数学分析幂级数

收敛半径和p的关系在数学分析中，收敛半径是用来描述一个幂级数的收敛性的重要指标。

幂级数是指形如∑(an * x^n)的无限级数，其中an是一个常数系数，x是一个实数或复数。

在幂级数的收敛性研究中，一个关键问题就是如何确定幂级数的收敛半径。

收敛半径R是一个非负实数，可以通过求解以下极限来确定：R = lim |an/an+1|根据上述公式，收敛半径R与幂级数的系数an之间存在一定的关系。

在本文中，我们将探讨收敛半径与系数an的关系，并分析如何通过p来影响收敛半径。

我们假设幂级数的系数an是一个非零实数序列。

根据数学分析的知识，当极限lim |an/an+1|存在时，幂级数有一个有限的收敛半径R。

当极限lim |an/an+1|等于无穷大时，幂级数的收敛半径R为零。

接下来，我们来考虑系数an的绝对值与an+1的绝对值之间的关系。

根据定义，收敛半径R等于lim |an/an+1|，即收敛半径R等于系数an的绝对值与an+1的绝对值之间的极限。

如果系数an的绝对值比an+1的绝对值大，那么极限lim |an/an+1|将为正无穷大；如果系数an的绝对值比an+1的绝对值小，那么极限lim |an/an+1|将为零。

这说明，在计算收敛半径时，系数an的绝对值与an+1的绝对值之间的大小关系起着至关重要的作用。

在幂级数的研究中，常常使用比值测试来判断收敛性。

比值测试是指计算幂级数的相邻两项之间的比值，然后判断该比值的极限。

如果该比值的极限小于1，则幂级数绝对收敛；如果该比值的极限大于1，则幂级数发散；如果该比值的极限等于1，则无法确定幂级数的收敛性。

根据比值测试的原理，我们可以得出结论：当极限lim |an/an+1|小于1时，幂级数绝对收敛，收敛半径R大于1；当极限lim |an/an+1|大于1时，幂级数发散，收敛半径R等于零；当极限lim |an/an+1|等于1时，无法确定幂级数的收敛性。

在幂级数的研究中，常常将系数an的绝对值与n的幂指数p进行比较。

abel euler 加法定理阿贝尔欧拉加法定理（Abel-Euler加法定理）是数学中的一个重要定理，它是关于幂级数和的一个等式。

该定理由挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔和瑞士数学家约翰·卡尔·路德维希·欧拉分别在19世纪早期和18世纪中期提出。

这个定理在分析学中起到了重要作用，它能帮助我们理解和计算各种类型的级数。

首先，我们来介绍一下幂级数。

幂级数是一种形式为∑anxn的级数，其中an是常数系数，xn是变量，n是一个非负整数指数。

幂级数可以在某个区间内收敛，这意味着级数的和在这个区间内收敛到一个有限值。

欧拉证明了一些幂级数的和公式，其中一个著名的定理就是欧拉公式。

欧拉公式（Euler's formula）是数学中非常重要的公式之一，它描述了虚数单位i、自然对数的底e和三角函数之间的关系。

欧拉公式的表达式为e^ix=cosx + isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，x是一个实数。

这个公式将三角函数和指数函数联系在了一起，为分析学和应用数学提供了非常有力的工具。

阿贝尔欧拉加法定理是基于欧拉公式的一个推论。

根据阿贝尔欧拉加法定理，如果一个幂级数收敛在某个点上，那么它在这个点的和可以通过欧拉公式的形式来表示。

具体而言，设幂级数∑anxn在实数x=a处收敛，其中a是一个实常数。

那么，根据阿贝尔欧拉加法定理，我们可以得到以下等式：∑an(x-a)n = ∑bn（cosnθ + isinnθ），其中θ是一个实数，满足x=a+e^iθ。

在这个等式中，左侧是幂级数的形式，右侧是欧拉公式的形式。

这个等式的意义在于它将幂级数的计算问题转化为了三角函数的计算问题。

幂级数的和可以通过欧拉公式的形式表示为一系列的三角函数的和，这样我们就可以利用三角函数的性质来计算幂级数的和了。

通过欧拉公式，我们可以将幂级数展开为正弦和余弦的和，进而计算幂级数的和。

阿贝尔欧拉加法定理不仅适用于实数上的幂级数，还适用于复数上的幂级数。

形式幂级数的基础理论和应用形式幂级数是现代数学基础理论中的一个重要分支，是研究无穷级数的一个重要手段。

本文将从形式幂级数的定义、性质等方面来探讨其基础理论和应用。

一、形式幂级数的定义与基本性质形式幂级数指的是由一系列形如$a_n x^n$的项所组成的级数，其中$x$为未定元，系数$a_n$可以取任意实数或复数。

例如：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x^n+... (a_n\in \mathbb{C})$$其中$f(x)$为形式幂级数，如果其中某一项$a_nx^n=a_mx^m(m\neq n)$，则称其为一项余项。

形式幂级数不是函数，只是一个由一系列项组成的形式化级数。

针对形式幂级数，有一些基本性质：1. 形式幂级数的加法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们之和为:$$f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$$2. 形式幂级数的乘法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们的乘积为:$$f(x) \cdot g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$$其中:$$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$$3. 形式幂级数的复合运算：设$f(x) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n$，则它们的复合为：$$f(g(x))=\sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n(x)$$其中$a_n g^n(x)$表示对于形式幂级数$g(x)$，将其代入到 $a_n x^n$ 中，再对一系列项进行求和。

幂级数求和及其应用摘要本文在学习了幂级数及幂级数求和的基本性质基础上，对幂级数的求和问题引进了8种方法，对幂级数的应用问题主要介绍了在数学和物理上的8个应用。

本文先从幂级数求和的两种最基本和最简单的方法入手，在这两种方法的基础上紧接着引进基本初等函数等方法，实现由简单到复杂，由具体到抽象，由一般到特殊的过度，进而运用高等数学的其他知识和通过查阅大量资料，简单的介绍了构造函数方程的三种方法，最后重点介绍了幂级数在数学和物理上的8个实际应用，即数学上的4个应用和物理学上的四个应用。

关键词：幂级数；和函数；收敛区间Several Methods about the Sum of Power SeriesAbstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper first from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and then use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four application and physics on the four applications.key words：power series; And functions; Convergence interval目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (2)1.幂级数求和的方法 (2)1.1逐项微分法 (2)1.2逐项积分法 (4)1.3拆项组合法 (5)1.4部分和极限法 (6)1.5 基本初等函数法 (7)1.6代数方程法【8】 (8)1.7微分方程法【9】 (9)1.8逐级递推法 (10)2.幂级数的应用 (12)2.1幂级数在数学上的应用 (12)2.2幂级数在物理学中的应用 (14)结束语 (16)参考文献 (17)前言幂级数及其求和是数学分析中最重要的内容之一，在高等数学中也有着广泛的应用，而幂级数的收敛及其求和也是高等数学中的难点之一，因此对幂级数的收敛及其求和的研究不仅有着重要的理论意义，还有着重大的实践意义，无论是在高等数学中还是在科学计算中，不管是在经济管理还是在实际生活中都有着广泛的应用. 本文讨论幂级数的结构为1n n n a x ∞=∑，通过举具体例子，引进了幂级数求和的8种方法，最后主要介绍了幂级数在数学和物理学中的应用，包括4个数学上的应用和4个物理学上的应用。

数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。

而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。

本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。

一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。

函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。

其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。

函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。

函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。

如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。

函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。

函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。

例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。

这在微积分的应用中非常重要。

此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。

二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。

幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。

其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。

幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。

幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。

与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。

在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。

幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。

此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。

总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。

数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。

级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。

本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。

一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。

一般来说，级数展开可以通过泰勒级数展开、幂级数展开和傅里叶级数展开等方法来实现。

这些方法都是基于不同的数学原理和技巧，适用于不同类型的函数。

二、泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中级数的每一项都是函数在某一点的导数值与该点到展开点的距离的乘积。

泰勒级数展开可以用于近似计算函数的值，尤其是在展开点附近的范围内。

泰勒级数展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是函数在展开点的一阶、二阶和三阶导数。

三、幂级数展开幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中级数的每一项都是函数在展开点的某一次幂与系数的乘积。

幂级数展开可以用于表示一些特殊函数，如指数函数、三角函数和对数函数等。

幂级数展开的公式如下：f(x) = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)^2 + a3(x-a)^3 + ...其中，f(x)是要展开的函数，a0、a1、a2、a3等是系数，a是展开点。

四、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将一个周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的形式。

傅里叶级数展开可以用于分析周期性现象和信号处理等领域。

傅里叶级数展开的公式如下：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，f(x)是要展开的周期函数，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，ω是角频率。

Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析李占勇（喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844000）摘要：针对华东师范大学数学系编著的《数学分析（下册）》第三版第十四章第一节Cauchy-Hadamard定理中利用上极限确定幂级数收敛半径的条件“当0<ρ<+∞时，收敛半径R =1ρ”，给出了一个反例说明该条件充分性不足，并通过分析应对幂级数系数集{a n }的有界性加以限制，得到了Cauchy-Hadamard 定理的最优充分性条件.关键词：Cauchy-Hadamard 定理；幂级数收敛半径；充分性；上极限；下极限中图分类号：O173.1文献标志码：A文章编号：2096-2134（2020）06-0017-040引言幂级数是函数项级数中最基本的一类.它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分，由此得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式）.将函数展为幂级数，无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义.收敛级数有许多重要的应用[1-6].一般级数不是在任一点处都是收敛的，它们有一定的收敛域，需要讨论它们的收敛半径[7-9].对于幂级数+∞n=0∑a n x n中系数集是否满足“limn →+∞a n n√存在”，可以将幂级数+∞n =0∑a n x n 收敛半径的确定分为两个阶段.第一个阶段是当lim n →+∞a n n√存在时，有如下基本定理.定理1[10]已知幂级数+∞n=0∑a n x n，设limn →+∞a nn√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.第二个阶段是当limn →+∞a n n√不存在时，可以利用上极限确定幂级数的收敛半径，即下面的Cauchy-Hadamard 定理.定理2[10]（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n ，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；收稿日期：2020-11-11作者简介：李占勇（1986-），男，河南省驻马店人，硕士，主要从事常微分方程与动力系统研究.E-mail ：*******************DOI ：10.13933/ki.2096-2134.2020.06.005喀什大学学报Vol.41No.6第41卷第6期（2）当ρ=0时，幂级数+∞n=0∑a n x n的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为0.对于定理2中的（1），我们提出一个反例：设幂级数+∞n =0∑a n x n ，其中a n =n n ，当n 为奇数时；（122，当n =2时；（12+12n 2）n，当n 为不小于4的偶数时.⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐容易看出a n n√{}=1，12，3，（12+122），5，（12+123），6，…{}，它只有一个聚点12，因此，lim n →+∞a n n√=ρ=12，由Cauchy-Hadamard 定理知收敛半径R =1ρ=2，那么幂级数+∞n=0∑a n x n 必在x =1处收敛；但是当我们把1带入幂级数+∞n=0∑a n x n中得到级数+∞n=0∑a n ，而级数∑a n=11+（12）2+33+（12+122）4+55+（12+123）6+67+…≥11+33+55+…=∑（2n -1）2n -1，显然+∞n =0∑a n x n 在x =1处发散，这就产生了矛盾.由此可见，上述定理2中的条件（1）还缺少限制条件，这个限制条件就是“a n n√{}是有界的”.添加该限制条件后即为下面的Cauchy -Hadamard 定理.定理3（Cauchy-Hadamard 定理）已知幂级数+∞n =0∑a n x n，设limn →+∞a n n√=ρ，则：（1）当a n n√{}有界，0<ρ<+∞时，幂级数+∞n=0∑a n x n 的收敛半径为1ρ；（2）当ρ=0时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞；（3）当ρ=+∞时，幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.2Cauchy-Hadamard 定理3的证明证明我们先看a nn √{}与ρ的之间的关系性质：因为ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界，所以对于任意小的正数ε，则存在a n n√{}的一个聚点a ∈（ρ-ε，ρ+ε）.现取一个正数δ=min {（ρ-ε）-a ，（ρ+ε）-a }，由a 是a n n√{}的一个聚点可知（a -δ，a +δ）中含有a n n√{}的无数个项；再由（a -δ，a +δ）⊂（ρ-ε，ρ+ε）可知（ρ-ε，ρ+ε）中含有a n n√{}的无数个项，从而ρ是a n n√{}的一个聚点.其次，再来证明：满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.假设满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是无限的，并用A 表示由这无数个项组成的数集.根据添加的限制条件“a n n√{}是有界数列”可知数列A中又存在聚点b ，不妨设其中一个聚点为b ，显然b ≥ρ+ε（否则，就有b <ρ+ε，此时取正数δ′=（ρ+ε）-b ，则（b -δ′，b +δ′）中不含数列A 中的项，但这与b 是数列A 的一个聚点产生矛盾），进而有b >ρ，又因为b 是数列A 的一个聚点，那么它必是a n n√{}的一个聚点，但这与ρ是a n n√{}的所有聚点的上确界产生矛盾，所以假设不成立，满足大于等于ρ+ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.注1：设limn →+∞a n n√=l ，同理可证l 是a nn√{}的一个聚点，且满足小于等于l -ε的a n n√{}中的项的个数是有限的.有了这些结论，我们就很容易得到如下正项级数收敛判定定理：引理1已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当u n +1u n{}有界（显然lim n →+∞u n +1un，lim n →+∞u n +1u n均存在且均不小于0），且lim n →+∞u n +1u n =ρ<1时，则正项级数+∞n =1∑u n 收敛；喀什大学学报第41卷18··李占勇：Cauchy-Hadamard 定理中关于“幂级数收敛半径确定”充分性的分析第6期（2）当lim n →+∞u n +1u n =l >1时，则正项级数+∞n =1∑u n发散.注2：lim n →+∞u n +1u n=l >1并不能证明{u n }中有无穷个项大于1，它只能证明有无穷个比值项大于1，只有这无穷个比值项是依次衔接的才能证明正项级数+∞n =1∑u n 发散.引理2已知正项级数+∞n=1∑u n ，若满足：（1）当{u n }有界（显然limn →+∞u nn√存在且不小于0）且lim n →+∞u n n√ρ<1时，则正项级数+∞n=1∑u n 收敛；（2）当lim n →+∞u n n√ρ<1（ρ≠+∞）时，则正项级数+∞n=1∑u n 发散；（3）当lim n →+∞u n n√ρ=+∞时，正项级数+∞n=1∑u n发散.引理证明我们只给出引理2的证明，引理1的证明类似.（1）因为lim n →+∞u n n√=ρ<1，所以可取正数ε=1-ρ2，那么大于等于ρ+ε的u n n √{}中的项是有限个.设这有限个项的最大下标为N ，则当n>N时，总有u n n√<ρ+ε<1，根据正项级数收敛的柯西判别法可证得+∞n =1∑u n 收敛.（2）因为lim n →+∞u n n√=ρ>1，所以可取正数ε=ρ-12，那么（ρ-ε，ρ+ε）中含有u n n√{}的无数个项；由ρ-ε>1可知u n n√{}中有无数个项大于1，从而u n {}中有无数个项大于1，这样我们得到+∞n=0∑u n →+∞，即正项级数+∞n=1∑u n 发散.（3）因为lim n →+∞u n n√=+∞，所以存在u nn√{}的一个聚点u n 1n 1√，取正数ε=u n 1n 1√-12，则区间u n 1n 1√-ε，u n 1n 1√ε()含有u n n√{}中的无穷多个项，又因为1<u n 1n 1√-ε，所以这无穷多个项均大于1，进而对应的中的无穷多个项也大于1，这样我们得到正项级数+∞n =1∑u n 是发散的.现在继续回到定理的证明：（1）任取x ∈1ρ，1ρ()，则lim n →+∞a n x n n√=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx <1（lim n →+∞ku n =k lim n →+∞u n ，k >0），从而+∞n =0∑a n x n 收敛，即+∞n =0∑a n x n 在-1ρ，1ρ()上绝对收敛，再由级数绝对收敛必收敛可知+∞n =0∑a n x n在-1ρ，1ρ()上是收敛的.任取x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()，则lim n →+∞a n x n n √=lim n →+∞a n n √·x ()=ρx >1，根据引理2可知+∞n=0∑a n x n 发散，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上不绝对收敛.假设x ∈-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()使+∞n =0∑a nx n收敛，取1ρ<x⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知：+∞n=0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛，又因为1ρ<x ⎺，所以根据前面的结论可知+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，这就产生了矛盾，即+∞n =0∑a n x n 在-∞，-1ρ()∪1ρ，+∞()上发散，这说明幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为1ρ.（2）任取x ∈（-∞，+∞），则lim n →+∞a n x n n√=limn →+∞a n n√·x()=ρx =0<1，根据引理2可知+∞n =0∑a n x n 收敛，从而+∞n =0∑a n x n 在（-∞，+∞）上绝对收敛且收敛，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为+∞.（3）因为ρ=+∞，所以当x ≠0时，lim n →+∞a n x nn√19··Analysis on the Sufficiency of Determining the Convergence Radius of PowerSeries in Theorem Cauchy-HadamardLI Zhan-yong（School of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844000，Xinjiang，China）Abstract：According to the Cauchy-Hadamard theorem in the first section of Chapter 14in the third edition ofmathematical analysis （Volume II ）edited by the Department of mathematics of East China Normal University,the condition of using upper limit to determine the convergence radius of power series “when 0<ρ<+∞，the radius of convergence R =1ρ”，this paper gives a counter example to show that the condition is insufficient ，The boundedness of coefficient seta nn√{}of power series should be restricted by analysis.Finally,the optimalsufficient conditions of Cauchy-Hadamard theorem are obtained.Key words：Cauchy-Hadamard theorem；the radius of convergence of power series；sufficiency；upper limit；lower limit=lim n →+∞a n n√·x ()=ρx =+∞，从而有当x ≠0时，+∞n =0∑a nxn在（-∞，+∞）上不绝对收敛.假设存在x ≠0使幂级数+∞n=0∑a n x n 收敛，那么取一个正数x ⎺满足0<x ⎺<x ，类比阿贝耳定理的证明可知幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处绝对收敛.但由前面的结论可知，幂级数+∞n =0∑a n x n 在x ⎺处不绝对收敛，所以假设失败，即幂级数+∞n =0∑a n x n 的收敛半径为0.定理3得证.3结论本文经过Cauchy -Hadamard 定理充分性的分析，增加了幂级数系数集a n n√{}的有界性，并且通过定理的证明过程得知系数集a n n√{}有界是必须的，从而增加的条件是最优的.在引理2中，我们知道{u n }有界必能推出u n n√{}有界，而u n n√{}有界则未必推出{u n }有界，所以会使人误认为“{u n }有界”换作“u n n√{}有界”后，条件（1）拓宽了.其实不然，换后的条件（1）除了有u n n√{}有界，还有0<ρ<1，这两个条件结合起来能证明{u n }有界，因此换后的条件与换前的条件是对等的，但对于给定的幂级数考察{u n }有界是直接能看到的，不需要经过变换.参考文献：[1]唐荣荣.渐近级数与收敛级数的比较[J].大学数学，2009，25（3）：181-184.[2]朱明星.幂级数的应用[J].中国科技信息，2011，（10）：60-61.[3]赵青波.不等式证明中幂级数的应用分析[J].当代旅游，2018，（11）：1-2.[4]初文昌.形式幂级数技巧的应用:Ⅰ.李善兰恒等式的初等证明[J].数学的实践与认识，1990，（1）：82-84.[5]张建军，宋业新，瞿勇.从两道竞赛题看幂级数展开式的应用[J].科技创新导报，2017，（30）：224-225.[6]孙延彬.矩阵幂级数的收敛性质和应用[J].和田师范专科学校学报，2010，29（3）：198-201.[7]蒋国强.一类幂级数收敛半径的统一求法[J].高等函授学报（自然科学版），2003，16（3）：20-21.[8]蔡道西.关于二元幂级数收敛半径的计算公式[J].数学学习与研究，2009，（5）：111-112.[9]Shapovalovska L O ，Skaskiv O B.On the radius of conve-rgence of random gap power series [J ].International Journal of Mathematical Analysis ，2015：1889-1893.[10]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].北京：高等教育出版社，2006.喀什大学学报第41卷20··。

“数学分析”课程中幂级数收敛性问题求解的探讨作者：杨婷梅龙能来源：《理科爱好者(教育教学版)》2021年第05期【摘要】数学分析是数学专业一门重要的基础课程，其逻辑性、理论性很强。

数学分析这门课程，不仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且还能培养学生的创新思维。

本文主要探讨了数学分析课程中幂级数的收敛性问题，引导学生学会独立思考，总结归纳，不断激发学生学习数学的兴趣。

【关键词】数学分析;幂级数;收敛性问题【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）28-0009-02在函数项级数中，有一类结构相对简单、应用非常广泛的函数项级数——幂级数。

对于幂级数的研究主要讨论其和函数的分析性质，以及将函数展成幂级数的条件和展开公式，本文主要讨论幂级数的收敛性问题。

1 幂级数的基本定义和定理不妨把形如anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...的幂级数记为“标准型”幂级数。

显然，该幂级数在x=0收敛，对于幂级数在非0点的敛散性，由以下定理判断：定理1（阿貝尔第一定理）：（1）若幂级数anxn在x0≠0收敛，则幂级数在都绝对收敛。

（2）若幂级数在x1≠0发散，则幂级数在都发散。

定理2：若给出幂级数anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...，则其收敛半径为，其中an为前一项的系数，an+1为后一项的系数[1]。

利用该定理可求解标准型的幂级数的收敛半径，从而得到收敛区间。

对于一般型的幂级数可换元转化为标准型求解，但对于形如anx2n，anx2n+1等有缺项的幂级数时，则采用以下定理求解。

定理3：在幂级数anxn有缺项的情况下，采用比值法求收敛半径，即令，求解得到−r<x<r，其中通项un（x）=anxn。

对于在收敛区间幂级数anxn和函数的求解，主要有两种情况。

先判断幂级数的系数an为整式还是分式，若为整式，可对幂级数逐项积分，得到关于变量x的函数，再左右微分;若为分式，则对幂级数逐项微分，再左右积分，从而得到在收敛区间上的和函数[2-5]。