2021届天津市滨海新区塘沽紫云中学高三上学期第二次月考(期中考试)数学试卷(解析版)

天津塘沽区滨海中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（）A．B．C．D．参考答案：B2. 若2014=αk?5k+αk﹣1?5k﹣1+…+a1?51+a0?50，其中a k，a k﹣1，…，a0∈N，0＜a k＜5，0≤a k﹣1，a k﹣2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，a k中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，a k，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余3．∴2014=3?54+1?53+0?52+2?51+4?50 ．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．3. 设函数,则使得成立的x的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：A4. 对于函数，下列命题中正确的是A． B．C． D．参考答案：B5. 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．6. 函数的零点所在的区间为( )A．(-1,0) B．( 0,1) C．(1,2) D．(2,3)参考答案：B7. 在半径为R的圆周上任取A、B、C三点，试问三角形ABC为锐角三角形的概率（）A． B． C．D．参考答案：B8. 如果实数x，y满足则目标函数z=4x+y的最大值为A． B．3 C． D．4参考答案：C9. 若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．4024参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意可知数列是递减数列，由a2013（a2012+a2013）＜0，知a2012＞0，a2013＜0，由此推得答案．【解答】解：由题意可得数列{a n}单调递减，由a2013（a2012+a2013）＜0可得：a2012＞0，a2013＜0，|a2012|＞|a2013|．∴a2012+a2013＞0．则S4025=4025a2013＜0，故使数列{a n}的前n项和S n＞0成立的最大自然数n是4024．故选D．10. 在平面直角坐标系中，若不等式组表示的平面区域的面积为4，则实数t的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划的应用．【分析】确定不等式对应的可行域，分析满足条件的图形的形状，结合三角形面积的求法，即可求实数t的值．【解答】解：由已知易得满足约束条件的可行域即为△ABC，此时t＞0又∵S△ABC==4，∴t=2故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______.参考答案： 0略 12. 已知函数f （x ）=，则f （0）+f （﹣3）= ．参考答案：﹣1【考点】3T ：函数的值．【分析】直接利用分段函数求解即可．【解答】解：函数f （x ）=，则f （0）+f （﹣3）=e 0﹣3+1=﹣1． 故答案为：﹣1． 13. 已知过点的直线的一个法向量为，则参考答案：114. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 1= ；数列{a n }的前n 项和S n = ．参考答案：2；n 2+n【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得a 1，a 1+2，a 1+6成等比数列，通过解方程求得 a 1的值．然后求和．【解答】解：∵数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 1，a 1+2，a 1+6成等比数列，∴（a 1+2）2=a 1（a 1+6），解得 a 1=2， 数列{a n }的前n 项和S n =2n+=n 2+n ．故答案为：2；n 2+n ．15. 已知，若是它一条对称轴，则 ．参考答案：略 16. 若对任意的恒成立，则实数k 的取值范围为_________.参考答案：.试题分析：要使得不等式对任意的恒成立，需的最小值大于，问题转化为求的最小值.首先设，则有. 当时，有最小值为4；当时，有最小值为4；当时，有最小值为4.综上所述，有最小值为4.所以，.故答案为.考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题.17. 经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线方程是 .参考答案：y=x-1三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

天津市新华中学2021-2021学年度第一学期第二次月考高三年级数学试卷〔理〕一、选择题〔每题5分，共60分〕 1. 复数ii ）（43212-+的值是A. -1B. 1C. –ID. i2. 等差数列{a n }中，如果a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，数列{a n }前9项的和为 A. 297 B. 144 C. 99 D. 663. 设动点P 〔x ，y 〕满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，那么z=5x+2y 最大值是A. 50B. 60C. 70D. 1004. a =〔-3，2〕，b =〔-1，0〕，向量a λ+b 与a -2b 垂直，那么实数λ的值为A. -71B. 71C. -61D. 615. 设集合A={x||x-a<1，x ∈Ｒ}，B={x|1<x<5,x ∈Ｒ}，假设A ⋂B=φ，那么实数a 的取值范围是A. {a|0≤a ≤6}B. {a|a ≤2，或a ≥4}C. {a|a ≤0，或a ≥6}D. {a|2≤a ≤4}6. 函数y=lncosx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx 的图象是7. 以下有关命题的表达，错误的个数为①假设p ∨q 为真命题，那么p ∧q 为真命题。

②“x>5〞是“x 2-4x-5>0〞的充分不必要条件。

③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1<0，那么⌝p :∀x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1≥0。

④命题“假设x 2-3x+2=0，那么x=1或x=2〞的逆否命题为“假设x ≠1或x ≠2，那么x 2-3x+2≠0〞。

A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 把函数y=sin(2x+4π)的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，那么所得图象对应的函数解析式是A. y=sin 〔4x+83π〕 B. y=sin 〔4x+8π〕 C. y=sin4x D. y=sinx9. 设a=log 54,b=(log 53) 2,c=log 45，那么 A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c10. 正项等比数列{a n }满足：a 7= a 6+2 a 5假设存在两项a m ，a n 使得n m a a =4 a 1，那么nm 41+的最小值为 A. 23 B. 35C. 625D. 不存在11. 偶函数f 〔x 〕满足f 〔x+1〕=f 〔x-1〕，且在x ∈[0，1]时，f 〔x 〕=x 2，那么关于x 的方程f 〔x 〕=x⎪⎭⎫⎝⎛101在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3100，上根的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 5个12. 函数f 〔x 〕〔x ∈Ｒ〕满足f 〔1〕=1，且f 〔x 〕的导函数f ′〔x 〕<2x +21的解集为A. {x|-1<x<1}B. {x|x<-1}C. {x|x<-1或x>1}D. {x|x>1}二、填空题〔每题4分，共24分〕13. 假设向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2且a 与b 的夹角为3π，那么|a +b |=________。

天津一中2021-2021学年高三年级二月考数学试卷〔文〕一、选择题〔每题5分，共40分〕212aii++的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于 ( )A B ．2 C ．-23 D ．232. 设,m n 是两条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面．给出以下四个命题：①假设m ⊥α，//n α，那么m n ⊥；②假设γβγα⊥⊥,，那么βα//；③假设//,//m n αα，那么//m n ； ④假设//,//,m αββγα⊥，那么m γ⊥．其中正确命题的序号是〔 〕A ． ①和②B ． ②和③C ．③和④D ．①和④3. 在正三棱锥P ABC -中，,D E 分别是,AB AC 的中点，有以下三个论断：①PB AC ⊥；②AC //平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确论断的个数为 〔 〕 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个4. 数列{n a }中，12,111+==+n n a a a 且，那么{n a }的通项为 〔 〕A ．n2－１ B ．n2 C ．n2＋１ D ．12+n 5.在ABC∆中,假设cos 4cos 3A bB a ==,那么ABC∆是( )A ．等腰或直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 〔 〕A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .假设那么32b =-，1012b =，那么8a =〔 〕A ．0B ．3C ．8D ．11(0,)+∞上的可导函数()f x 满足：()()x f x f x '⋅<且(1)0f =,那么()0f x x<的解集为 〔 〕α•AB •βA ．(0,1)B ．(0,1)(1,)+∞C ．(1,)+∞D ．φ二、填空题〔每题5分，共30分〕9. 假设某空间几何体的三视图如以以下列图所示，那么该几何体的体积是______．{}n a 为公比1q >的等比数列，假设2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，那么20062007a a +=______．11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设39S =，636S =，那么789a a a ++=______． 12.O 是平面上一点，C B A ,,是平面上不共线三点，动点P 满足(),AC AB OA OP ++=λ，21=λ时， 那么PC PB PA +⋅(〕的值为______． 13. 求函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值______．14. 如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.那么AB 与平面β所成的角的正弦值是 .三、解答题：〔15,16,17,18每题13分，19,20每题14分〕15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．32cos()cos22A B C ++=-，39c =，且9a b +=．〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕求△ABC 的面积．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点〔点D 不同于点C 〕，且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：〔1〕平面ADE ⊥平面11BCC B ；〔2〕直线1//A F 平面ADE ．17．设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= 〔Ⅰ〕求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；〔Ⅱ〕设nnn b a c =，求数列}{n c 前n 项和T n .18. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======〔Ⅰ〕求证：AO ⊥平面BCD ；〔Ⅱ〕求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； 〔III 〕求点E 到平面ACD 的距离．19．数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2n n S a =-. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 求证：12n S <；〔Ⅲ〕设函数13()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++，求1231111...n nT b b b b =++++.BE20．函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. 〔I 〕求)(x f 、)(x g 的表达式；〔II 〕求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； 〔Ⅲ〕当1->b 时,假设212)(xbx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.参考答案： 一、选择题：DDCACABC二、填空题〔每题5分，共30分〕9． 2 10． 1811． 45 12． 013．32 14． 4三、解答题：〔15,16,17,18每题13分，19,20每题14分〕15．解：〔Ⅰ〕由得232cos 2cos 12C C -+-=-， …………………………… 3分所以24cos 4cos 10C C -+=，解得1cos 2C =，所以60C =︒． ………… 6分 〔Ⅱ〕由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2239a b ab =+- ①，又9a b +=，所以22281a b ab ++=②，由①②得14ab =， …10分所以△ABC 的面积11sin 1422S ab C ==⨯=． ………………13分 16．解：∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC , 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥,又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B , 又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥〔2〕∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥, 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥,又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C ,由〔1〕知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD ,又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE . 17．【分析及解】〔Ⅰ〕当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设}{n b 的公比为,q 那么()221111,4,.4b a a b qd b d q -===∴= 故111124n n n b b q--==⨯，即}{n b 的通项公式为12.4n n b -= 〔II 〕,4)12(422411---=-==n n nn n n n b a c 1211223113454(21)4,4143454(23)4(21)4n n n n nn T c c c n T n n --∴=+++=+⨯+⨯++-=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n nn n n T n n T18．〔I 〕证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O =AO ∴⊥平面BCD …………4分ABMDEOC〔II 〕解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,222EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos 4OEM ∴∠=…………8分 〔III 〕解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===12ACD S ∆∴==而211,2242CDE AO S ∆==⨯=1.CDE ACD AO S h S ∆∆∴===∴点E 到平面ACD…………12分 19．解：〔Ⅰ〕当2n ≥时111111(1)(1)2222n n n n n a a a a a --=---=-+，12n n n a a a -=-+ ∴113n n a a -=，-------------------------------------------------3分 由1111(1)2S a a ==- 得113a = ∴数列{}n a 是首项113a =、公比为13的等比数列，∴1111()()333n nn a -=⨯=------5分(Ⅱ)证法1： 由1(1)2n n S a =-得11[1()]23n n S =---------------------------7分11()13n -<，∴111[1()]232n -<∴12n S <----9分〔证法2：由〔Ⅰ〕知1()3n n a =，∴11[1()]1133[1()]12313n n n S -==-------7分 11()13n -<，∴111[1()]232n -<----------------------8分即12n S < ------------------------------------9分(Ⅲ)13()log f x x =11121333log log log n n b a a a ∴=+++＝1123log ()n a a a ----10分＝12131(1)log ()1232nn n n ++++=+++=--------12分 ∵12112()(1)1n b n n n n ==-++ ∴n T 12111nb b b =+++=111112[(1)()()]2231n n -+-++-+＝21nn +---14分 20．解: 〔I 〕,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ①…………………………1分又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a .…………………………3分∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分 〔II 〕由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分列表分析:知)(x h 在7分当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. ……………………8分 〔III 〕设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, ……9分 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >- …………11分所以：11≤<-b 为所求范围. ………………12分。

天津市滨海新区塘沽第一中学2024届高三上学期第二次月考（期中）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________设O为PC的中点，E为,AC BD则E为AC的中点，故OE PA∥,因为PA^底面ABCD，故OE^ACÌ平面ABCD，故OE AC^而四边形ABCD是边长为2的正方形，(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.（2）分()0,πx Î和()π,2πx Î以及()2π,3πx Î三种情况，判断单数的正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，即可判断出结论.（3）利用（2）的结论可知()f x 在区间()0,3π上的极值点即为()g x 的零点，判断极值点的范围，推出tan ,1,2i i x x i ==，从而判断出21πx x >+，再结合余弦函数性质，即可证明结论.【详解】（1）()()cos sin ,cos sin cos sin g x x x x g x x x x x x x =×-\=--=-¢Q ，()()()ππ,π0,g g g x ¢=-=\Q 在()()π,πg 处的切线方程为π0(π)y x +=-即πy =-.（2）函数()g x 在区间()0,3π上有两个零点，证明如下：当()0,πx Î时，()sin 0,0x g x ¢>\<Q ，()g x \在区间()0,π上单调递减，()()()00,g x g g x <=\在区间()0,π上无零点；当()π,2πx Î时，sin 0,()0x g x ¢<\>Q ，()g x \在区间()π,2π上单调递增，(π)π0,(2π)2π0g g =-<=>，()g x \在区间()π,2π上唯一零点；当()2π,3πx Î时，()sin 00x g x ¢>\<Q ，，()g x \在区间()2π,3π上单调递减，()()2π2π03π3π0g g =>=-<，，()g x \在区间()2π,3π上唯一零点；。

塘沽二中2021届高三数学上学期第二次月考试题 理 〔无答案〕新人教A 版一、选择题〔每一小题5分，一共40分〕1、集合A = {x ∈R | 22≤≤-x }, A = {x ∈R | x ≤1}, 那么A B ⋂= 〔 〕(A) (,2]-∞ (B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1]2、a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则〔 〕A ．1213-B ．513-C ．513D ．12133、函数32)(2--=ax x x f 在区间(–∞，2)上为减函数，那么有 〔 〕 A 、]1,(-∞∈a ； B 、 ),2[+∞∈a ； C 、]2,1[∈a ； D 、),2[]1,(+∞⋃-∞∈a 4、在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,那么sin B =〔 〕A ．15B ．59 C D ．1 5、以下等于1的积分是 〔 〕A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10216、假设函数f(x)=a (x-2)+3〔a ＞0且a ≠1〕，那么f(x)一定过点A.无法确定B.(0，3)C. (1，3)D. (2，4) 7、假设a=π2log ，b=67log ，c=8.02log ，那么A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a8、偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，那么满足)()2(x f x f <+的x 的取值范围是〔 〕A ．),2(+∞ B. ),2()1,(+∞⋃--∞ C. ),2()1,2[+∞⋃-- D. )2,1(-二、填空题〔每一小题5分，一共30分〕9、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x x x x x f ，那么f[f(1)]=10、将函数y=sin2x 的图像沿x 轴向左平移4π个单位后，得到的函数解析式为________________11、函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是________________个。

2023-2024学年天津市塘沽二中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1．已知全集{|110}U x N x =∈，集合{1A =，3，5，7，9}，集合{1B =，2，3，4，5}，则(UA B =)A ．{1，3，5}B ．{7，9}C ．{6，8，10}D ．{2，4}2．已知x R ∈，则“|3|1x −<”是“260x x −−+<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．4．已知0.72a =，0.71()3b =，213c log =，则( )A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为( ) A ．12B ．12或11C ．11或10D ．106．直线1:310L ax y ++=，2:2(1)10L x a y +++=，若12//L L ，则a 的值为( ) A ．3−B ．2C ．3−或2D ．3或2−7．已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b 方向上的投影向量为( )A ．3B ．3C D ． 8．已知53a =，32b =，则5log 10(ab −= )A ．1B ．2C ．5D ．49．将函数2()cos f x x x x =+−的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．对于下列四种说法，正确的是( )①函数()g x 的图象关于点(,0)3π成中心对称；②函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点； ③函数()g x 在区间[,]24ππ−−，最小值为； ④函数()g x 在区间(,)44ππ−上单调递增． A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④一、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10．复数133iz i −=+的共轭复数的虚部是 ，||z = ． 11．若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a = ．12．已知圆经过(3,0)和(1,2)−，圆心在直线210x y +−=上，则圆的标准方程为 ． 13．已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b+++的最小值为 ． 14．过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则直线l 的方程为 ．15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a =，AD b =，用a ，b 表示MN = ，若MN BC ⊥，则DAB ∠余弦值的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，b =2c =，3B π=．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin(2)B A −的值．17．（15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是等差数列，且33b S =，155b S =，求数列{}n b 的通项公式； （3）求11ni n i i b a +−=∑．18．（15分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a B C ． （1）求B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ；（3）若b ，求sin(2)3A π−．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点．（1）若1PA =．()i 求证：AE ⊥平面PCD ；()ii 求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若平面BCE 与平面CED ，求PA ．20．（15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==−=−=． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−； （3）求(Tex translation failed)．2023-2024学年天津市塘沽二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 1．已知全集{|110}U x N x =∈，集合{1A =，3，5，7，9}，集合{1B =，2，3，4，5}，则(UA B =)A ．{1，3，5}B ．{7，9}C ．{6，8，10}D ．{2，4}解：{1B =，2，3，4，5}，{|110}U x N x =∈，{6U B ∴=，7，8，9，10}，又{1A =，3，5，7，9}， {7UAB ∴=，9}，故选：B ．2．已知x R ∈，则“|3|1x −<”是“260x x −−+<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|3|1x −<，131x ∴−<−<，24x ∴<<，260x x −−+<，260x x ∴+−>，2x ∴>或3x <−， (2，4)(−∞，3)(2−⋃，)+∞，|3|1x ∴−<是260x x −−+<的充分不必要条件，故选：A ． 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．解：函数2sin ()||2xf x x =+是奇函数，排除C 、D ；(0,)x π∈时，()0f x >， 所以函数的图象为：B ；A 错误． 故选：B ．4．已知0.72a =，0.71()3b =，213c log =，则( )A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>解：因为幂函数0.7y x =在(0,)+∞上单调递增，且123>， 所以0.70.712()03>>；又函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以221103log log <=． 故a b c >>． 故选：C ．5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为( ) A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=， 又122a =，所以2d =−，所以222(1)242n a n n =−−=−，令0n a =，可得12n =， 所以数列{}n a 满足：当11n 时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n 时，0n a <， 所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12． 故选：B ．6．直线1:310L ax y ++=，2:2(1)10L x a y +++=，若12//L L ，则a 的值为( ) A ．3−B ．2C ．3−或2D ．3或2−解：直线1:310L ax y ++=的斜率为：3a −，直线12//L L ，所以2:2(1)10L x a y +++=的斜率为：3a−所以231a a −=−+；解得3a =−，2a =（舍去） 故选：A ．7．已知||2a =，||3b =，a 与b 的夹角为135︒，则a 在b 方向上的投影向量为( ) A．BCD．解：a 在b方向上的投影向量为23(22||93||||||a b ba b b a b b ⨯⨯⋅⨯⨯==−，故选：A ．8．已知53a =，32b =，则5log 10(ab −= ) A ．1B ．2C ．5D ．4解：53a =，32b =，5log 3a ∴=，3log 2b =，5553log 10log 10log 3log 2ab −=−⨯255555535log 10log 3log 10log 2log 51log log =−⨯=−==． 故选：A ．9．将函数2()cos f x x x x =+−的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．对于下列四种说法，正确的是( )①函数()g x 的图象关于点(,0)3π成中心对称；②函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点；③函数()g x 在区间[,]24ππ−−，最小值为； ④函数()g x 在区间(,)44ππ−上单调递增． A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④解：函数2()cos 2f x x x x =−1cos 22)2226x x x π+=−=+， 把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数())6g x x π=+的图象．对于①：当3x π=时，()3g π=，故①错误； 对于②：由于(,)x ππ∈−，故23254(,)666x πππ+∈−， 根据函数的周期，函数()g x 在(,)ππ−上有8个极值点，故②正确； 对于③：由于[,]24x ππ∈−−，所以1154666x πππ−+−，故()2g x ，故③正确；对于④：当(,)44x ππ∈−时，574666x πππ−+，故函数在该区间上不单调，故④错误． 故选：B ．一、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分， 10．复数133iz i−=+的共轭复数的虚部是 1 ，||z = ． 解：由题意22213(13)(3)3933(3)(3)3i i i i i i z i i i i i −−−−−+====−++−−，所以z i =−的共轭复数为z i =， 所以复数133iz i−=+的共轭复数的虚部是1； 复数z i =−的模长为||1z ==． 故答案为：1，1． 11．若8(x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =12．解：由通项公式4883188r r rr rr r T C x a C x −−+==，8(x +的展开式中4x 的系数为7，∴848437r r r a C ⎧−=⎪⎨⎪=⎩，解得312r a =⎧⎪⎨=⎪⎩．故答案为12．12．已知圆经过(3,0)和(1,2)−，圆心在直线210x y +−=上，则圆的标准方程为 22(1)4x y −+= ． 解：根据题意，圆心在直线210x y +−=上，设圆心的坐标为(12,)a a −， 又由要求经过(3,0)和(1,2)−，则有2222(123)(121)(2)a a a a −−+=−−++， 解可得0a =，则有121a −=， 故圆心的坐标为(1,0)，圆的半径2r =，故要求圆的标准方程为：22(1)4x y −+=； 故答案为：22(1)4x y −+=． 13．已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b +++的最小值为 52 ．解：因为0a >，0b >，且1ab =，则11,b a a b==，所以1111a b a b a b a b++=++++， 又因为22a b ab +=，当且仅当1a b ==时取等号， 令t a b =+，则函数1t t+在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，1t t +取得最小值为15222+=，此时111a b a b +++取得最小值为52． 故答案为：52． 14．过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则直线l 的方程为 2x =或4310x y −+= ． 解：过点(2,3)P 的直线l 被圆22(1)2x y −+=截得的弦长为2，则圆心(1,0)到直线l 1=， 当直线l 的斜率为k 时， 直线l 的方程为3(2)y k x −=−，1=，则43k =， 即直线l 的方程为43(2)3y x −=−，即4310x y −+=； 当直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为2x =满足题意，即直线l 的方程为2x =或4310x y −+=． 故答案为：2x =或4310x y −+=．15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，M ，N 分别为线段DC 和AB 的中点，若AB a =，AD b =，用a ，b 表示MN = 14a b − ，若MN BC ⊥，则DAB ∠余弦值的最小值为 ． 解：如图，//AB CD ，2AB CD =，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，且,AB a AD b ==，∴111111224244MN MD DA AN CD DA AB AB AD AB AB AD a b =++=++=−−+=−=−，111222BC BA AD DC AB AD AB AB AD a b =++=−++=−+=−+，且MN BC ⊥， ∴221113()()04284MN BC a b a b a b a b ⋅=−⋅−+=−−+⋅=，∴221463a b a b ⋅=+， ∴2214||4||2263cos 3||3||||||||6||a ba b a b DAB a a b a b b +⋅∠===+，当且仅当||4||3||6||a b a b =，即||22||a b =时取等号， DAB ∴∠ ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（15分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =2c =，3B π=．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin A ；（Ⅲ）求sin(2)B A −的值．解：（Ⅰ）由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+−，所以21284222a a =+−⋅⋅，即22240a a −−=， 解得6a =或4−（舍负）， 所以6a =．（Ⅱ）由正弦定理知，sin sin a bA B =，所以6sin A =， 所以sin A =．（Ⅲ）由余弦定理知，222cos 2b c aA bc +−===，所以213cos 22cos 114A A =−=−，sin 22sin cos A A A ==， 所以131sin(2)sin cos 2cos sin 2()(142B A B A B A −=−−−⨯=． 17．（15分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S a =−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 是等差数列，且33b S =，155b S =，求数列{}n b 的通项公式； （3）求11ni n i i b a +−=∑．解：（1）当1n =时，11121a S a ==−，即有11a =， 当2n 时，112121n n n n n a S S a a −−=−=−−+， 即为12n n a a −=，可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则12n n a −=；（2）由（1）可得2121n n n S a =−=−， 设数列{}n b 是公差为d 的等差数列， 由337b S ==，即127b d +=，15531b S ==，即11431b d +=，解得13b =，2d =，则32(1)21n b n n =+−=+；（3）令123325272...(21)2(21)1n n n n T n n −−−=⋅+⋅+⋅++−⋅++⋅， 则1222325272...(21)2(21)2n n n n T n n −−=⋅+⋅+⋅++−⋅++⋅， 上面两式相减可得1232(22...2)(21)1n n n n T n −=⋅++++−+⋅14(12)3221522512n nn n n −−=⋅+−−=⋅−−−．18．（15分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且(2)cos cos a B C ． （1）求B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ；（3）若b ，求sin(2)3A π−．解：（1）由题设及正弦边角关系得：(2sin )cos cos A C B B C，2sin cos cos cos )A B C B B C B C A ⇒+=+， 显然sin 0A ≠，则cos B =，又(0,)B π∈，故6B π=；（2）由sin C A ，则c =①，由（1）得：222229cos 22a c b a c B ac ac +−+−===，由①②得：3a =，c =（3）由正弦定理得：sin B A ，则1sinA ===b =，即b a >，则B A >，故A 为锐角，∴cos 4A ===，∴sin 22sin cos 2444A A A ==⨯⨯=，223cos 22cos 12(144A A =−=⨯−=，∴13sin(2)sin 2cos cos 2sin 33324A A A πππ−=−=−=． 19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，22AB AD ==，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点．（1）若1PA =．()i 求证：AE ⊥平面PCD ；()ii 求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若平面BCE 与平面CED 夹角的正弦值为5，求PA ．解：（1）()i 证明：以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图， 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，1，0)，(0D ，1，0)，(0P ，0，1)，11(0,,)22E ， ∴11(0,,)22AE =，(2,1,1)PC =−， 110022AE PC ⋅=+−=，AE PC ∴⊥， 在PAD ∆中，1PA AD ==，E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，PD PC E =，PD ⊂面PCD ，PC ⊂面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ；()ii 由()i 得：AE ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，AE PC ∴⊥， 在PAD ∆中，1PA AD ==，E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，PDPC E =，PD ⊂面PCD ，PC ⊂面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ， ∴AE 为平面PCD 的一个法向量11(0,,)22AE =， 又11(2,,)22BE =−，设直线BE 与平面PCD 所成角为β， 则11||||1sin |cos |3||||1AE BE BE AE AE BE β+⋅=<⋅>===⋅， ∴直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值为13； （2）设(0)PA a a =>，则(0,1,0)BC =，1(0,,)22a AE =，1(2,,)22a BE =−， 设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则012022n BC y a n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−++=⎪⎩，取(,0,2)2a n =， 设平面CPD 的法向量000(,,)m x y z =，又(2,1,)CP a =−−，(2,0,0)CD BA ==−，则00002020m CP x m CD x y az ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−−+=⎪⎩，取(0,,1)m a =， 设平面BCE 与平面CED 的夹角大小为θ，则2cos |cos,|||||||n m n m n m aθ⋅=〈〉==⋅+因为sin 5θ=，所以2cos 5θ=， 25=， 22(4)(21)0a a ∴−+=解得2a =，即2PA =．20．（15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==−=−=．（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−；（3）求{}2122212121221[(1)][(1)]nk k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 1122331a b a b a b ==−=−=，11d q ∴+−=，2121d q +−=，解得2d q ==，12(1)21n a n n ∴=+−=−，12n n b −=．（2）证明：120n n b b +=≠，∴要证明1111()n n n n n n n S a b S b S b +++++=−，即证明111()2n n n n n n n S a b S b S b ++++=⋅−，即证明1112n n n n S a S S ++++=−，即证明11n n n a S S ++=−，由数列的通项公式和前n 项和的关系得：11n n n a S S ++=−， 1111()n n n n n n n S a b S b S b ++++∴+=−．（3）{}2122212121221[(1)][(1)]nk k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑2221(4143)2[41(41)]224k k k k k k k k −−=−+−⨯++−−⨯=⋅，∴{}2122212121221[(1)][(1)]n k k k k k k k k k a a b a b −−−+=−−+−−∑124nk k k ==⋅∑， 设124n k n k T k ==⋅∑．则2324446424n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，① 2341424446424n n T n +∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，② ①−②，得： 234132(44444)24n n n T n +−=++++⋯+−⋅ 124(14)2414n n n +⨯−=−⨯− 1(26)483n n +−⋅−=， 1(62)489n n n T +−⋅+∴=， {}12122212121221(62)48[(1)][(1)]9n n k kk k k k kk k n a a b a b +−−−+=−⋅+∴−−+−−=∑．。

天津市滨海新区塘沽第一中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷一、单选题1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =-＜，则A B = （）A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,32．“3962a a a +=”是“数列{}n a 为等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．有一散点图如图所示，在5个数据(),x y 中去掉()310D ，后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．残差平方和变小C ．变量x ，y 负相关D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．已知直线a ，b ，平面α，β，γ，下列命题正确的是（）A ．若a αβ⋂=，//b a ，则//b αB ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ⋂=，则a γ⊥C ．若αβ⊥，a αβ⋂=，//b α，则//a bD ．若a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，则////a b c5．已知131log 5a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b<<D ．b a c<<6．函数()πsin 2exx x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的图象大致为（）A ．B．C．D ．7．关于函数()2(sin cos )cos f x x x x =-的四个结论：()21g x x =-的图象向右平移π4个单位后可得到函数()2(sin cos )cos f x x x x =-的图象；③单调递增区间为7π11π[π,π88k k ++，Z k ∈；④图象的对称中心为π(π,1)28k +-，Z k ∈.其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为（）AB ．523C．12D ．3249．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（）AB C D 二、填空题10．已知i 是虚数单位，化简15i32i++的结果为．11．在(4x 的展开式中，3x 的系数为．12．盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为；（2）设事件M 为“甲所取的2个球为同色球”，N 事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M 发生的条件下，求事件N 发生的概率()P N M =.13．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一点，且25AP AC = ，则DP BP ⋅=，若点M 为线段BD （含端点）上的动点，则MP MB ⋅的最小值为．14．已知圆22:8C x y +=，MN 为圆C 的动弦，且满足4MN =，G 为弦MN 的中点，两动点,P Q 在直线:4l y x =-上，且4PQ =，MN 运动时，0GP GQ ⋅>恒成立，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是．15．已知函数()12e ,132,1x x f x x x x +⎧≤=⎨-+->⎩，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是.三、解答题16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4a ，3cos 5C =．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，（i ）求a 的值；（ii ）求()sin 2A C +的值．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AD =，21AB AF EF ===，点P 为棱DF 的中点.(1)求证：//BF 平面APC ；(2)求平面ACP 与平面BCF 的夹角的余弦值；(3)求点F 到平面ACP 的距离.18．已知椭圆2222100x y a b a b +=>>>（）的离心率为63，(1)若原点到直线0x y b +-=(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于A 、B 两点，①当AB =时，求b 的值；②对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+，求实数λ、μ满足的关系式.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令2nn b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .(1)求的和公比；(2)求n T ；(3)若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的*N n ∈恒成立，求m 的取值范围.20．已知函数()2ln f x x x =．(1)求函数()f x 的极值；(2)证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()1f x x ≥-；(3)若()12,0,1x x ∈，证明：()()1212f x f x x x -≤-．。

天津市塘沽区紫云中学2021年高中数学 余弦定理配套练习（二）新人教A 版必修5课时目标1．熟练把握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定明白得三角形的有关问题． 1．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C . (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角别离为A 、B 、C ，那么有： (1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C . (3)sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，假设知足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，那么∠C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，假设2cos B sin A ＝sin C ，那么△ABC 的形状必然是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么那个三角形的最小外角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角， 那么cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°. ∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边别离为a ，b ，c 且知足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，那么此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长别离为a ，b ，c ，假设C ＝120°，c ＝2a ，那么( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确信 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab . ∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab .∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．若是将直角三角形的三边增加一样的长度，那么新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确信 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 那么(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变成锐角． 二、填空题7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，那么边c ＝________. 答案19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8. 9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，那么△ABC 的周长是________．答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23，∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ， ∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12. 10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，那么△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝asin A＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3.三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C ·cos A＝a c·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左侧．因此a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C.12.在△ABC 中，a ，b ，c 别离是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)假设a ＝7，求角C . 解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21. ∴ac=35，∵cosB = 53，∴sinB =54. ∴S △ABC =21acsinB = 21×35×54= 14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝42.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c <b 且B 为锐角，∴C 必然是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，那么角C 的取值范围是( ) A ．0<C ≤π6 B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3答案 A解析 方式一 (应用正弦定理) ∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A ∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角， ∴0<C ≤π6.方式二 (应用数形结合)如下图，以B 为圆心，以1为半径画圆，那么圆上除直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知现在：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，已知b 2＝ac且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2 B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2 B＝sin B sin 2 B ＝1sin B ＝477.(2)由BA ·BC =23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3. 1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件应用定理一般解法一边和两角 (如a ，B ，C )正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有 解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C )余弦定理 正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一 角．在有解时只有一解．三边 (a ，b ，c )余弦定理由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出 角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A )余弦定理 正弦定理由正弦定理求出角B ；由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.依照所给条件确信三角形的形状，要紧有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并经常使用正弦(余弦)定理实施边、角转换．。

天津塘沽区第二中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．3π B．4πC．3π+4 D．2π+4参考答案：C几何体是半个圆柱，底面是半径为1的半圆，高为2，故几何体的表面积是,2. 已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于A.2B.C.D.参考答案：A略3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S=4π，圆柱和圆锥的高h=2，故组合体的体积V=（1﹣）Sh=，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．4. 已知集合,,则“”是“”的（）．．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件参考答案：C略5.已知：∥A. B. C.D.参考答案：答案:B6. 双曲线的左、右焦点为F1、F2，P为C的右支上一点，且，则等于A.24B.48C.50D.56参考答案：C7. 函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )A. B．－1C．0 D．1参考答案：D8. 设f(x)是(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当时，，则f(x)在处的切线方程为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】求得在时的导函数，根据偶函数的定义可求得在处的导函数；根据点斜式即可求得切线方程。

【详解】当时，，则由是偶函数可得，结合图象特征可知，所以在处的切线方程为，即，故选D.【点睛】本题考查了偶函数的性质，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。