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第4 1卷第6期2020年1 1月吉首大学学报(自然科学版)JournalofJishou University (NaturalSciencesEdition )Vol. 4 1 No. 6Nov.2020文章编号：1007 2985(2020)06 0005 06等时降线问题的求解邢家省12 ,吴桑12(.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191;2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191)摘要：考虑了给定下降时间函数的下降曲线的求解问题.将质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的问题转化为 积分方程求解的问题，并对积分方程进行阿贝尔积分变换，再利用积分换序方法给出了求解公式，最后证明了等时降线问题 的解是一条倒摆线.关键词：等时降线问题；积分方程；阿贝尔积分变换；摆线中图分类号：O175. 29 文献标志码:A DOI ： 10. 13，138/ki.jdzk. 2020. 06.002多位数学家对等时降线问题或等时降落问题1进行了原创性的研究.历史文献中，关于等时降线问 题的解法都较复杂，限制了其广泛传播，因此有学者56］充分利用现代成果给出了严密简洁的解法.笔者拟 将质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的问题转化为积分方程求解的问题，并对积分方程做阿 贝尔积分变换，再利用积分换序方法进行求解.1质点沿光滑轨道下滑所需时间建立兗O y 坐标系兗轴正向水平向右，0夕轴竖直向上，设4点坐标为X 1 , 1) ,B 点坐标为(x y 2), x 1 V xy < y 1.设曲线L 经过4,B 点，曲线L 的方程为y =y(x )或者x =x(y ).质点沿曲线L 由4 点无摩擦地滑动到B 点，所需的时间为1 + (y'(x ))2 ,d>x ,丿y 1 _ y 或者")=丄 y —…L y42P y 2 Jy 1 _ y设曲线L 的最低点在O 龙轴上，质点在曲线L 上高度为人处从静止开始下滑，到最低点所需时间38］为1 + (x'(y ))2------- ------dy .(1)h _ y T (y )=”「h *收稿日期:2020 06 2 1基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 1771004)；北京航空航天大学校级重大教改项目(北航培育项目2019 01—2021 12)作者简介：邢家省( 1964 — ),男，河南泌阳人，北京航空航天大学数学科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程、微 分几何和泛函分析研究.6吉首大学学报(自然科学版)第4 1卷2 质点从有限高度下落的降线问题的阿贝尔积分方程设常数H > o .实际降线问题是从有限高度下落的,所以降线问题可归结为如下积分方程和微分方程 问题:h f(y )丁()= y o<h c H , (2)J o h —y / + (d(y ))2 =-/2g f(y ) o< y c H .积分方程问题是给定函数Th ),寻找函数f(y ),使得(2)式成立• (2)式被称为阿贝尔积分方程[14].3 有限区间上的阿贝尔积分方程的求解引理1〔-6] 设f (x )在((),H ]上连续可积，令V (x ) = P ft t o < x C H .记J o V x — th(x ) = X 曲)^ = ^^^ fs s ,J o 需x — t J o J o 丿(x — t ) ( — s )x x f (s)g (x ) = ds| c t o < x C H ,Jo J s y(x — t)( — s )则有证明h(x )=g(x ) o < x C H .对于任意固定的o < x C H,令h (a )x 一 t o < a < x .o < a < x ,由于卩(x ),f (x ) G C (o,H ],且在(()，H ]上可积，因此lim h (a ) = h (x ) , lim h (a ) = o ,a x a »o +lim g (a ) =g (x ) , lim g (a )=().a x a »o +不难证明 h'(a )= 卩().令g (a ) = [ G (s,a )ds,其中 G (s,a ) = [— f S t 经过定积分计•v x — a Jo 儿丿(x — t )( — s )算，可得11G ( ,a ) = f (s')(x — s )I 2丿d t =x + s ) 22丿(a x +s 2f (s') arcsinx —s n + 2 -I 2丿由于因此f (s )G(a,a )=()，c G (s,a ) =■ao r a —s 1g'(a )=f (s )_______________ds =(x 一 a) (a 一 s ) 7 x 一 a f (s )ds =a 一 s 1” ep (a ),x 一 a 于是 h (a ) = g 7 (a ),从而 h (x ) = g (x ) , () < x C H .证毕.第6 期邢家省，等：等时降线问题的求解7b 引理2[56] 设a <b ,则有,——df =na J ( — t )( — a )证明du = 2arcsin v I = n .证毕.引理3［56］ 设/(x )在(0,H ］上连续可积，令旅 x )=[ Xt0 < x W H ,则有［7(t)dt=1 X M)dt 0 < x W H.J 0 兀 J 0 x _ t证明 对(3)式两边作阿贝尔积分变换［46］利用引理1的结果可得卜 <pCt)dt = h (x ) = g (x ),J 0 x _t g(x ) = [x d j x /(S) t ,h(x )=g(x ) = [/(s)ds]dz.J0 J s J(x _ t ) ( — s )利用引理2 的结果可得—dr = n V (x — t )( — s )于是 h(x )=n f (s) ds ,从而/ Odt =—[ 卩(')dz 0 < x W H.n J 0 点 x — t证毕.引理4［5-6］ 设f (x )在［0,H ］上一阶导数连续，且f (0) =0,令卩(dz 0 < x W H ,卩(0 ) = 0 ,则有：i )9(x )在［0,H ］上一阶导数连续，且v x — t 卩'(0 ) = 0.0 <x W H ,1 x ⑦'()(ii )f (x ) = — ” ■ dz ,0 < x W H.兀」0 x _ t证明 (i )当0 < x W H 时，令t = xs 则有卩(0 <x W H .显然 <p(x) G C 1 (0 , H ],且 lim (p(x) =0.由于(p(0) = 0 ,所以 <p(x) G C [0 , H ].当 0 < x W H 时,+8吉首大学学报（自然科学版）第4 1卷/&)=丄「f (^)d5 十用f ，(xS)d S =丄(一"—7f(x )) | 十 'xf^xs )2 0 / — s J 0 / — s 4x -v x 0x 「f ，(xs)ds =x 力—I ds + x 「f ，(xs)ds =x 「J 0 1 — s J 0 J 0 1 — s J 0 1 — s ds *s ds 十从而lim p (x ) = 0.令s = Z ，可得x >0+ xcp f (x )"dt x ——t 0 < x W H .由于当0<x W H 时*p (x )x f (xs )/ ■ ds =----(— 2 / — sf (xs)) |1 十V 1 — s x因此 p ‘(0) = lim P (x ) = 0 * 于是 p (x ) G C 1]。
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(A) 0.75 , (B) 0.5 ,(C) 0.25 , (D) 0 。
2、已知随机变量X的分布函数为F(x)?a?barctanx,???x???,若实数c31满足P{X?c}?6 ，则c?（）。
（A）；（B）；?3（C）1；（D）。
3、设随机变量X~N(?,?),则E(|X??|4)?（）。
2(A) 3?； (B) 4?； (C) 5?； (D) 6? 。
44444、设A,B为任意两事件,则下列关系成立的是().(A) (A?B)?B?A；(B) (A?B)?AB?A ;(C) (A?B)?B?A; (D)(A?B)?AB?(B?A)?A?B 。
5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（）。
111（A）1；（B）；（C）；（D）。
54326、设每次试验成功的概率为p(0?p?1),则在5次重复试验中至少失败一次的概率为（）。
(A) 1?p,(B) p(1?p),(C)(1?p),(D) Cp(1?p)。
例5 已知事件C B A ,,相互独立,3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+=)()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P +=()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= .或)}({B A C P --)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.或)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P =)}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.注意: B A C B A C +-≠--)()(.例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。
问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。
解 设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，令=i A 第i 门炮击中敌机，=A 敌机被击中,则∑==+++=ni i n A A A A A 121Λ,)(1)()(11∑∑==-==ni i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解 设=A 飞机被击落,=i B 飞机被i 个人击中,=i A 第i 个人射击击中飞机,3,2,1=i ,由题设条件知,4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=,3213A A A B =,由概率的可加性和事件的独立性得)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=,由全概率公式)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯=458.0= .例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.解 方法一设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i ,则21A A B +=,且21,A A 互不相容,41515!4)(⋅=C A P ,4242525!3)(C C A P ⋅=, 768.012596)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于2个= 至少有三个空盒= 至多两个盒子有球A =,232.0)(1)()(=-==B P B P A P .方法二设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,则21B B A +=,且21,B B 互不相容,A B = ,41515)(C B P =,425242533142521)(A C A C C B P +=,(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为)},(),,{(d c b a ,)},(,),,{(d b c a ,)},{(),,{(c b d a ;)},(),,{(.d a c b ,)},(),,{(c a d b ,)},).(,{(b a d c ,但是后三个与前三个是实为一样的). 232.012529)()()(21==+=B P B P A P , 768.0)(1)()(=-==A P A P B P .例9 在除去大小王的一副54张扑克牌中,随机抽取2张,求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率.解 设=A 恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一:17125152136)()(25222161224=⨯⨯=+=C C C C C A P ,(先取两色,只一个7或两个7)方法二:17125152672)(2522411814=⨯+=+=C C C C A P(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的6~1中任取一张,或直接取出两个花色的7).方法三:17125152136)162()67()(252242522224=⨯⨯=+⨯=-=C C C C A P ,(先取两色,从每色的7~1取出一张,去掉不含7的)(如果171262825152214)(25212114⋅=⨯⨯==C C C A P , 则错了,错在何处,这种想法是从4色中取出一个7,其它三色的7~1中取出一个.这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方砖7与先取出方砖7,再取出红桃7,是一样的)方法四:17151267825152684)(2522412114=⨯=⨯-=-=C C C C A P . 例10 从5双不同的鞋子中任取 4只,求下列事件的概率,(1) 没有成对的鞋子;(2) 至少2只配成一双.解 设=A 没有成对的鞋子,=B 至少2只配成一双,A B = ,方法一 218)()(41041245==C C C A P , (从5双中任取4双,再从每双中任取一只),21132181)(1)()(=-=-==A P A P B P .方法二218)(410141618110==A C C C C A P , (第一次从10只中任取一只,第二次从其它4双中任取一只, 第三次从其它3双中任取一只, 第四次从其它2双中任取一只.) 方法三2113)()(410252122415=+=C C C C C B P , (恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双)方法四2113)21()(41025161815=+⋅=C C C C C B P , 方法五2113)(410252815=-=C C C C B P ,(从5双中任取一双,然后从其它4双鞋中任取两只,其中成两双鞋的次数计了两次,去掉).先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,失利的概率为q)1,10(=+<<q p p ,令}{次射击命中目标第i A i =,(Λ,2,1=i ).假设甲先发第一枪,则=)(甲胜P)(543213211Λ+++A A A A A A A A A P Λ+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A PΛ+++=p q p q p 42)1(42Λ+++=q q p211q p -=q +=11 ,又可得)(1)(甲胜乙胜P P -=q +-=111q q +=1,因为10<<q ,所以)()(乙胜甲胜P P >. 注： 之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”,原因在于“先下手”就是沾便宜.(当然是在实力相当的条件下),“狭路相逢勇者胜”.今天的学习评比,求职,工作等竞争事项,也是要抢先一步,采取积极主动,才能取的预期目标.被动就会挨打,失去战机,导致失败.机会光顾那些有时刻准备,并抢先一步的人.例12 甲袋中装有4只红球,2只白球,乙袋中装有2只红球,3只白球.从甲袋中任取2只球放入乙袋中,然后再从乙袋中任意取出一只是红球.试求甲袋中取出的2只全是红球的概率.解 设=A 从乙袋中任意取出一只是红球,=i B 从甲袋取出的2只球中有i 只红球,2,1,0=i ,根据题设条件知 26224)(C C C B P i i i -=, 1712)|(C C B A P i i +=,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为 2512)|()()|()()|(20222==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例13 已知100只集成电路中不合格品数从3~0是等可能的.从中任意取出4只,经检测均为合格品,求此100只集成电路没有不合格品的概率.解 设=A 取出4只均为合格品,=i B 100只集成电路中有i 只不合格品,3,2,1,0=i ,根据题设条件知41)(=i B P ,41004100)|(C C B A P i i -= ,3,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为2656.0)|()()|()()|(30000==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例14 工厂生产的产品合格率是0.96.为确保出厂产品质量,需要进行检查,由于直接检查带有破坏性,因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法.经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率是0.98, 而一个废品用简化检查而获准出厂的概率是0.05.求使用这种简化检查法时,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.解 设=A 产品获准出厂, =A 产品未获准出厂,=B 产品是合格品,=B 产品是不合格品 ,根据题设条件知96.0)(=B P , 04.0)(=B P ,98.0)|(=B A P , 05.0)|(=B A P ,利用贝叶斯公式得所求概率为)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0=⨯+⨯⨯=;)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 6643.002.096.095.004.095.004.0=⨯+⨯⨯= . 例15 设B A ,为任意事件, 证明|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ .证明 若0)()()(≥-B P A P AB P , 由于)()()()()()(B P A P A P B P A P AB P -≤- ))(1)((B P A P -=,)()()()()()(B P A P B P B P A P AB P -≤-))(1)((A P B P -=，综合这两个不等式,得2)]()()([B P A P AB P -))(1)((B P A P -≤))(1)((A P B P -⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ ;若0)()()(≤-B P A P AB P ,由1)()()()(≤+=-+B A P AB P B P A P ,得)()(1)(B P A P AB P --≤-,由此得)()()(0AB P B P A P -≤)()(1)()(B P A P B P A P --+≤))(1))((1(B P A P --=,显然)()()(0AB P B P A P -≤)()(B P A P ≤, 综合这两个不等式,得2)]()()([AB P B P A P -))(1))((1(B P A P --≤)()(B P A P ⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤, 证毕.。
《概率统计B》教学大纲课程编号：A09B204B课程中文名称：概率统计B课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics学时/学分：32/2开课学期：□√秋季先修课程：高等数学，或工科数学分析；线性代数，或工科高等代数执笔人：邢家省一、课程教学目标概率统计是工科大学的一门基础课。
本课程的任务是使学生获得概率论、数理统计的基本理论方法和基本运算技能，学会对随机问题进行定量分析，培养学生分析随机问题、解决随机问题的能力。
本课程具有独特的科学认识方法意义，并且能为后续课提供必要的数学理论基础，为培养创新人才提供必要的知识结构和思想方法。
2、教学内容及基本要求第1章随机事件的概率(4学时)随机事件与样本空间；概率的公理化定义与性质；条件概率与乘法公式；全概率公式与贝叶斯公式；事件的独立性。
基本要求:1．理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；2．理解并熟练掌握概率的古典定义，会作计算；3．了解几何概率，了解概率的统计定义、公理化定义；4．熟练掌握概率的基本性质，会用于计算；5．理解并掌握条件概率的定义，掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式；6．理解并会运用事件独立性的概念。
第二章随机变量及其分布(4学时)随机变量；随机变量的分布函数；离散型随机变量及其概率分布；两点分布，二项分布，泊松（Poisson）分布；连续型随机变量及其概率密度；均匀分布，指数分布，正态分布。
基本要求：1．理解随机变量的概念；2．理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；3．掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表。
第三章 二维随机变量的分布(4学时)二维随机变量及其联合分布； 边沿分布函数； 边沿分布律与条件分布律； 边沿概率密度与条件概率密度； 相互独立的随机变量。
第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。
一般地说，这两种概率未必相同。
为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。
条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。
其他样本点可类似说明。
在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。
（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 显然3()4P A =；（1） 若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ； （3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。
为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。
例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。
在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。
试求（1） 取得的是一级品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。
解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。
（1） 由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2） 因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。
第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。
(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。
二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。
（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。
三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。
1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。
