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《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和数学、统计学的学习研究中，“事件的独立性”是一个非常重要的概念。
理解事件的独立性，对于我们准确分析和预测各种情况有着关键的作用。
那什么是事件的独立性呢？简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，并且事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 A。
第二次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
我们再来看一个稍微复杂一点的例子。
从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件 A 是抽到红桃牌，事件 B 是抽到 A 牌。
这两个事件就不是独立的。
因为如果抽到了红桃 A，那么事件 A 和事件 B 就同时发生了。
所以事件 A 的发生会影响事件 B 的发生概率。
那如何判断两个事件是否独立呢？我们有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。
其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
比如说，一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，从中随机取出一个球，事件 A 是取出红球，事件 B 是取出偶数号球。
事件 A 的概率 P(A) ＝5/10 ＝ 1/2，事件 B 的概率 P(B) ＝ 5/10 ＝ 1/2。
而事件 A 和事件 B 同时发生，也就是取出既是红球又是偶数号球的概率P(A ∩ B) ＝ 2/10 ＝1/5。
因为 1/5 ＝ 1/2 × 1/2，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
理解了事件的独立性，对于解决很多实际问题都有帮助。
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到与事件的独立性相关的问题。
那么，什么是事件的独立性呢？简单来说，就是指一个事件的发生与否，对另一个事件的发生概率没有影响。
为了更好地理解事件的独立性，让我们先从一些简单的例子入手。
比如说，抛一枚硬币，得到正面和反面的概率各是 1/2。
我们抛第一次得到正面的结果，并不会影响第二次抛硬币得到正面或反面的概率。
也就是说，每次抛硬币都是一个独立的事件。
再比如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌。
第一次抽取到红桃的概率是 1/4，而第一次抽取的结果并不会改变第二次抽取到红桃的概率，仍然是 1/4。
接下来，我们深入探讨一下事件独立性的数学定义。
设有两个事件A 和 B，如果事件 A 发生的概率 P(A)不受事件 B 发生与否的影响，即P(A|B) ＝ P(A)；同时，事件 B 发生的概率 P(B)也不受事件 A 发生与否的影响，即 P(B|A) ＝ P(B)，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
这里需要解释一下条件概率的概念。
条件概率 P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
如果事件 A 和 B 相互独立，那么条件概率 P(A|B)就等于事件 A 本身发生的概率 P(A)。
在实际应用中，判断两个事件是否独立是非常重要的。
比如在进行多次实验或者抽样调查时，如果各个事件是相互独立的，那么我们就可以利用一些简单的概率计算方法来得出最终的结果。
我们来看一个具体的例子。
假设一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，每次从盒子里随机取出一个球，记录颜色后放回。
那么第一次取出红球的事件 A 和第二次取出红球的事件 B 就是相互独立的事件。
因为每次取球后都将球放回，所以盒子里球的组成不变，每次取到红球的概率都是 5/10 ＝ 1/2。
即 P(A) ＝ P(B) ＝ 1/2。
而且，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率 P(B|A)仍然是 1/2，等于 P(B)。
第五节 事件的独立性分布图示★ 引例★ 两个事件的独立性 ★ 例1★ 关于事件独立性的判断 ★ 有限个事件的独立性★ 相互独立性的性质★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 伯努利概型★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-5内容要点一、两个事件的独立性定义 若两事件A ,B 满足)()()(B P A P AB P = (1)则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立.注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证).定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与B ,A 与B ,A 与B .二、有限个事件的独立性定义 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立.对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义:定义 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立.相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独立;由独立性定义可直接推出.性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意)1(n m m ≤≤个事件换成它们的对立事件, 所得的n 个事件仍相互独立;对2=n 时，定理2已作证明, 一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.性质3设n A A A ,,,21 是n )2(≥n 个随机事件，则n A A A ,,,21 相互独立 ←/→n A A A ,,,21 两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,三、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果: 事件A 发生(记为A ) 或 事件A 不发生(记为A ), 则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验. 设),10(,1)(,)(<<-==p p A P p A P将伯努利试验独立地重复进行n 次, 称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验, 或简称为伯努利概型.注: n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件A 在每次试验中发生的概率均为p ,且不受其他各次试验中A 是否发生的影响.定理3（伯努利定理） 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为).,,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n k k n =-==-推论 设在一次试验中,事件A 发生的概率为),10(<<p p 则在n 重贝努里试验中, 事件A 在第k 次试验中的才首次发生的概率为).,,1,0(,)1(1n k p p k =--注意到“事件A 第k 次试验才首次发生”等价于在前k 次试验组成的k 重伯努利试验中“事件A 在前1-k 次试验中均不发生而第k 次试验中事件A 发生”,再由伯努利定理即推得.例题选讲两个事件的独立性例1 (E01) 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的 牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立?注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一 利用定义判断. 由,131524)(==A P ,215226)(==B P ,261522)(==AB P),()()(B P A P AB P = 故事件、A B 独立.解二 利用条件概率判断. 由,131)(=A P ,131262)|(==B A P),|()(B A P A P = 故事件、A B 独立.注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断. 但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.相互独立性的性质例2 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1, 2, 3, 4的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设=A {从甲袋中取出的是偶数号球}, =B {从乙袋中取出的是奇数号球}, =C {从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}, 试证C B A ,,两两独立但不相互独立.证明 由题意知, .2/1)()()(===C P B P A P 以,i j 分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数， 则样本空间为}.4,3,2,1;4,3,2,1|),{(===j j i S由于S 包含16个样本点, 事件AB 包含4个样本点:),3,4(),1,4(),3,2(),1,2( 而BC AC ,都各包含4个样本点,所以.4/116/4)()()(====BC P AC P AB P于是有),()()(B P A P AB P =),()()(C P A P AC P =),()()(B P A P AB P =因此C B A ,,两两独立. 又因为,∅=ABC 所以,0)(=ABC P 而,8/1)()()(=C P B P A P 因),()()()(C P B P A P ABC P ≠故C B A ,,不是相互独立的.例3（E02） 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的, 求加工出来的零件的次品率.解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便.设4321,,,A A A A 为四道工序发生次品事件, D 为加工出来的零件为次品的事件, 则D 为产品合格的事件, 故有,4321A A A A D =)()()()()(4321A P A P A P A P D P =%)31%)(51%)(31%)(21(----=%;60.87%59779.87≈= )(1)(D P D P -=%.40.12%60.871=-=例4 如图是一个串并联电路系统.H G F E D C B A ,,,,,,,都是电路中的元件. 它们下方的数字是它们各自正常工作的概率. 求电路系统的可靠性.解 以W 表示电路系统正常工作, 因各元件独立工作, 故有),()()()()()(H P G F P E D C P B P A P W P =其中 ,973.0)()()(1)(=-=E P D P C P E D C P .9375.0)()(1)(=-=G P F P G F P 代入得 .782.0)(≈W P例5 (E03) 甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p , p ≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利, 设各局胜负相互独立.解 采用三局二胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容, 于是由独立性得甲最终获胜的概率为).1(2221p p p p -+=采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛3局(可能赛3局, 也可能赛4局或5局), 且最后一局必需是甲胜, 而前面甲需胜二局. 例如, 共赛4局, 则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”, 且这三种结局互不相容. 由独立性得甲最终获胜的概率为232432332)1()1(p p C p p C p p -+-+= 于是)312156(23212-+-=-p p p p p p ).12()1(322--=p p p当2/1>p 时, ,12P P >即对甲来说采用五局三胜制较为有利; 当2/1=p 时,,2/112==p p 即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.伯努利概型例6 某种小数移栽后的成活率为90%, 一居民小区移栽了20棵, 求能成活18的概率. 解 观察一棵小树是否成活是随机试验,E 每棵小树只有“成活”)(A 或“没成活”)(A 两种可能结果, 且.9.0)(=A P 可以认为, 小树成活与否是彼此独立的, 因此观察20 棵小树是否成活可以看成是9.0=P 的20重伯努利试验.设所求概率为),(B P 则由伯努利公式可得.285.01.09.0)(2181820=⨯⨯=C B P例7 一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求:(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;(2) 一次取1件, 无放回地抽取, 求当取到第二件次品时, 之前已取到8件正品的概率. 解 (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽取近似看成是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验, 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.设A 表示 “任取 1 件是次品”, 则,04.0)(==A P p .96.0)(==A P q设B 表示 “10件中至少有两件次品”, 由伯努利公式有)1()0(1)()(101010210P P k PB P k --==∑=91101096.004.096.01⨯⨯--=C .0582.0= (2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了10次, 前9次中抽得8件正品1件次品. 设C 表示 “前9次中抽到8件正品1件次品”, D 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努利公式, 所求的概率为.0104.004.096.004.0)()()(891=⨯⨯⨯==C D P C P CD P例8 一个袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，每次从中随意取出一球，取后放回.(1) 如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.(2) 如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率.解 记i A 为事件 “第i 次取到的是黑球”, 则 ,2,1,10/3)(==i A P i(1) 记B 为事件 “10次中能取到黑球”, k B 为事件 “10次中恰好取到k 次黑球” ),10,1,0( =K 则有,)10/7(1)(1)(1)(100-=-=-=B P B P B P(2) 记C 为“恰好要取 3 次”,D 为“至少要取 3 次”,则),10/3()10/7()(2⋅=C P.)10/7()()()()(22121===A P A P A A P D P例9 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i 站停车的概率以及在第i 站不停车的条件下第j 站的概率，并判断“第i 站停车”与“第j 站停车”两个事件是否独立.解 记k A 为 “第k 位乘客在第i 站下车”, k .25,,2,1 = 考察每一位乘客在第i 站是否下车, 可视为一个25重的伯努利试验, 记B 为 “第i 站停车”, C 为 “第j 站停车”, 则C B ,分别等价于 “第i 站有人下车” 和 “第j 站有人下车”, 于是有,)9/8(1)(25-=B P .)9/8(1)(25-=C P在B 不发生(即B 发生)的条件下, 每位乘客均等可能地在第i 站以外的8站中任意一站下车, 于是每位乘客在第j 站下车的概率为1/8, 故有.)8/7(1)|(25-=B C P 因),()|(C P B C P ≠故B 与C 不独立, 从而B 与C 不独立.例10(E04) 一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25, 为试验一种新药是否有效, 把它给10个病人服用, 且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效, 反之则认为无效, 求:(1) 虽然新药有效, 且把痊愈率提高到0.35, 但通过试验却把否定的概率.(2) 新药完全无效, 但通过试验却被认为有效的概率.分析 将10个病人服此药视为10次重复试验，在每次试验种，只有两种可能结果：此人痊愈或不痊愈，而且10人的痊愈与否彼此独立(即使是传染病也是隔离治疗的).这样，本问题便可利用伯努利概型解决.解 (1) 设=A “通过试验新药被否定”，则由题意，A 发生当且仅当事件“10人至多只有3人痊愈”发生. 注意：依题意，新药有效，痊愈率为0.35，从而∑=--=301010)35.01()35.0()(k k k k C A P738291065.035.012065.035.04565.035.01065.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.5136.0=(2) 设=B “通过试验判断新药有效”，则B 发生当且仅当事件“10个人至少有4个痊愈”发生.注意：依题意，新药无效，这时痊愈率等于自然痊愈率0.25，从而∑=--=10410 10)25.01(25.0)(kkkkCB P∑=-≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=31010.224.043411kkkkC课堂练习某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:(1) 都不出废品的概率;(2) 至少有一天出废品的概率;(3) 仅有一天出废品的概率;(4) 最多有一天出废品的概率;(5) 第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.。
