ） A ．43B ．7-C ．34-D ．17【答案】B3. 【皖南八校高三第一次联考，理6】函数()cos 22sin f x x x =+的最小值与最大值的和等于( ) A.2 B.0 C.32- D.12- 【答案】C4.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=( )A ．13B ．13- C ．23D ．23- 【答案】C【解析】22sin 1222cos 14cos 2απαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322311=+=，故选C. 5. 已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（ ） （A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【答案】D【解析】由已知，sinα＝－35，又02-<<πα，故cosα＝45 ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×（－35）×45＝－24256. 已知tan 222α=-，且满足42ππα<<，则⎪⎭⎫⎝⎛+--απαα4sin 21sin 2cos 22值（ ）A ．2B ．－2C ．223+-D ．223- 【答案】C22cos sin 1cos sin 222sin cos cos sin 444ααααπππααα---=⎛⎫⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎭cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++1tan 22231tan 12αα-===++．故C 正确． 7. 若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．118B ．118- C ．1718 D ．1718-【答案】D ．8. 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C9.设a R ∈，函数2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-满足()(0)3f f π-=．则()f x 的单调递减区间为（ ） A. )Z ](65,3[∈+-k k k ππππ B. )Z ](65,6[∈++k k k ππππ C. )Z ](3,65[∈--k k k ππππ D.)Z ](65,3[∈++k k k ππππ 【答案】D10. 已知ABC ∆中，83sin ,cos 175A B ==，则cos C 等于 A ．1385-或7785 B ．7785 C ．7785- D ．1385-【答案】D11.已知函数23()3sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=+-，其中0ω>.若()f x 在区间[,]36ππ-上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．23 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B【解析】因为sin y x =在每个区间[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈上为增函数，故23()3sin cos 3cos 3sin(2)(0)6f x x x x x πωωωωω=+-=+>在每个闭区间[,]()36k k k Z ππππωωωω-+∈上为增函数，依题意知：[,][,]3636k k ππππππωωωω-⊆-+对某个k Z ∈成立，此时必有0k =，于是3366ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得1ω≤，故ω的最大值为1. 12. 【高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。

三角恒等变换挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向 关联考点 三角函数的化简和求值(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2018课标Ⅲ,4,5分三角函数 的求值 二倍角公式★★★2015课标Ⅰ,2,5分三角函数的 求值和化简两角和的正弦 公式、诱导公式2016课标Ⅱ,9,5分三角函数的求值和化简二倍角的余弦 公式和诱导公式分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.破考点 【考点集训】考点 三角函数的化简和求值1.(2018某某第一次模拟,3)已知tan α=3,则sin2α1+cos2α=( ) A.-3B.-13C.13D.3答案 D2.(2017某某冀州第二次阶段性考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( )A.√2B.√3C.2D.√5答案 C3.函数y=cos 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-1是 ( )A.周期为π3的函数B.周期为π2的函数 C.周期为π的函数 D.周期为2π的函数 答案 C4.(2018某某三湘名校教育联盟第三次联考,13)已知cos (π6-α)=14,则cos (2π3+2α)=.答案 78炼技法 【方法集训】方法 三角函数化简、求值的解题方法1.(2018某某某某3月模拟,4)√3cos 15°-4sin 215°cos 15°=( ) A.12 B.√22 C.1 D.√2 答案 D2.(2018某某江淮十校第三次(4月)联考,7)已知tan (π4-α)=43,则sin 2(π4+α)=( )A.725B.925C.1625D.2425 答案 B3.(2017某某百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tan π12=2tan αtan π12-2,则sin (α+5π6)=( ) A.-√1010B.√1010C.-3√1010D.3√1010答案 C4.(2018某某八校联考,10)已知3π≤θ≤4π,且√1+cos α2+√1-cos α2=√62,则θ=( )A.10π3或11π3B.37π12或47π12C.13π4或15π4D.19π6或23π6答案 D过专题 【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=13,则cos 2α=( )A.89B.79C.-79D.-89答案 B2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725 B.15 C.-15 D.-725 答案 D3.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12D.12答案 DB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2015某某,9,5分)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 答案 C2.(2017某某,5,5分)若tan (α-π4)=16,则tan α=.答案 753.(2018某某,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.(1)因为tan α=43,tan α=sin αcos α,所以sin α=43cos α. 因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos 2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tan α=43,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247. 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+α)1+tan2αtan(α+α)=- 211.C 组 教师专用题组1.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sin αcos α,则( )A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2 答案 C2.(2016某某,11,5分)cos 2π8-sin 2π8=. 答案√223.(2016某某,10,6分)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=. 答案 √2;14.(2015某某,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是. 答案√625.(2015某某,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为. 答案 36.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ·cos(x+φ)的最大值为. 答案 17.(2014某某,5,5分)已知函数y=cos x 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是. 答案π68.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设θ为第二象限角,若tan (α+π4)=12,则sin θ+cos θ=. 答案 -√1059.(2016某某,15,14分)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (α-π6)的值. 解析 (1)因为cos B=45,0<B<π, 所以sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理知ααsin α=ααsin α, 所以AB=αα·sin αsin α=6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π, 所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos (α+π4)=-cos Bcos π4+sin B·sin π4, 又cos B=45,sin B=35,故cos A=-45×√22+35×√22=-√210.因为0<A<π,所以sin A=√1-cos 2A =7√210.因此,cos (α-π6)=cos Acos π6+sin Asin π6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.评析 本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.10.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=Asin (α+π4),x∈R,且f (5π12)=32. (1)求A 的值;(2)若f(θ)+f(-θ)=32,θ∈(0,π2),求f (3π4-θ).解析 (1)f (5π12)=Asin (5π12+π4)=32,∴A·√32=32,A=√3. (2)f(θ)+f(-θ)=√3sin (α+π4)+√3sin (-α+π4)=32, ∴√3[√22(sin α+cos α)+√22(-sin α+cos α)]=32,∴√6cos θ=32,cos θ=√64,又 θ∈(0,π2),∴sin θ=√1-cos 2θ=√104, ∴f (34π-α)=√3sin(π-θ)=√3sin θ=√304. 11.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(-π2,π2).(1)当a=√2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f (π2)=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析 (1)当a=√2,θ=π4时, f(x)=sin (α+π4)+ √2cos (α+π2)=√22(sin x+cos x)-√2sin x=√22cos x-√22sin x=sin (π4-x ), 由x∈[0,π],知π4-x∈[-3π4,π4].故f(x)在[0,π]上的最大值为√22,最小值为-1. (2)由{α(π2)=0,α(π)=1得{cos α(1-2αsin α)=0,2αsin 2θ-sin α-α=1,由θ∈(-π2,π2)知cos θ≠0,解得{α=-1,α=-π6.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届某某高三第一次调研测试,5)已知tan(α+β)=25,tan (α-π4)=14,则tan (α+π4)的值为( ) A.16 B.2213 C.322 D.1318 答案 C2.(2019届某某某某第一中学高三第二次质检,6)已知函数f(x)={sin(α+α),α≤0,cos(α+α),α>0是偶函数,则下列结论可能成立的是( ) A.α=π4,β=-π4B.α=2π3,β=π6C.α=π3,β=π6 D .α=5π6,β=2π3答案 C3.(2019届某某某某高三第一次十校联考,8)已知cos (α-π12)=35,计算sin (5π3-2α)的值为( ) A.-725B.725C.2425D.-2425答案 B4.(2019届某某某某11月“八校联考”,4)已知sin (π6+α)=cos (π6-α),则cos 2α=( ) A.1 B.12 C.0 D.-1答案 C5.(2019届某某某某实验,某某一中等六校第一次联考,8)已知A 是函数f(x)=sin (2 018α+π6)+cos (2 018α-π3)的最大值,若存在实数x 1,x 2对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立,则A·|x 1-x 2|的最小值为( ) A.π2 018 B.π1 009 C.2π1 009 D.π4 036 答案 B6.(2018某某某某二模,6)已知sin α=√1010,α∈(0,π2),则cos (2α+π6)的值为( )A.4√3-310B.4√3+310C.4-3√310D.3√3-410答案 A7.(2018某某揭阳二模,5)已知f(x)=sin x-cos x,实数α满足f '(α)=3f(α),则tan 2α=( ) A.-43B.-34C.34D.43 答案 A8.(2017某某新联考四模,6)1-√3tan10°=( )A.14B.12C.√32 D.1 答案 A9.(2018某某、某某两省重点中学4月联考,8)已知atan α+b=(a -btan α)tan β,且α+π6与β的终边相同,则αα的值为( ) A.√23B.√33C.2√23D.√34答案 B10.(2017某某某某二模,9)若tan π12cos5π12=sin5π12-msin π12,则实数m 的值为( )A.2√3B.√3C.2D.3答案 A二、填空题(共5分)11.(2018某某G10教育联盟4月联考,16)已知cos (π2+α)=3sin (α+7π6),则tan (π12+α)=. 答案 2√3-4 三、解答题(共10分)12.(2018某某桓台第二中学4月月考,16)已知函数f(x)=(α+2cos 2α2)cos(x+θ)为奇函数,且f (π2)=0,其中a∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值;(2)若α∈(π2,π), f (α2+π8)+25cos (α+π4)cos 2α=0,求cos α-sin α的值. 解析 (1)因为f(x)=(α+2cos 2α2)cos(x+θ)是奇函数,所以(α+2cos 2α2)cos(x+θ)=-(α+2cos 2α2)cos(-x+θ),化简、整理得,cos xcos θ=0,则有cos θ=0, 由θ∈(0,π),得θ=π2,所以f(x)=-sin x·(α+2cos 2α2).由f (π2)=0,得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)知f(x)=-12sin 2x,f (α2+π8)+25cos (α+π4)cos 2α=0⇒sin (α+π4)=45cos (α+π4)cos 2α, 因为cos 2α=sin (2α+π2)=sin [2(α+π4)]=2sin (α+π4)cos (α+π4),所以sin (α+π4)=85cos 2(α+π4)sin (α+π4).又α∈(π2,π),所以sin (α+π4)=0或cos 2(α+π4)=58.①由sin (α+π4)=0⇒α=3π4,所以cos α-sin α=cos 3π4-sin 3π4=-√2;②由cos 2(α+π4)=58,3π4<α+π4<5π4,得cos (α+π4)=-√52√2⇒√2(cos α-sin α)=-√52√2⇒cos α-sin α=-√52.综上,cos α-sin α=-√2或cos α-sin α=- √52.。

三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点三角函数的化简和求值(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(2)简洁的三角恒等变换能运用上述公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)2024课标Ⅱ,10,5分三角函数求值同角三角函数的基本关系★★★2024课标Ⅲ,4,5分三角函数的求值2024课标Ⅰ,2,5分三角函数的求值和化简诱导公式2024课标Ⅱ,9,5分三角函数求值诱导公式分析解读 1.驾驭两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到敏捷驾驭各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的学问综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.破考点练考向【考点集训】考点三角函数式的化简和求值1.(2025届黑龙江齐齐哈尔第八中学高三月考,7)若f(tanx)=sin2x,则f(-1)的值为( )A.-sin2B.-1C.12D.1答案 B2.(2024广东揭阳一模,4)若sin(π2-2α)=35,则sin4α-cos4α的值为( )A.45B.35C.-45D.-35答案 D3.(2024安徽黄山二模,2)已知x∈(0,π2),cos (x +π4)=35,则sinx 的值为( )A.-√210 B.√210 C.7√210 D.-7√210答案 B4.(2024天津河西质量调查(三),6)函数f(x)=sinx-cos (x +π6)的值域为( )A.[-2,2]B.[-√3,√3]C.[-1,1]D.[-√32,√32] 答案 B5.(2025届山西大同学情调研测试,13)已知sin (x -π6)=12,且θ∈(0,π2),则cos (x -π3)= . 答案 1炼技法 提实力 【方法集训】方法 三角函数式化简、求值的解题方法1.(2024河南顶级名校3月联考,11)若1+tan x1-tan x =2024,则1cos2x +tan2α=( ) A.2024 B.2024 C.2024 D.1004答案 B2.(2024山西3月质检,15)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m= . 答案 -√33.(2024湖南炎德英才大联考(三),13)设α是锐角,且cos (x +π6)=35,则sin (2x +π12)的值为 . 答案31√250【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2024课标Ⅱ,10,5分)已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( ) A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2024课标Ⅲ,4,5分)若sinα=13,则cos2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89答案 B3.(2024课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin2α=( )A.725B.15C.-15D.-725答案 DB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2024重庆,9,5分)若tanα=2tan π5,则cos (x -3π10)sin (x -π5)=( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2024江苏,13,5分)已知tan xtan (x +π4)=-23,则sin (2x +π4)的值是 .答案√2103.(2024江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-√55. (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,考查运算求解实力. (1)因为tanα=43,tanα=sin x cos x,所以sinα=43cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tan x1-tan 2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2x -tan(x +x )1+tan2x tan(x +x )=-211.C 组 老师专用题组1.(2024课标Ⅰ,2,5分)sin20°cos10°-cos160°·sin10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12D.12答案 D2.(2024江苏,5,5分)若tan (x -π4)=16,则tanα= .答案 753.(2024四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= . 答案√224.(2024浙江,10,6分)已知2cos 2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= . 答案 √2;15.(2024四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是 . 答案√626.(2024江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为 . 答案 37.(2024课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφ·cos(x+φ)的最大值为 . 答案 18.(2024江苏,15,14分)在△ABC 中,AC=6,cosB=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (x -π6)的值.解析 (1)因为cosB=45,0<B<π, 所以sinB=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理知xx sin x =xxsin x ,所以AB=xx ·sin x sin x =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos (x +π4)=-cosBcos π4+sinB·sin π4, 又cosB=45,sinB=35,故cosA=-45×√22+35×√22=-√210. 因为0<A<π,所以sinA=√1-cos 2A =7√210.因此,cos (x -π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解实力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2025届河北邢台第一次摸底考试,6)17世纪德国闻名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.假如把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金△ABC 中,xx xx =√5-12.依据这些信息,可得sin234°=( )A.1-2√54B.-3+√58C.-√5+14D.-4+√58答案 C2.(2024安徽安庆二模,9)若函数f(x)=4sinx-2cos2x+m 在R 上的最大值是3,则实数m=( ) A.-6 B.-5 C.-3 D.-2 答案 C3.(2024福建福州3月模拟,4)√3cos15°-4sin 215°cos15°=( ) A.12B.√22C.1D.√2答案 D4.(2025届山西吕梁阶段性测试,11)已知x∈(0,π2),y∈(0,π2),cos x -sin x cos x +sin x =sin x1+cos x ,则( ) A.x+y=π2 B.x+y=π4 C.x+2y=π2 D.2x+y=π2答案 D5.(2025届宁夏顶级名校第一次月考,10)若cosα=-35,α是其次象限的角,则2+3tanx24-tan x 2的值为( )A.-34B.2C.4D.-4答案 C6.(2024河南九师联盟2月质量检测,10)若α∈(0,π2),且cos2α=√25sin (x +π4),则tanα=( ) A.34B.35C.43D.53答案 A7.(2024河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atanα+b=(a -btan α)tanβ,且α+π6与β的终边相同,则xx的值为( )A.√23B.√33C.2√23D.√34答案 B8.(2024福建龙岩教学质量检查,9)若α∈(0,π),且3sinα+2cosα=2,则tan x2等于( )A.23B.12C.√32D.32答案 D9.(2024江西九江二模,10)若sin (x -π9)=2cosαsin π9,则sin (x -π9)cos (x -7π18)=( )A.14B.12C.2D.4答案 B二、填空题(每小题5分,共30分)10.(2025届山东夏季高考模拟,14)已知cos (x +π6)-sinα=4√35,则sin (x +11π6)= .答案 -4511.(2025届河南洛阳期中,14)已知函数f(x)=sinx+2cosx 在x 0处取得最小值,则f(x)的最小值为 ,此时cosx 0= . 答案 -√5;-2√5512.(2025届广东四校联考,14)若α∈(π2,5π4),sin (x -π4)=35,则cos2α= .答案242513.(2025届黑龙江哈尔滨第六中学上学期一模,13)√6sin70°+3√2cos250°的值等于 . 答案 -4√614.(2025届安徽合肥八校高三第一次联考,16)已知角α∈(π,3π2),β∈(0,π2),且满意tanα=1+sin x cos x,则β=(用α表示). 答案 2α-52π15.(2024河南郑州二模,14)已知cos (x -π3)+cosα=4√35,则cos (π6-α)= .答案 45三、解答题(共10分)16.(2024安徽合肥第一次教学质量检测,17)已知函数f(x)=cos2x+sin (2x -π6). (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈(0,π2),f(α)=13,求cos2α.解析 (1)∵f(x)=cos2x+√32sin2x-12cos2x=√32sin2x+12cos2x=sin (2x +π6),∴函数f(x)的最小正周期T=π. (2)由f(α)=13可得,sin (2x +π6)=13.∵α∈(0,π2),∴2α+π6∈(π6,7π6).又∵0<sin (2x +π6)=13<12,∴2α+π6∈(π2,π), ∴cos (2x +π6)=-2√23,∴cos2α=cos [(2x +π6)-π6]=cos (2x +π6)cos π6+sin (2x +π6)sin π6=1-2√66.。

三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类题型一、两角和与差的三角函数公式的应用题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形题型三、角的变换问题题型四、二倍角公式的应用题型五、给角求值题型六、给值求值题型七、给值求角题型八、三角恒等变换的综合应用题型一、两角和与差的三角函数公式的应用知识要点两角和与差的正余弦与正切①sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β；②cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；③tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β；精准练习1.(24-25高三·山东泰安·开学考试)已知sin α+β =13，sin α-β =12，则tan αtan β=()A.15B.-15C.5D.-52.(24-25高三上·安徽·开学考试)已知sin α+β =-35,1tan α+1tan β=2，则sin αsin β=()A.-310B.15C.-15D.3103.(24-25高三·重庆·阶段练习)已知cos α+β =13，cos αcos β=12，则cos 2α-2β =()A.23B.19C.-19D.-134.(2025·广东·一模)已知sin α+π3 -sin α=23，则cos 2α+π3 =()A.-59B.-19C.19D.595.(2024·江西九江·二模)已知α,β∈0,π2 ，cos α-β =56，tan α⋅tan β=14，则α+β=()A.π3B.π4C.π6D.2π36.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α-β =2cos α+β ,tan α-β =13，则tan α-tan β=()A.47 B.74C.45D.767.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π，且sin α+β +cos α+β =0,sin αsin β=6cos αcos β，则tan α-β =()A.-1B.-12C.-16D.-178.(24-25高三上·河北张家口·开学考试)已知sin (α-β)=13,tan αtan β=4，则sin (α+β)=.题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形知识要点1、两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α⋅tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1．2、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ)(其中sin ϕ=ba 2+b2，cos ϕ=aa 2+b2，tan ϕ=ba精准练习9.(23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13°+tan32°+tan13°tan32°=()A.tan19°B.1C.-tan19°D.-110.(2024·福建泉州·模拟预测)若sin θ+3cos θ=2，则tan θ=()A.-3B.-33C.33D.3题型三、角的变换问题知识要点拆分角问题：①α=2⋅α2；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α=12[(α+β)+(α-β)]；④β=12[(α+β)-(α-β)]；⑤π4+α=π2-π4-α ．注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-π4-α 等．11.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-112.(2024·江苏镇江·三模)已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=()A.13B.17C.16D.213.(24-25高三·福建福州·开学考试)已知α，β∈(0,π)，且cosα=35，sin(α-β)=513，则cosβ=()A.5665B.1665C.3365D.636514.(23-24高一·江苏南京·期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为()A.62B.64C.22D.2415.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知α,β∈0,π4，cos2α-sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为()A.π12B.π6C.π4D.π316.(23-24高三·天津·阶段练习)已知角α，β为锐角，tanα=32，sin(α-β)=2114，则tan2α-β的值为．17.(24-25高三·福建·阶段练习)已知tanα+β=4，tanα-β=-3，则tan2β=．题型四、二倍角公式的应用知识要点1、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα；②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；③tan2α=2tanα1-tan2α；2、降次(幂)公式sinαcosα=12sin2α;sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;3、半角公式sinα2=±1-cosα2;cosα2=±1+cosα2;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsin a.18.(2025·安徽·模拟预测)sin 2π12-sin 27π12=( )．A.32B.12C.-12D.-3219.(24-25高三·安徽亳州·开学考试)已知a ∈0,π2 ,sin3α=5sin a cos2α，则tan α值为()A.3B.32C.22D.120.(24-25高三·广西·阶段练习)已知sin π4+α =3sin π4-α ，则cos2α=()A.-45B.-35C.35D.4521.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)已知3sin θ+π3 =cos θ+π6 ，则cos2θ=()A.-12B.17C.12D.3222.(23-24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数f (x )=cos 2ωx +sin ωx cos ωx -12(ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.11423.(24-25高三·江苏徐州·阶段练习)已知sin2α=23,α∈0,π4 ，则cos α+π4 =()A.66B.56C.306D.15324.(24-25高三·全国·阶段练习)已知4tan π121+tan2π12cos αsin β+π3=1，则tan (β-α)=()A.3B.33C.1D.23325.(多选)(2024·辽宁·模拟预测)已知α∈π2,π ,β∈0,π ,cos2α=-35,cos β-α =-210，则()A.tan α=-12B.sin β-α =-7210C.α+β=5π4D.cos αcos β=-3210题型五、给角求值知识要点(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．精准练习26.(23-24高三·甘肃·阶段练习)计算12cos 35π+cos 25πcos 45π()A.2B.-12C.-1D.-227.(多选)(23-24高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为14的是()A.cos 275°-sin 275°B.tan15°1+tan 215°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°28.(23-24高三·吉林长春·阶段练习)cos20°1+cos20°tan20°+3 =.29.(2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° =.30.(23-24高三·安徽·期中)tan20°+4sin20°=．31.(2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72°+sin50°1+3tan10° -cos20°cos80°1-cos20°.32.(2024高一·湖南株洲·竞赛)1-2sin 25°2sin10°-2cos10°=．33.(11-12高一·全国·课后作业)3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=．题型六、给值求值知识要点给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式精准练习34.(2024·河南新乡·模拟预测)设cos20°=a ，则13tan50°-1=()A.1-a 23B.a 2+12C.aD.a 235.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α+π3 +sin α=23，则cos 2α+π3=()A.-1927B.-19C.19D.192736.(24-25高三·湖南衡阳·开学考试)已知cosα+β=6-24,sinα⋅sinβ=24，则cos2α-2β=()A.12B.22C.32D.137.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)若sin160°=m，则sin40°=()A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m238.(24-25高三·四川绵阳·开学考试)已知sin4θ2-cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+sin2θcos2θ-sin2θ+cosθ=()A.-2635B.-325C.-314D.-172839.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-140.(24-25高三·贵州黔东南·开学考试)已知α∈0,π，且cosα+π4=13，则cos2α=()A.429B.±429C.79D.±7941.(2024·山东淄博·二模)设β∈0,π2，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ=22，则tan(α+2β)=()A.-24B.24C.-22D.2242.(2024·江西宜春·模拟预测)已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4-α，则1-sin2α4cos2α=() A.6+42 B.6-42 C.17+122 D.17-12243.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知cosπ5-α=13，则sin11π10+2α=()A.79B.-79C.429D.-42944.(2024·安徽合肥·三模)已知2sinα=1+23cosα，则sin2α-π6=()A.-18B.-78C.34D.7845.(2024·河北保定·三模)已知锐角α，β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β，则sin (α+β)的值为()A.31010B.255C.35D.4546.(2024·福建泉州·模拟预测)已知α，β均为锐角，sin 2α-β =253cos α+sin β，则sin α-β =()A.255B.55C.23D.5347.(2024·重庆·三模)已知α∈0,π3，且2sin2α=4cos α-3cos 3α，则cos2α=()A.29B.13C.79D.22348.(2024·山西·三模)若sin2α=33,sin β-α =66，且α∈π4,π ,β∈π,3π2 ，则cos α+β =()A.5+26B.306C.63D.25-26题型七、给值求角知识要点给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．精准练习49.(23-24高一·江苏盐城·期中)已知tan α=-13，tan β=2，且α,β∈0,π ，则α+β的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π450.(23-24高一·河南·阶段练习)已知0<α<π2，1+sin2α sin π7=2cos 2π14cos2α，则α=()A.3π14B.5π28C.π7D.π1451.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<π4，且sin α-β =13,tan α=5tan β，则()A.sin αcos β=56B.sin βcos α=112C.sin2αsin2β=536D.α+β=π352.(2024·陕西铜川·模拟预测)若α∈-π2,π2 ，且cos2α=sin π4-α ，则α的值为．53.(2024高三·江苏·专题练习)已知α为锐角，且sin α+sin α+π3 +sin α+2π3=3，则α=.54.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)若α，β∈0,π2 ，cos α-β2=32，sin α2-β =-12，则α+β=.题型八、三角恒等变换的综合应用知识要点(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y =a sin x +b cos x 化为y =a 2+b 2sin (x +φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．精准练习55.(2024·广东珠海·一模)函数f x =23sin 2ωx +sin 2ωx +2π3，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是()A.ω=1B.函数f x 图象关于点π3,3对称C.函数f x 图象向右移φφ>0 个单位后，图象关于y 轴对称，则φ的最小值为5π12D.若x ∈0,π2，则函数f x 的最大值为3+156.(22-23高三上·河北唐山·开学考试)已知α,β∈0,π2 ，且1+sin βcos β=tan π4+α ，则()A.2α=βB.α=βC.α+β=π2D.α+β=π57.(2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为2π的是()A.f x =cos 2x +sin x cos xB.f x =1-cos2x2sin x cos xC.f x =cos x +π3+cos x -π3 D.f x =sin x +π6cos x +π6 58.(多选)(2023·河北保定·三模)已知f x =23cos 2x +2sin x cos x -3，则()A.f x =2cos 2x -π6B.f x 的图象的对称轴方程为x =2k π-π3k ∈Z C.f 2023π =3D.f x 在-3π2,-π2上单调递减59.(2024高三·全国·专题练习)设f x =2sin x cos x -2sin 2x -π4.当x ∈0,π2 时，f x +π6 =-13，则cos2x 的值为.60.(24-25高三上·河南·开学考试)已知函数f x =sin2x +sin 2x -π3在区间0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.61.(24-25高三·福建·阶段练习)已知函数f x =22cos 2x +22sin x cos x ．(1)将f x 化成f x =A cos ωx +φ +B A >0,ω>0,φ <π 的形式；(2)求f x 的单调区间；(3)若f x 在α,α+π4上的值域为a ,b ，求b -a 的取值范围．62.(24-25高三·北京·开学考试)已知函数f x =cos x 23sin x +cos x -sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (x )在区间[0,m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围.63.(22-23高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m =sin x -π6 ,12 ,n =cos x ,12.(1)若m ⊥n ,x ∈0,π2，求实数x 的值；(2)求函数f (x )=m ⋅n的单调递增区间.64.(24-25高一·全国·期末)设f (x )=2sin x cos x +2sin x +π4 ⋅sin π4-x ．(1)当x ∈-π2,0时，求f (x )的最大值和最小值；(2)已知f -α2 =33，且当π2≤α≤2π时，求f (α)的值．。

高三数学理科三角恒等变形复习测试题(含答案)考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高三数学理科三角恒等变形复习测试题，请认真复习!高三数学理科三角恒等变形复习测试题及答案解析第一节同角三角函数的基本关系A组1.已知sinα=55，sin(α-β)=-1010，α、β均为锐角，则β等于________.解析：∵α、β均为锐角，∴-π2<α-β<π2，∴cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.∵sinα=55，∴cosα= 1-(55)2=255.∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.∵0<β<π2，∴β=π4.答案：π42.已知0<α<π2<β<π，cosα=35，sin(α+β)=-35，则cosβ的值为________.解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α+β<32π.∴sinα=45，cos(α+β)=-45，∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45=-2425.答案：-24253.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则sin(α+β)cos(α-β)=________.解析：tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3，则sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31-3=-32.答案：-324.已知cos(α-π6)+sinα=453，则sin(α+7π6)的值是___.解析：由已知得32cosα+12sinα+sinα=453，即12cosα+32sinα=45，得sin(α+π6)=45，sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案：-455.(原创题)定义运算a?b=a2-ab-b2，则sinπ12?cosπ12=________.解析：sinπ12?cosπ12=sin2π12-sinπ12cosπ12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)-12×2sinπ12cosπ12=-cosπ6-12sinπ6=-1+234.答案：-1+2346.已知α∈(π2，π)，且sinα2+cosα2=62.(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35，β∈(π2，π)，求cosβ的值.解：(1)因为sinα2+cosα2=62，两边同时平方得sinα=12.又π2<α<π.所以cosα=-32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以-π<-β<-π2，故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35，得cos(α-β)=45.cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=-32×45+12×(-35)=-43+310.B组1.cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα的值为________.解析：cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα=cos2α-sin2α(sinα+cosα)2•1+tanα1-tanα=cosα-sinαsinα+cosα•1+tanα1-tanα=1-tanα1+tanα•1+tanα1-tanα=1.2.已知cos(π4+x)=35，则sin2x-2sin2x1-tanx的值为________.解析：∵cos(π4+x)=35，∴cosx-sinx=352，∴1-sin2x=1825，sin2x=725，∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.3.已知cos(α+π3)=sin(α-π3)，则tanα=________.解析：cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα-32sinα，sin(α-π3)=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα-32cosα，由已知得：(12+32)sinα=(12+32)cosα，tanα=1.4.设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α-π4)=35，sin(3π4+β)=513，则sin(α+β)=________.解析：α∈(π4，3π4)，α-π4∈(0，π2)，又cos(α-π4)=35，∴sin(α-π4)=45.∵β∈(0，π4)，∴3π4+β∈(3π4，π).∵sin(3π4+β)=513，∴cos(3π4+β)=-1213，∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]=-cos(α-π4)•cos(3π4+β)+sin(α-π4)•sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513=5665，即sin(α+β)=5665.5.已知cosα=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α-β)的值等于________.解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π).∵cosα=13，∴cos2α=2cos2α-1=-79，∴sin2α=1-cos22α=429，而α，β∈(0，π2)，∴α+β∈(0，π)，∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223，∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.6.已知角α在第一象限，且cosα=35，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=________.解析：∵α在第一象限，且cosα=35，∴sinα=45，则1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=1+2(22cos2α+22sin2α)cosα=2cos2α+2sinαcosαc osα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=145.7.已知a=(cos2α，sinα)，b=(1,2sinα-1)，α∈(π2，π)，若a•b=25，则tan(α+π4)的值为________.解析：a•b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25，∴sinα=35，又α∈(π2，π)，∴cosα=-45，tanα=-34，∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17.8.tan10°tan70°tan70°-tan10°+tan120°的值为______.解析：由tan(70°-10°)=tan70°-tan10°1+tan70°•tan10°=3，故tan70°-tan10°=3(1+tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)+tan120°=tan70°tan10°3(1+ tan70°tan10°)-3=tan70°tan10°3tan70°tan10°=33.9.已知角α的终边经过点A(-1，15)，则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1的值等于________.解析：∵sinα+cosα≠0，cosα=-14，∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=24cosα=-2.10.求值：cos20°sin20°•cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°.解：原式=cos20°cos10°sin20°+3sin10°sin70°cos70°-2cos40°=cos20°cos10°+3sin10°cos20°sin20°-2cos40°=cos20°(cos10°+3sin10°)sin20°-2cos40°=2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)sin20°-2cos40°=2cos20°sin40°-2sin20°cos40°sin20°=2.11.已知向量m=(2cosx2，1)，n=(sinx2，1)(x∈R)，设函数f(x)=m•n-1.(1)求函数f(x)的值域;(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=513，f(B)=35，求f(C)的值.解：(1)f(x)=m•n-1=(2cosx2，1)•(sinx2，1)-1=2cosx2sinx2+1-1=sinx.∵x∈R，∴函数f(x)的值域为[-1,1].(2)∵f(A)=513，f(B)=35，∴sinA=513，sinB=35.∵A，B都为锐角，∴cosA=1-sin2A=1213，cosB=1-sin2B=45.∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=513×45+1213×35=5665.∴f(C)的值为5665.12.已知：0<α<π2<β<π，cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45.(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π4)的值.解：(1)法一：∵cos(β-π4)=cosπ4cosβ+sinπ4sinβ=22cosβ+22sinβ=13，∴cosβ+sinβ=23，∴1+sin2β=29，∴sin2β=-79.法二：sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β-π4<3π4，π2<α+β<3π2，∴sin(β-π4)>0，cos(α+β)<0.∵cos(β-π4)=13，sin(α+β)=45，∴sin(β-π4)=223，cos(α+β)=-35.∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=-35×13+45×223=82-315.第二节两角和与差及二倍角的三角函数A组1.若sinα=35，α∈(-π2，π2)，则cos(α+5π4)=________.解析：由于α∈(-π2，π2)，sinα=35得cosα=45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210.2.已知π<θ<32π，则12+12 12+12cosθ=________.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.12+12 12+12cosθ= 12+12 cos2θ2= 12-12cosθ2=sinθ4.3.计算：cos10°+3sin10°1-cos80°=________.解析：cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.4.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是__________________.解析：y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π4)+1≥1-2.5.函数f(x)=(sin2x+12010sin2x)(cos2x+12010cos2x)的最小值是________.解析：f(x)=(2010sin4x+1)(2010cos4x+1)20102sin2xcos2x=20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+120102sin2xcos2x =sin2xcos2x+201120102sin2xcos2x-22010≥22010(2011-1).6.已知角α∈(π4，π2)，且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.解：∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0，又α∈(π4，π2)，∴tanα=43，sinα=45，cosα=35，(1)tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=43+11-43=-7.(2)co s2α=2cos2α-1=-725，sin2α=2sinαcosα=2425，cos(π3-2α)=cosπ3cos2α+sinπ3sin2α=12×(-725)+32×2425=243-750.B组1.若tan(α+β)=25，tan(β-π4)=14，则tan(α+π4)=_____.解析：tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.2.若3sinα+cosα=0，则1co s2α+sin2α的值为________.解析：由3sinα+cosα=0得cosα=-3sinα，则1cos2α+sin2α=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=9sin2α+sin2α9si n2α-6sin2α=103.3.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=62，则a、b、c 的大小关系是解析：a=2sin59°，c=2sin60°，b=2sin61°，∴a<c<b.或a2=1+sin28°<1+12=32，b2=1+sin32°>1+12=32，c2=32，∴a<c<b.4.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.解析：原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.5.若tanα+1tanα=103，α∈(π4，π2)，则sin(2α+π4)的值为_________.解析：由题意知，tanα=3，sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α)，而sin2α=2tanα1+tan2α=35，cos2α=1-tan2α1+tan2α=-45.∴sin(2α+π4)=22(35-45)=-210.6.若函数f(x)=sin2x-2sin2x•sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________.解析：f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x，所以T=2π4=π2.7. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.解析：由已知得：原式=2cos(30°-25°)-sin25°cos25°=3cos25°cos25°=3.8.向量a=(cos10°，sin10°)，b=(cos70°，sin70°)，|a-2b|=________________.解析：|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3，∴|a-2b|=3.9.已知1-cos2αsinαcosα=1，tan(β-α)=-13，则tan(β-2α)=________.解析：因为1-cos2αsinαcosα=1，即1-1-tan2α1+tan2α=12×2tanα1+tan2α，所以2tanα=1，即tanα=12，所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=- 1 3 - 1 2 1 - 1 6 = - 1 . / p >。