工科数学分析无穷级数ch4-3幂级数

第六章 无穷级数无穷级数是数学分析的一个重要工具，也是高等数学的重要组成部分.本章首先讨论常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题.我们将只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和傅里叶级数展开式.第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念在中学课程中，我们就已经遇到过“无穷项之和”的运算，比如等比级数2na +a r +a r ++a r +另外，无限小数其实也是“无穷项的和”，比如14142234414.1210101010=+++=++对于有限项之和，我们在初等数学里已经详尽地研究了；对于“无穷项之和”，这是一个未知的新概念，不能简单地引用有限项相加的概念，而必须建立一套严格的理论.定义1 给定一个数列{}n u ，将它的各项依次用“+”号连接起来的表达式123n u u u u +++++ (6-1-1)称做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1231nn n u u u u u∞==+++++∑，其中，12,,,,n u u u 都称为级数(6-1-1)的项，n u 称为级数(6-1-1)的一般项或通项.级数1n n u ∞=∑是“无限多个数的和”.但怎样由我们熟知的“有限多个数的和”的计算转化到“无限多个数的和”的计算呢？我们借助极限这个工具来实现。

设级数1n n u ∞=∑的前n 项的和为n S ，即12n nS u u u =+++ (6-1-2)或1nkk n u S ==∑.我们称n S 为级数1n n u ∞=∑的前n 项部分和，简称部分和. 显然，级数1n n u ∞=∑的所有前n 项部分和nS 构成一个数列{}n S ，我们称此数列为级数1n n u ∞=∑的部分和数列.定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞=），则称级数1n n u ∞=∑收敛，称S 为级数1n n u ∞=∑的和，记作1231n nn S u u u u u ∞==+++++=∑ .而12n n n n r S S u u ++=-=++称为级数1n n u ∞=∑的余项，显然有lim lim ()0n n n n r S S →∞→∞=-=.若{}n S 是发散数列，则称级数1n n u ∞=∑发散，此时级数1n n u ∞=∑没有和.由此可知，级数的收敛与发散是借助于级数的部分和数列的收敛与发散定义的，于是研究级数及其和只不过是研究与其相对应的一个数列及其极限的一种新形式.例1 设,a q 为非零常数，无穷级数20nnn a a q q qa q a a ∞==+++++∑(6-1-3)称为等比级数（又称为几何级数），q 称为级数的公比.试讨论级数0n n a q ∞=∑的敛散性.解 若1q ≠，则11n n na a q S a a q a qq-=-=+++-11na q aq q-=--.当1q <时，由于0lim nn q →∞=，从而lim 1n n a S q →∞=-，因此这时级数0n n a q ∞=∑收敛，其和为1aq -；当1q >时，由于lim nn q →∞=∞，从而lim n n S →∞=∞，这时级数0n n a q ∞=∑发散；当1q =时，若1q =，这时（）n S n a n =→∞→∞，因此级数0nn a q∞=∑发散；若1q=-，这时级数0nn a q∞=∑成为a a a a -+-+ ，显然n S 随着n 为奇数或为偶数而等于a 或等于零，从而n S 的极限不存在，因此级数0n n a q ∞=∑发散.综上所述，对于等比级数0n n a q ∞=∑，当公比q 的绝对值1q <时级数收敛；当1q ≥时级数发散.例2 证明级数1111335(21)(21)n n ++++⋅⋅-⋅+ 收敛，并求其和.解 由于1111(21)(21)22121n n n n n u ⎛⎫=- ⎪-⋅+-+⎝⎭=，因此1111335(21)(21)n S n n ++++⋅⋅-⋅+=1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎪-+⎝⎝++⎭⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.从而1lim 2n n S →∞=，所以该级数收敛，它的和为12. 例3 证明级数13111211n nn∞==+++++∑是发散的.证 该级数的部分和为=131112n nS ++++ . 显然，部分和数列{}n S 是单调增加的数列，要证明调和级数发散，仅须证明其部分和数列{}n S 无上界即可.事实上=11=12461112 3.222S S S +≥+⨯+⨯；；假设1212kS k ≥+成立，则=111221111122212222k k kkkk k S S +++-+++≥⋅=++ . 于是()122111122k kSSk +≥+≥++. 由归纳法，对一切正整数n 有212n nS ≥+. 由极限的性质，有lim n n S →∞=∞.故调和级数11n n∞=∑发散.常数项级数的性质性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛于和，S k 为任意常数，则1n n k u ∞=∑也收敛，且其和为k S .证 设级数1n n u ∞=∑与级数1n n k u ∞=∑的部分和分别为n S 与*n S ，显然有*n n S k S =.于是*lim lim lim n n n n n n k S k S k S S →∞→∞→∞===⋅.这表明级数lim n n k u →∞收敛，且和为k S .需要指出，若级数1n n u ∞=∑发散，即{}n S 无极限，且k 为非零常数，那么{*n S }也不可能存在极限，即lim n n k u →∞也发散.因此可以得出如下结论：级数的每一项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变.上述性质的结果可以改写为1lim n nn n k u u ∞→∞==∑（0k ≠为常数）， 即收敛级数满足分配律.性质2 若级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于12，S S ，则级数1n n n u v ∞=±∑也收敛，且其和为12S S ±. 可以利用数列极限的运算法则给出证明.性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减.性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.证 只需证明“去掉、改变级数前面的有限项，或在级数前面增加有限项，不会改变级数的敛散性”.设将级数121n n n u u u u ∞==++++∑ 的前k 项去掉，得新的级数12k k k n u u k +++++++此级数的前n 项部分和为12n k k k n k n k A u u u S S ++++=+++=- ，其中k n S +是原来级数的前k n +项的和.因为k S 是常数，所以当n →∞时，n A 与k n S +或同时存在极限，或同时不存在极限.类似地，可以证明改变级数前面的有限项或在级数的前面加上有限项，不会改变级数的敛散性.性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛，且其和不变.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，加括弧后的级数（把每一括弧内的项之和视为一项）为()()()121112111212k k knn nnn nnuu uu u uu u u --+++++++++++++++++设其前k 项之和为k A ，则有11211n nA u u u S =+++= ，()()2121112212nn nn n u uu A Su u u ++=++++++=+ ，()()()121112111212k k kknn nnk n nnn A u u uu u uu u Su --+++++++++++=++++=+ ，可见数列{}k A 是数列{}n S 的一个子列，由收敛数列与其子列的关系可知，数列{}k A 必定收敛，且有lim lim k n k n A S →∞→∞=，即加括弧后所成的级数收敛，且其和不变.注意 若加括弧后所成的级数收敛，则不能断定原来的级数也收敛.例如，（11）（11）-+-+ 收敛于零，但级数111111(1)nn i -==-+-+-∑ 却是发散的. 推论 若加括弧后所成的级数发散，则原来的级数也发散.性质5（级数收敛的必要条件） 若级数1n n u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即0lim n n u →∞=.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，且（）n S S n →→∞，则 11lim ()nn n n n uS S ∞-→∞==-∑10lim lim n n n n S S S S -→∞→∞-==-=.由性质5可知，若n →∞时级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散. 例如，级数112331471031n nnn n ∞==+++++++∑的一般项31n u nn =+当n →∞时，不趋于零，因此该级数是发散的. 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例如，在例3中讨论的调和级数11n n∞=∑，虽然它的一般项()10n n nu =→→∞，但它是发散的. *三、 柯西审敛原理因为级数1n n u ∞=∑的敛散性与它的部分和数列{}n S 的敛散性是等价的，故由数列的柯西审敛原理可得下面的定理.定理1［柯西（Cauchy ）审敛原理］ 级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件为：0ε∀>，总存在自然数N ，使得当n N >时，对于任意的自然数p ，都有12n n n p u u u ε++++++<成立.证 设级数1n n u ∞=∑的部分和为n S ，因为12n n n p n p n u u u S S +++++++=- ，所以，由数列的柯西审敛原理，即得本定理结论.例4 利用柯西审敛原理证明级数1co s 22nnn ∞=∑收敛.证 对任意自然数p ，都有1212co s 2co s 2co s 2222n n n pn n n n p pn S S +++++++-++=+12111222n n n p++++++≤111122112n p +⎛⎫- ⎪=⎝⎭-1111222n p n⎛⎫< ⎪⎝⎭=-.于是，对()100εε>∀<<，2log 1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∃，当n N >时，对任意的自然数p 都有12n p n n S S ε+-<<，从而该级数收敛.例5 证明级数1n ∞=∑.证 对任意自然数p ，都有n p n S S +++-+=>.特别地取p n =，得2n n S S ->1n ∞=∑.第二节 正项级数敛散性判别法本节我们讨论各项都是非负数的级数，这种级数称为正项级数.研究正项级数的敛散性十分重要，因为许多其他级数的敛散性问题都可归结为正项级数的敛散性问题.设级数12n u u u ++++ (6-2-1) 是一个正项级数（0n u ≥），它的部分和为n S ，显然，数列{S n }满足：12n S S S ≤≤≤≤ ，即{}n S 是单调增加的数列.而单调增加的数列收敛的充要条件是该数列有上界，于是可以得到下面的定理.定理1 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n S 有上界.以这个定理为基础，可以导出判断正项级数是否收敛的几种方法.定理2（比较审敛法） 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且存在自然数N 和正常数k ，当n N ≥时，有n n u k v ≤，则有：（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（2） 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.证 根据级数的性质，改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性，因此，不妨设对任意自然数n 都有()123,,,n n u k v n ≤= .设级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为n A 与n B ，由上面的不等式有1212n n n n A u u u k v k v k v k B =+++≤+++= .（1） 若级数1n n v ∞=∑收敛，根据定理1的必要性，数列{}n B 有上界，由不等式n n A k B ≤知，数列{}n A 也有上界，于是1n n u ∞=∑收敛.（2） 采用反证法.若1n n v ∞=∑收敛，则由（1）知1n n u ∞=∑收敛，与已知矛盾，因此1n n v ∞=∑发散.推论 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数，且(),im00l n n n nkv u v k→∞=≤≤+∞≠，则有：（1） 若0k <<+∞，则级数1nn u ∞=∑与1n n v ∞=∑同时收敛或同时发散；（2） 若0k =，则当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛；（3） 若k =+∞，则当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.证 （1）由极限定义，对2εk=，存在自然数N ，当n N >时有不等式 22n n u k kk v k <<+-，即322n n n u k v k v <<. 再根据比较审敛法，即得所要证的结论.（2）当0k =时，对1ε=，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有10n nu v ≤<，从而n n u v <.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑收敛时，1n n u ∞=∑收敛.（3）当k =+∞时，由极限的定义，存在自然数N ，当n N >时，有1n nu v >，从而n n u v >.再根据比较审敛法，当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散.例1 讨论p 级数11111123pppn pun∞==+++++∑(6-2-2)的敛散性，其中0p>为常数.解 先考虑1p>的情形，因为当1n x n -≤≤时，有11p p nx≤，所以d d 2,3,11111111111())(1n n pppp p n n x x p n n nnxn ----⎡⎤=≤=-⎢⎥-=-⎣⎦⎰⎰.考虑级数11211(1)p p n n n ∞--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦∑. (6-2-3)级数(6-2-3)的部分和为11111111111223(1)p p p p p n n n S -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎝=⎭⎭111(1)p n --+=.因为11lim lim 11(1)n p n n S n -→∞→∞⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦，故级数(6-2-3)收敛，根据定理2，原级数收敛. 当10p <≤时，有11p n n≥，而11n n∞=∑发散，根据定理2，原级数发散. 例2 判别下列正项级数的敛散性： （1）11s in nn n =∑；（2）211ln 1nn n =⎛⎫+⎪⎝⎭∑.解 （1） 因为1sinlim11n n n→∞=，而11n n∞=∑发散，根据推论1，该级数发散； （2）考察221ln 1lim 1n n n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，用实变量x 代替n ，并应用洛必达法则，有ln (1)1limlim11n x x xx→∞→+==+. 因此221ln (1)lim1n nn→∞+，而211n n∞=∑收敛，故该级数收敛.定理3［比值审敛法，达朗贝尔（D’Alembert ）判别法］ 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1limn n nu ρu +→∞=，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时，级数发散；1ρ=时级数可能收敛，也可能发散.证 （1）当1ρ<时，取一个适当小的正数ε，使得1ρεγ+=<，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时有1n nu u ρεr+<+=.由此，并利用归纳法，容易证明1,2,kN k Nu r u k +≤=.而1r <时，等比级数1kN k r u ∞=∑是收敛的. 所以1N k k u ∞+=∑也收敛.由于级数1n n u ∞=∑只比1N k k u ∞+=∑多前N项，因此级数1n n u ∞=∑也收敛.（2） 当1ρ>时，取一个适当小的正数ε，使得1ρε->，根据极限定义，存在自然数N ，当n N >时，有不等式＞11n nu u ρε+->，也就是1n n u u +>，所以当n N >时，级数的一般项n u 是逐渐增大的，从而0lim n n u →∞≠，根据级数收敛的必要条件可知级数1n n u ∞=∑发散.类似地，可以证明当1limn n nu u +→∞=+∞时，级数1n n u ∞=∑发散.（3） 当1ρ=时，级数可能收敛也可能发散. 例如，p 级数11pn n∞=∑，不论p 为何值都有11(1)limlim11pn n n npu n u n+→∞→∞+==.但我们知道，当1p >时级数收敛，当1p ≤时，级数发散.例3 判断下列正项级数的敛散性.（1）112n n n ∞-=∑；（2）1!nn n n∞=∑；（3）616n n n∞=∑.解 （1）111112limlimlim1222nn n n n nn n u n u n n +→∞→∞→∞-++===<，故级数收敛. （2）e11(1)!(1)1limlimlim 1!1nn n n n n nnn u n n u n n n ++→∞→∞→∞++⎛⎫===< ⎪+⎝⎭，故级数收敛. （3）166166(1)limlimlim 66116n n n n n n nu n n u n n++→∞→∞→∞+⎛⎫===> ⎪+⎝⎭，故级数发散. 定理4（根值判别法，柯西判别法） 若对正项级数1n n u ∞=∑有：1n ρ∞==∑，则当1ρ<时，级数收敛；1ρ>（或1n ∞==+∞∑）时，级数发散；1ρ=时，级数可能收敛也可能发散.证 （1） 1ρ<时，我们总可取到适当小的正数ε，使1ρε+<.根据极限定义，对于该正数ε1ρr ε<+=<，即nn u r<，由于等比级数1n n r ∞=∑（公比1r <）收敛，由比较审敛法知级数1n n u ∞=∑收敛.（2） 1ρ>时，我们总可取到正数ε，使1ρε->.根据极限定义，对于该正数ε，存在自然数N ，当n N ≥时，有1ρε>->，即1n u >，于是lim 0n n u →∞≠，故级数1n n u ∞=∑发散.（3）1ρ=时，仍可用p 级数作为例子说明. 例4 判断下列正项级数的敛散性：（1）1321nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；（2）()21ln nn n ∞=∑； （3）ln 153nnn ∞=∑.解（1）33lim lim1212n n n n →∞→∞==>+，故级数发散； （2）1lim lim01ln n n n→∞→∞==<，故级数收敛；（3）ln 5limlim 513n n n n→∞→∞==>，故级数发散.*定理5（积分判别法） 设()f x 为定义在［1，）+∞上的非负单调递减函数，那么正项级数1()n f n ∞=∑与反常积分d 1()f x x +∞⎰具有相同的敛散性.证 由于（）f x 为［1，）+∞上的非负单调减函数，故对任何正数A ，（）f x 在［1，］A 上可积，且有()d （）1,2,3,1()k k f x x f k f k k -≤≤-=⎰.依次相加，可得d 11221()()(1)()nnn n k k k f k f x x f k f k -===≤≤-=∑∑∑⎰. (6-2-4)若反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛，则由(6-2-4)式知：对任何自然数n ，有d d 111()(1)()(1)()nn n k S f k f f x x f f x x+∞==≤+≤+∑⎰⎰.根据定理1，级数1()n f n ∞=∑收敛.反之，若1()n f n ∞=∑为收敛级数，则由(6-2-4)式知：对任一自然数()1n n >有d 111()()n n k f x x S f k S∞-=≤≤=∑⎰. (6-2-5)因为（）f x 为非负单调减函数，故对任何正数［,1］A n n ∈+，都有 d 110(),An f x x S n n S A ≤≤≤≤≤+⎰.根据无穷点极限存在判别法，可知反常积分d 1()f x x +∞⎰收敛.例5 讨论级数（1）21(ln )pn n n ∞=∑； （2）31ln (ln ln )pn n n n ∞=∑的敛散性.解（1）考虑反常积分d 2(ln )px x x +∞⎰，由于d(ln )d d 22ln 2(ln )(ln )pppx x u x x x u+∞+∞+∞==⎰⎰⎰.上式右端的反常积分当1p >时收敛；当1p≤时发散.根据积分判别法知，级数当1p >时收敛；1p ≤时发散.（2） 考察反常积分31ln (ln ln )px x x +∞⎰，类似可推出1p>时收敛，当1p ≤时发散.第三节 任意项级数敛散性判别法上一节，我们讨论了正项级数的敛散性判别问题.对于任意项级数的敛散性判别要比正项级数复杂，这里先讨论一种特殊的非正项级数的收敛性问题.一、 交错级数收敛性判别法定义1 如果级数的各项是正、负交错的，即112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+∑(6-3-1)或112341(1)n n n u u u u u ∞-=-=-+-+-∑， (6-3-2)其中()1,2,0n u n ≥= ，则称此级数为交错级数.定理1[莱布尼茨（Leibniz ）判别法] 如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）()1231,,,n n u n u +=≥ ；（2）lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u ≤+.证 先证明级数前2n 项的和2n S 的极限存在.为此把2n S 写成两种形式：()()()21234212n n nS u u u u u u -=-+-++-及()()()21234522212n n n nS u u u u u u u u --=-------- .根据条件（1）知道所有括弧中的差都是非负的，由第一种形式可见数列{}2n S 是单调增加的.由第二种形式可见21n S u ≤.于是由“单调有界数列必有极限”的准则知2lim n n S →∞存在，记为S ，则有12lim n n S S u →∞=≤.下面证明级数的前21n +项的和21n S +的极限也是S .事实上，我们有21221n n n S S u ++=+.由条件（2）知21lim 0n n u +→∞=，因此21221lim lim ()n n n n n S S u S ++→∞→∞=+=.由数列{}2n S 与{}21n S +趋于同一极限S ，不难证明级数11(1)n nn u ∞-=-∑的部分和数列{}n S 收敛，且其极限为S ，因此级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛于和S ，并且有1S u ≤.最后，由于12n n n r u u ++=-+ 或 12n n n r u u ++=-+- ，从而12n n n r u u ++=-+.这也是一个满足定理条件的交错级数，根据上面所证，有1n n r u +≤.例1 判别下列交错级数的收敛性.（1）111(1)n n n∞-=-∑；（2）11(1)10n nn n ∞-=-∑.解（1） 因()1,2,111n n n =>+ ，1lim0n n →∞= ，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和1S ≤. （2） 易证111010n n n n ++>（利用110n n ⋅>+），且im 100l n n n →∞=，根据莱布尼茨判别法，级数收敛，其和S 110≤.绝对收敛与条件收敛现在讨论任意项级数1n n u ∞=∑的敛散性.定义2 如果级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.定理2 如果级数1n n u ∞=∑绝对收敛，则级数1n n u ∞=∑必定收敛.证 设级数1nn u ∞=∑收敛，令()()1,2,3,12n n n v u u n =+= .显然0nv≥，且n n v u ≤()1,2,3,n = .由比较审敛法知级数1n n v ∞=∑收敛，从而级数12n n v ∞=∑也收敛，而2n n n u v u =-，由收敛级数的性质可知1112nnnn n n uvu ∞∞∞====-∑∑∑收敛，定理证毕.注意 上述定理的逆定理不成立.定理2说明，对于任意项级数1nn u ∞=∑，若用正项级数的审敛法判定出级数1nn u ∞=∑收敛，则1nn u ∞=∑亦收敛，这就使得一大类级数的收敛性判别问题可以转化为正项级数的收敛性判别问题.一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散. 但是，如果级数1n n u ∞=∑的一般项数列{}n u 不收敛于0，即()0n u n →→∞/，则我们必定可以得到()0n u n →→∞/.由级数收敛的必要条件，则一定可以断定级数1n n u ∞=∑发散.例2 判别级数21co s n n x n ∞=∑的收敛性.解 因为22cos 1n x nn≤，而级数211n n∞=∑收敛.所以级数21co s n n x n∞=∑也收敛，由定理2知，级数21co s n n x n∞=∑绝对收敛.例3 判别级数12111()(1)2nn nn n∞=-⋅+∑的收敛性.解 由211(1)2n n n u n=+，则有11(1)2n n=+e >1111limlim 122nn n n →∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故由正项级数的根值审敛法知级数211112nnn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散，所以原级数发散.绝对收敛级数有一些很好的性质，这是条件收敛级数所不具备的.*定理3 绝对收敛级数经任意交换项的位置后构成的级数也绝对收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.证 先证定理对于收敛的正项级数是正确的.设级数1n n u ∞=∑为收敛的正项级数，其部分和为n S ，和为S .并设级数1*n n u ∞=∑为1n n u ∞=∑任意交换项的位置后构成的级数，其部分和为*n S .对于任何正整数n ，我们总可取m 足够大，使12,,,***n u u u 各项都出现在12m m S u u u =+++ 中.于是得*n m S S S ≤≤，所以，单调增加的数列{}*n S 有上界，根据极限存在的准则可知*lim n n S →∞存在，即级数1*n n u ∞=∑收敛，且**lim n n S S S →∞=≤.另一方面，原来的级数1n n u ∞=∑也可看成是级数1*n n u ∞=∑交换项的位置后所成的级数，故应用上面的结论，又有*S S ≤.注意到上面已有*S S ≤，因此必定有*S S =. 下面证明定理对一般的绝对收敛级数是正确的.设级数1nn u ∞=∑收敛，()12n n nv u u =+.在定理2的证明中已知1nn v∞=∑是收敛的正项级数，故有()111122nnnn nn n n n uvu vu ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑.设级数1n n u ∞=∑任意交换项的位置后的级数为1*n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑相应地改变为1*n n v ∞=∑，1n n u ∞=∑相应地改变为1*n n u ∞=∑，由上面证得的结论可知*1*111,nnnn n n n n vvu u ∞∞∞∞======∑∑∑∑，所以11***12n n nnnn uvu ∞∞∞====-∑∑∑1112nn nn n n vu u ∞∞∞===-==∑∑∑.在给出绝对收敛级数的另一性质之前，我们先来讨论级数的乘法运算.设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都收敛，仿照有限项之和相乘的规则，写出从这两个级数中各取一项所有可能的乘积的(),1,2,3,i k u v i k = 如下：11111,,,,，23n u v u v u v u v ； 1,,,,，222232n u v u v u v u v ； 1,,,,，332333n u v u v u v u v ；1,,,,，23n n n n n u v u v u v u v ；这些乘积可以用很多的方式将它们排成一个数列.例如，可以按“对角线法”或按“正方形法”将它们排成下面形状的数列.对角线法11121314212223243132333441424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v正方形法11121314232122243431323341424344u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v对角线法排列为： 111221132231；，；，，； u v u v u v u v u v u v正方形法排列为： 111222211323333231；，，；，，，，； u v u v u v u v u v u v u v u v u v把上面排列好的数列用加号相连，就得到无穷级数.我们称按“对角线法”排列所组成的级数()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++为两级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑的柯西乘积.*定理4（绝对收敛级数的乘法） 设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都绝对收敛，其和分别为u 和v ，则它们的柯西乘积()()1112211211n n n u v u v u v u v u v u v -++++++++也是绝对收敛的，且其和为u v .证明从略.由定理4，我们利用收敛级数可以构造出另外一些非常有用的收敛级数.如当1r <时，几何级数11n n r ∞-=∑是绝对收敛的，且2111nr r rr =+++++- . 将()1211n n r r ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭<∑按对角线的顺序排列.则得到2221（）（）211()(1)n n nn r r r r r r r r r +=+++++++++++-2123（1）nr r n r =++++++()111n n rr n ∞-==<∑.即()111n n r n r ∞-=<∑也是绝对收敛的，其和为21(1)r -.第四节 函数项级数本节中我们进一步研究级数的各项都是某一个变量的函数的情况，即函数项级数.一、 函数项级数的概念定义1 设()()()()()123,,,,,{}:n n u x u x u x u x u x 为定义在数集I 上的一个函数序列，则由此函数列构成的表达式：()()()()123+++++1()n nn u x u ux x u x u x ∞==∑(6-4-1)称为定义在数集I 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数.对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数(6-4-1)成为常数项级数()()()()()1231nnn x u x u x x u u x u ∞=+++++=∑ (6-4-2)若级数(6-4-2)收敛，则称点0x 是函数项级数(6-4-1)的收敛点；若级数(6-4-2)发散，则称点0x 为函数项级数(6-4-1)的发散点.函数项级数(6-4-1)的收敛点的全体构成的集称为其收敛域，发散点的全体构成的集称为发散域.对应于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和，记为()S x .于是，在收敛域上，函数项级数的和()S x 是x 的函数，通常称()S x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域是级数的收敛域，在收敛域内有()()()()()1231()n n n S xu x u x u x u u x x ∞==+++++=∑ .把函数项级数(6-4-1)的前n 项的部分和记作()n S x ，(){}n S x 称为函数项级数的部分和函数列.在函数项级数的收敛域上有lim ()()n n S x S x →∞=.我们仍把()()()n n r x S x S x =-称为函数项级数的余项（当然，只有x 在收敛域上()n r x 才有意义）.显然有lim (0)n n r x →∞=.与常数项级数一样，函数项级数的敛散性就是指它的部分和函数列的敛散性. 例1 判断下列级数的收敛性，并求其收敛域与和函数.(1)11n n x∞-=∑；(2)()110nn x x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭≠∑.解 (1) 此级数为几何级数(即等比级数)，由第一节例1知1x <时，级数收敛，1x ≥时级数发散.故其收敛域为(-1，1)，和函数为11()lim ()limn n n n n S x S x x∞-→∞→∞===∑1111li 1(m )1nn x x x x→∞--=<-<=- .(2) 此级数也为几何级数，公比为1x ，由(1)知11x <时，级数收敛. 11x ≥时级数发散，其收敛域为，11，()()-∞-+∞ ，和函数为()()111111xx x S xx =⎛⎫-- ⎪⎝⎭=> .二、 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而应用广泛的一类级数就是各项都是幂函数的级数，称为幂级数.它的形式为21200n n nnna a x axa xa x∞==+++++∑ (6-4-3)或212000000()()()()n nn nn a a x x a x x a ax x x x ∞==+-+--++-+∑， (6-4-4)其中,1,2,(0)n a n = 是常数，称为幂级数的系数，0x 为常数.对于第二种形式的幂级数，只需作代换0t x x =-，就可以化为第一种形式的幂级数.因此我们主要讨论第一种形式的幂级数.显然，0x =时幂级数0nn n a x ∞=∑收敛于0a ，即幂级数0n n n a x ∞=∑至少有一个收敛点0x =.除0x =以外，幂级数在数轴上其他的点的收敛性如何呢？ 先看下面的例子:考虑幂级数210n n n x x x x ∞==+++++∑ ，由本节例1可知，该级数的收敛域是开区间1,1()-，发散域是，1］［1，()-∞-+∞ . 从这个例子可以看到，这个幂级数的收敛域是一个区间.事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.定理1［阿贝尔(Abel)定理］ 若幂级数0n n n a x ∞=∑在()000x x x =≠处收敛，则对满足＜0x x 的一切x ，该级数绝对收敛，反之，若级数0n n n a x ∞=∑在0x x =时发散，则对满足0x x >的一切x ，该级数也发散.证 先证第一部分.即要证明若幂级数在00x x =≠收敛，则对满足＜0x x 的每一个固定的x 都有0nn n a x∞=∑收敛.因为nnn n n xa xa xx =⋅，且＜10x x ，故0nxx 可看作一收敛的几何级数的通项，而由00n n n a x ∞=∑收敛可知0lim 0nn n a x →∞=.根据极限的性质，存在＞0M ，使得,1,2,0(0)nn M n a x ≤= .因此，对,1,2,0n=有00··nnnnn n xx a xa M x x x ≤=.因为00nn x x ∞=∑是收敛的等比级数(公比为＜10x x )，根据比较审敛法知0nn n a x∞=∑收敛，也就是nnn ax∞=∑绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.若幂级数在0x x =发散，而有一点1x 使1＞0x x 且幂级数在1x 处收敛，则根据本定理的第一部分，级数在0x x =应收敛，这与所设矛盾，定理得证.定理1告诉我们，若幂级数在()000x x x =≠处收敛，则对于开区间(),00x x -内的任何x ，幂级数都收敛，若级数在1x x =处发散，则对于区间()()11，，x x -∞-+∞ 上的任何x ，幂级数都发散.我们知道，幂函数在整个数轴上有定义，对于给定的幂级数0n n n a x ∞=∑而言，数轴上所有的点都可归为其收敛点和发散点这两类中的一类，而且仅属于其中一类.因此，幂级数的收敛域必为以原点为中心的区间，该区间包含所有的收敛点.在前面的讨论中，我们假设幂级数在1x x =处发散，故1x 不属于收敛域.因而，收敛域包含在区间()11,x x -内，故幂级数如果既有非零的收敛点，又有发散点，则其收敛域是以原点为中心的由P '与P 所确定的有界区间，如图6-1所示.图6-1从上面的几何说明可得以下推论.推论 若幂级数0nn n a x ∞=∑在，()-∞+∞内既有异于零的收敛点，也有发散点，则必有一个确定的正数R 存在，使得当＜x R 时，幂级数在x 处绝对收敛； 当x R >时，幂级数在x 处发散；当x R =时，幂级数在x 处可能收敛也可能发散.我们称上述的正数R 为幂级数的收敛半径，称，()R R -为幂级数的收敛区间.幂级数的收敛区间加上它的收敛端点，就是幂级数的收敛域. 若幂级数仅在0x =收敛，为方便计，规定这时收敛半径0R =，并说收敛区间只有一点0x =；若幂级数对一切，()x ∈-∞+∞都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛区间为，()-∞+∞.关于幂级数的收敛半径的求法，有下面的定理. 定理2 若1limn n na ρa +→∞=，则幂级数0nn n a x∞=∑的收敛半径：1,0,,0,0,.ρρR ρρ⎧≠⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩证 考察0n n n a x ∞=∑的各项取绝对值所成的级数2120nn a a x a xa x+++++ . (6-4-5)该级数相邻两项之比为111n n n nnn a x a x a a x+++=⋅.(1) 若 ()1lim0n n na ρa ρ+→∞=≠存在，根据正项级数的比值审敛法，当＜1ρx ，即1x ρ<时，级数(6-4-5)收敛，从而0nn n a x ∞=∑绝对收敛；当1ρx >，即1x ρ>时，级数(6-4-5)发散，故0nn n a x ∞=∑也发散. 这是因为当n →∞时，n n a x 不收敛于0，从而n n a x 亦不收敛于0.(2) 若0ρ=，则对任何0x ≠，有() 110n n nn a x a xn ++→→∞，所以级数(6-4-5)收敛，从而级数0n n n a x ∞=∑绝对收敛，于是R =+∞.(3) 若ρ=+∞，则除掉0x =外，对任意0x ≠都有＞1111limlimn n n nn n nn a x a x a a x+++→∞→∞⋅=+∞=，即对一切0x ≠，级数0n n n a x ∞=∑都发散，于是0R =.例2 求幂级数12310(1)(1)123n nnn n x x x xx n n ∞+-=-=-+++-++∑的收敛区间与收敛域.解 因为111limlim 11n n n na n ρa n+→∞→∞+===， 所以收敛半径为11R ρ==，于是收敛区间为(-1，1).对于端点1x =，级数成为交错级数111(1)n n n∞-=-∑，它是收敛的；对于端点1x =-，级数成为1111n n n n∞∞==-=-∑∑，它是发散的.因此原幂级数的收敛域为(1，1-⎤⎦.例3 求幂级数0!n n n x ∞=∑的收敛半径（这里!10=）.解 因为1(1)!limlim!n n n na n ρa n +→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在0x =收敛.例4 求幂级数21112!nx x x n+++++ 的收敛区间以及收敛域.解 因为11(1)!1limlimlim011!n n n n na n ρa n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，从而收敛区间为，()-∞+∞，收敛域也是，()-∞+∞.例5 求幂级数20(1)2n nnn x ∞=-∑的收敛区间以及收敛域.解 级数缺少奇次幂的项，定理2不能直接应用，我们根据比值审敛法求收敛半径.因为2212212(1)2limlim22(1)2n n n n n n nnxx x x +++→∞→∞-==-，所以当＜12x 时，级数收敛；＞122x时，级数发散.即x <x >时发散.收敛半径为R =x =时，级数均为0(1)nn ∞=-∑，发散，所以原幂级数收敛区间与收敛域均为(.例5 求幂级数1(1)2nnn x n∞=+⋅∑的收敛区间以及收敛域.解 令1t x =+，上述级数成为12nnn tn∞=⋅∑.因为1121limlim22(1)nn n n n na n ρa n ++→∞→∞===+ ， 所以收敛半径为2R =.当2t =时，级数为11n n∞=∑，发散；当2t =-时，级数为1(1)nn n∞=-∑，收敛. 因此收敛区间为2＜＜2t -，即2＜1＜2x -+，亦即3＜＜1x -，所以原级数的收敛区间为(-3，1)，收敛域为)3,1-⎡⎣.三、 幂级数的和函数的性质我们看到，幂级数在其收敛区间内任一点都是绝对收敛的，因而前面第一节中常数项级数的运算性质在收敛点都是行得通的.在收敛区间上定义的和函数有下面的性质.定理3 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为I ，则其和函数()S x 在区间I 上连续.由函数在区间上连续的定义，我们知道如果收敛域I 包含左（右）端点，则和函数()S x 在区间I 的左（右）端点必右（左）连续.在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前，我们先说明这样一个事实，即幂级数(6-4-3)在收敛区间,()R R -内逐项求导与逐项求积之后所得到的幂级数112n n a +2a x ++n a x+- (6-4-6)与211021n n a a a x xxn ++++++ (6-4-7)的收敛区间也是,()R R -.事实上，设0x 是幂级数(6-4-3)的收敛区间,()R R -内的任意非零点，则必存在1,()x R R ∈-,满足1xx R<<.由于级数10n n n a x ∞=∑收敛，有1lim 0nn n a x →∞=，即{}1n n a x 为有界数列.而0001111nnnnnn n n x x a x a x a x x x ⎛⎫=⋅=⋅⎪⎝⎭，因此，存在正数M （可取为数列{}1n n a x 的上界）及1r < （可取10||||xr x =）,使得对一切正整数n ，有nnn a x M r ≤，而1000n n nn n n M n a x a x n r x x -=⋅≤，由级数的比值审敛法知1n n n r ∞=∑收敛，故0x 也是级数(6-4-5)的绝对收敛点. 因此幂级数(6-4-6)与(6-4-3)有相同的收敛区间.同理也可以得到幂级数(6-4-7)与(6-4-3)有相同的收敛区间.定理4 设幂级数0nn n a x ∞=∑在收敛区间,()R R -上和函数为()S x ，若x 为,()R R -内任意一点，则(1) ()S x 在x 处可导，且()11n n n n a x S x∞-='=∑；(2) ()S x 在0与x 构成的区间上可积，且d 1()1x n nn a S t t xn ∞+==+∑⎰.定理4指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积. 例6 在区间(-1，1)内求幂级数111n n x n ∞-=+∑的和函数.解 由于12lim 111n n n →∞+=+，所以此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1).设和函数为()S x，则()()111120,n n S xS xn ∞-=+==∑.对()2111n n x n x S x ∞+==+∑逐项求导得()21＜＜1111)11(n nn n x xxn xx S x x ∞∞-=='⎛⎫==⎪+-'⎡⎤=-⎣⎭⎦⎝∑∑ .对上式从0到x 积分得()d 2ln (1)1xxx x x xx S x==----⎰. 于是当0x ≠时，有()2ln (1)S xx x x+-=-.从而2ln (1),01;()1,0.2x x x x S x x +-⎧-≤≤⎪=⎨⎪=⎩由幂级数的和函数的连续性可知，这个和函数()S x 在0x =处是连续的.事实上，我们有2ln (1)1lim ()lim(0)2x x x x S x S x→→---===.四、 幂级数的运算设幂级数21200n n nnna a x axa xa x∞==+++++∑ (6-4-8)及21200n n nnnb b x bxb xb x∞==+++++∑ (6-4-9)分别在区间11,()R R -及22,()R R -内收敛.令12min ,{}R R R =，则根据收敛级数的性质，我们在区间,()R R -上对幂级数(6-4-8)和(6-4-9)可进行下面的加法、减法和乘法运算.1. 加法,000())(nnnnnnn n n n axbxax b R R x∞∞∞====+∈+-∑∑∑.2. 减法,0())(nnnnnnn n n n axbxax b R R x∞∞∞====-∈--∑∑∑.3. 乘法,0()nnnnn nn n n axb xR cx xR ∞∞∞===∈⋅-=∑∑∑，其中0kn nkn k ab c -==∑.4. 除法00nnnn nn n nn ax cxbx∞∞=∞===∑∑∑，这里假设00b ≠.为了决定系数12,,,,,0n c c c c ，可以将级数0nn n b x ∞=∑与0n n n c x ∞=∑相乘（柯西乘积），并令乘积中各项的系数分别等于级数0n n n a x ∞=∑中同次幂的系数，即得000a b c =， 11100a b c b c =+， 2211200a b c b c b c =++，由这些方程就可以顺次地求出12,,,,,0n c c c c .值得注意的是，幂级数(6-4-8)与(6-4-9)相除后所得的幂级数0n n n c x ∞=∑的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多.第五节 函数展开成幂级数。

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。

幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。

其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。

在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。

一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。

一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。

在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。

二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。

收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。

三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。

幂级数知识点归纳总结一、幂级数的基本概念幂级数是指一种无限级数，其中包含幂函数和指数函数的组合。

它的定义式为:a^x - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - (b^n) * x^(n+1) 其中，a 和 b 是常数，x 是实数，sum 表示求和符号，∞表示无限项。

二、幂级数的性质幂级数有许多重要的性质，包括:1. 幂级数在 x=0 处取得最大值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = a^x2. 幂级数在 x=∞处取得最小值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = b^x3. 幂级数的和是无限项的，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1)4. 幂级数是单调递增或单调递减的，即若 a > b，则幂级数在x=a 处递增，在 x=b 处递减;若 a < b，则幂级数在 x=a 处递减，在 x=b 处递增。

三、幂级数的求和公式幂级数的求和公式有很多种，其中最常见的是莱布尼茨公式和欧拉公式。

1. 莱布尼茨公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n)* x^(n+1) = ln(a) + ln(b) + C2. 欧拉公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = (a-b) * x + C其中，ln 表示自然对数，C 为常数，∞表示无限项。

四、幂级数的应用幂级数在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等等。

其中，幂级数在物理学中的应用最为广泛，如在热力学、流体力学、电磁学等领域中都有广泛的应用。

幂级数在经济学中的应用也非常多，如在投资学、金融学、市场营销学等领域中都有广泛的应用。

其中，幂级数在投资学中的应用最为广泛，它可以用来描述股票价格的涨跌幅度，从而帮助投资者预测未来的股票价格。